鉄筋腐食膨張による ひび割れ発生時の腐食量

鉄筋腐食膨張による
ひび割れ発生時の腐食量
指導教官 安全システム建設工学科
平成 16 年 2 月 10 日
香川大学工学部 安全システム建設工学科
伊澤 純平
要旨
腐食ひび割れの発生は、コンクリート構造物の維持管理における補修時期の判断指標のひとつであ
り、構造物の対荷力を評価する際の大きな指標となる。補修時期を判断するために、その目安となる
「ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量」を知る必要がある。コンクリート標準示方書によれば、ひび割
れ発生時の鉄筋の腐食減量は 10mg/cm2とされている。本研究では電食実験、乾湿繰り返し試験、物理
モデルによる計算、及び数値解析の手法を用いて、ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量を求めた。その
結果、50∼100mg/cm2となり、この値はコンクリート標準示方書の値よりも大きい。
2
目次
要旨 ............................................................................................................................................................................ 2
1.
2.
はじめに............................................................................................................................................................ 5
1.1
背景 ........................................................................................................................................................... 5
1.2
目的 ........................................................................................................................................................... 5
鉄筋コンクリート構造物のひび割れモードと鉄筋の腐食量.................................................................. 6
2.1
概要 ........................................................................................................................................................... 6
2.2
鉄筋の腐食とひび割れ発生メカニズム.............................................................................................. 6
(1)
塩分の進展........................................................................................................................................... 6
(2)
鉄筋の腐食........................................................................................................................................... 6
(3)
ひび割れの発生と進展 ...................................................................................................................... 7
2.3
3.
4.
理論モデル........................................................................................................................................................ 9
3.1
腐食ひび割れの力学モデル .................................................................................................................. 9
3.2
鉄筋に沿ったひび割れ3) ........................................................................................................................ 9
3.3
剥離ひび割れ..........................................................................................................................................11
3.4
計算 ......................................................................................................................................................... 13
乾湿繰り返し試験 ......................................................................................................................................... 14
4.1
試験目的 ................................................................................................................................................. 14
4.2
試験概要 ................................................................................................................................................. 14
(1)
4.3
実験装置............................................................................................................................................. 14
試験体 ..................................................................................................................................................... 15
(1)
剥離と鉄筋に沿ったひび割れの試験体........................................................................................ 15
(2)
鉄筋に沿ったひび割れと水平剥離ひび割れの試験体............................................................... 17
4.4
5.
鉄筋の腐食減量....................................................................................................................................... 7
試験体の処理......................................................................................................................................... 18
(1)
実験時の試験体の補修 .................................................................................................................... 18
(2)
腐食した鉄筋の調査 ........................................................................................................................ 19
4.5
試験経過 ................................................................................................................................................. 19
4.6
乾湿繰り返し試験から得られる腐食減量........................................................................................ 20
(1)
ひび割れの進展................................................................................................................................. 20
(2)
腐食の分布......................................................................................................................................... 20
(3)
腐食減量の算出................................................................................................................................. 21
(4)
電食試験との比較............................................................................................................................. 23
数値解析による腐食量の算出..................................................................................................................... 24
5.1
概要 ......................................................................................................................................................... 24
5.2
解析モデル ............................................................................................................................................. 24
(1)
解析手法............................................................................................................................................. 24
(2)
ひずみ軟化......................................................................................................................................... 26
3
(3)
材料特性............................................................................................................................................. 26
(4)
荷重の載荷と変位量および応力の出力........................................................................................ 27
5.3
6.
