ゲームの理論による, 経済行動

ゲ ー ム の 理 論 に よ る,経
済行 動
基 準 の研 究
小
目
林
和
司
次
は じめ に
第1節
非協力 ゲーム
1.ゼ
ロ和2人
ゲーム
2.非
協 力n人
ゲーム
ロ}利
②
㈲
第2節
己的均衡点
利他的均衡点
利得の比較
協力 ゲーム
1.利
己 的 協 力n人
ゲーム
2利
他 的 協 力n人
ゲーム
3.利
得の比較
お わ りに
は じめ に
一 般 に 小 規 模 な 未 開 社 会 か ら大 規 模 な社 会 へ の移 行 に お い て は ,人 々の
相 互 依 存 関 係 が よ り複 雑 か つ 広 範 囲 に な り,人 々 の利 害や 期 待 を調 整 す る
た め の メ カ ニ ズ ム の発 達 が 要 請 され る よ うに な る。
平 山 朝 治 氏 の 研 究(1)によれ ば,で き るか ぎ り相 手 の 利 害 を 相 互Y'重
し,
可能 な 限 り相 手 の 期 待 に そ うよ うに ふ る ま う,と い う思 いや りの あ る行 動
(343)181
政経論叢
様 式 は,ま
さ に そ の 要 請 に 答xる
第62巻 第2・3号
も の の う ち の1つ
で あ る。
歴史的 に井,ぞ うレ≒行動様式 塗木桿模 な社会におけ る権力め中心部,
支 配 階 層 の人 々の 間 で 発 達 して き た も の で あ り,文 明 社 会 の 特 色 とみ るべ
き で あ る。
一'
例 え ば 西 欧 に お い て は,そ れ は 絶 対 主 義 宮 廷 貴 族 社 会 にお いて 発 達 した 。
た だ しイ ギ リス以 外 の 西 欧,す なわ ち フ ラ ンスや フ ラ ンス を模 範 と した 諸
国 に お い て は,そ
れ は 社 交 界 とい う閉 鎖 的 集 団 内 部 に 限 定 され て 発 達 し
た。 とい うのは 貴 族 が,台 頭 す る ブル ジ ョワに対 して 文 化 的 優 位 を 維 持 し
よ うとす る傾 向 が 強か った ら で あ る。 と ころ が,イ ギ リスの 貴 族 は フ ラ ン
ス ほ ど閉 鎖 的 で は なか った の で,そ
う した行 動 様 式 は上 昇 志 向 の 強 い 人 々
に も広 ま った 。 産 業 革 命 期 の イ ギ リス の ブル ジ'ヨワ達 の 夢 は,事 業 の 成 功
で 得 た 資 金 で 土 地 を 買 っ て貴 族 の仲 間 入 りを し,社 交 界 に 受 け 入 れ られ る
こ とで あ った 。
他 方,日 本 に お い て もぞ う した行 動 様 式 は,平 安 貴 族 社 会 にお い て 発 達
を み た 。 そ して新 興 階 層 が没 落 しつ つ あ る貴 族 階 層 の 行 動 を まね る とい う
形 で,濃 淡 の差 は あれ 京 都 を 中心 と した全 社 会 に 普 及 し,現 在 に 至 って も
長 期 継 続 的取 引 関 係 を 重 視す る 日本 的慣 行 の 中 に 脈 々 と受 け 継 が れ,お 互
い に 相 手 の期 待 に そ うよ う努 力 す る こ とに よ って 実 現 され る 「和 」 が 重 視
され て い る。
こ う した こ と と,イ ギ リスで 産 業 革 命 が お こ り,日 本 で戦 後 経 済 が繁 栄
した とい う歴 史 的 事 実 を考 え併 せ る と,没 落 貴 族 の利 他 的 行 動 様式 よ りも
新 興 ブル ジ ョ ワの利 己 的行 動 様 式 の方 が 経 済 的成 功 を もた ら した た め に,
新 興 ブ ル ジ ョワの利 己 的行 動 様 式 だ け が 経 済 行 動 と して普 及 した とい う考
え を そ の ま ま受 け 入 れ るわ け に はい か な い。
イ ギ リス に 代 わ って 資 本 主義 を リー ドして きた 米 国 は,貴 族 の い な い 純
粋 ブ ル ジ ゴ ワ社 会 で あ った た め に,た
182(344)
また まそ う した利 他 的 行 動 様 式 が 経
ゲー ムの理論に よる,経 済行動基準の研究
済 行 動 に まで あ ま り普 及 しなか った と考 え られ る。
そ こ で筆 者 は 本 論 文 にお いて,そ
う した相 手 を 思 い や る とい う行 動 様 式
を 利 他的 行 動 基 準 と して ゲー ム の理 論 を 使 って 定 式化 し,新 興 ブル ジ ョ ワ
の行 動 様 式 を ゲ ー ム の理 論 で定 式 化 され て い る利 己 的 行 動 基 準 と して把
え,経 済 行 動 基 準 と して の 観点 か ら利 他 的 行 動 基 準 と利 己 的 行 動 基 準 を 比
較 す る こ とに よ って,利 他 的行 動 基 準 の 経 済 行 動 基 準 と して の重 要 性 を 明
らか に した。
な お,本 論 文 で 扱 うゲ ー ムは す べ て 有 限 ゲ ー ム であ る。
第1節
非協 力 ゲー ム
本 節 では,非 協 力 ゲ ー ムを 定 義 し,そ の ゲー ムに お い て全 プ レイ ヤ ーが
利 己 的 行 動 基 準 に 従 う場 合 と,全 プ レイ ヤ ーが 利他 的行 動 基 準 に 従 う場 合
の 均 衡 点 及 び プ レイ ヤ ー の受 け とる利 得 を 比較 す る。
まず,「 利 他 的 行 動 基 準 」 が 示 す 内容 を 明 確 に す るた め に,一
非 協 力 ゲ ー ム,す な わ ち ゼ ロ和2人
1.ゼ
ロ 和2人
番単純 な
ゲー ムに よ って論 じて い くこ とに す る。
ゲーム
プ レ イ ヤ ー は,1と2の2人
で あ る と す る 。 こ の と き プ レ イ ヤ ー1の
持
つ 純 粋 戦略 の 集 合 を
II、={π11,π
と し,プ
レ イ ヤ ー2の
n,={π
、2,_,π1ノ,...,π ・・、}
.(1-1)
持 つ 純 粋 戦 略 の集 合 を
、、,π22,_,π
・,,...,π・a,}(1-2)
と す る 。 そ し て プ レ イ ヤ ー1の
混 合 戦 略 の 集合 を
51={s:=(ρ11,ρ12,...,ρ1ノ,_.,ρ1鳶1)}(1-3)
と し,プ
(345)183
レ イ ヤ ー2の
混 合 戦 略 の 集 合 を
・
政経論叢
第62巻
第2・3号
S;={s2=(ρ21,ρ22,.,.,p2,,。..,1)2鳶2)}(1-4)
と す る 。 こ こ で,ρ
り は プ レ イ ヤ ー ゴ が 純 粋 戦 略 π」,を と る 確 率 で あ る 。
ゆ え.に
任 意 の ブに対 して
で あ り,か
ρ`∫≧0(∫=1,2)(1-5)
つ
為`
Σp.;=1(Z=1,2)(1-6)
ゴ=1
を 満 た して い る 。
s:とs;の
直積集合を
s=S1×S2(1-7)
と し,Sの
点を
s=(s、,s2)(1-8)
と す る 。 プ レイ ヤ ー1の
利 得 をyと
す る と,ツ
はSの
点5に
よ って 定 ま る
関 数 で あ る 。 す な わ ち,
kk2
y=ノ
てS)=f(s1,s2)=Σ
ΣH(π1例
物
た だ しH(π1向,π2儒,)は,プ
ー2が
、,π2吻)ρ
レ イ ヤ ー1が
純 粋 戦 略
純 粋 戦 略 π2麟,を と っ た と き の プ レ イ ヤ ー1の
そ し て ゼ ロ和7ー
・角 力2餌,(1-9)
置1翅2=1
ム で あ る か ら,プ
レ イ ヤ ー2の
π、m、を と り プ レ イ ヤ
受 け とる利 得 で 挙 る 。
利 得 は(一
の
で 示 され
る。
さ て,上
で 定 義 さ れ た ゼ ロ和2人
ゲ ー ム に お い て 全 プ レイ ヤ ー が 利 己 的
行 動 基 準 に 従 っ て 行 動 す る 場 合,す
な わ ち 「自 分 が で き る だ け 多 くの 利 得
を 受 け と る 」 よ う に 行 動 す る 場 合,ミ
定 理 が 成 立 す る。
定 理1
V,=maxminノ(s1,s2)(1-10)
SS;
184(346)
ニ マ ッ クス定 理 の 名 で 知 られ る次 の
ゲ ー ム の 理 論 に よ る,経
済行動基準の研究
Vx=minmaxメ(s1,S・)(1-11)
おヨ
おユ
と す る と,仏=%で
あ る。
こ の 定 理1に
よ り,
maxmin
.κsl,S;)=f(sl,s…)ニminmaxブ(S.,s2)(1-12)
∫且525251
を 満 た す 点(∫1,s,)は,こ
の ゲ ー ム に お い て,全
動 基 準 に 従 っ て 行 動 し た 場 合 の 均 衡 点(以
下,利
プ レイ ヤ ーが 利 己 的 行
己 的 均 衡 点 と 呼 ぶ)で
あ
る。
そ れ で は,ゼ
ロ和2人
ゲ ー ム に お い て 全 プ レイ ヤ ー が 利 他 的 行 動 基 準 に
従 っ て 行 動 す る場 合 を 考 え る 。 利 他 的 行 動 基 準 と は
「相 手 に で き る だ け 多
く の 利 得 を 与 え る」 あ る い は 「相 手 に で き る だ け 少 な い 損 失 を 与 え る 」 と
い う も の で あ る 。 す な わ ち,プ
くす る よ う にSを
す る よ う にS2を
選 び,プ
レイ ヤ ー2は,ノ
で き るだ け 小 さ
て$1,S2)を
で き るだ け 大 き く
選 ぶ こ とに な る。
さ て プ レ イ ヤ ー1は,ど
対 し て,最
レ イ ヤ ー1は,」(51,S;)を
の よ う な 混 合 戦 略 を 選 ぼ う と も プ レ イ ヤ ー2に
大 でmax∫(S、,S:)だ
け の 損 失 を 与 え る可 能 性 が あ る。 プ レイ
ヨヨ
ヤ ー1が
混 合 戦 略t/SIを
と る と き にmaxノ(s1,s2)が
最 小 値 を と る もの と
52
し,そ
の 最 小 値 をVと
す る と,
Vi=min皿axf(S:S;)=max∫(sI',s2)(1-13)
515252
が 成 立 す る。
他 方 プ レ イ ヤ ー2は,ど
対 し て,少
の よ う な 混 合 戦 略 を 選 ぼ う と も プ レ イ ヤ ー1に
な く と もminノ
て51,S,)だ
け の 利 得 を 与 え る こ と が で き る。 プ
おユ
レ イ ヤ ー2が
混 合 戦 略
ε…'を と る と きVim..min}(S,s2)が
最 大 値 を とる もの
51
と し,そ
の 最 大 値 を%と
す る と,
V2=maxminf(s1,s2)=minf(s1,S;')(1-14)
5251S7
が 成 立 す る。 この と き,定 理1に
(347)・185
相 当 す る定理 が 成 立 す るO
政経論叢
第62巻
第2・3号.
