時 変数空 変 す 時間や変数空間上で変化する 回帰係数について

時間や変数空間上で変化する
時
変数空
変 す
回帰係数について
佐藤 健
健一
広島大学原爆放射線医科学研究所
提案手法の骨子
Hastie and Tibshirani (JRSS, 1993)
時間など興味ある変数上で変化する回帰係数
成長曲線モデル： Satoh and Yanagihara (AJMMS, 2011)
一般化推定方程式： 佐藤・柳原・加茂 (応用統計学, 2009)
線形な変化係数と交互作用
回帰モデルにおいて説明変数 a の変化係数å(t) に直線を仮定すれば
å(t)a
å(
) = ((b1 + b2 t)a
) = b1 a + b2 ta
となり, 時間変数との交互作用項を考えることに等しく, 適当な方
法で推定可能. 逆に, 時間に関する交互作用項を説明変数でまとめ
ることができれば, 変化係数として解釈可能,
b1 a + b2 ta = (b1 + b2 t)a = å(t)a:
線形な変化係数の推測
何らかの方法により未知パラメータの推定量とその漸近共分散行列が得られると, 線形な変化係数の
(関数としての) 信頼区間が構成できる.
信頼区間が構成できる Rao (1973) の 1 章 1f節で述
1f節で述べられている
られている Cauchy
Cauchy-Schwarz
Schwarz の
不等式を用いると，
^ Ä å(t)g2
^ Ä b)0 ag2
få(t)
f(b
^ Ä b)0 ä
^ Ä b);
^ Ä 1 (b
sup
î sup
î (b
(b
(b
b)
0
^
^
q
a äa
t2<
a2<
ï(t)
^ の信頼区間の構成問題は対応するパラメータベクト
が成り立つ．この不等式により，変化係数å(t)
^ 問題に置き換わる 変化係数は時間 関数であるが 右辺はすでに時間に依存しな ことに注
ルbの問題に置き換わる．変化係数は時間の関数であるが，右辺はすでに時間に依存しないことに注
b
^
意する．bの漸近正規性により，右辺は自由度
qのカイ二乗分布に近似的に従う．したがって，cq;ãを
ü2q の上側ãÇ 100 パーセント点とすると，すなわち Pr(ü2q ï cq;ã) = ãとすると，変化係数のãÇ 100
パーセント信頼区間は次式で与えられる．
î
q
^ Ä ï
^ (t)cq;ã;
Ij;ã(t) = å(t)
^ +
å(t)
q
ï
^ (t)cq;ã :
ï
それゆえ，信頼区間の被覆確率は漸近的に Pr(å(t) 2 Iã;j (t) : 8 t 2 <) ï 1 Ä ã を満たす．
経時測定データへの適用例
少年・少女の下顎枝の成長データ
少年
少女の下顎枝の成長デ タ
Potthoff and Roy (Biometrika, 1964)
R
Potthoff and Roy (1964) に掲載された少年16
掲載され
年 人および少女11
び
人
の下顎枝の長さ(mm) の成長データ(8 歳から14 歳まで2 年間隔で
計4 回測定)
最終時点での性差
性差を平滑化により推定
性差に対する変化係数
R
性差に直線を仮定
性差に対する変化係数
R
基底の選択
性差に対する変化係数
R
測定時点間の相関
working correlation
unstructured
AR(1)
アンバランス型
空間データへの適用例
コロンバス市の犯罪データ
ン ス市の犯罪デ タ
Anselin (SpaceStat, 1995)
冨田・佐藤・柳原(応用統計学
冨田
佐藤 柳原(応用統計学, 2010):
R
1980 年のオハイオ州コロンバス市の49
年
バ
の地域における住居侵入窃盗
住 侵 窃盗
および車両窃盗に関する千世帯あたりの犯罪発生率(crime), 平均収入
(income), 平均家価格(housing) および地域の位置情報(x, y)
R
R
コロンバス市の49
ン
市の の地域
の地域における犯罪発生率
おける犯罪発 率
に対する平均家価格の効果の地理分布
死亡リスク地図への応用
広島原爆被爆者の生存時間解析
冨田・佐藤・大谷 他(長崎医学会誌, 2010)
平成 23年 統計数理研究所・重点型研究
統計数理研究所 重点型研究
P-08：冨田 他（応用統計学会2011年度年会）
データ例
比例ハザードモデル
広島市内における死亡リスク地図の非対称性
広島市内
おける死 リ ク地図の非対称性
(ハザード比）
中国新聞（2010/4/16朝刊）
共同通信（2010/6/ 2配信）
NHK長崎（2010/6/ 6放送）
NHK広島（2010/8/ 5放送）
産経新聞（2010/8/ 5配信）
中国新聞（2011/1/13朝刊）
年齢・時代空間上のがん死亡リ
年齢
時代空間上のがん死亡リ
スクへの応用
デンマークの男性の肺がん死亡数のデータ
デンマ
クの男性の肺がん死亡数のデ タ
The Danish Cancer Registry and Statistics Denmark
加茂 冨田 佐藤 (日本疫学会学術総会,
加茂・冨田・佐藤
(日本疫学会学術総会 2011)
平成 23年 統計数理研究所・重点型研究
R
R
デン
デンマークの男性における年齢-時代空間上の
クの男性 おける年齢 時代空間 の
肺がん死亡リスク(10 万人当たりの推定死亡数)
女性の癌死亡リスクをコントロー
ルとしたときの男性の相対分
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平成 23年 統計数理研究所・重点型研究「広島原爆被爆者におけるがん死亡リスク地図の推定」（冨田哲治
統計数理研究所 重点型研究「広島原爆被爆者におけるがん死亡リ ク地図の推定 （冨田哲治 他）
平成 23年 統計数理研究所・重点型研究「癌死亡リスクの視覚化に関する研究」（加茂憲一 他）