驚きの計算ミスゼロ作戦 - 考える学習をすすめる会

トップレベルの数学的感性が身につく理想のテキスト！
驚きの計算ミスゼロ作戦
＜中学３年＞
(撮影 城内貴夫)
もはや｢ミス｣とは言わせない！ 意味を感じる計算学習
考える学習をすすめる会
学陽舎塾長
考える学習をすすめる会
http://www.kangaeru.org
城内 貴夫
著
け い さ ん
た
は つ
なぜ「計算ミス」が多発するのか？
おどろ
さくせん
きょうざい
しっぴつ
「 驚 きの計算ミスゼロ作戦」という、とんでもないタイトルの 教 材を執筆
かんが
がくしゅう
かい
するきっかけとなったのは、 考 える学 習 をすすめる会のホームページにある
べんきょうおうえんけい じ ばん
よ
すうがく
そうだんごと
勉 強 応援掲示板に寄せられる数学の相談事で「どうしたら計算ミスをなくす
しつもん
おお
ことができるのか？」という質問が多いことからでした。
わたし
み
お
ところが、 私 から見ると計算ミスというのはめったに起こるものではあり
たと
つか
うわ
そら
ません。ミスというのは、例えば疲れているとき、あるいは上の空で計算して
ば あい
れいせい
いて、2 × 3 ＝ 5 とやってしまったような場合です。冷静なときなら 2 × 3 ＝ 6
い がい
じ しん
ちゅう い りょく
ですね。このようなとき以外は、それはミスではなく、あなた自身の 注 意 力
ぶ そく
すうがくてきかんせい
ふ そく
たんてき
い
じつりょく ぶ そく
不足というよりは数学的感性の不足、端的に言えば「実 力 不足」なのです。
す なお
まず素直にこのことを認めましょう。
計算では、中３で習う【展開・因数分解】【平方根】【二次方程式】
【三平方の定理】、特に【展開・因数分解】【平方根】【二次方程式】は、
高校数学で学ぶことの基礎となる、計算力では最も重要な考えの部分が
集中しています。
き かいてき
す
ここを機械的に済ませたのでは、数学的センスがまったく身につき
ません。今まで以上に「感じる」ことが大切です。
ほん
ゆる
本シリーズは、「計算『ミス』」という言い方を許さなくするために、すな
よ
わち「計算『ミス』をゼロにする」にはどうすれば良いのかをわかっていただ
か
くために書かれました。
しっかり感じる計算ができるようにしましょう。
目
次
第１章
式の展開・因数分解
…数学計算力の基本・積の形⇔和の形、自由自在に
第２章
§1式の展開
P
1
§2因数分解
P 11
平方根
…かけ算感覚がよくなる
第３章
§1平方(２乗)根と√の簡単化
P 18
§2平方根の計算
P 24
増補１有理数と無理数
P 30
二次方程式
…式の変形・因数分解・式の意味に強くなる！
§1〔２乗形〕
P 31
§2〔因数分解形〕
P 34
増補２二次方程式の解の公式
P 37
第４章
二次関数 (略)
P 47
第５章
円の性質…円周角の定理
P 48
第６章
図形と相似 (増補)
P 51
第７章
三平方の定理
P 68
〔問題
１〕(初級)解説・解答
① 3 2 +2 2 ＝(3 ＋ 2)
2
←3 2＝
＝5 2
2
2＋
2＝
2＋
2＋
2
2
けいすう
だから、それぞれの係 数を足せば良い。
②
24 ＋
6−
54 ＝ 2
6＋
＝0
③
27 −
2×
6−3
5(
10 −
足し算・引き算は√の中をそろえる