定 理1'
Vi=minmax∫(St,s2)(1-15)
∫152
y皇=maxmin.t(sl,S2)(1-16)
52S
とす る と,Vi=V2で
あ る。
定 理1'を 証 明 す る に あ た り,補 助 定 理 を 出 して お く 。
補助定理 ω
々1
ΣH(π1噸
π2餌,)ρ1鱒1≦0(翅2=1,_,ん2)(1-17)
m,=1
を 満 た す ベ ク トルs・
が 存 在 す る か,
k2
ΣH(π
・m、,π・m,)p・n,≧0(m・=1,_,k,)(1-18)
翅2=1
を 満 た す ベ ク トルSsが
存 在 す る か,少
な くと も どち らか 一 方 が 必 ず 成 立
す る。
定 理1'の 証 明
(1-17)が
成 立 す る と き,
々1
maxΣH(7Clm、,π2"2)ρ1那
〃霧2m=1
、≦0(1-19)
が 成 立 す る 。 と こ ろ がViは,
Vi=minmax∫(Sl,Ss)
51S;
=minmax
.f(S1,π2粥2)
S1〃32
k
=minmaxΣH(π1儒
1,π2賜,)p、
51m2切1=1
と変 形 で き る(3)。 ゆ え に(1-19)よ
り,
V;≦0(1-2])
と な る 。 他 方(1-18)が
186(348)
成 立 す る と き,
励、(1-20)
ゲームの理論 に よる,経 済 行動基 準の研 究
ゐ2
minΣH(π1殉,π2甥2)命
餌2≧0(1-22)
m,mZ=]
が 成 立 す る 。 と こ ろ が%は,
yを=maxminf(51,S;)
5;S1
=maxminf(π1儒
1,S2)
S2m,
ゐ2
=maxminΣ.厚(π1那
1,π2吻)ρ2吻(1-23)
S2m,m;=1
と 変 形 で き る の で,(1-22)よ
り
V;≧0(1-24)
と な る。
こ こ で 補 助 定 理 よ り,(1-17)と(1一
と はあ
ユ8)が
同 時 に 成 立 しな い とい う こ
り得 な い こ と が わ か る 。 つ ま り,(1-21)と(1-24)よ
V;>0カ
り
、つV;<0(1-25)
とは な らな い の で あ る。
今 度 は 任 意 の 数 ω を 選 び,利
得H(π1購
、,π2溺2)を{H(elm、,π2餌2)一
ω}
と 置 き 換 え て み る 。 す る と1(St,S2)は,
kk;
f(S1,S2)=Σ
Σ{H(π1儒1,π2。
、)一u}p・m、
ρ・m、
m=1m2=]
k,k;
=Σ
ΣH(π1郷Pπ2蹴,)ρ1働1ρ
・m、
簡=lm;=l
kk;
一 ω
Σ
・Σ
ρ1励"ρ
・n,
吻1=1翅2旨1
=1てS
.,S2)一
ω(1-26)
kk;
∵
Σ
Σ
ρ1卿1,ρ2励,=1
加1=1翅2=1
と 置 き 換 え られ る 。 そ こ でV'と%は
そ れ ぞ れ(v;一
に よ っ て 置 き 換 え ら れ る こ と に な る。 従 っ て(V;一
(349)187
ω)と(%一
ω)と(s-m)に
ω)
政経論叢
(1-25)を
第62巻
第2・3号
あ て は め る と,
V;〉
ω>V;(1-2i)
と は な:ら な い こ と が わ か る 。
今 仮 にV;〉
瑞
で あ る と す る と,(1-27)を
満 た す ωが 存 在 す る こ とに
な り 矛 盾 。 ゆ え に,
V;≦V;(1-28)
が 成 立 す る 。 と こ ろ が,任
意 のs,',S;'に
max∫(s,',52)≧f(r$1',S;つ
対 し て,'
≧min}(S:,S;')(1-29)
3251
が 成 立 す る の で,(1-13)と(1-19)よ
り,
V;≧yを(1-30)
が 成 立 す る。
従 っ て(1-28)と(1-30)よ
りV;=V2と
こ の 定 理1'と(1-29)よ
な る 。(証
明終 わ
り)
り,
maxf(s,',S2)=f(.,s,,s2')=min
.t(s1,5;')(1-31)
S2S1
が 成 立 す る 。 さ ら に(1-31)は
任 意 のs、,S2に
対 して
ノ「(.,s,,S2)≦
ノてS1,,s;,)≦ノ「(s1,s;ノ)(1-32)
が 成 立 す る こ と と 同 値 で あ る。
従 っ て プ レ イ ヤ ー1に
と っ て き た 場 合 に は,s,'が
と っ て は,相
な っ て い る し,プ
略sγ
手(プ
レ イ ヤ ー2)が
混 合 戦 略s2'を
利 他 的 行 動 基 準 に 照 ら して 最 善 の 混 合 戦 略 と
レイ ヤ ー2に
と っ て は,相
を と っ て き た 場 合 に は,s;'が
手(プ
レ イ ヤ ー1)が
混合戦
利 他 的 行 動 基 準 に 照 ら して 最 善 の 混
合 戦 略 と な っ て い る こ とが わ か る。 す な わ ち 点(sγ,S;')は,こ
のゲーム
に お い て 全 プ レ イ ヤ ー が 利 他 的 行 動 基 準 に 従 っ て 行 動 した 場 合 の 均 衡 点
(以 下,利
188(350)
他 的 均 衡 点 と呼 ぶ)で
あ る 〔4)。
ゲ ー ム の 理 論 に よ る,経
2.非
協 力n人
済行動基準の研究
ゲ ー ム
で は 以 上 の 結 果 を よ り一 般 的 な 非 協 力 π 人 ゲ ー ム に あ て は め て み る こ と
に す る。
標 準 形 に よ る%人
ゲ ー ム を 考 え,プ
レイ ヤ ー
∫ の持 つ純 粋戦 略 の 集 合
を,
n;={π`1,πi2,...,n;,,...,π
蒲」}(1=1,.。.,n)(1-33)
と す る 。 そ し て プ レ イ ヤ ー ゴの 持 つ 混 合 戦 略 の 集 合 を
S;={S=(p.,ρ
とす る。 こ こで
」2,...,p+.,...,p..,)}(ゴ==1,...,n)(1-34)
ρ`ノ は プ レ イ ヤ ー ゴが 純 粋 戦 略
πり を と る 確 率 で あ る 。 ゆ
え に
任 意 の ブに 対 して
ρ`,≧0(2=1,...,n)(1-35)
であ
り,か
つ
坐 ρ。一 ・(i一 ・,…,n)(・
一36)
'=1
を満 た して い る。
次 にS;の
直 積 集 合 を
S=S:×82×...×sn(1-37)
Sの
点 を
sニ(s、,ε,,_,s.)(1-38)
と す る 。 プ レ イ ヤ ー2の
利 得 をy`と
す る と,y.はSの
点Sに
る関 数 で あ る。 す なわ ち
k,k5ゐ
y.=f(S)=・f.(s1,s2,_,s・)=Σ
H,(π1鎚1,π2伽2,,..,π
(351)189
π
Σ
ml=1m;=1m,.=1
■卿")ρ1"、 ρ2卿E_ρ
…
Σ
圃溺.(1-39)
よ って定 ま
政 経 論 叢i .第62巻
た だ しHl(π
粋 戦 略
・m,π2晩,_,π
π、町,π2吻,,_,π
従 っ て 弄(5)と
。隔)は,プ
。賜,を
レ イ ヤ ー1,2,_,nが
利 得 で あ る0
い う集 合 で 定 義 さ れ た 実 数 値 連 続 関 数
の 実数
ρ1殉,ρ2",,...,ρ
あ る 。 さ ら に 各 混 合 戦 略 の 集 合s;は
集 合 で あ る か ら,そ
そ れ ぞ れ 純
と っ た と き の プ レ イ ヤ ーzの
い う 関 数 は,sと
で あ る 。 そ し て そ れ はn個
第2・3号
胴.に
関 し て1次
関 数 で
ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る 有 界 閉 凸
の 直 積 集 合 で あ るSも
ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る 有 界
閉 凸集 合 で あ る。
さ て 便 宜 の た め に,(n-1)個
のS,の
直 積 集 合,及
び そ の 点 を 次 の よ う
に 表 わ す こ と に す る。
S≡S,×_×S,一,×s+1×...×S∴(1-40)
S,≡(S;,...,S;_i,S;+1....,S.)(1-41)
そ し てSの2目
の 成 分 をt;で
置 き換 え た点 を
(S;,t;)5≡(S;,...,S;_1,t,S.+1,...,$n)(1-42)
と表 わ す こ とに す る。
こ の 非 協 力 η 人 ゲ ー ム が ゼ ロ 和 ゲ ー ム と な る の は,
れ
任 意 のSに
対 し て,
Σf(S)=0・(1-43)
:_:
が 成 立 す る と き で あ り,定 数 和 ゲ ー ム と な る の は,
任 意 のSに
対 して
Σf(S)=C(定
数)(1-44)
i=1
が 成 立 す る と きで あ る。 変動 和 ゲ ー ム の場 合 に は,付 加 条 件 は な い 。
(1)利
己的 均 衡 点
さ て ・ ・の よ うに 定義 され た 糊
は,ゲ
!9C
功
人 ゲ ー ム に お ・・て 利 己 的 均 衡 点
ー ム の 理 論 に よ り次 の よ う に 定 義 さ れ て い た 。
..
