熱の異常輸送をめぐって

熱の異常輸送をめぐって
齊藤圭司　慶應大学物理学科
熱 と 物理学
熱力学　平衡状態における熱に
関する現象論
統計力学　熱力学を再現できるように
出来ているミクロな理論
平衡熱力学　カルノーの理論
絶対零度の存在
可逆、不可逆の概念
クラウジウスの定理
エントロピーの概念
Q
S=
T
統計力学と情報論の接点　シラードの熱機関
悪魔は情報を得ることで、ピストンに仕事をさせる。
kB log 2
kB T log 2
非平衡へ　（今日の話題）
１）　熱はどう伝わるか？　（エントロピーの拡散）
２）　情報はどう伝わるの？　３）　非平衡系では熱力学はあるの？
•••
目次
１.　線形非平衡現象
２. 熱拡散現象について
３. 異常輸送のミクロメカニズム：　確率モデルの導入
４. 厳密解
５. まとめ
１.　線形非平衡現象の基礎
♦ 粒子、熱：　拡散方程式に従って拡散
x (t)
2
c
t
♦ 拡散方程式、フーリエ則、フィック則
-粒子拡散-
(x, t)
=D
t
2
(x, t)
x2
-熱拡散-
T (x, t)
=
t
c
フィック則
J(x, t) =
フーリエ則
2
T (x, t)
x2
J(x, t) =
D
(x, t)
x
T (x, t)
x
２. 今日の話題：熱拡散現象について
♦　熱拡散
TL
TR
フーリエ則
T (x, t)
=
t
c
2
T (x, t)
x2
J(x, t) =
T (x, t)
x
♦意外に理解されていない
“It seems there is no problem in modern physics for which there are on record as many false starts, and as many theories which overlook some essen8al feature , as in the problem of the thermal conduc8vity of nonconduc8ng crystals” R. Peierls (1961)
フーリエ則の意味するところ　J=
T (x)
x
♦　熱が拡散方程式に従って拡散する。（正常拡散）
♦　熱流は温度のこう配に比例して流れる。
→　温度プロファイルは線形になる。
T (x) = x(TL
♦　熱流のサイズ依存性は
熱伝導度は示強的　TR )/N + TR
1/N
J
:=
(TL
J
TR )/N
const.
でも、フーリエ則は意外にも破れる　:=
(TL
例１：カーボンナノチューブ
J
TR )/N
N
0.22
例２：グラフェーン
♦ Few-Layer Graphene
♦Crossover from 2D-3D behavior Balandin et al., Nature (2010)
（熱）輸送現象には種類分けが必要
TL
TR
Le1 reservoir Right reservoir N
:=
(TL
J
TR )/N
N
弾道的輸送　（Ballistic Transport）
局在現象　（Localization）
フーリエ則　（Fourier’s law）
0<
<1
異常輸送　（Anomalous Transport）
理論的なアプローチ：　歴史
♦　調和格子モデル
♦　不純物効果
♦　非線形効果（Fermi-Pasta-Ulam model）　調和格子モデル
N
H=
=1
p2
+
2m
Rieder, Lebowitz, and Lieb (1967) N 1
=1
k
(x
2
+1
x )2
1. 温度勾配が形成されない
２. 熱伝導度はサイズに比例して発散　：　弾道的輸送
=
(TL
J
TR )/N
N :
=1
不純物効果
Matsuda, Ishii (1972) N
H=
=1
p2
+
2m
N 1
m =1+
=1
k
(x
2
+1
x )2
or 1
1. 有限の温度勾配が形成
２. 熱伝導度は消失　：　局在
N :
=
1/2
非線形効果（Fermi-Pasta-Ulam model）
N
H=
=1
p2
+
