時空の幾何学としての重力

[
１ 一般相対論入門
15 ]
０ 復習
１ 一般相対論入門
・重力の普遍性
・幾何学と重力
・計量と曲率
・時空
・最小作用の原理
・重力場の方程式
[
14
２ ブラックホール
・Schwarzschild時空
・BHの性質
３ 宇宙論
・一様等方性
・宇宙の進化
:
4
]
重力 電磁気力 弱い力 強い力
Gravity
Electro-Magn.
Weak Strong
Galileo Galilei
Isaac Newton
Albert Einstein
1564-1642
1643-1727
1879-1955
１ 一般相対論入門
我々の眼前に横たわる偉大な書物には哲学が記されている
しかしまず言葉を学び
表象を把握しなければそれを理解することはできない
この自然という偉大な書物は数学の言葉で書かれている
質量 ＋のみ 電荷＋,ー 弱電荷 u,d; e,ν 色電荷 r,g,b
長距離力 長距離力 短距離力 短距離力
天体・宇宙
スケール
古典論で十分?
核 子 ・ 原 子 核 ス ケ ー ル
原子・分子スケール
量子論が必要
‘questo grandissimo libro de la natura!
é scritto in lingua mathematica’!
１.1 重力の普遍性
１.1 重力の普遍性
Newtonの運動方程式
加速度
電場 E(r)!
力
a =
mI a = F!
q k q"
mI r 2
比は物体 により異なる
加速されにくさ：慣性質量
異なる運動
€
静電気力：Coulombの法則
F = k q q’/
q
mI!
r
r2!
静電気力を受け, 及ぼす強さ : 電荷
Newtonの運動方程式
加速度
重力場 g(r)!
力
a =
mI a = F!
比は物体 加速されにくさ：慣性質量
= 普遍性
重力：Newtonの法則
重力はその他の力
とは全く異なる.
r2!
重力は力か？
重力を受け, 及ぼす強さ : 重力質量
q’
によらず一定
同一の運動
€
F = - G mG mG’/
MG − G mG#
MI
r2
運動方程式の 右辺 左辺？
１.1 重力の普遍性
１.2 幾何学と重力
Newtonの運動方程式
加速度
重力場 g(r)!
力
a =
mI a = F!
mG − G mG#
mI
r2
比は物体 加速されにくさ：慣性質量
によらず一定
重力の下での運動の普遍性
⇩
重力
力を受ける物体の性質 ,
重力 = 時間・空間自体の幾何学的性質
€
mG
r
F = - G mG mG’/ r2!
重力を受け, 及ぼす強さ : 重力質量
mI!
m G’
x
x
重力：Newtonの法則
曲がった時空のなかで
最小の 距離 をもつ経路が
実現される
⇨ 運動は には全く依らない
１.3 計量と曲率
１.3 計量と曲率
距離を定義するには、任意の座標系を導入して三角法を用いる
平面
dr, dφ ：微小とする
€
ds 2
=
曲率
=
a 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 )
+1/a 2
a 2 (dθ 2 + θ 2dφ 2 )
a 2 (dθ 2 + sinh 2θ dφ 2 )
−1/a 2
0
一般に微小距離を と表記
ds 2 = g11 (x1 ,x2 ,…)dx12 + g22 (x1 ,x2 ,…)dx22 +
€
€
・空間の幾何学は計量場で表される
€
・曲率 = g−1
ds 2 = dx 2 + dy 2
€
∂ $ −1 ∂ '
g)
&g
∂x % ∂x (
計量の2階微分
€
１.3 計量と曲率
１.4 時空
球面
θ : 余緯度
φ : 経度
空間の時間的発展をひとまとめにした連続体 ＝ 4次元時空
x, y, z )
xµ
座標 ＝
(時間 t , 空間 