、(352)
ゲー ムの 理 論 に よ る,経 済 行 動 基 準 の研 究
5の 点S*=(s,,S;,_,$n/が
次 の 条 件 を 満 た す と き,こ
の 点 を 非 協 力n
人 ゲ ー ム の 利 己 的 均 衡 点 と い う。
J1(S*)=maxカ(s,S:)
ヨ
エ
12(S*)=max乃(S;,S・)
し㈹三
諦_
∫π
以 上 ま と め て,(1-45)
そ し て こ の 利 己 的 均 衡 点 に 対 して 次 の 定 理 が 成 立 し て い た 。
定 理2
有 限 な 非 協 力%人
ゲ ー ムに は,利 己 的 均 衡 点 が,混 合 戦 略 の範 囲 で少 な
く と も1つ 存 在 す る。
(2)利
他的均衡点
そ れ で は 次 に,非
協 力 π人 ゲ ー ム にお い て利 他 的 均 衡 点 を 次 の よ うに定
義 す る。
Sの 点S*'=(S7,.,s2,_,s診
が 次 の 条 件 を 満 た す と き,こ
の点 を 非 協 力
π 人 ゲ ー ム の 利 他 的 均 衡 点 と い う。
五(S*')=minf,(51',51)
お
乃(S*')=minfs(鰐,S2)
お し㈹ 』m㎞_
5π
以 上 ま と め て,(1-46)
上 の 定 義 に お い て,〃
に 求 め た ゼ ロ和2人
ゴ2の
と き の ゼ ロ和 ゲ ー ム の 利 他 的 均 衡 点 は,先
ゲ ー ム の 利 他 的 均 衡 点 に 一 致 す る(5)。8'
そ して こ の 利 他 的 均 衡 点 に つ い て は,定
(353)'19]
理2に
相 当 す る定 理 が 成 立 す
政 経 論 叢,第62巻
第2・3号
る。
定 理2'
有 限 な 非 協 力 〃 人 ゲ ー ム に は,利
く と も1つ
他 的 均 衡 点 が,混
合戦略の範囲で少 な
存在 す る。
定 理2の
証 明 に な ら っ て(6》,定 理2'を5段
定 理2'の
証 明
(i)s,。..,S.及
びSS;は
階 に 分 け て 証 明 す る。
い ず れ も,ユ
ー ク リ ッ ド空 間 に お け る コ ン
パ ク トな 凸 集 合 で あ る 。
(u)s;(2=1,2,_,y)の
任 意 の1点S,が
に す る よ う なs;の
与 え ら れ たS;に
点S;の
与 え ら れ た と き,弄(∫)を
集 合 をS;(S;)と
最 小
す る 。 す な わ ちs;(S;)は,
対 す る プ レ イ ヤ ー ゴの 最 善 混 合 戦 略 の 集 合 で あ る 。
従 っ て,
s;(S,)={s,;S,∈S,,f(S;,S.)=min.f(S;,S.)}(1-47)
S;
こ の よ う なS`の
部 分 集 合S'.(S;)がS,の
ま る 。 こ れ ら の 集 合 は,す
ら ぽ,利
得 関 数 ノ'の1次
属 す る か ら,こ
㈹
べ て 空 で な く,か
性 に よ り,そ
の 凸1次
属 す る 無 限 系 列S},S穿,...を
を 考 え る と,f(S,,S,)はS;に
(S;,s;)と
つ2点
がS;(S;)に
対 応 して 定
属 す る な
結 合 も ま た 同 一 のS;(S,)Y'
の 集 合 は 凸 集 合 で あ る。
今S;(S;)に
f.(S;,sっ
す べ て の 点Sに
す る と,S;→.,s;の
と り,S;→.,s;と
す る 。f.=
関 し て 連 続 で あ る か ら,f:'=.f.
と きf"→f"で
あ る。 従 っ て
一Tt/
」1(S,S;')=minf.(S;,S.)(1-48)
S{
が 成 立 し,a$(はs(S;)に
(iv)Sの
像 をgと
192(354)
任 意 の1点sが
す る と,・
属 す る 。 従 っ てs;(S;)は
与 え ら れ た と き,各
閉 集 合 で あ る。
成 分S,をS;(S.)に
移す写
ゲ ー ム の 理 論 に よ る,経
済行動基準の研究
g(S)=g(s1,S2,...,S,)=:(s;(51),5を(52),.。.,S;(5露)}(1-49)
と 表 わ さ れ る 。 こ の 写 像gは,Sか
らそ の 部 分 集 合 族 へ の点 対 集 合 の写 像
で あ る。
そ の 像
〔S;(s1),SE(S;),..,,S;(ξ
を 考 え る と,閉
凸 集 合s;(St)の
あ る 。 こ の よ う に,こ
g(S)の
㌔)}(1-50)
のSか
直 積 集 合 で あ る か ら,や
ら5の
像 が 閉 集 合 で あ る と きBは
(v)角
谷 の 不 動 点 定 理 よ り,写
不 動 点 をS*'と
は
り閉 凸 集 合 で
部 分 集 合 の 族 へ の 点 対 集 合 の 写 像S→
上 半 連 続 で あ る と い う。
像8Pに
は 不 動 点 が 存 在 す る 。 従 っ て,今
す る と,
s*'∈g(s*')(1-51)
(sγ,Ss',_,s努)∈g(81',s;',_,s郭)(1-52)
従 っ て,す
べ て の ゴに 対 して
S'∈S.(S言').(1-53)
∴f(S*')=minf,(S言'S.)(1-54)
SS
が 成 立 し,F利 他 的 均 衡 点 の 条 件(1-46)を
s*'は
利 他 的 均 衡 点 と な る 。 従 っ て,こ
満 た して い る 。 す な わ ち 不 動 点
の ゲ ー ムY'は 少 な く と も1つ
利他
的 均 衡 点 が 存 在 す る。
(証 明 終 わ り)
(3)利
得の比較
そ れ で は,非 協 力 π人 ゲ ー ムに お い て,全
プ レイ ヤ ー が利 己的 行 動 基準
に 従 って 行 動 す る場 合 の ゲ ー ム(以 下,利 己 的 ゲ ー ム と呼ぶ)と 全 プ レイ
ヤ ーが 利 他 的 行 動 基 準 に 従 っ て行 動 す る場 合 の ゲ ー ム(以 下,利
他 的 ゲー
ム と呼 ぶ)・とで ジ プ レイ ヤ ー が受 け とる利 得 に どの よ うな差 が あ るか を考
察 す る。
(355)ユ93
政 経 論 叢.第62巻
(i)`ゼ
ロ和(定
数 和)ゲ3ム
非 協 力 ゼ ロ和n人
S*'と
第2・3号
・
旨『
の 場 合'.'
