被験者内反復測定による真値のベイズ推定

日心第71回大会 (2007)
被験者内反復測定による真値のベイズ推定
奥村太一
（東京大学大学院教育学研究科）
Key words : 真値のベイズ推定，反復測定，MCMC
問題と目的
心理検査等における測定の信頼性が低い場合，得られた素点
をそのまま分析に使用することは相関の希薄化など望ましく
ない現象をもたらすことが知られている（Allen & Yen, 1979）
。
Watanabe(1984) は，折半法を想定した状況の下で真値間の
単回帰の問題を考えているが，真値の推定に関しては言及し
ていない。しかしながら，真値の推定値を利用できればさら
に複雑な統計解析に応用することも可能であると考えられる。
本研究では，被験者ごとに任意回数の反復測定を行うことに
より真値のベイズ推定を行う方法を提案する。
モデル
j 番目の被験者の i 回目の測定値を xij とする（ただし，
j = 1, . . . , J; i = 1, . . . , nj とする）
。測定値 xij は j 番目の被
験者の真値 tj と誤差 eij によって構成されているとする。
xij = tj + eij ,
eij ∼ N (0, σ 2 )
(1)
さらに，j 番目の被験者の真値 tj は全体平均 µ と j 番目の被
験者における偏差 uj から構成されているとする。
t j = µ + uj ,
uj ∼ N (0, τ 2 )
(2)
このモデルは階層的線形モデル (hierarchical linear models;
HLM) の最も基本的な one-way ANOVA モデルに相当する
（Raudenbush & Bryk, 2002）。このモデルについて各母数の
ベイズ推定値を解析的に求めるのは困難であるため，Gibbs
sampler（Seltzer, Wong, & Bryk, 1996）を用いることにする。
事後分布
各母数の同時事後分布は以下のように表される。
J
J
Y
Y
p(t, µ, τ 2 , σ 2 |x) ∝
p(xj |tj , σ 2 )
p(tj |µ, τ 2 )
j=1
(3)
j=1
τ2
,
τ 2 + σ 2 /nj
PJ
−1
j=1 ∆j x̄.j
,
µ̃ = PJ
−1
j=1 ∆j
à J
!−1
X −1
D̃ =
∆j
,
(10)
Λj =
(11)
(12)
j=1
2
∆j = τ + σ 2 /nj
(13)
とする。
シミュレーションと考察
真値および測定回数を Table 1 のように定め，それぞれの
デザインについてデータセットを 1,000 個発生させ，ベイズ
推定（FB）と最小 2 乗推定（LS：素点の単純平均）の 2 通り
で真値の推定を行った。
Table 1
Simulation Design
Person
1
2
3
4
True score
Frequency (Design1)
Frequency (Design2)
10.00
1
1
10.00
1
1
10.00
2
4
10.00
2
4
Table 2 に 2 通りの推定法で得られた真値の推定値に関す
る平均 2 乗誤差 (mean squared error; MSE) を示した。
Table 2
Mean Squared Error (MSE)
Person
1
2
3
4
Design1
FB
LS
0.534
0.973
0.583
1.043
0.324
0.465
0.351
0.517
Design2
FB
LS
0.444
1.019
0.428
0.984
0.170
0.236
0.185
0.255
× p(σ 2 )p(τ 2 )p(µ)
ただし各母数の事前分布については，p(σ 2 ) ∝ σ −2 ，p(τ 2 ) ∝
τ −2 ，p(µ) ∝ const. としておく。
Gibbs sampler
Gibbs sampler では，以下のステップを各母数の値を更新
しながら繰り返せばよい。
tj ∼ N (t̃j , Ṽj )
µ ∼ N (µ̃, D̃)
Ã
!
N
1
2
∼ Γ a = , b = PJ Pnj
2
σ2
2
i=1 (xij − tj )
j=1
Ã
!
J
1
2
∼ Γ a = , b = PJ
2
τ2
2
(t
j=1 j − µ)
(4)
(5)
(6)
(7)
ただし，
t̃i = Λj x̄.j + (1 − Λj )µ,
1
Ṽj = 2
,
(σ /nj )−1 + (τ 2 )−1
今回提示したベイズ推定法では，単純な最小 2 乗推定より
も全体的に MSE が小さかった。また，ベイズ推定法では 1
回しか測定を行っていない被験者についても他の被験者の測
定回数を増加させると MSE が著しく減少していた。これは，
ベイズ推定では最小 2 乗推定と異なりデータ全体の情報が個
人の真値の推定に利用されているためと考えられる。
(8)
(9)
引用文献
Allen, M. J., & Yen, W. M. (1979). Introduction to measurement
theory. Long Grove, IL: Waveland Press.
Raudenbush, S. W., & Bryk, A. S. (2002). Hierarchical linear models: Applications and data analysis methods (2nd ed.). Thousand
Oaks, CA: Sage.
Seltzer, M. H., Wong, W. H., & Bryk, A. S. (1996). Bayesian analysis in application of hierarchical models: Issues and methods.
Journal of Educational and Behavioral Statistics, 21, 131-167.
Watanabe, H. (1984). Regression between true scores. Japanese
Psychological Research, 26, 154-158.
(OKUMURA Taichi)