←(2 ＋ 1 − 3)＝ 0,
3＝3 3−
6
0 6＝0
√の中の数がちがうと
かけ算が先
④
6
それ以上足し算・引き算はできない
15 )＝
50 −
75
＝5 2−5 3
←これ以上計算できない
り よう
○ 2 ＝○を利用する
注．④のような場合、【ウロコ流】は
5×
ここに
10 ＝
5×
5 があるか
5×
2
ある
＝5 2
5×
15 ＝
5×
＝5 3
〔問題
5×
3
のようにすると、数が大きくならない
２〕(中級)次の計算をしなさい。
2
①(
3＋1)
③(
6 − 1 )(
6−2)
②
2＋
④
13 (
− 25 −
1
2
26 −
39 )
〔問題
①(
２〕(中級)解説・解答
2
2
3 ＋ 1 ) ＝(
2
3 ) ＋2×
公式(a+b)2=a2+2ab+b2
3×1＋1
＝3＋2 3 ＋1
＝2 3＋4
き かいてき
注． ふつうは２乗公式に当てはめてこのように機械的に計算する。
【ウロコ流】√ 計算なら「√がつく部分」と「つかない部分」に
こう
なら
あんざん
分かれるのだから、公式の項を並びかえるだけで暗算でできる形
になる。
2
2
2
(a ＋ b) ＝ a ＋ b ＋ 2ab とすると、(
2
2
3 ) ＋1 ＋2×
2乗の部分どうし先に
2乗の部分は√が消える
3×1
√が残る部分
＝3＋1＋2 3
＝4＋2 3
②
2＋
1
2
＝
2＋
1× 2
2× 2
2＋
2
2
分母の有理化
＝
分母と分子に
2 をかける
＝
③ (
6 − 1 )(
6 − 2)＝(
注．これも(
2
6 ) −(1 ＋ 2)
＝6−3
6＋2
＝8−3
6
6＋1×2
2
6 ) ＋{(− 1)×(− 2)}を先に(√がつかない部分)、
−(1 ＋ 2)
6 をあとにすると、暗算でできる。
− 26 −
13 (
④
26 −
39 )＝ 13 2 − 13 3
13 × 2
【ウロコ流】
〔問題
13 × 3
このように分解してしまうとラク！
２〕(上級・応用)次の計算をしなさい。…いずれも有名問題
し ぜんすう
さいしょう
もと
①次の数が自然数となるための, a の最 小 の自然数を求めよ。
(1)
②x＝
50a
3−7 , y＝
のとき、次の式の 値 を求めよ。
2
(2) x ＋ y
2
2
2 のとき, x − 2x − 2 の値を求めよ。
しょうすう
8 の 小 数部分を a,
④
あたい
3＋7
(1) x y
③x＝1−
56a
(2)
2 の小数部分を b とするとき、a ＋ b の値を
求めよ。
〔問題
２〕(上級・応用)解説・解答
ここらまでくると、だいぶ数学らしくなってきました。
そ いんすうぶんかい
①
し すう
ぐうすうじょう
この問題では、「ルートの中の数を素因数分解して、各指数を偶数 乗 に
なるようにする」なんて解説がまかり通っています。しかし、
【ウロコ流】
はそんなめんどくさいことは考えません。
かんたん
まず√の中の数が簡単になるなら、簡単にしなさい、
そして、「a がいくつであればよいか」を見なさい。
これだけです。
− 27 −
50a ＝(
(1)
25 ×
2a だから)
2
＝ 5 2a
√の中が 2 になればよいから、a ＝ 2
56a ＝ 2 14a
(2)
∴ a ＝ 14
う へん
②
x，y の右辺がそろっていてきれいでしょう！
これを感じなさい!!