ゲ 門 ム に お け る 利 己 的 均 衡 点 をS*,利
す る と,(1-43)よ
他的均衡点を
ね
り,
ね
ヨ 、カ(s*)=ζ
、f+Cs*,._,..、..
が 成 立 す る 。 従?て,利
,.、
・,・(1-55)
己 的 ゲ ー 呑 で も利 他 的 ゲ ー み で も,全
プ レイ ヤ ー
の 受 け と る 総 利 得 は 等 し い こ と が わ か る。
定 数 和 ゲ ー ム に お い て:も(1-44)よ
和 ゲ7ム
り,.(1-55)が
成 立 す る の で,・ ゼ ロ.
と 同 じ 結 論 を 得 る。,・..'
(ii)変 動 和 ゲ ー ム の場 合
非 協 力 変 動 和2人
ゲ ー ムの 利 弓 的 均 衡 魚 群 炉 満 た す 条 件 に」(1-45)よ
ロ
り
'{
f=(S*)ニmaxカ(S,S1):
雄)一
面s2
嗣
、
以 ギ ま と めZ,(1-56)
で あ る げ こ れ を 書 き 換 え る と,.
ゐ(S1,S;)=maxカ(G・,S;)
ヨ
・
』1・S;
{f2(S1,S…)ニmax乃(s,,s・)
以 上 ま と め て,(1-57)
と な る が,さ
らY'(1-57)は
騰:燃 ギ…
;以
と同値 で あ る。
'199('356)
上 ま とめ て
,(1-59)
ゲ ー ムの 理 論 に よ る.'経 済 行 動 基 準 の 研 究
同 様 に して,非
協 力 変 動 和 人2ゲ
ー7み の 利 他 的 均 衡 点s紡
が満たす条件
を
ま,」(11「
一46)よ り
{惣1麟
以 上 ま と め て,(1-59)
と卸
.
う・
さて今 ・非協 力変動和2人 ゲームの利得表 が黒体畔
られ て い る と す る(T:。 表1に
お い て()内
表ゆ
の 左 側 の 数 は,プ
よ うに歌
レイ ヤ ー1
の 受 け と る利 得 を 表 わ し,右 側 の数 は プ レイ ヤ ー2の 受 働 ≒矯利 得 を豪 わ
す・幽
薩L似
礼1)1は
・イ ヤ ー2が 純 職
・・
ズ レ・
貌 ㌣1鋼
略7021を と・ μ
枠郷
π確
きの各 プvイ ヤ ー9輯
と ρ・ プ
と る牙彫
示 しμ'る ・
表1
π21π22'
2人
…(…)∵
、
卜(一
・ ・一一1ケ
π12(一1,`一
ユ ・) ,『 ・.:.㍗'(・1:ユ,'12)'
割
の プ レ イ ヤ ー が 共 に 利 己 的 行 動 基 準 に 従 っ て 行 動 す る 場 合,.
1s:=(1,0),Ss=(1,0)',:.(1-60)
と お く と,表1よ
り2
/C1(S,s;)=2,f(SuS2)=11(1-61)
で あ っ て,プ
レ イ ヤ ー1の
・F(p,,1一
任 意 の 混 合 戦 略
ρ1)(0≦p・
≦1)、 苧(1-62)
に 舛 レ歪
プ㍉(s1,S2)=2ρ1一(1一
(6与 η4艶
ρ1)=3ρ1-1≦2(1丁
β$)一・
.政 経 論 叢.・ 第62巻
で あ る の で,(1-61)よ
ノ1(SLS)≧
り任 意 のs・
第2・ ・3号
に対
して
プ:1(s1,Ss)(1-69)
が 成 立 し て い る。
他 方,プ
レ イ ヤ ー2の
任 意 の 混 合 戦 略
㌧
5、=(p,,7-p,)(0≦p,≦1)'』'(1-65)
に対 して
ノ:2(S,S;)=」
ク2一(1-p2)=:2ρ2-1≦1(1-66)
で あ る の で,(1-61)よ
り 任 意 のS,に
対 して
」2(s',S;)≧f(s!,S2)`-'(1-6i)
が成 立 して い る。
ゆ え に(1-58)『
』
よ り,(1-60)で
示 さ れ る 点 は 利 己 的 均 衡 点 で あ り,そ
め と き 各 プ レ イ ヤ ー の 受 け と る 利 得 は(2,1)で
次 に2人
あ る。
の プ レ イ ヤ ー が 共 に 利 他 的 行 動 基 準 に 従 っ て 行 動 す る 場 合,
s宝'ニ(0,1),s,'=(1,0).:(1-68)
と お く と,表1よ
り,
ノ㍉(sr,Ss,)==一1,,プz(εr,s…')ニ
で あ っ て,プ
レ イ ヤ ー1の
任 意 の混 合 戦 略
S:ニ:(p,,]一p・)(0≦
に対
ー1・(1-69)
ρ1≦1)(1-70)
して
プ∼(s1,SP,)=2p,一(1-p:)ニ3p,一1≧
で あ る の で,(1-69)よ
ノ覧(s!',S5')≦
り任 意 のS・
一1'・'(1-7])
に対 して
プ1(s1,S,')`'(1-72)
が 成 立 して い る。
他 方,プ
レ イ ヤ ー2の
s2=(ρ2,1一
に対 して
ユ96(358)
任意 の 混合 戦 略
ρ=)(0≦
ρ2≦1)(i-79)
己
ゲ ー ムの 理 論 に よ る,経 済 行 動 基 準 の研 究
f(s…',s2)=一
ρ2十2(1一 ρ2)=一3ρ2十2≧
で あ る の で,(1-69)よ
り任 意 のSsに
一1.(1-74)
対 して
乃(8'●'SbS2)≦乃(s:',Ss)'(1-75)
が成 立 して い る。
ゆ え に(1-59)よ
り,(1-68)で
示 され る 点 は 利 他 的 均 衡 点 で あ り,そ
の と き各 プ レイ ヤ ー の 受 け と る 利 得 は(一1,一1)で
従 っ て 表1の
あ る。
よ うな 利 得 表 を 持 つ 非 協 力 変 動 和2人
ゲ ー ム の 場 合,利
己
的 ゲ ーム の方 が利 他 的 ゲ ー ム よ りもす べ て の プ レイ ヤ ーが 多 い 利 得 を 受 け
と る こ と に な る。
と こ ろ が 今 度 は,.非 協 力 変 動 和2人
ゲ ー ム の 利 得 表 が 具 体 的 に 表2の
よ
うに 与 え られ て い る と す る(8)。
表2
1…
…
「(一
・・
一(一
一
・・ 一 ・)1(一
・・ 一 ・・)i'(一
π22
・・
一 ・)
・・ 一 ・)
2人 の プ レ イ ヤ ー が 共 に 利 己 的 行 動 基 準 に 従 っ て 行 動 す る 場 合,戦
略 の
優 越 性 よ り利 己 的 均 衡 点 は
s,=(o,1),Ss=(o,1)・(1-76)
で あ り,そ
の と き の 各 プ レ イ ヤ ー の 受 け と る 利 得 は(一8,一8)と
一 方 ,2人
な る。
の プ レ イ ヤ ー が 共 に 利 他 的 行 動 基 準 に 従 っ て 行 動 す る 場 合,
同 様 に 考 え る と利 他 的 均 衡 点 は
s霊'=(1,0),s;'=(1,0)・'(1-77)
で あ り,そ ・
の と き の 各 プ レ イ ヤ ー0)受 け と.る利 得 は(一3,一3)と
従 っ て 表2の
よ う な 利 得 表 を 持 つ 非 協 力 変 動 和2人
な る。
ゲ ー ム の 場 合,利
他
的 ゲ ー ム の 方 が 利 己 的 ゲ ー ム よ り もす べ て の プ レイ ヤ 「 が 多 い 利 得 を 受 け
(35f)19?
政経論叢
第62巻 第 ・2・3号
と る・
こ とに な る。
以 上,表1と
表2で
人 ゲ 〒 ム で は,利
示 され る2つ
の ゲ ー ム の 結 果 か ら,非
協 力 変 動 和n
己 的 ゲ ー ム と 利 他 的 ゲ ー ム と く2,1ど ち ら が ← 方 が,全
プ
レ イ ヤ ー の 総 利 得 が 多 く な る と い う こ と は 証 明 で き な い と い う!ごと が 証 明.
さ れ たb・,
さ ら に 任 意 の プ レイ ヤ ー の 利 得 に つ い て も,「利 己 的 ゲ 「一.ムと 利 他 的 ゲ ー
ム と で,ど
ち ら か 一 方 の 利 得 が 多 く・
な る と い う こ・
とは 証 明で きな い こ とが
証 明 さ れ た 。.
「
第2節
』協 力 ゲ
rム
ト・
本 節 で は,特 性 関 数 に よっ て表 現 され た 協 力 π人 ゲ ー ムを 取 扱 う。
全 プ レイ ヤ ーが 利 亘 的 行動 基 準 に 従 う場 合 の ゲ ー ム(利 己的 協 力%人
ー ム)と 全 プ ヒ脅7が
穐
的行馨
弊
従場
合 の7ー ム(利 他協
ゲ
力
π人 ゲ ー ム)を そ れ ぞ れ 考察 して ㌃ 両 ゲ マ 荊 『お 励 る利 得 を 比 較 す る こ と
に す る。
そ れ に 先 立 っ て,ま
ず 協力 π人 ゲ ー ムを特 性 関 数 で表 現 す る た め の準 備
を し て お く。
プ レ イ ヤ ー 全 体 の 集 合 を1と
す る と,
,"、..1={1,2,_,n)._.・.(2-1).'