数値解析から得られる腐食減量 ........................................................................................................ 28
(1)
かぶりの腐食減量への影響 ............................................................................................................ 28
(2)
腐食生成物の違いによる腐食減量への影響 ............................................................................... 29
(3)
腐食減量の算出................................................................................................................................. 30
ひび割れ発生時の腐食減量......................................................................................................................... 31
6.1
電食実験より得られる腐食減量 ........................................................................................................ 31
6.2
乾湿繰り返し試験より得られる腐食減量........................................................................................ 31
6.3
理論モデルより得られる腐食減量 .................................................................................................... 32
6.4
数値解析より得られる腐食減量 ........................................................................................................ 32
6.5
ひび割れ発生時の腐食減量の提案 .................................................................................................... 33
謝辞 .......................................................................................................................................................................... 35
参考文献 .................................................................................................................................................................. 36
参考資料 .................................................................................................................................................................. 37
参考資料 1 剥離と鉄筋に沿ったひび割れの試験体の図 ......................................................................... 38
参考資料 2 鉄筋に沿ったひび割れと水平剥離ひび割れの試験体の図................................................. 44
参考資料 3 現在までに得られたひび割れのスケッチ ............................................................................. 55
参考資料 4 有限要素法について .................................................................................................................. 65
参考資料 5 数値解析に利用したモデルのひび割れ図 ............................................................................. 80
4
1. はじめに
1.1 背景
鉄筋コンクリート構造物は、コンクリートと鉄の複合材であり、力学的には、引張りに弱いコンク
リートを鉄が補強し、また耐久性上は錆び易い鉄をコンクリートが保護することにより、相互に相手
の欠点を補った優れた構造体である。日本の数多くの社会資本が鉄筋コンクリート構造物であり、今
後も数多くの鉄筋コンクリート構造物が造られると考えられる1)。
鉄筋コンクリート構造物は、一般に耐久性に優れていると言われてきたため、メンテナンスの必要
がないと考えられてきた。しかし、近年になって塩害、アルカリ骨材反応などをはじめとした様々な
コンクリート構造物の劣化が指摘されはじめ、維持管理の重要性が改めて認識されている。維持管理