た
このようなときは、２式を足してラク、引いてラク、かけてラクと、
びょう し
わ
３ 拍 子そろっています(割り算だけめんどう)。
(1) xy ＝(
3 − 7)(
＝(
3) −7
2
3 ＋ 7)
←『和と差の積形』2 乗− 2 乗
2
＝ 3 − 49
＝− 46
2
2
2
へんけい
(2) x ＋ y ＝(x ＋ y) − 2xy
2
←このくらいの変 形はできるようにしよう
(1)より
＝(2 3 ) − 2 ×(-46)
＝ 12 ＋ 92
2
2
2
2
2
(x+y) =x +y +2xy だから、(x+y) -2xy=x +y
3 − 7)+(
x+y =(
2
3 ＋ 7)=2 3
＝ 104
めんどう
注． これを直接代入すると面倒。
直接代入しかないのなら、そんな問題は３年で出さない。
③
x＝1−
2
2 のとき, x − 2x − 2 の値を求めよ。
これも直接代入すると面倒。直接代入しかないのなら、そんな問題は３年で出さない。
x＝1−
2 より、x − 1 ＝− 2
←√の性質の『２乗すると取れる』を使う。
2
それには右辺を√だけにする必要がある。
2
だから√ 以外の数を移項して２乗する。
両辺を２乗して、x − 2x ＋ 1 ＝ 2
∴
x − 2x ＝ 1
2
よって、x − 2x − 2 ＝ 1 − 2
＝− 1
て じゅん
お
注．このような問題では上の手 順 を追えばいいように問題ができている。
− 28 −
せいすう
④
8 の整数部分は 2、だから小数部分は
8−2
a＝
8−2
2 の整数部分は 1、だから小数部分は
2−1
b＝
2−1
だから、a ＋ b ＝( 8 − 2)＋(
＝2 2 −2＋
＝3
2−3
い っ け んむずか
2 − 1)
2−1
ラクなもんだ！
ほんとう
注．一見 難 しそうですが、本当はじつに簡単！
おぼ
◎「
8 の整数部分なんて覚えてないよ」なんて言わないこと。「ににん
こ
が 4、まだだ」「さざんが 9、越えちゃった」「じゃ、2.…だ！」って
わかるでしょ。
◎
8 ＝ 2.…(＝ 2 ＋ 0.…)なら、
8 から『 整数部分の 2 』を取れば
のこ
『小数部分』が残るじゃないか。だから、「小数部分なんて知らない
ひつよう
だれ
し
よ！」なんて言う必 要もなし。そんなの誰も知らないよ。
※
①∼④ができれば、
おうようもんだい
あなたは90％以上の√の応用問題が解けます。
注．ここまでは新版のページどおりですが、
ここから先、「二次方程式の解の公式」
については元テキストとページがずれて、
原本のP37∼P46に対応します。
− 29 −
増補
二次方程式の解の公式
はじめに
こんかい
しん か てい
むかし
かい
こうしき
今回の新課程により、 昔 中３でやっていた二次方程式の解の公式がまた
ふっかつ
うつ
復活しました。この公式は高１数学に移されていたものです。
かいほう
この公式の復活により、二次方程式の解法は次の３つになります。
① (
およ
2
へんけい
りよう
じょうけい
) ＝△ の形、及びそれへの変形を利用
〔２乗 形〕
いんすうぶんかい
② 因数分解＝ 0 の利用
〔因数分解形〕
③ 解の公式の利用
およ
へんけい
りよう
とはいえ、解の公式はじつは①の「及びそれへの変形を利用」にすぎない
あた
か
)2 ＝△の形では与えられていなくて、且つ
のです。はじめから問題が(
こ
こ
その式が因数分解できない形のときに、これまでは個々に(
)2 ＝△の形
いっぱんけい
に直して解いていたものを、二次方程式の一般形を ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 とし
か
て、ここから(
いち ど
)2 ＝△の形を作り、x ＝○の形に公式化しただけです。
て じゅん
一度はこのあと説明する手 順 で自分で公式を作ってみて、そのあとは公
れんしゅう
