講義ノート29～32

いろいろな状態変化
一定量 n ［mol］の理想気体の状態変化を， pV = nRT を用いて考えてみる。
今から考える状態変化は，“熱平衡状態を崩さない程度にゆっくりと”
変化させる。
≪温度は均一，濃度や圧力も均一，外部と力もつり合う≫
・・・準静的変化
気体分子の運動は（人間の感覚から見て）非常に速いので，
準静的変化が，人間の目で見てゆっくりであるとは限らない
エンジンやエアコンのピストン運動は非常に速いが，ここで
学ぶ内容は，それらを考えるときに十分役に立つ
理想気体の等温変化・・・温度 T を一定に保ち変化させる（ ∆T = 0 ）
pV = nRT = 一定 （ n ， T が一定）
∴ pV = 一定
・・・ボイルの法則
圧力と体積は反比例
V=
a
p
（a は比例係数）
p
m
p1
計算には
p1V1 = p 2V2
の形で考えるとよい
p
2p
V
V
2
p2
O V
1
問 温度一定で，圧力 p を
2m
V
V2
1
倍にすると，体積 V は何倍になるか。
2
圧力 p と体積 V は反比例するから，体積 V は２倍になる。
問
ピストン付きシリンダー容器に，圧力 p1 = 1.0 × 10 [Pa]，体積 V1 = 1.0［m3］
5
の気体を閉じ込め，温度を一定に保ったまま，体積を V2 = 0.010 ［m3］まで
圧縮した。圧縮後の気体の圧力 p 2 を数値で求めよ。
p1V1 = p 2V2 より
→
p2 =
p1V1 1.0 × 10 5 [Pa] × 1.0 [m 3 ]
=
= 1.0 × 10 7 [Pa]
3
V2
0.010 [m ]
29
理想気体の定積変化・・・体積 V を一定に保ち変化させる（ ∆V = 0 ）
p nR
=
= 一定 （n，V が一定）
T V
∴
p
= 一定 ・・・アモントンの法則
T
圧力と絶対温度は正比例
一定で変化しない量を右辺に，
変化する量を左辺に集める
p = aT
（a は比例係数）
定積変化の p-V グラフ
p
p
p1
p2
O
O
T1
− 273 [°C]
T2
V2
V
T [K]
p
p
計算では 1 = 2 の形で考えるとよい
T1
V1
p
2p
T2
T
2T
問 体積一定で，（絶対）温度 T を３倍にすると，圧力 p は何倍になるか。
（絶対）温度 T と圧力 p は正比例するから，圧力 p は３倍になる。
問
体積が変化しない容器に，圧力 p1 = 1.0 × 10 5 [Pa]，セ氏温度 t1 = 27 ［℃］
の気体を閉じ込め，温度が t1 = 177 ［℃］になるまで温めた。昇温後の気
体の圧力 p 2 を数値で求めよ。
p1 p 2
=
より
T1 T2
→
p1T2 1.0 × 10 5 [Pa] × (177 + 273) [K]
p2 =
=
= 1.5 × 10 7 [Pa]
T1
(27 + 273) [K]
理想気体の定圧変化・・・圧力 p を一定に保ち変化させる（ ∆p = 0 ）
V nR
=
= 一定 （n，p が一定）
T
p
∴
V
= 一定 ・・・シャルルの法則
T
30
一定で変化しない量を右辺に，
変化する量を左辺に集める
V = aT
（a は比例係数）
体積と絶対温度は正比例
定圧変化の p-V グラフ
V
p
V1
p2
p1
V2
O
O
T1
− 273 [°C]
T2
V
V
計算では 1 = 2 の形で考えるとよい
T1
V
T
2V
V
T2
T
2T
1
問 圧力一定で，（絶対）温度 T を 倍にすると，体積 V は何倍になるか。
3
1
（絶対）温度 T と体積 V は正比例するから，体積 V は 倍になる。
3
問
ピストン付きシリンダー容器に，体積 V1 = 1.0 [ｍ3]，セ氏温度 t1 = 27 ［℃］
の気体を閉じ込め，温度が t1 = 327 ［℃］になるまで温めた。昇温後の気体の
体積 V2 を数値で求めよ。
V1 V2
=
より
T1 T2
→
V2 =
V1T2 1.0 [m 3 ] × (327 + 273) [K]
=
= 2.0 [m 3 ]
T1
(27 + 273) [K]
ピストンが気体にする仕事
なぜ状態変化を p-V グラフに書くのか
⇒
断面積 A［m2］
「気体にする仕事」と関係している
ピストン付きシリンダー容器
ピストンを動かす
⇒
F［N］
p［Pa］
一定量の気体を封入する
収縮 または 膨張
ピストンに外から加える力の大きさ F と，
気体が内部から押す力の大きさ p ⋅ A は，
つり合っている（平衡状態）
31
F = p⋅ A
ピストンの移動（膨張）
s ［m］
ピストン（に作用する外力 F ）が気体にする仕事
・定圧変化の場合
膨張させるとき：体積変化 ∆V = A ⋅ s > 0
力 F の向きとピストンの移動方向 s は逆（ θ = 180° ）
W = F ⋅ s ⋅ cos180° = pA ⋅ s ⋅ (−1) = p ⋅ ∆V ⋅ (−1)
∴
W = − p ⋅ ∆V
p
［J］
（＝［Pa･m3］
）
p
（ ∆V は体積変化： ∆V = V2 − V1 ）
W
収縮（圧縮）するときも同様に，
W = − p ⋅ ∆V が成り立つ
O
V1
V
V2
仕事の絶対値 W は斜線部分
膨張のとき W < 0 ，収縮のとき W > 0
の面積に等しい
問 ピストン付き容器に封じ込めた気体を，圧力を p = 1.0 × 10 5 ［Pa］（＝1.0
［atm］
）に保ちながら，体積をV1 = 10.0 × 10 −3［m3］からV2 = 1.0 × 10 −3［m3］
（10.0［L］から 1.0［L］
）まで圧縮した。気体にした仕事W を数値で求めよ。
∆V = V2 − V1 = 1.0 × 10 −3 [m 3 ] − 10.0 × 10 −3 [m 3 ] = −9.0 × 10 −3 ［m3］
W = − p ⋅ ∆V = − 1.0 × 10 5 [Pa] × (−9.0 × 10 −3 [m 3 ]) = 9.0 × 10 2 ［J］
・定圧変化ではない一般的な変化の場合
（⇒ 積分の考え方を使う）
①微小変化なら・・・圧力は一定とみなせる
微小仕事は
dW = − p ⋅ dV
②微小変化での微小仕事 dW を足し合わせる
2
W = ∫ dW = − ∫
1
V2
V1
p1
p ⋅ dV
p2
仕事の絶対値 W は斜線部分
の面積に等しい
問
p
右の p-V グラフのように，気体を
状態 A から状態 B まで変化させた。
気体にした仕事 W を求めよ。
1
× (4.0 × 10 5 + 3.0 × 10 5 ) × (5.0 − 1.0) [J]
2
= 1.4 × 10 6 ［J］ ∴ W = − 1.4 × 10 6 ［J］
W
O V
1
V
V2
[Pa]
p
4 × 10 5
3 × 10 5
A
B
W =
32
O
1
5 V [m 3 ]