で あ る 。.結 託 『1(c6alition).'と
し て,
5={1,2,...,s},5⊂11(2二2).・
諺
II-S={S十1,s十2,...,π}.(2-3)
を 考xる
knと
。・各 プ レ イ ヤ 〒1,:2,_,rの
す る と,一Sの
各 メ:ソ バ リ が そ れ 誇 れ に 選 ん 完 純 粋 戦 略 の 組
の.1は 全 部 で ・`k・X㍍ × ∴.・
×k,と
19$(360)
純粋 戦略 の個 数 を そ れ ぞ れ
い ・
うtけ
ん1、々2,=.・,
σ1,'2;,∴,
個 数 が 存 在 す るb・・.こめ1つ1つ
ゲ ー ム の理 論 に よる,経 済 行 動 基 準 の 研 究
を 共 同 純 粋 戦 略 と 呼 べ ば,Sの
共 同 純 粋 戦 略 は 全 部 でa個,'.(1-S)の
共 同
純 粋 戦 略 は 全 部 で 彿 個 あ る 。 た だ し,
1=k,×
々2×・
。
・×k,,m=k:+1×k,+2×
で あ る 。 そ こ で 改 め てsの
… × 々"(2-4)
共 同 純 粋 戦 略 をS次
元 ベ ク トル と し て
ua;α=1,2,_,i.(2-5)
と書 き,(1-S)の
共 同 純 粋 戦 略 を(n-S)次
元 ベ ク トル と し て
ひβ';β=1,2,...,m(2-6)
と書 く こ とにす る。
こ こ で,Sが
共 同 純 粋 戦 略u.を
ん だ と き の プ レイ ヤ ー2の
MS(麗
利 得 をM;(砺,ひ
お
利 得は
選 び,(1-5)が
共 同 純 粋 戦 略0β
β)と す る と,こ
を選
め と き のSの
・
α,oβ)=ΣM」(砺,oβ)'(2-7)
葛=1
とな り,(1-S)の
珊
とな る0さ
利 得 は,
一・(・…)=:=s て,Sの
…)(2-8)
選 択 す る共 同混 合 戦 略 ・
π5は,u、,us,_,H」
率 分 布 で あ り,(1-S)の
分 布 で あ る か ら,そ
μ(・
共 同 混合 戦 略 π∬
一sはU.,L'・,_,Umの
の上 の確
上 の確 率
れ ら の 成 分 を 明 示 し て,
1Zs=(p・,p2,_,ρ
♂)(2-9)
17,_;=(￠f,4,,_,σ
の(2-10)
と 書 く こ と に す る 。 た だ し 各 ρ`,の は 非 負 で あ っ て,そ
れ らの和 は いず れ
も 圏1であ る 。
Sが 共 同 混 合 戦 略n、
を 選 択 し,(1-S)が
共 同 混 合 戦 略/一Sを
た と'きのc4の 利 得 は
ノ 一E・∼17s,17,_・}=a=、
(361)1gg
羅 、無 偏)拓
・・.一
■
・(2-11)
選択 し
政経論叢
と な り」(1-S)の
第62巻 第2・3号
利得は
ノ E,一S(π5,π
」一5)=Σ
ΣM,_S(u。,oβ)p。
σβ(2-12)
Q=1β=1
と な
る 。
1.利
己 的 協 力n人
ゲーム
全 プ セイ ヤ ー が 利 己 的 行 動 基 準 に 従 っ て 行 動 す る と い う利 己 的 協 力 π人
ゲ ー ム に つ い て は,ゲ
結 託S及
ー ム の 理 論 か ら 以 下 の こ と を 引 用 して お く
。
び(1LS)の
特性 関数
レ(s)及
びV(1-5)は
そ れ ぞ れ,
V(S)=maxminE;(1Zs,17,_s)(2-13)
π8171_8
v(1_S)=maxminE;_5(17;,π,_3)(2-14)
n,_4π8
で 定 義 さ れ る 。 そ して1人
も メ ンバ ー の い な い 結 託 の 集 合 を φ と す る と
v(φ)=0(2-15)
で あ る。
次 にSとTを
共 通 の メ ンバ ー を 含 ま な い2つ
の 結 託 とす る 。 こ の と き
V(SUT)≧v(S)+V(T)(S∩T=φ)(2-16)
が 成 立 す る。 さ らに 以 下 の定 理 も成 立 す る。
定 理3
利 己 的 協 力 ゼ ロ和n人
の3つ
ゲ ー ム の 特 性 関 数 をV(5)と
す れ ぽ,v(S)は
次
の性 質 を もつ 。
vてφ)=:0(2-17)
v(1-S)=一V(5)(2-18)
V(cUT)≧V(5)十v(T)(2-19)
(S,:T⊂1か
つS∩T=φ)
逆 に 集 合1={1,2,...,π}の
200(362)
す べ て の 部 分 集 合Sに
対 して 実 数 値 を 対 応 さ
ゲ ー ム の理 論 に よる,経 済 行 動 基 準 の硫 究
せ る 関 数v(S)が
上 の3つ
の 性 質 を 持 つ な ら ぽ,」 てS)を
特 性 関 数 と して
持 つ 利 己 的 協 力 ゼ ロ 和 π 人 ゲ ー ム が 存 在 す る。
定 理4
利 己 的 協 力 変 動 和n人
の2つ
ゲ ー ム の 特 性 関 数 をV(S)と
す れ ば,1ノ(5)は
次
の性質を持つ。
V(φ)=0(2-20)
v(SUT)≧v(s)十V(T)(S,T⊂1か
逆 に1={1,2,_,nの
玖S)が
上 の2つ
つS∩z=φ)(2-21)
任 意 の 部 分 集 合Sに
の 性 質 を 持 て ば,こ
対 して定 義 され た 実 数 値 関 数
のv(5)を
特 性 関数 と して持 つ利 己
的 協 力 変 動 和 π人 ゲ ー ム が 存 在 す る 。
2.利
他 的 協 力n人
そ れ で は,次
ゲ ーム
に 全 プ レイ ヤ ーが 利 他 的 行 動 基 準 に従 って行 動 す る場 合 に
つ い て 考 察 す る。
結 託s,(1-5)の
特 性 関 数 は そ れ ぞれ
V'(S)=minmaxE5(πs,II,_5)(2-22)
π8RI_S
V'(1-s)=minmaxE,_5(1Z3,1Z1_5)(2-23)
RI-Sn,
と 定 義 さ れ る 。 そ して1人
も メ ンバ ー の い 斥 い 結 託 の 集 合 φ に 対 し て は
V(φ)=0・(2-24)
が 成 立 す る 。 ま たSとTを
共 通 の メ ンバ ー を 含 ま な い2つ
と,
V7(SUz)≦V'(S)十V'(T)(S∩7「=φ)(2-25)
が 成 立 す る。
(2-25)の
(363)201
証明
の 結 託 とす る
'政経 論 叢
,.第62巻
第2・3号
1_テ(SU2【)⊂1_S・
・,-(2-26)
1一(SL2「)⊂1-T..(2-27)
.
S∩T=φ(2-2E)
よ り,
血axE5。
・(175u},π,.、5。 。))≦maxEε(π5,π,.5)
ノ71一
く8U7)n,.8
十maxET(177,π1_7)(2-29)
n,_z・
こ こ で,SとTが
協 力 し て 最 小 化 を 図 る 方 が,SとTが
個 別 に 最小 化 を
即 る,よ り も 合 計 利 得 を 最 小 化 で き う 『)で,,
藩
。離,ES・
+勢
謄E・(1z7/z∬_T)■
が 成 立 す る 。(2-3C)を
(2-25)が
・(175uτ,n,_(Suη)≦minmaxEε(1Z5,1Z1_sR;177-S)、
ノ＼
・'(2-30)
特 性 関 数 の 定 義 に 従 っ てV'
.を 用 い て 書 き 直 す と,
得 られ る。(証
明 終 わ り)
な お,・特 性 関 数 に つ い て の2つ
の 性 質(2-29)と(2-25)は,す
べての
利 他 的 協 力 η 人 ゲ ー ム に 対 して 成 立 す る こ と に 注 意 す べ き で あ る 。
と こ ろ で,利
己 的 協 力 η人 ゲ ー み の 場 合 に 掲 げ た 定 理 に 対 応 し て,,利 他
的 協 力 π人 ゲ ー ム の 場 合 に も 以 下 の 定 理 が 成 立 す る 。
定 理3・
『.''"圏
利 他 的 協 力 ゼP和r人
ゲ ー ム の 特 性 関 数 をV'(S)と'す
次 の性 質 を持 つ 。
れ ぽ,V'(5)は
ゼ
V'(φ)ニ0"(2-31)
V'(1-5)=一V'(S)(2-32)
V,(SUT)≦V'(S)十Vノ(7「)":'{;・(2-33)
(5,T⊂1,S∩T=φ)
逆 に,集
202(364)
合1ニ{1,2,_,y}の
す べ て の 部 分 集 合Sに
対 して実 数 値 を対 応
ゲー ム の理 論 に よる,経 済 行動 基 準 の 研 究
ウ
ビ
・
ノ「
一
させ る関数V'(s)が
、'・.1一
∴'...