式として覚えてしまい、使いこなせるように練 習 するしかありません。
なお
尚、移行措置では解の公式は１種類しか学びませんが、高校では２種類を
学びます。
ひ かく
ウロコ先生としては、どうせやるなら２種類を比較しながらマスターして
しまった方が計算もラクになる (計算間違いしにくい)と思うので、２種類を解
説してしまいます(上級者用)。
注．【一般形】…係数に文字を使った普通の形
− 30 −
二次方程式の解の公式を作ろう
二次方程式の一般形・・・・
ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0
けいすう
ここから先は P 33、係数が数字についていえたことを
そのまま文字係数の普通の形に当てはめて考えればよい。
りょうへん
わ
① x2 の係数 a で 両 辺を割る・・・・x2 の係数を 1 にするため
x2 ＋
b
c
x＋
＝0
a
a
はんぶん
じょう
b
② x の係数 a を半分にして、２ 乗 の形を作ってしまう。
ひら
よ けいもの
う へん
た
b2
同時に、それを開いたときに出る余計者 2 を右辺にも足しておき、
4a
ていすうこう
ふ ごう
c
定数項
は右辺に移しておく(符号が変わることに注意)。
a
(x ＋
c 左辺から移項
b2
b 2
) ＝
−
2
a
4a
2a
↑この２乗が余計
注．定数項…数字だけで文字
を含まない項
4a2 で通分
だから右辺にも足す
＝
b2 − 4ac
4a2
③ ２乗形になったので、ここから
x＋
b
＝±
2a
＝±
b2 − 4ac
4a2
b2 − 4ac
2a
④ x ＝○の形にするために、
←分母の√を外した
b
を右辺に移項
2a
− b ± b2− 4ac
x＝
2a
完 成 ！
− 31 −
←分母は同じだから
１つの分数にまとめる
形をしっかり覚えよう！
お
元の普通の形の係数と比較しながら、目で大げさに追って覚えるとよい。
− b ± b2− 4ac
x＝
2a
②
①
④
⑤
それぞれの符号に注意！
③
ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0
な
解の公式に慣れるまでは問題の式から a ＝○，b ＝△，
※
c ＝□などと数字を書きだしてから公式に当てはめるのを
すす
薦める人もいるが、ウロコ先生はその方法は薦めない。
解の公式を使ってみよう
その前に
ば めん
解の公式を使う場面
解の公式を覚えると二次方程式は何でもかんでも解の公式で解こう
とする人が出る。
たんじゅん
ちょっと待て！
解の公式って単 純 なのか？
これってかなり
ふくざつ
複雑で計算もめんどくさいよ。他にも解き方があったでしょ！
)2 の形になってるものはその形だけで
そうそう①はじめから(
解けるし、また②右辺＝ 0 にしたときの左辺が因数分解できる形な
はや
かんたん
ら因数分解で解いた方が速いし簡単だ。
さい ご
しゅだん
だから、解の公式ってのは上の①，②では解けない形の最後の手段
こころ え
だと 心 得ておかなくちゃね。
まとめると、
①２乗形になってない → ②因数分解できない
→ ③それなら解の公式
− 32 −
[ 例 題 ]
次の方程式を解きなさい。
(1) 2x2 ＋ 5x ＋ 1 ＝ 0
(2) 3x2 ＋ 5x − 3 ＝ 0
(3) x2 − x − 6 ＝ 0
(4) 3x2 − 8x ＝− 5
〔解説・解答〕
(1) ①２乗形でない，②因数分解できない→③解の公式
x＝
＝
−5±
−5±
4
52 − 4 × 2 × 1
2×2
17
(2) ①２乗形でない，②因数分解できない→③解の公式
x＝
＝
−5±
52 − 4 × 3 ×(-3)
2×3
−5±
6
61
(3) ①２乗形でない，②因数分解でき…る→③解の公式は使わない！
x2 − x − 6 ＝ 0
(x ＋ 2)(x − 3)＝ 0
x ＝− 2，3
− 33 −
