中学校数学科 授業のポイント

新しい学習指導要領に対応した
中学校数学科
授業のポイント
長崎県教育委員会
新しい学習指導要領が求めるもの
数学的活動の楽しさや数学のよさを実感することができる
ようにする。
今 回 の 改 訂 に よ り 、「 数 学 的 活 動 」 が 各 学 年 の 内 容 に 位 置 付 け ら れ た 。 生 徒 が 数
学の学習に主体的に取り組むことができるようにするためには、数学的活動の楽し
さや数学のよさを実感させることが大切である。
「数学的活動の楽しさ」については、単に楽しく活動をするという側面だけでな
く、それによって生徒にどのような知的成長がもたらされるかという質的側面にも
目を向ける必要がある。
「数学のよさ」とは、
①「数量の関係を方程式で表すことができれば、形式的に変形して解を求めること
ができる」といった数学的な表現や処理のよさ
②数量や図形などに関する基礎的な概念や原理・法則のよさ
③数学的な見方や考え方のよさ
④数学が生活に役立っているよさ
⑤数学が科学技術を支え相互にかかわって発展してきていることなどのよさ
などである。これらのことを数学的活動を通して指導し、生徒に実感させることが
大切である。
事象を数理的に考察し表現する能力を高める。
事象を数理的に考察する過程やその成果についての認識は、表現することによっ
て深められる。今回の改訂により「表現する能力を高めること」が示されたことで
数や図形の性質などを的確に表すだけでなく、自分の考えの根拠を明らかにして、
筋道立てて説明し、伝え合う活動に取り組ませ、それらを共有したり質的に高めた
りすることが重要である。
数学的な表現や処理の仕方を習得させることと、それらを
を活用して考えたり判断したりしようとする態度をバランス
よく育てる。
今回の改訂で、中学校数学における習得すべき内容については、学習指導要領に
「∼を知ること」と「∼を理解すること」という表現で示されている。
また、生徒が考えたり判断したりする際に習得した知識及び技能を活用できるよ
う に な る こ と を 重 視 し て い る 。 そ の た め 、「 活 用 」 と い う 表 現 は 該 当 す る 全 て の 場
面 で 用 い ら れ て い る が 、ど の よ う に 活 用 す る の か を 明 確 に す る 必 要 が あ る 場 合 に は 、
「用いて∼する」という表現で示されている。
中数 - 1 -
数学科の授業づくりについて
【指導計画作成のポイント】
１
生徒の実態（レディネス）をより具体的に把握しておくこと。
小学校や前学年における学習の状況、達成度
をできるだけ具体的な数値で把握し、作成にあ
たってどの領域、どの単元を重点的に指導しな
ければならないのかを明確にしておくこと。
２
【把握する内容例】
□小学校６年時の全国学力・
学 習 状 況 調 査 の 結 果 (中 １ )
□前学年の各種調査・テスト
各領域の評価問題を作成しておくこと。
の結果
各学年の４領域において必ず習得させなくて
□前学年のノートのチェック
はならない基礎的・基本的な知識や技能とは何
□前学年で学習した単元・領
かを学習指導要領から取り出し、それらが身に
域に関する事前アンケート
付いているかどうかを評価するための問題を教
科書等を参考に作成しておくこと。
□前学年の復習テストの実施
など
（例）【第１学年 第２章 文字と式】
節(配当時数)
項
評 価 問 題
１．文字を使 文字の使 問１ 次の①∼③を文字を使った式で答えなさい。
った式
用
① １辺ａ cm の正三角形と１辺ｂ cm の正方形を、それぞれ針金
(６時間)
で１個ずつ作ったときの針金の全体の長さ(cm)
② ３人がａ円ずつ出し合ったお金で、ｂ円のりんごを４個買っ
たときの残った金額(円)
③ ３分間にａ cm ３の割合で水が出る蛇口と、４分間にｂ cm ３の