上 の3つ の性 質 を 持 つ な らば,V'(S)を
特性関数 と
して持 つ利 他 的 協 力 ゼ ロ和 π人 ゲ ー ムが 存 在 す る。
i,・
卜.
定 理3'の 証 明C8'
・;すべ て9剰
他 的 昂 力 ゼP和n人
ゲ 「'冷ρ特 性 関 掌 嫡 ・・(2-24)点(2-25)
を 満 た す の で,(2-31)と(2-33)を
満 た して い る 。
さ ら に ゼ ロ和 と い う
こ とか ら
層
卜'V'(s)十V'(1
越
ヰ鍋
-S)=o・'='幽
の で ・(2-32)も
そ こ で,こ
%(s)に
離
.(2-34)
して し'る・
こ で は(2-31)・(2-32)・(2-33)を
対 して,こ の%(S)を
特 性 関 数 とす る よ うな利 他 的協 力 ゼ ロ和
n人
満 た す 任 意 の実 数 値 閨 事
ロ
ド
コ
ゲ ー ム が 常 に 存 在 す る こ とを 証 明 す れ ぽ よ い 。 そ こでv・(5)が
られ た も と で,次
与 え
の よ うな 利 他 的 協 力 ゼ ロ 和n.人 ゲ ー ム を 定 義 す るqo)。
t、',、
・
尺 ド,,'「
㌧
各 プ レイ ヤ ーk(=1,2,...,n)は,人
為 手 番 と し て,kを
集 合'Sガ を 選 択 す る。 こ こ で プ レイ ヤ ー の 集 合sは,す
「
して デ ㌦ ・
〆,ド'・:
含 む1の
部分
べ て の んピ3に
対
s,ニ=s.(2-35)'』
を 満 た す 場 合Y:.:と
呼 ば れ る6共
通 な 元 を 持 つ2つ
す れ ぽ,.'す べ て の 輪 ゐ 集 合 は,`ゼ め2つ
の 系 を な し て し:・
る 。.∼
・
㌦
∵
の輪 ぽ 一 致 す る。 換 言
も互 い『
に 交 わ ら な い1の
・
一
価,=・
こ う し て 定 義 さ れ た ど の 輪 に も含 ま れ な い プ レイ ヤ ー は,1人
合 を 形 成 して い る とみ な し,1人
べZの1汰
集 合 の 全 体 は1の
部 分集合
七 …'
だけで集
集 合 と 呼 ぶ 。'そ れ ゆ え,・す べ て め 輪 と す
分 割 を な す 。 そ れ ら の 集 合 を'51ゴS2,...,sで
表 わ す と,
1=:51US2U.∴
た だ しS;∩s,=φ
(365)203
∪5げ,、/...',,ぺ'、;(2-36)
σ ≒ブ)・
『
・
政経論叢
こ の 部 分 集 合S;(2=1,2,_,d)に
す な わ ち,
第62巻 第2・3号
属 す る プ レイ ヤ ー ゐ 人 数 をn、 とす る
。
げ
ζ 、n;=n(2-37)
で あ る。
上 記 の プ レ イ の 結 果,部
分 集 合s、
に 属 ナ る プ レイ ヤ ー に対 して は二 律
に
11a=Y
on
;(s;)n、%(s,)、(2-38)
だ け の 利 得 を 与xる
も の とす る 。 こ の 場 合1各
プ レイ ヤ ーの 利 得 の総 和
は,
か{1一%(S,π`)=謡
ゴ
脇(島)}'
コ
ゴ
=ΣV(S;)一
ΣV,(S;)
1=1{=1
.=0.,.'(2-39)
と な る の で,こ
の ゲ ー ム は ゼ ロ和 で あ る 。 以 上 に よ り,利
他 的 協 力 ゼ ロ和
π人 ゲ ー ム が 定 義 さ れ た 。
そ こ で こ の 利 他 的 協 力 ゼ ロ 和n人
こ のv'(S)とV(S)が
ゲ ー ム の 特 性 関 数 をV'(S)と
す る。
等 しい こ と が 証 明 で き れ ば,『Yo(S)を
特性関数
とす る よ うな 利 他 的 協 力 ゼ ロ 和 π 人 ゲ ー ム の 存 在 が 証 明 さ れ る こ と に な
る。
そ こ で ま ず,す
べ て のs⊂1に
対 して
V'(4)≦V(5)(2-40)
とな る こ とを 示 す 。
%(S),V'(s)は
の と き に は,・
204(366)
共 に(2-31),(2-32),(2-33)を
満 た す の で,S=φ
.
ゲ ー ム の理 論 に よる,経 済 行 動基 準 の研 究
「
レ6(φ)ニ0・(2-41)
V'(φ)ニ=0'(2-42)
と な り,(2-40)が
成 立 す る。
S≒ φ の と き,sの
構 成 す る とす る。
全 メ ンバ ー が 結 託 して 全 員 セ(2-36)の
こ の と きs=s・
う ち のS、 を
が 全 体 と して 獲 得 で き る 利 得 合 計 は,'
勉{評(S)1dVnE1(S,)}=Y(S)一
難1脇(S,)
(2-43)
と な る 。 と こ ろ が5の
特 性 関 数 で あ るv'(S)は,定
義 に よ り これ を 上 回
る こ と は あ り得 な い 。 そ こ で
V(S)≦
脇(S)一
竺
差 脇(s,)(2-44)
n'=1
が 成 立 す る 。 と こ ろ が 脇(S)は
特 性 閨 事 の 性 質(2-31),(2-32),(2-33)
げ
を 満 た して い る の で,
ΣV6(5,)≧v(1)=一%(φ)=0(2-45)
'=1
とな
り,ゆ
え に
「1!,(S)≦y6(c
V)(2-46)
が 示 され た 。
(2-46)は
す べ て のSに
つ い て 成 立 す る の で,(1-S)..Y'対
と,'`
V'(1-S)≦y6(1-4)(2-47)
と な る が,(2-32)よ
V'(1-5)=一
「
レ7,(S)「F.(2-48)
yo(1-S)=一
τ!o(s).・'(2-49)
で あ る の で,(2-47)Y'代
一≧「v'(S)≦
(367)205
り
入 す る と,
一 γ6(S)、
、 『』(2-50)
して 適 用 す る
諏 経論叢 ∫
第63巻 第2…3号
、
,∴V,(S)≧y6(S)、(2-51)
を 得 る 。(2-51)と(2-46)よ
り,
V(S)=y6(S)
.(2-52).,
が 成 草 す る 。 従 っ て ・V(S)は
上 魂9利
関 黎 に な? ,頂部 り,,導 れ でyl(s)塗
和 π 人 ゲ ー ム の 存 布 が 示 され
侮 的 協 力 ゼR和n人
ゲ 「 ∼・{ρ
特 性
特 性 関 取 と し て 持 つ 利 他 的 鰯 力¥戸
.#?
(証 明 綬 わ り)
定 理4'
利 他 的 協 力 変 動 和y人7ー
次0)2rの
ム の 特 性 関 数 をV'(S)と
す 紅 ぽ,";.,V,(35ぬ
性質を持つ。
、Uく
φ)〒
ρ
・
V'(鋤
、
…'.,,.,、.、.1(2-53).