において補修時期判断のひとつの目安は腐食ひび割れの発生時期であり、また腐食ひび割れの発生は
コンクリート構造物の耐久性を評価するための大きな指標の一つである。
鉄筋コンクリートの腐食ひび割れは、鉄筋が腐食することで生成される腐食生成物の体積が元の鉄
よりも大きいため結果的に鉄筋が膨張し、それによる内圧によって発生する。腐食ひび割れの発生時
期を推定するには、ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量を知る必要がある。
1.2 目的
ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量は、一般に電食実験の結果から求められ、コンクリート標準示方
書によると 10mg/cm2とされている。しかし、電食実験では以下のような問題点も指摘されている。①
腐食がひび割れ面に集中し、局所的な腐食が生じる。②鉄筋全体がアノードとなることから、二次元
的形状の腐食形態になる。③電食実験と実際の環境で発生する腐食生成物が若干異なる。さらに、実
構造物の鉄筋とコンクリートの間には、施工時のブリージングや乾燥収縮により隙間が開いている。
鉄筋が腐食すると、その隙間を腐食生成物が埋めてから内圧が発生する。しかし、電食実験における
鉄筋の腐食の場合、局所的な腐食により局所的に応力が集中し、ひび割れが発生するため、隙間の影
響が出にくいと考えられる。したがって、実構造物では空隙を埋めるために鉄筋の腐食生成物が多く
必要となる。
本研究は、電食実験、及び乾湿繰り返し試験の結果、理論モデル、及び数値解析を使った計算結果
から、実構造物のひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量を推定することを目的とする。
5
2. 鉄筋コンクリート構造物のひび割れモードと鉄筋の腐食量
2.1 概要
鉄筋コンクリート構造物は耐久力が高いとされ、多くの社会資本をはじめとする構造物に多用され
てきた。しかし、その寿命は本来想定されていたものよりも短いことが最近の研究で判ってきた。実
際にその短い寿命を終え、耐久力に問題を抱えている構造物も少なくない。
一方で、外観にかなりの変化が見られながら耐久力に問題のない構造物も存在している。腐食によ
る鉄筋の断面減少が 10 パーセント程度まではその耐久力はさほど減少せず、
その後急激に耐久力が低
下することが既往の研究で明らかになっている。耐久力の低下が始まる前に適切なメンテナンスを施
すためには、鉄筋の腐食の状態と鉄筋コンクリート構造物の耐久力の低下の関係を明らかにする必要
がある。
2.2 鉄筋の腐食とひび割れ発生メカニズム
(1) 塩分の進展
塩害環境下での鉄筋コンクリート部材の劣化は、塩化物イオンの浸透による鉄筋の不動態被膜の破
壊が発端と考えられる。鉄筋位置での塩化物イオン量が限界塩化物イオン量以上になると鉄筋の腐食
が開始する。コンクリート表面から浸透し、コンクリート中に浸透蓄積する塩化物イオンは、固体空
隙中のイオンの拡散、乾湿による移動、細孔中の毛管現象、塩化物イオンの一部のセメント水和物と
の反応による固定化、コンクリートの炭酸化による塩化物イオンの移動など、様々な要因により生じ
る。現在、すべての現象を表現するには至っておらず、鉄筋位置での塩化物イオン量を求めるために、
式(2.2.1)の Fick の一次拡散方程式を用いて表すことができると仮定する。
⎧⎪
⎛ X
⎞⎫⎪
t
⎟ +C
C c (X t , t) = (C F − C I )⎨1.0 − erf ⎜
I
⎜ 2 D ・t ⎟⎬
⎪⎩
c
⎝
⎠⎪⎭
(2.2.1)
ここで、 C c (X t , t) はコンクリート表面からの深さ X t における表面の塩化物イオンの浸透開始から
の経過時間ｔにおける塩化物イオン量、 D c は拡散係数、erf(・)は誤差関数、 C I は施工時のコンクリ
ート内に含まれる初期塩化物イオン量、また C F は塩化物イオンの表面濃度である。この塩化物イオ
ン量が鉄筋の酸化被膜を破壊する限界値を超えた時を腐食開始時期とする。
(2) 鉄筋の腐食
鉄の腐食には酸素と水が大きな役割を果たしている。鉄錆の形態は水分と鉄が反応して生成される
水酸化一鉄が主体である。鉄錆は表面全体に形成される場合、部分的に形成される場合、及び孔食と
なる場合などがある。空気中の酸素は酸化剤となり鉄筋の腐食反応に影響を及ぼす。酸素が存在する
環境下では、鉄筋の腐食反応が進行する可能性が大きくなる。酸素濃度が高くなると不動態の形成が
促進されるため腐食発生の確率は低下するが、腐食の進行速度は逆に速くなる。塩化物イオンの浸透
や中性化により不動態被膜が破壊された場合、酸素供給量が多くなるほど腐食の進行は早くなると推
測される。コンクリート中の酸素の量は酸素の拡散係数に支配されているものとする。
6
(3) ひび割れの発生と進展
塩害劣化は急に発生する現象ではなく、内部鋼材を腐食に至らせるための長期にわたる塩分蓄積が
必要である。本研究では、この塩分蓄積の時期を以下のように潜伏期、進展期、加速期、劣化期と分
ける2)。
・潜伏期
塩化物イオンがかぶりコンクリート中を浸透し、鉄筋付近に蓄積される過程である。塩化物イオン
の拡散速度に支配される。機能損傷は全く無く、健全な状態である。
・進展期
鉄筋が塩化物イオンにより腐食し始め、腐食生成物が蓄積され、腐食生成物の膨張圧でかぶりコン
クリートにひび割れが入る過程である。主として溶存酸素と水分の供給量及びコンクリートの電気抵
抗に支配される。機能損傷は潜伏期と比べると多少表れるが、ほぼ健全な状態である。
・加速期
鉄筋に沿うひび割れの発生によって、腐食速度が促進され、かぶりコンクリートのはく離はく落が
生じる過程である。支配要因は促進期とほぼ同様であるが、荷重作用も受ける。機能面ではひび割れ
の発生により、かぶりコンクリートと鉄筋の一体化が消失したり、破壊形式の変化が起こったり、耐