割合で水が出る蛇口から、水を同時に１分間出したときの水の
量(cm ３)
問２ 式ａ−ｂで必ず表すことができる数量関係はどれですか。正
しいものを全て答えなさい。ただし、ａ＞ｂ＞０とする。
① 学校からｂｍ進んだときに、学校からａｍの距離にある家ま
での残りの距離
② 持っていたａ円のお金で、ｂ円の品物を買ったときのおつり
③ ある本でｂページ目からａページ目まで読んだときに、読み
３
小学校から中学校までの指導内容の関連を把握しておくこと。
生徒がどのような学習を経てきている
のかを把握し、新たな内容を指導する際
にそれまでに指導した内容を意図的に取
り上げることで、生徒の理解を広げたり
深めたりする学び直しの機会を適切に位
置付けること。
【学び直しの例】
□第２学年
(４ χ＋ ５ ｙ)− (２ χ＋ ３ ｙ)の 計 算
□第１学年
(４χ＋５)−(２χ＋３)の計算方法
□第３学年(新学習指導要領)
円の直径に対する円周角は９０゜
小・中学校の算数・数学担当者が互い
に授業参観するなどして、実態把握に努
めること。
中数 - 2 -
□第２学年
直角三角形の斜辺の中点は３頂点から
等距離にある
４
習 得 さ せ る 学 習 、活 用 さ せ る 学 習 の 時 間 を バ ラ ン ス よ く 配 置 す る こ と 。
必要な知識や技能を習得させる学習を何時間仕組めばよいのか、またそれらを
活用して考えたり判断したりするための「数学的活動」に必要な題材は何か、指
導に何時間必要なのかを検討し、各単元毎に、習得させる学習と活用させる学習
のバランスのよい指導計画にする。また、年度途中であっても、生徒の実態等を
考慮し、指導計画の見直しを随時行うこと。
【学習指導のポイント】
１
見通しを持たせたり、振り返らせたりする活動を位置付けること。
１単位時間の目標を絞り込み、その時
間に身に付けることを生徒に自覚させた
り、学習したことの達成度を振り返らせ
たりする活動を計画的に取り入れ、自主
的に学ぶ態度を育成すること。
＜取組例＞
□自己評価表・自己評価シート
何がわかったのか、次に何をしなけ
ればならないのかなど、一人一人に自
覚させたいことを記入するものにする
こと。
□小テスト等の実施
言葉だけでなく、理解できたかどう
かを客観的に把握させる工夫をするこ
と。
２
【単元自己評価シート例】
No 節 項 ねらい 学習日 理解度
１ ･･ ･･ ･･がで ○／○
･･ きる。 ○校時
･
評価
※５段階で理解度を記入させる。
５
４
３
２
１
十分
まあまあ
不十分
※文章表現させる。
【記入の視点】
□本時のねらいが達成できたか。
□理解できなかった部分は何か。
□家庭学習でしなくてはいけないこと
は何か。
など
数学的活動を通して数学の有用性を実感させること。
既習の内容から新たな性質を見いだし、発展させる活動や日常生活や他教科で
数学を利用する活動、数学的な表現を用いて根拠を明らかにし、筋道立てて説明
し伝え合う活動を通して数学を学ぶ意義や有用性を実感させること。
３
繰り返し学習により習得した知識や技能を定着させること。
家庭学習を促すために確認テストを実施したり、問題練習用のノートを用意さ
せ、定期的にチェックしたりすることなどを通して、数多くの問題を繰り返し解
かせること。
４
日常の事象を理想化したり
単純化したりして数学的に処
理するための条件を読み取ら
せること。
日常の事象を数理的に処理す
るためには、得られたデータを
理想化したり、単純化したりす
るなどして、数学の世界で考察
する準備が必要である。実際の
データには誤差が生じることな
どについても理解させること。
※事象の数学的な解釈と問題解決の方法
【水を熱したときの水温の変化と熱し始めてからの時間】
温度(℃)
①点がほぼ一直線上に並んで
いることや区間ごとに結ん
だ線分の傾きがほぼ同じで
あることから、一次関数で
あると理想化したり、単純
化したりして事象をとらえ
る。