(4) ①２乗形でない，②因数分解できない→③解の公式
3x2 − 8x ＝− 5
3x2 − 8x ＋ 5 ＝ 0
x＝
＝
−(-8)±
8±
6
82 − 4 × 3 ×(5)
2×3
4
8± 2
6
10 ， 6
＝
6
6
5
， 1
＝
3
＝
やくぶん
←約 分できる形になった
ぐうすう
注．ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 の b が偶数のときは
さい ご
かなら
解の公式を使ったときに最後は 必 ず２
で約分できる形になります。
り ゆう
あと
理由は後で。
《 別 解 》・・・(高校生ならこれは因数分解します)
3x2 − 8x ＋ 5 ＝ 0
(3x − 5)(x − 1)＝ 0
5
x＝
， 1
3
←これを展開したら元の式になることを確認！
上級編・・・もう１つの解の公式( b が偶数の場合)
(高１内容)
ぜん
前ページの例題(4)の解説では「ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 の b が偶数のときは
解の公式を使ったときに最後は必ず２で約分できる形になります。」 と言
いました。最後に２で約分できなかったら、それはそこまでで計算間違い
があったからです。
なぜ2で約分できる形にならなければいけないのでしょうか？
− 34 −
せつめい
どう じ
それをこれから説明すると同時に、その理由がわかれば、b が偶数のとき
せんよう
う
専用のもう１つの解の公式が生まれます。
ここで解の公式をもう一度よく見てみよう！
ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0
− b ± b2− 4ac
x＝
2a
ばいすう
お
b が偶数なら、偶数は 2 の倍数だから b ＝ 2b'(←ダッシュ)と置ける。
たと
はんぶん
例えば b ＝ 6 なら、6 ＝ 2 × 3 だ(b'＝ 3，6 の半分)。
だいにゅう
b に 2b'を代 入 してやると、次の式ができあがり、
せい り
それを整理すると・・・・
− b ± b2− 4ac
x＝
2a
←元の解の公式から
− 2b' ± (2b')2 − 4ac
＝
2a
2
− 2b' ± 4b' − 4ac
＝
2a
← b に 2 b'を代入
2
←(2b') ＝ 4b'2
√の中，4 でくくれる
− 2b' ± 4(b' − ac)
2a
2
＝
2
− 2b' ± 2 b' − ac
＝
2a
2
− b' ± b' − ac
＝
a
← √の中の 4 は 2 にして
√の外に出せる
←分母と分子が 2 で
約分できる形になった
←約分して整理すると
これで b が偶数のとき専用の解の公式のできあがり！
− 35 −
整理・・・b(x の１乗の係数)が偶数のとき専用の解の公式
↓ b が偶数
↓ b'は b の半分
ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 → ax2 ＋ 2b'x ＋ c ＝ 0
b の半分
なら
b' 2 − ac
a
− b' ±
√の中の 4 が前に出て 2 となり、
分母の 2 との約分で両方消えた
2
− b ± b − 4ac
2a
x＝
どこがどう変わったのか！
み くら
をよく見比べよう。
りょうほう
[例題]
2x2 − 6x ＋ 1 ＝ 0 を、 両 方の解の公式で解いてみる。
基本公式
-(-6)±
x＝
＝
6±
62 − 4 × 2 × 1
2×2
36 − 8
＝
4
6 ± 28
4
6±2 7
＝
4
＝
＝
3±
2
6 の半分は 3
専用公式
-(-3)± 32 − 2 × 1
x＝
2
＝
←約分が残る
3± 9−2
2
3± 7
2
ラクだったね∼
にく
計算間違いし難いね
7
な
使い慣れたいな！
ぐ あい
という具合です。
ぜったい
いかが？
とく
使い分けた方が絶対に得!?
