1 採点を希望するなら学籍番号のついた緑色の袋に

微分積分Ａ演習小テスト３（４月２７日）
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採点を希望するなら学籍番号のついた緑色の袋に名前を書いて
提出せよ．
問題 1.1. A, B ⊂ [0, ∞), A, B ̸= ∅ に対して，AB := {ab : a ∈ A, b ∈ B} と定める．このとき，
(1)
sup(AB) = sup A sup B,
(2)
inf(AB) = inf A inf B
が成り立つことを証明せよ．(2) は (1) と似ているので時間がなかったら飛ばしてよい．
問題 1.2. 次の集合の上限と下限を求めよ．
A = {−(x − 1)(x − 4) : x ≥ 1} , B = {−(x − 1)(x − 4) : x ∈ N}
問題 1.3. 次の集合の上限と下限，最大値，最小値が存在するならその値を答えよ．存在しない
場合は解答欄に×を書け．
例 A = (0, 1]
sup(A) = 1, inf(A) = 0, max(A) = 1, min(A) = ×
1. A = (0, 1)
sup(A) =
, inf(A) =
, max(A) =
, min(A) =
sup(A) =
, inf(A) =
, max(A) =
, min(A) =
sup(A) =
, inf(A) =
, max(A) =
, min(A) =
2. A = (1, ∞)
3. A = (−∞, 4]
問題 1.4. A, B ⊂ R を有界な集合として,
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
と定義する. 次のことを示せ.
(1) sup(A + B) = sup A + sup B
(2) inf(A + B) = inf A + inf B
(2) は (1) と似ているので時間がなかったら飛ばしてよい．
問題 1.5. 次の問に答えよ．
2n + 1
1
− 1 <
”が正しくなる N をひとつ見つ
1. 命題“ n ∈ N につき n > N ならば 2n + 3
1000
けよ．
2n + 1
2. ε > 0 を任意に与える．命題“ n ∈ N につき n > N ならば − 1 < ε” が正しくな
2n + 3
る N をひとつ見つけよ．
1
問題 1.6. 数列 {an }∞
n=1 と α に対して lim an = α でないとは何か？
n→∞
ヒントおよび採点基準：
“ 任意の ε > 0 に対してある N ∈ N が定まりすべての n > N に対し
て，|an − α| < ε ”が lim an = α の定義だが，これを用いて
n→∞
“ 任意の ε > 0 に対してある N ∈ N が定まりすべての n > N に対して，|an − α| < ε ”
ではないと書いても点数には結びつかない．もう一押ししないといけない．
問題 1.7. 以下の級数の収束発散を判定せよ．
1. S1 =
∞
∑
1
n
n=1
∞
∑
1
2. S2 =
2
n
n=1
3. S3 =
∞
∑
1
n3
n=1
4. S4 =
∞
∑
1
4
n
n=1
5. S5 =
∞
∑
1
√
n
n=1
6. S6 =
∞
∑
1
√
3
n
n=1
問題 1.8. 以下の級数の収束発散を判定せよ．
1. S1 =
2. S2 =
3. S3 =
∞
∑
1
3n + 2
n=1
∞
∑
n
2 + 3n + 1
n
n=1
∞
∑
n=1
4. S4 =
5. S5 =
1
+ 4n + 1
∞
∑
1
2
6n
n=1
∞
∑
n=1
6. S6 =
n3
1
− 3n
11n3
∞
∑
1
2 − 25n + 19
33n
n=1
2
問題 1.1. B = {0} の時は明らかなので，以下 B ̸= {0} の場合について考える．任意の a ∈ A と
b ∈ B に対して，ab 5 sup A sup B より sup(AB) 5 sup A sup B が成り立つことは明らか．一
ε
方，sup B > 0 より，任意の ε > 0 に対して，ある a ∈ A が存在し，sup A − a <
が成り
sup B
−1
立つ．この時，sup A sup B 5 {ε(sup B) + a} sup B = ε + a sup B ．a ≥ 0，aB ⊂ AB より，
a sup B = sup(aB) 5 sup(AB)．ε > 0 の任意性から，sup A sup B 5 sup(AB)．
問題 1.2.
1. sup A =
9
で inf A = −∞ である．
4
2. sup A = 2 で inf A = −∞ である．
問題 1.3.
1. sup A = 1, inf A = 0, max A = ×, min A = ×
2. sup A = ∞, inf A = 1, max A = ×, min A = ×
3. sup A = 4, inf A = −∞, max A = 4, min A = ×
問題 1.4.
1. a ∈ A かつ b ∈ B ならば，a + b 5 sup A + sup B より，
sup(A + B) 5 sup A + sup B
は明らかである．逆に，任意に ε > 0 を与えると
a0 > sup A − ε, b0 > sup B − ε
となる a0 ∈ A と b0 ∈ B が存在する．したがって，
sup(A + B) ≥ a0 + b0 > sup A + sup B − 2ε
である．これより，任意の ε > 0 に対して sup(A + B) > sup A + sup B − ε が得られるの
で，sup(A + B) ≥ sup A + sup B が従う．
2. (1) の不等号を逆向きに直して証明すればよいので省略．ただし，ε > 0 の箇所は変更し
ない．
問題 1.5.
2n + 1
2
− 1 =
だから，N = 1000 ととればよい．正確には N = 998 でも大丈夫だ
1. 2n + 3
2n + 3
が，過剰に大きくとる分には問題の性質上，間違いではない．
3
1
1
2n + 3
1
のときは N = 1000 として，ε 5
のときは
> よ
2. 同様に考えて，ε >
1000
2
ε
[
] 1000
1 3
り，N =
−
とすればよい．与えられた に対して整数 N を作らないといけないので，
ε 2
ガウス記号などを用いる必要がある．
問題 1.6. 数列 {an }∞
n=1 と α に対して lim an = α であるとは
n→∞
任意の ε > 0 に対して
ある N ∈ N が存在して
任意の n ∈ N に対して
n > N ならば，|an − α| < ε が成立する
ことである．これの否定は機械的に作れて，
ある ε > 0 が存在して
任意の N ∈ N に対して
ある n ∈ N が存在して
n > N でありながら，|an − α| ≥ ε となってしまう
ということである．
問題 1.7. 収束するのは，S2 , S3 , S4
問題 1.8. 収束するのは，S3 , S4 , S5 , S6
S5 ≤
∞
∑
1
<∞
n3
n=1
より S5 は収束する．
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