r
ds = −c dt + dx + dy + dz
定常・平坦な時空の距離を と定義
€


€
2
€
2
2
光速
2
2
dr
2
2
dr
=c
⇨ 光の進路 に沿う距離＝０
dt
€
€
空間のサイズ a
曲率半径
曲率 €
€
€
ds 2 = (a dθ )2 + (a sinθ dφ )2
(a,a)
1/a 2
€
光円錐
１.4 時空
１.6 重力場の方程式
傾き＝速度
gµν (x)
重力場∼時空の幾何∼計量 はどのように決定されるか？
光速を超えて運動できない
⇨ 世界線は光円錐の内側
静電気：Gaussの法則
∂
⋅ E(r) = 4π k ρ (r)
∂r
(電場の微分)
(物質の電荷密度)
€
Newton重力：
幾何学化
光円錐の内側 ds 2 < 0 の点A
とは因果関係を持てる
∂
⋅ g(r) = - 4π G ρ m (r)
∂r
€
(重力場の微分)
一般相対論：Einstein方程式
€
ds 2 > 0 の点B
光円錐の外側 とは因果関係を持たない
€
(物質のエネルギー密度と圧力)
€
１.5 最小作用の原理
最小作用の原理
空間は一般に平坦とは限らず、また計量は時間的に変化し得る
⇩
時空の不変距離を
→
ds 2 = gtt (t,r)dt 2 + gxx (t,r)dx 2 +
最小作用の原理
時空の２点を結ぶ世界線のうち
B
全距離 ∫ A ds を極小にするように運動
測地線 Einstein方程式
と一般化
∂ ∂
g(x)
∂x ∂x
時空の曲率
∝
T˜ (x)
物質のエネルギー密度
€
物質と時空：どちらが先？
どちらが原因として他方を規定する？
x
A
物体は時空距離を極小にする
測地線に沿って運動
x
ds 2 = −c 2dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2
€
∂ ∂
g(x) = 8π G T˜ (x)
∂x ∂x
(曲率)
€
€
(物質の質量密度)
B
Mach
１.6 重力場の方程式
2.2 ブラックホールの性質
Newton重力：
∂
⋅ g(r) = - 4π G ρ m (r)
∂r
(重力場の微分)
(物質の質量密度)
幾何学化
€
−1
#
2 GM & 2 2 #
2 GM &
2
ds2 = −%1− 2
(c dt + %1− 2
( dr
$ c r '
$ c r '
∂ ∂
g(x) = 8π G T˜ (x)
∂x ∂x
一般相対論：Einstein方程式
(曲率)
(物質のエネルギー密度と圧力)
r<R=
€
光円錐が内側を向く
=
€
2GM
c 2 では t と r の符号が反転
(計量の2階微分)
R
⇨ より内側の情報は外側に伝搬しない
事象の地平面
€
計量の1階微分
∂
g
∂x
~
g 重力場
€
0
R
€
€ €
.
2.1 Schwarzschild時空
2.2 ブラックホールの性質
r
M
質点
2
空間的に球対称・時間的に定常： ds2 = gtt (r)dt 2 + grr (r)dr 2 + r…!
遠方では平坦：
€
1 d
GM
gtt (r) ≈ g(r) = − 2
2 dr
r
Newton重力場が良い近似：
€
原点以外は真空
R
gtt (r) → −c2 , grr (r) →1 (r → ∞)
曲率=0
€
⇩
−1
#
2 GM & 2 2 #
2 GM &
2
2
ds2 = −%1− 2
(c dt + %1− 2
( dr + r (...) Schwarzschild計量
$ c r '
$ c r '
2GM
R= 2
地平面 の値は Newton重力を光に適用した場合に一致
c
€
脱出可能条件
€
1 2 GMm
mv −
≥0
2
r
r≥
€
2GM
v2
€
€
€
に v → c を代入
2R
€
2.2 ブラックホールの性質
光の経路： ds 2 = 0
⇒ dt = ±
3.1 一様等方性
−1
# R&
# R&
ds 2 = −%1− (c 2dt 2 + %1− ( dr 2
$ r'
$ r'
2006Nobel物理学賞
Mather, Smoot
温度(輻射)の分布
1
dr
€
c 1− R /r
光が r1 から r2 (< r1 ) に伝搬する間に，遠方の観測者が測る時間 t12 :
€
€
t12 = −
1
c
r2
dr
r1 − r2
c
∫ 1− R /r =
r1
+
R
r −R
log 1
c
r2 − R
通常要する時間 質点の影響
c t12
€
T = 2.728__ K!
r
r1
r2
R
r1
R
r2
宇宙はほぼ一様・等方的
€
３ 宇宙論
3.1 一様等方性
3.1 一様等方性
空間的には一様・等方性を仮定
1次元上げて考える
銀河(物質)の分布
a
a
a 2 (dθ 2 + sin 2 θ dΩ2 )
a 2 (dθ 2 + θ 2dΩ2 )
a 2 (dθ 2 + sinh 2θ dΩ2 )
a(t)
a
宇宙のサイズ → 時刻の関数 とする
€
,
/
$ sin 2θ (
. 2 & 2 &
21
% θ ) dΩ 1
€ds = −c dt + a(t) . dθ +€
&sinh 2θ &
.
1
'
*
0
2
宇宙はほぼ一様・等方的
€
2
2
2
Friedmann計量
まとめ
3.2 宇宙の進化
Einstein方程式
a"(t)2
a(t)2
+
時間の曲率 (曲率)
{+1,0,−1}
a(t)
2
A
a(t)4
=
+
Gravity
B
a(t)3
観測事実：
空間的には平坦
Electro-Magn.
Weak Strong
+ C
空間の曲率 輻射の 物質の 真空の
€
重力 電磁気力 弱い力 強い力
(エネルギー密度)
エネルギー密度 エネルギー密度 エネルギー密度
質量 ＋のみ 電荷＋,ー 弱電荷 u,d; e,ν 色電荷 r,g,b
長距離力 長距離力 短距離力 短距離力
天体・宇宙
分子・原子・原子核・核子 スケール
スケール
一般相対論＝
時空の幾何学
3.2 宇宙の進化
・物質と真空の量により
宇宙のサイズ a(t)!
B
重力 電磁気力 弱い力 強い力
! C
Gravity
物質の
真空の
エネルギー エネルギー
天体・宇宙
スケール
Electro-Magn.
Weak Strong
分子・原子・原子核・核子 スケール
特異点近傍
量子論が必要
量子論が必要
宇宙の進化は異なる
理論物理学の最大の課題
・現在は膨張中
物質優勢→真空優勢
への切替りの時期
時間 t × 10億年!
2011Nobel物理学賞
Perlmutter
Schmidt, Riess
・4つの力を幾何学で統一的に
・矛盾なく量子力学的に
記述する