では、問題！
− 36 −
[ 問 題 ]
…いろんなタイプごちゃまぜ二次方程式
次の二次方程式を解きなさい。
(1) x2 − 4x − 2 ＝ 0
(2) 25x2 − 7 ＝ 0
(3) − 8 ＋(x ＋ 7)2 ＝ 0
(4) 2x2 − 7x ＋ 5 ＝ 0
(5) (x ＋ 5)(x − 6)＝ 12
(6) y2 − 7y − 44 ＝ 0
1 2
1
(7)
(t − 11)＝
t −3
(8) 4x2 ＋ 14x − 5 ＝ 0
2
5
(9) 和も積も共に 9 である２数を求めなさい。
〔解説・解答〕
(1) ①２乗形でない，②因数分解できない→③ b が偶数のときの解の公式
x2 − 4x − 2 ＝ 0
x ＝ -(-2)±
＝2±
6
(a ＝ 1)
4＝2×2
22 − 1 ×(-2)
←分母の
a は 1 なので書かない！
新公式を使うとえらくラク
(2) ①２乗形です。→②因数分解まで行かない→③解の公式まで行かない
25x2 − 7 ＝ 0
←
25x2 ＝ 7
7
x2 ＝
25
7
x ＝±
5
←両辺÷ 25 で、x2 の係数を 1 にする
x1 の項が無い − 7 を右辺に移項すれば・・・
←２乗を外す作業に
←±を忘れないように！
(3) ①２乗形です。→②因数分解まで行かない→③解の公式まで行かない
− 8 ＋(x ＋ 7)2 ＝ 0
(x ＋ 7)2 ＝ 8
x ＋ 7 ＝± 2 2
x ＝± 2 2 − 7
←(x ＋ 7)が２乗形になっている。その他は− 8 だけ。
だからそれを展開する必要がない
←２乗を外す
←＋ 7 を右辺に移項
− 37 −
− 8 を右辺に移項
(4) ①２乗形でない，②因数分解できない→③ b が奇数のときの解の公式
2x2 − 7x ＋ 5 ＝ 0
x＝
-(-7)±
72 − 4 × 2 × 5
2×2
7± 9
4
±3
7
＝
4
＝
＝ 1，
※
高校生なら因数分解
(2x − 5)(x − 1)＝ 0
5
x ＝ 1，
2
5
2
み とお
(5) まずは整理してから見通しをたてる。
(x ＋ 5)(x − 6)＝ 12
x2 − x − 42 ＝ 0
(①２乗形でない→②因数分解できる→③解の公式まで行かない)
(x ＋ 6)(x − 7)＝ 0
x ＝− 6，7
(6) ①２乗形でない→②因数分解できる→③解の公式まで行かない
y2 − 7y − 44 ＝ 0
(y ＋ 4)(y − 11)＝ 0
y ＝− 4，11
←文字を勝手に
x だなんて決めつけないこと
ほうしん
(7) 両辺× 10 で係数を分数でなくし、整理してから方針をたてる。
1
1
(t − 11)＝ 2 t2 − 3
5
2(t − 11)＝ 5t2 − 30
←両辺× 10。 − 3 にも× 10 を忘れぬように
5t2 − 2t − 8 ＝ 0
①２乗形でない，②因数分解できない→③ b が偶数のときの解の公式
t＝
＝
12 − 5 ×(− 8)
−(− 1)±
5
1 ± 41
5
− 38 −
2＝2×1
(8) ①２乗形でない，②因数分解できない→③ b が偶数のときの解の公式
4x2 ＋ 14x − 5 ＝ 0
x＝
＝
14 ＝ 2 × 7
−7±
72 − 4 ×(− 5)
4
−7±
4
69
わ
いっぽう
た ほう
(9) 和が 9 であるから、2 数は一方を x とすると他方は 9 − x。
せき
積が 9 であるから、
x(9 − x)＝ 9
− x2 ＋ 9x ＝ 9
・・・・式が立った
から
x2 − 9x ＋ 9 ＝ 0
①２乗形でない，②因数分解できない→③ b が奇数のときの解の公式
x＝
−(− 9)± 92 − 4 × 1 × 9
2×1
9 ± 45
2
9±3 5
＝
2
＝
みな
答え．
て
9±3 5
2
も
このあとは皆さんが手持ちの問題集で
解の公式を使う問題に慣れておきましょう。
b が奇数か偶数かで２つの解の公式を
使い分けることができれば、計算の正確さ
かくだん
とスピードが格段にアップすることでしょう。
ただ
但し、二次方程式を何でも解の公式に当て
はめるのではなく、①２乗形→②因数分解の
あとの最後の手段が③解の公式です。
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無料版でのご紹介はここまでです。
有料版ではまだまだ面白い問題・解法が続きます。
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