②グラフに示されていない水
温 に 対す る 時間 の 求め 方
を、式や表などの「用いる
もの」と「その用い方」を
明示して説明する。
時間(分) (H19 全国学力・学習状況調査より)
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基礎的な知識及び技能の習得
比較したり、関連付けたりして理解させる。
例 え ば 、【 例 題 １ 】 の よ う に 指 数 を 含 む 計 算 で は 、（ − ３ ２ ） と （ − ３ ） ２ が 異 な
ることや、指数を含む式では指数の計算を先にすることを指導する。
このとき、共通するところと違うところを指摘させながら理解させる。また、誤
った計算例を取り上げて、計算方法を確認するなどして確実に計算ができるよう指
導を進めることが大切である。
【例題１】指数を含む計算
問
２×（−３）２ を計算しなさい。
問
２ × （ − ３ ２） を 計 算 し な さ い 。
２×（−３）２
２ × （ − ３ ２）
＝２×（−３）×（−３）
＝２×（−（３×３））
＝２×９
＝２×（−９）
＝１８
＝−１８
また、数や文字を用いた式の計算は、一つの式をより簡略化された式に変形して
いくことを意味するのに対し、方程式の解法は、一つの等式をより簡略で同値な関
係にある他の等式に変形していくことを意味している。そのことを理解させるため
に 、【 例 題 ２ 】 の 左 側 と 右 側 で 使 わ れ て い る 「 ＝ 」 と い う 記 号 （ 等 号 ） に つ い て の
意味の違いを生徒に読み取らせることも大切である。
【例題２】式の計算と方程式の解法
問
次の計算をしなさい。
問
５χ＋３−（２χ−６）
次の方程式を解きなさい。
５χ＋３ ＝２χ−６
＝５χ＋３−２χ＋６
５χ−２χ ＝−６−３
＝５χ−２χ＋３＋６
３χ
＝３χ＋９
＝−９
χ ＝−３
な お 、 こ の よ う な 指 導 を す る 際 に 、【 例 題 １ 】 や 【 例 題 ２ 】 の よ う に 計 算 の 途 中
の式や等号の位置を揃えて書くなどのノートづくりについて事前にしっかりと指導
しておく必要がある。
中数 - 4 -
【例題３】根号のついた数の加減
①
√２ が 円 周 率 π と 同 じ 無 理 数 で あ る こ と 。
②
半 径 ４ cmと 半 径 ３ cmの 円 の 面 積 の 差 を 求 め る に は 、
１６π−９π＝７πと計算すること。
③
で は 、 ５ √２ − ３ √２ は ど う 計 算 し た ら よ い か 考 え て み よ う 。
な ど 、既 習 の 内 容 と 関 連 付 け て 指 導 す る こ と な ど が 考 え ら れ る 。ま た 、【 例 題 ４ 】
のように、２次方程式の解の公式を具体的な数値計算と比較させながら、丁寧に指
導する。
【例題４】２次方程式の解の公式
＜解の公式＞
＜具体的な計算＞
ａχ２＋ｂχ＋ｃ＝０
３χ２＋５χ＋１＝０
両辺をａで割ると
χ２ ＋
両辺を３で割ると
ｂ
ｃ
χ＋
＝０
ａ
ａ
χ２ ＋
移項して
ｂ
ｃ
χ２＋ χ＝−
ａ
ａ
ｂ
ｂ
１
両辺に の
の２乗
２ａ
ａ
２
移項して
２を加えて
ｂ
を右辺に移項して、右辺を整理する
２ａ
χ＝
ｂ
２ａ
−ｂ±
±
５
１
χ＝−
３
３
５
１
２５
の２乗
を加えて
両辺に の
３
２
３６
χ２＋
左辺を因数分解すると
ｂ ２
ｂ２
ｃ
χ＋
＝
−
２ａ
４ａ２
ａ
右辺を整理して平方根を求めると
ｂ
ｂ２−４ａｃ
＝±
χ＋
２ａ
４ａ２
χ＝−
５
１
χ＋
＝０
３
３
ｂ２−４ａｃ
左辺を因数分解すると
５ ２ ２５
１
χ＋
＝
−
６
３６
３
右辺を整理して平方根を求めると
５
２５−１２
χ＋ ＝±
６
３６
５
を右辺に移項して、右辺を整理する
６
χ＝−
２ａ
ｂ2−４ａｃ
χ＝
２ａ