2m
N 1
=1
k
(x
2
+1
x )2 +
4
(x
+1
x )4
Lepri et al.　PRL (1997) Dhar PRL (2001) Aoki, Kusnezov PRL (2001) Narayan, ramaswamy PRL (2002) Mai, narayan, Dhar PRL (2007) Saito, Dhar PRL (2010) … 1. 有限の温度勾配が形成
２. しかし熱伝導度はべき発散　：　異常輸送
N :
ln N
0<
<1
非線形効果 + 高次元
3D
KS, Dhar PRL (2010) 異常輸送は低次元では普遍的に現れる。
３次元では正常輸送。
３. 異常輸送の現象論
♦　低次元系では、熱輸送は異常輸送
特徴１：　熱伝導度がサイズに対してベキ発散。
特徴２：　温度プロファイルが、非線形。特に両端付近で異常。
2
1D
特徴３：　温度の拡散が拡散方程式とは別。
Ti
1.75
1.5
1.25
1
0
0.25
0.5
i/N
問い：　異常輸送現象では、熱はどのように拡散しているか？
フーリエ則に相当するものは何か？
ミクロな拡散とマクロな熱流、温度プロファイルの関係は？　0.75
1
現象論的確率モデルの導入
♦ 確率モデル：　粒子が熱の固まりとして考える。
正常輸送では、熱の固まりがブラウン運動
↓
異常輸送では熱の固まりがレビーウォーク
正常拡散　vs. レビーウォーク　- １次元の拡散　: ウォーカーが着地して向きをランダムにかえるまでの時間
( )
←　確率
n
♦正常拡散（ブラウン運動も含む）：　x2n
1
(t) = 0
♦レビーウォーク　：
x2n
<
t
c
( )=
c
1
to (1 + t/to )
2
<
x2n
1
(t) = 0
x2 (t)
c
t3
+1
, 1<
<2,
c
x4 (t)
c
t5
粒子浴を入れたレビーウォークモデル
x=0
x=L
L
♦ ダイナミクス
時間τで粒子が着地する確率
( )=
1
to (1 + t/to )
+1
, 1<
<2,
時刻t、場所xで着地する粒子密度
t
Q(x, t) =
0
1
dt Q(x
2
vt , t
t ) (t ) +
P (x, t) =
0
1
dt Q(x
2
♦ 境界条件
Q(x) = Ql x < 0
Q(x) = Qr x > L
dt
0
時刻t、場所xでの粒子密度
t
t
vt , t
t)
t
(t ) +
0
1
Q(x + vt , t
2
1
dt Q(x + vt , t
2
t ) (t )
t)
(t ) =
d
t
(t ) ,
( )
４. 厳密解
♦　（密度）温度プロファイルの特徴
♦　熱流のサイズ依存性
♦　その他、カレントゆらぎなど
密度（温度）プロファイル
♦密度（温度）プロファイル
x
, ,1 + , )
2 2
2 L
P (x) = BF (1
B = (Ql
超幾何関数
( ) 1
L
2
( /2)
Qr )
♦　レビーウォークモデル vs. FPU chain　レビーウォークモデル
FPU chainの熱伝導
2
1D
1.75
0.8
Ti
P (x)/h⌧ i
1
L = 128[vto ]
L = 1024[vto ]
L = 8192[vto ]
Exact
0.6
0.5
0
0.25
1.5
1.25
1
0.5
x/L
0.75
1
0
0.25
0.5
i/N
0.75
1
熱流のサイズ依存性
♦　熱流のサイズ依存性　-異常輸送現象を再現-　J
(Ql
Qr ) L
1
=2
,
.
cf. ミクロの拡散とマクロな熱の振る舞いがつながる
x2 (t)
t3
c
♦　フーリエ則に相当するもの　-熱の流れを支配する基礎方程式は非局所的-　J=
1
2
Cf. フーリエ則
J=
T (x)
x
L
0
dx (|x
dP (x )
x |/v)
.
dx
(t) =
dt
t
d
t
( )
５. まとめ
♦ 異常輸送現象は　低次元では　普遍的に現れる。
♦　異常輸送を記述する、ミクロなメカニズムとしてレビーウォークを考えた。