≦V'(s)+V'(T)(S,T⊂1か
つ 騨)
(2-54)
逆1こ1={1,2,...,n}の
v'(S)が
上 の2つ
任 意 の 蔀 秀 集 合Sに
の 性 質 を 持 て ば,こ
対 し七 定 義 き 乳 た 実 数 値 関 数
のV'(S)を
特 性 関 難 と しZ持
つ利
他 的協 力 変 動 和 η人 ゲ ー ムが 存在 す る。
・定 理4fの
証 明(1P・
利 他 的 協 力 変 動 和n人
ゲ ー ム の 特 性 関 数 が(2-53),(2-54)を
満 たす こ
と は す で に 示 さ れ て い る 。 そ こ で 定 理 の 後 半 部 分 を 証 明 す る 。冒
V'(s)を,(2-53),(2-54)を
ミー プ.レイ ヤ ー@+1)を
満 た す 実 数 値 関 数 と す る 。 そ し て1に
ダ
付 け 加 え た 集 合 を1'と す る 。'す な お ち,
;1={1,2,...,n,n十1}1(2-55)
で あ る 。'・
こ ζ で ダ ミ ー プ レ イ ヤ ー は,残
206(368)
・
りの π 人 の プ ヒイ やL・が 受 け と る 合 計 利
ゲ ー ム の 理 論 に よ る,・経 済 行 動 基 準 の 研 究
得 に(一1)を
掛 け た 利 得 を 受 け.と る も の と す る 。 こ う す る と ・@+1).人
の プ レ イ ヤ ー の 受 け と る 合 計 利 得 は 常 に ゼ ロ に な る 。:,ただ し ダ ミ ー プ レ イ
ヤ ー は,・ 選 択 す べ き 自 分 の 戦 略 を 持 た ず,利
得 を 受 け と る 役 割 しか 持 た な
い 。 ま た 結 託 構 成 に 際 して も ダ ミ ー プ シ イ ヤ ー は 交 渉 の 場 に は 加 わ ら な い
し う い か な る 結 託 に も 参 加 し な い も の と す る 。ギ 、.、
さ て'1の
各 部 分 集 合Sに
対 し てV(4)を
次 の よう に 定 義 す る 。
Sが@+1)を
含 ま な い と きV(S)=v'(S)…
Sが(n+1)を
含 む と きV(S)=一V'(1-5)
と の と き,V(S)は,あ
数Y'な
・'ワ
る 利 他 的 協 力 ゼ ロ 和@+1)人
ゲ ー ムの 特 性 関
っ て い る こ・と が 示 さ れ る 。 そ れ を 示 す に は,v(S)が
31),(2-32),(2-33)に
定 理3'の.(2-
相 当 す る性 質 を 満 た す こ とを 言 え ば よい 。
ま ず(n+1)が
φ に 含 ま れ な い こ とか ら
V(φ)ニ=V'(φ)=0∫11Il・!1!ii1(2-56)
と な り(2-31)に
相 当 す る性 質 は 満 た され る。
次 に@+1)がS』
に 含 ま れ て い る と き,V(S):の
一
定 義 よ り'・
v(S)=一V,(1-s)-.・"層1「(2-57)
で あ'り,こ
の と き(1-s)は(n+1)を
含 ま な い ので
V(1-S)==Vノ(1-S)
1、,=」,,・
・
、.〕,(2-58)
とな』
る 。 ゆ え に(2-57)と:(2-58))よh'∵...)・,
V(1-s)=一V(S),`,1∵
を 得 る 。ヒ他 方(n十1)がSに
VてS)==1ノ
【'(S)・
で あ1り,,(1-S)は@十1)を
.ノア(1-S)==_v,(1-1十S)==」
と な:る 。 ゆ え.に(2-60)と(2=61)・
、ゾ ・ノア(1-s)=_V(s)'、
く
ぐ369)207
・
含 ま れ な い と き,、
∫,(2-59)・
・ 、:
㌧.∴
一、
.='.'・.貸,(2-60)
含 む の で'.',1、_'.・
、
一V'(S)㌧.:1、'レ"彌,:,.(2-6])
よ り・・,・'帆
・,.F『1、
＼ ・'育
㌧
＼ ・・.1、』ノで'二i拷 ノ∼(2-62)
政経論叢
を 得 る 。 従 っ て(2-32)に
最 後 の(2-33)に
5∩T=φ
第62巻 第2・3号
相 当 す る 性 質 も満 た さ れ る 。
相 当 す る 性 質 が 満 た さ れ て い る こ と を 示 す た め に,
と な るSとTを
任 意 に と る 。@+1)がSに
な い と き に は 当 然SUTに
もTに
も含 まれ て い
も 含 ま れ て い な い の で,
V(SUT)==v'(SUT)(2-63)
v(s)=V'(S)(2-64)
vてT)=V'(T)・'(2-65)
で あ っ て,V'に
つ い て は(2-59)が
成 立 し て い る の で,
vて5∪7)≦v(S)十V(7)'(2-66)
を 得 る。
そ こ で(n+1)がSに
含 ま れ て い る とす る 。 こ の と きTは(n+1)を
ま な い 。 ま た1一(SUの
も(n十1)を
含 ま な い 。 と こ ろ が,
T∩{1一(SLT)}=φ1,'.(2-67)
で あ る の で,(2-54)よ
り
vノ{TU1一(SUT)}≦V'(T)十Vノ{t一(sUT)}(2-68)
が.成立 す る 。 と こ ろ でs∩T=φ
よ り,
TL{1一(SUT)}==1-S(2-69)
ど な る の で,(2-68)に(2-69)を
V'(1-s)≦V'(T)十V'{1臼
と な る 。 そ し てTは(n+1)を
代 入 す る と,
一(SUT)}(2-70)
含 ま ない の で
1/てT)ニ=「v'(T)'(2-71)
で あ り,SとSUTは(n十1)を
含む ので
v(5)=一i/7(1-s)'「(2-72)
V(sUT)ニ=一v'{1一(SUT)}'髄(2-73)
で あ る 。(2-71),(2-72),(2-73)よ
・_v(5)≦V(T)_vてSUT)(2-74)
208(370)
り','(2-70)は
含
ゲ ー ム の理 論 に よ る,経 済 行 動 基 準 の研 究
・'・v(Su7つ
≦v(5)十v(7「)(2-75)
と な る 。 ゆ え に(2-33)に
従 っ てV(S)は,あ
相 当 す る性 質 も満 た され る。
る 利 他 的 協 力 ゼ ロ和(n+1)人
ゲ ー ム の特 性 関 数 で
あ る こ と が 示 さ れ た 。 そ こ で こ の 利 他 的 協 力 ゼ ロ和@+1)人
ダ ミ ー プ レ イ ヤ ー を 取 り除 い た ゲ ー ム を 考 え る と,そ
力 変 動 和n人
V'(S)と
3.利
ゲ ー ム で あ り,こ
ゲ ー ムか ら
の ゲ ー ムは利 他 的 協
の ゲ ー ム の 特 性 関 数 はV(S)の
な っ て い る こ と が わ か る。(証
定 義 よ り,
明 終 わ り)
得の比較
そ れ で は,利
己 的 協 力 η ゲ ー ム と利 他 的 協 力 π 人 ゲ ー ム に お け る 利 得 を
比 較 す る こ とにす る。
ま ず,プ
レ イ ヤ ー 全 体 の 集 合1の
特 性 関 数 は,利
己 的 ゲ ー ム の 場 合 と利
他 的 ゲ ー ム の場 合 にそ れ ぞれ
π1
v(1)=maxE∬(17」)(2-76)
V(1)=minEi(171)(2-77)
n,
と定 義 で き る。 そ こで 常 に
レ(1)≧V(1)(2-78)
が 成 立 す る こ と が わ か る 。 そ して さ ら に 次 の 定 理 が 成 立 す る 。
定 理5
協 力 ゼ ロ和 η 人 ゲ ー ム 及 び 協 力 定 数 和 π 人 ゲ ー ム に お い て は,・
レて1)=Vノ(1)
.(2-79)
が 成 草 す る。
定 理5の 証 明
利 己的 協 力 ゼ ロ和r人
(371)209
ゲ ー ム につ い て は,定 理3よ
り
政 経 論 叢 ・第62巻 第2・3号
v(1)=一V(φ)=0(2-80)
と な る 。 ま た 利 他 的 協 力 ゼ ロ和y人
ゲ ー ム に つ い て は,定
理3'よ
り
v'(1)=一V'(φ)=0(2-8])
と な る の で(2-79)が
成 立 す る。
次 に 協 力 定 数 和y人
ゲ ー ム に つ い て(2-79)が
各 プ レ イ ヤ ー1,2,_,yは
る の で,各
と し て は,こ
… ×k,個
あ る 。 そ の1つ1つ
持 って い
σ、,22,_,2,)は
が 共 同 純 粋 戦 略 で あ り, 、1
れ ら共 同 純 粋戦 略 の上 の 確 率 分 布 の形 を と る 共 同 混 合 戦 略
選 ぶ こ とY'な る 。
k:×k;×
とお く と,1の
… ×Kn=K(2-82)
共 同 純 粋 戦 略 はK個
と書 く。 各 π は%次
1が
純 粋 戦 略 を そ れ ぞ れk,,kz_k,個
プ レイ ヤ ー がそ れ ぞ れ に選 んだ 純 粋 戦 略 の組
全 部 でk,×k,×
π1を
成 立 す る こ とを 示 す 。
あ っ て,そ
の1つ1つ
を π1u;,_,Eκ
元 ベ ク トル で あ る 。
α番 目 の 共 同 純 粋 戦 略u,を
選 ん だ と き の プ レ イ ヤ ーZの
利得 を 孤
あ
(πα)と す る と,1の
利得は
ル ム(π π)=ΣM;(砺)(2-83)
f=1
と な る 。 さ ら に,1の
分 布 な の で,そ
と る 共 同 混 合 戦 略17,は,u、,砒,_,π
κ の上 の確 率
れ らの成 分 を 明示 して
1Z」=(ρ1,ρ2,...,ρK)(2-84)