５
６
±
−５±
１３
６
１２
６
【指導にあたって】
○習得させることが明確にわかるような板書を心がけるとともに、ノ
ートづくりについても丁寧に指導しましょう。
○家庭学習ノートや問題練習ノートを用意させ、授業で習得させた知
識や技能を利用する問題を、時間を制限して繰り返し練習させまし
ょう。
○本時に習得させる内容を具体的な問題レベルで生徒に示しましょう。
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知識・技能を活用した
思考力・判断力・表現力等の育成
「数学的活動」や「課題学習」を指導計画に適切に位置付
ける。
「数学的活動」としてどのような題材を準備すればよいか検討する必要がある。
その際の視点が、今回の学習指導要領に示された。
【例題１】１次関数の利用（既習の数学を基にして見いだし、発展させる活動）
Ｐ 地 点 か ら Ｑ 地 点 に 向 か っ て 、Ａ さ ん が 時 速 ３ ｋ ｍ の 速 さ で 歩 い て 出 発 す る 。
その後、３０分遅れてＢさんが時速６ｋｍの速さの自転車で追いかける。
Ｂ さ ん は 出 発 し て 何 分 後 に 、Ｐ 地 点 か ら 何 ｋ ｍ の 地 点 で Ａ さ ん に 追 い つ く か 。
この問題を提示し、追いつくということは二人の進んだ距離が等しくなること、
すなわち２つのグラフが交わることを指導する。
Ａさんの速さを変えずに、追いつけるためのＢさんの速さや何分まで遅れて
出発できるかをＰ地点とＱ地点の距離から判断させる。
Ｂさんの運動をボールの加速度運動に変え、同時に出発することとすると、３年
生 の ２ 乗 に 比 例 す る 関 数 の 利 用 に も 活 用 で き る 。 そ の 際 、 Aさ ん の 速 さ を 変 え る な
どして、与えられたグラフを見ただけで解決できない条件設定も考慮する必要があ
る。
【グラフを見て解決できる】
【グラフを見ただけで解決できない】
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【例題２】１次方程式
※ ［ 長 崎 県 教 材 事 例 「 時 計 の 長 針 と 短 針 」］ よ り
５時から５時３０分の間で、時計の長針と短針の角度が９０゜になる時刻は
５時何分何秒か求めなさい。
ただし、割り切れない場合は、小数第一位を四捨五入して一の位までの近似
値で表しなさい。
＜弘樹さんの考え＞
①
時計の長針と短針は、それぞれ１分間でどれだけ進むか求める。
長針は６０分で３６０゜進むから、１分間では
短針は６０分で３６０゜の
1
進むから、
12
１分間では、３６０×
②
３６０×
１
＝６だから６° 進む
６０
１
１
１
１
×
° 進む
＝ だから
１２
６０ ２
２
５時の長針と短針の角度とその後１分間で何度ずつ小さくなるか求める。
５
＝１５０だから１５０°
１２
１
１１
１１
＝
だから
゜ずつ小さくなる。
１ 分 間 で 、 ６−
２
２
２
５ 時 の 長 針 と 短 針 の 角 度 は 、 ３６０×
③
長針と短針の角度が９０゜になるには５時から何分後か求める。
９０゜になるには、１５０−９０＝６０゜小さくなるときだから、その時間は、
６０÷
④
１１
１２０
＝
分となる。
２
１１
答 え を 求 め る 。（ 略 ）
弘樹さんの考えを聞いた由樹さんは、弘樹さんと次のような会話をしました。
由樹さん
「なるほど、そう考えるとうまく解けるわね。弘樹さんの考えを聞いて、長
針や短針が１分間で進む角度がわかったよ。私は、５時χ分に長針と短針
の 角 度 が ９ ０ ゜ に な る と し て 方 程 式 を つ く っ て 解 い て み る わ 。」
弘樹さん
「そうか。方程式を利用しても解けそうだね。５時３０分から６時の間にも
長針と短針の角度が９０゜になるときがあるので、今度は、方程式を利用