(た だ し ρ、,,..,ρκ は 非 負 で 合 計 が1)
と 書 く と,1の
ん
利 得E,(n,)は,
E.(17,)=ΣM,(π
α)p.(2-85)
α=1
とな る。
と ころ で定 数 和 とは,各
210'(372)
プ レイ ヤ ーの 利得 瓢(麗 α)の合 計 が 定 数 とな る
ゲー ムの 理 論 に よ る,経 済 行 動 基 準 の 研 究
こ と で あ る の で,(2-83)よ
M,(π α)ニC(定
り
数)(α
は 任 意)(2-86)
と お く こ と が で き て,(2-85)よ
り
ん
E,(17,)=Σqρ
ん
。=CΣ
ρ。=C(2-87)
Q=1α=1
と な り,π 、 とは 無 関 係 の 定 数 と な る。
従 っ て(2-76),(2-77)よ
り
v(1)=V'(1)=C(2-88)
が 成 立 す る。
逆 に,V(1)=V'(1)と
相 異 な る,あ
な るr一
ム は ゼ ロ 和 か 定 数 和 と な る こ とを 示 す 。
る ゴ,ブに 対 し て,
M,(u,)・ ≒Fルf}(u)(1≦2,1≦
が 成 立 す る と,(2-85)に
、K)(2-89)
お け るp+,ρ,の
値V'応
じ てE,(17・)の
値は変化
す る 。 す な わ ち,v(1)=V'(1)と
は な ら な い よ う に ρ`,p;を 定 め る こ と
が で き る 。 こ れ はV(1)=V'(nと
い う前 提 に 反 す る 。
従 っ て 任 意 の ゴ,ノに 対 し て,
Mr(u,)ニ=M.(u)(1≦i,ブ
が 成 立 す る 。 こ れ は,ゼ
≦K)(2-90)
ロ和 も し く は 定 数 和 ゲ ー ム で あ る こ と を 意 味 す
る 。(証
明 終 わ り)
こ の 定 理5と(2-78)よ
り次 の 系 が 得 られ る 。
系
協 力 変 動 和 〃人 ゲ ー ム に お い て は 常 に,
v(1)>V'(1)(2-91)
とな る。
さ て,協 力 π人 ゲー ムの プ レイ の結 果,最
(373)21]
終 的 に プ レイ ヤ ー全 体 の 集合
政 経論 叢
1が,d個
第62巻 第2・3号
の 結 託 に 分 割 され た とす る。 そ して そ の 分 割 さ れ た 集 合 をS,
σ=1,_,の
と す る 。 す な わ ち,
1=SUS2U...Use(2-92)
た だ しs;∩s,=φ(∫
キの
で あ る 。 こ こ でdが1の
と き と2以
上 の と き の2つ
に場 合 分 け して考 え て
み る。
(i)d=1の
とき
全 プ レ イ ヤ ー の 受 け と る 総 利 得 は1の
特 性 関 数 で示 され る。 ゆ え に利 己
的 協 力 π 人 ゲ ー ム と利 他 的 協 力 η人 ゲ ー ム に お け る'全プ レ イ ヤ ー の 受 け と
る 総 利 得 を 比 較 す る と,定
理5よ
り,利
己 的 協 力 ゼ ロ和(定
ー ム に お け る 総 利 得 は ,利 他 的 協 力 ゼ ロ和(定
数 和)π
総 利 得 と 一 致 す る こ と が わ か る 。 ま た 定 理5の
系 よ り,利
π 人 ゲ ー ム に お け る 総 利 得 は,利
他 的 協 力 変 何 和%人
数 和)n人
ゲ
人 ゲー ム に お け る
己 的協 力 変動 和
ゲ ー ム に お け る総 利
得 を 常 に上 回 る こ とがわ か る。
(1)d≧2の
協 力y人
とき
ゲ ー ム は,S」 σ=1,_,の
を プ レイ ヤ ー とす る非 協 力d人
ゲー
ムに 帰 着 させ る こ とが で き る。 そ こ で前 節 で得 られ た非 協 力 ゲー ム に つ い
て の 結 論 を そ の ま ま利 用 す る こ とが で き る。
す な わ ち,利
己的 協 力 η人 ゲ ー ム と利 他 的 協 力 π人 ゲー ムに お け る全 プ
レイ ヤ ーの 受 け とる総 利 得 を 比 較 す る と,利 己 的 協 力 ゼ ロ和(定 数 和)%
人 ゲ ー ムに おけ る総 利 得 は,利 他 的 協 力 ゼ ロ和(定 数 和)η
人 ゲ ー ムに お
け る総 利 得 と一 致 す る。
そ して 利 己的 協 力 変 動 和 π人 ゲ ー ム に お け る総 利 得 と利 他 的協 力 変 動 和
π人 ゲ ー ム に おけ る総 利 得を 比べ る と,ど ち らか 一 方 が 常 に 多 くな る とい
212(374)
ゲームの理論に よる,経 済行動基準の研究
うこ とを 証 明 で き な い こ とが 証 明 され て い る。
さ らに 任 意 の 結 託Sの
受 け とる利 得 につ いて も,利
己的 協 力 変 動 和n
人 ゲ ー ム と利 他 的 協 力 変 動 和 π人 ゲー ム とで,ど ち らか 一 方 の利 得 が 多 く
な る とい うこ とは 証 明 で きな い こ とが証 明 され て い る。
お わ り に
一 見 す る と,相 手 を 思 い や り,相 手 に与 え る利 得 を で き るだ け 多 くす る
とい うこ とは,自 分 の 利 得 を 減 らす 行 為 で あ る よ うに思 わ れ るが,本 論 文
で 明 らか に な った よ うに,社 会 の す べ て の 構成 員 が そ うした 利 他 的 行 動 を
と る場 合 に は,自 分 の利 得 を で き るだ け多 く し ょ うと頑 張 った場 合 とほ ぼ
同 じ結 果 が 得 られ る。
な お ゲ ー ムの 理 論 の立 場 か ら言 えば,第1節2。(3)で
示 され た,表1の
よ
うな利 得 表 を 持 つ ゲ ー ム を考 察す る こ とに よ り,利 他 的 行 動 基 準 も利 己的
行 動 基 準 と同 じ く規 範 的 行 動 基準 とは な り得 な い こ とが わ か る。
《註 》
(1)平
山 朝 治r比
(2)フ
ォ ン ・ノ イ マ ン=モ
訳)Pr'一
較 経 済 思 想 』 近 代 文 藝 社,1993年,65^一69ペ
ル ゲ ソ シ ュ テ ル ン(銀
ム の 理 論 と経 済 行 動 』 第2巻,東
ージ 。
林 浩 ・橋 本 和 美 ・宮 本 敏 雄 監
京 図 書 株 式 会 社,1972年,81N
86ペ ー ジ 。(J.v.Neumann&0.Morgenstern,THE()1∼yOFGAMES
AI>1)ECOハ
(3)小
山昭 雄
(4)sr,St'が
ー2の
π)ルπCβEH/1y10R,Princeton,1953.)
『ゲ ー ム の 理 論 入 門 』 日 本 経 済 新 聞 社,1985年,7]・72ペ
共 に プ レ イ ヤ ー の 最 善 混 合 戦 略 で あ り,S2',s≡"が
最:善 混 合 戦 略 で あ れ ば ,
ー ジ。
共 に プ レイヤ
ノ(臨'廓'SbS2)=ノ(si',5…")=ノ(s1",s…')=∫(s宝",s…")
で あ っ て,4点(s宝',S2,(si',S;"),(si",sの,(s五",Ss")は
的 均 衡 点 で あ る 。 さ ら に,s宝'とS1"の
善 混 合 戦 略 で あ り,5差'とS;"の
戦 略 で あ る 。(証 明 略)
(375)'213
いず れ も利 他
加 重 平 均 は す べ て プ レ イ ヤ ー1の
加 重 平 均 は す べ て プ レ イ ヤ ー2の
最
最善混合
政経論叢
(5)n=2の
第62巻 第2・3号
と き,非 協 力 ゼ ロ和n人r'一
ムの 利 他 的 均 衡 点 が ゼ ロ和2人
ゲー
ムの 利 他 的 均 衡 点 に一 致 す る こ とを 示 して お く。
(1-46)よ
り,n=2の
と きの 利 他 的 均 衡 点 ∫*'は,以 下 の条 件 を 満 たす 。
{fl(}E(:;:;:釜i諺ll::::1:
∫2
以 上 ま と め て,(註
と こ ろ で ゼ ロ 和 ゲ ー ム で あ る こ と か ら,任
意 の51,S2に
ル(s1,S2)=一
五(S],s2)(註
一 方
,(註 一1)の 第2式
よ り
一 ル(s*')=max〔
こ れ に(註
一2)
一方(否…'
,52)}(註
52
一2)を
一3)
代 入 して
あ(s*')=max∫1(蕊',S:)(註
一4)
52
(註 一1)の
一1)
対 して
第1式
と(註
一9)よ
り,
max∫1(蕊',S2)=f(s*つ=min/1(否1',s1)(註
一5)
S;5乳
と こ ろ で ゼ ロ和2人
S2'=si',…
ゲームでは
宝'=S2',五(S)=ノ(S)(註
で あ る の で,(註
一5)を
一6)
書 き 換xて,
max∫(sr,S2)=ノ(s*')=minf(51,s…')-(註
一7)
S;1
こ れ は,S*'ニ(●,零'S1,S2)が
ゼ ロ和2人
ゲー ムの利 他 的均 衡 点で あ る こ とを
意 味 す る。
(6)鈴
木 光 男 『ゲ ー ム の 理 論 』 勤 草 書 房,1980年,172^一179ペ
(7)前
掲
(8)同
上,106^一109ペ
ージ。
(9)同
上,140^142ペ
ージ。
(10)前
掲 ・
『ゲ ー ム の 理 論 と経 済 行 動 』 第3巻,39・40ペ
(11)前
掲
(12)同
上,149・150ペ
214(376)
『ゲ ー ム の 理 論 入 門 』102・103ペ
『ゲ ー ム の 理 論 入 門 』142∼145ペ
ー ジ。
ー ジ。
ー ジ。
ー ジ 。'.、
ー ジ。