し て 解 い て み る よ 。」
方程式を利用せずに解いた＜弘樹さんの考え＞を例示し、その考え方について全
員で検討した後に、弘樹さんと由樹さんの会話から１次方程式を利用して解かせ、
方程式のよさや途中の計算の意味について＜弘樹さんの考え＞と比較しながら理解
させる問題である。
この指導において、日常生活でよく目にする時計を題材にし、方程式を利用すれ
ば能率的に解決できることを実感させる活動に重点を置けば「日常生活や社会で数
学を利用する活動」であり、＜弘樹さんの考え＞を自分なりに説明させたり、方程
式の解き方と比較して気付いたことを説明させたりする活動に重点を置けば「説明
し伝えあう活動」である。
【指導にあたって】
○命題の「逆」や「裏」等を考えたり、条件を変えたり、数学史など
を活用したりして「数学的活動」を積極的に仕組みましょう。
○ 「 相 違 点 は 何 か 」「 根 拠 は 何 か 」 な ど の 、 比 較 や 類 推 、 帰 納 な ど の
考えるための具体的な視点や、根拠を数学的な表現で説明すること
などをきめ細かに指導していきましょう。
中数 - 7 -
学習意欲の向上
「 わ か っ た 」・「 で き た 」・「 役 に 立 っ た 」 こ と を 実 感 さ せ る 。
授業では
□本時のねらいを絞り込み、具体的な問題解決の方法や必要な技能を確実に
習得させましょう。
そのために、
①本時の学習でできるようにならなければならない具体的課題を提示し、
本時のねらいを自覚させましょう。
②教師が指導すること、ペア学習やグループ学習などの学習形態で生徒同
士で教え合わせること、全体で練り合わせることなどを明確にしておき
ましょう。
③習熟の程度に応じたレベルの違う評価問題を用意し、個々の生徒に自分
の理解度を客観的に把握させましょう。
それとともに、チャレンジすること、自分を高めることに取り組ませ、
教師の称賛の声かけにより、一人一人の生徒の自己肯定感を高めさせま
しょう。
□ 数 学 的 活 動 や 課 題 学 習 に 積 極 的 に 取 り 組 み 、「 数 学 の よ さ 」 を 実 感 さ せ ま
しょう。
そのために、
①数学的活動を通して、数学を学ぶことのおもしろさや考えることの楽し
さ、数学の必要性や有用性を実感させましょう。
②生徒自身に目的意識を持たせ、主体的に数学的活動に取り組ませ、レポ
ートにまとめさせるなどして、その成果を振り返らせましょう。
③②で作成したレポート等を利用して、課題解決のポイントや課題解決に
苦労した点などを互いに発表させ、数学的活動の成果を共有させましょ
う。
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家庭学習や放課後等の学習では
□「計算技能検定」や「数学検定」などを実施し、目的を持って学習させま
しょう。
そのために、
①学校全体として、独自の検定制度などに取り組むための体制づくりに取
り組んでみましょう。
② 数 学 検 定 の 検 定 問 題 と し て 、「 長 崎 県 学 力 向 上 『 教 材 事 例 』」（ 長 崎 県 教
育センターのｗｅｂページに掲載）も活用しましょう。
□家庭学習の方法や内容についてのガイダンス的なマニュアルを示し、継続
させましょう。
そのために、
①授業用のノートとは別に問題練習用のノートを用意させ、定期的に点検
し赤ペンを入れましょう。
②教科書を読んで、意味がわからないところに線を引かせたり、教科書の
【例題】の問題から解法までをノートに写させたりするなどの予習や、
授業中に解けなかった問題を再度解き直すなどの復習の仕方を具体的に
指導し、家庭学習の習慣化を図りましょう。
【指導にあたって】
○「できた」ことを具体的に示し、称賛のメッセージを与え続けまし
ょう。
○教師自らが「数学のよさ」を実感し、数学を楽しむ姿勢で授業に臨
みましょう。
中数 - 9 -