荷力の低下が見られたりする。健全度は潜伏期、進展期と比べると急に低下する。
・劣化期
鉄筋腐食が進み、断面減少が顕著になり、耐力の低下が明らかになる過程である。支配要因は加速
期とほぼ同様であるが、健全度は格段に低下する。
2.3 鉄筋の腐食減量
コンクリート構造物の維持管理において補修判断の重要な指標となる腐食ひび割れの発生時期を予
測するために必要な｢ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量｣はコンクリート標準示方書によれば、
10mg/cm2とされている。本研究ではひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量を算出するため図 2.3.1 のよう
にモデル化し、数値解析の結果に利用した。
7
コンクリートの応力q0
q0 により押さえられて下がる量
腐食後の鉄筋表
腐食生成物の量
実際のコンクリート表面の変位量Δh
腐食前のコンクリート表
空隙Δ
腐食前の鉄筋表
腐食減量
図 2.3.1 腐食減量のモデル
腐食生成物の量 l は式(2.3.1)のように表される。
l = n∆
(2.3.1)
ここで、n は腐食生成物の膨張率である。
また、コンクリートの応力q0は式(2.3.3)のように表される。
q 0 = Er' ε
(2.3.2)
δ
l
(2.3.3)
q 0 = Er'
ここで、Er’はコンクリートの弾性係数を減じたもの(N/mm2)である。
式(2.3.1)、(2.3.3)よりq0は式(2.3.4)のように表される。
q 0 = Er'
δ
n∆
(2.3.4)
また、図より式(2.3.5)が成り立つ。
∆h = l − δ − ∆ − ∆p
(2.3.5)
式(2.3.1)、(2.3.4)、(2.3.5)よりΔは式(2.3.7)のように表される。
q ⎞
⎛
∆h = n∆⎜1 −
⎟ − ∆ − ∆p
⎝ Er' ⎠
− ∆hEr'
∆=
nq 0 − (n − 1)Er'
これにより、Δhとq0が求まれば、腐食減量Δを求めることができる。
8
(2.3.6)
(2.3.7)
3. 理論モデル
3.1 腐食ひび割れの力学モデル
腐食ひび割れは、主鉄筋に沿ったひび割れを生じる場合が一般的であるが、今までの現場観測から、
鉄筋間隔が密に配筋された場合やコンクリートかぶりが十分に無い場合は、鉄筋に沿ったひび割れに
ならないことがある。主鉄筋が密に配筋された場合、図 3.1.1 のように水平剥離ひび割れが卓越するこ
とがわかっている。コンクリートかぶりが十分に無い場合は、図 3.1.2 のように表面剥離ひび割れを生
じることは明らかである。本研究では、コンクリートかぶりに着目し、このようなひび割れモードの
違いによってひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量にどのような影響があるか理論モデルを用いて調査し
た。影響因子はかぶり C を鉄筋径 φ で除した値 C/φ を用いた。
表面剥離ひび割れ
水平剥離ひび割れ
C
Φ
鉄筋に沿ったひび割れ
鉄筋に沿ったひび割れ
図 3.1.1 水平剥離ひび割れ
図 3.1.2 表面剥離ひび割れ
3.2 鉄筋に沿ったひび割れ3)
酸素の拡散により鉄筋腐食が進行し、腐食生成物の膨張圧によりひび割れが生じる。この力学モデ
ルを図 3.2.1 に示す。膨張した腐食生成物により鉄筋に生じる圧力q０、およびかぶり部に圧力q1が生じ、
表面にひび割れが生じると仮定した。
かぶりコンクリート
腐食生成物
腐食していない鉄筋
q1
q0
q0
鉄筋に作用する圧力
q1
抵抗領域
腐食生成物に作用する圧力
コンクリートに作用する圧力
図 3.2.1 鉄筋に沿ったひび割れの力学モデル
9
塩害による鉄筋の腐食は、全体的に発生することがこれまでの調査で明らかになっている。鉄筋の
応力、変位は円形に発生すると仮定し、腐食膨張圧によるひび割れ発生モデルとして厚肉円筒モデル
を採用した。鉄筋の腐食膨張圧による応力は均一に発生せず、鉄筋に近い方が大きい。応力の分布は
コンクリートの品質も関係するため、コンクリートのひび割れ発生条件として、平均応力説に基づい
てかぶりコンクリートに引張応力が均等に発生するものとして計算した。従って、かぶり部のコンク
リートの平均引張応力ft(N/mm2)は式(3.2.1)で表される。
ft =
1
α 0 (K 0 − 1)
q1
(3.2.1)
ここで、K0=(2X1+φ)/φ、X1はかぶり、φは鉄筋の径である。α0は平均応力説を用いたことにより一
様でない応力を平均化する修正係数で、α0 =0.6 とする。
q1およびq2は、コンクリートの剛性、形状および鉄筋の腐食量により決定され、次のような関係に
ある。
かぶりコンクリートは内圧を受ける厚肉円筒と仮定する。内圧q1(N/mm2)を受けるコンクリートの内
周半径方向変位uc(mm)は、式(3.2.2)で表される。
uc =
(1 + ν c ){(1 − 2ν c ) + K 0 2 }φ
(
2
)
2E c K 0 − 1
q1
(3.2.2)
腐食により径φが減少しており、腐食生成物が均一の厚さに鉄筋表面に生成されるものと仮定する
と、腐食により減少した径φ1と腐食生成物により増加した外周径φ2は、式(3.2.3)、(3.2.4)で表される。
2
φ1 = φ 2 −
4A w
π
(3.2.3)
φ 2 = φ 2 + 4(n − 1)
2
Aw
π
(3.2.4)
ここで、nは腐食生成物の体積膨張率である。また、Awは腐食減少部の断面積であり式(3.2.5)で表さ
れる。
AW =
∆r
100A r (t − t cr )
(3.2.5)
ここで、Arは鉄筋の断面積(mm2)、Δrは鉄筋の腐食速度(%/y)で、鉄筋の断面積に比例するものとし
て仮定した。
腐食生成物は、内径φ1，外径φ2の円筒であると仮定し、内圧q1、外圧q2が生じているとすると、内
周半径方向の変位ur0、外周半径方向の変位ur1はそれぞれ式(3.2.6)、式(3.2.7)で表される。
u r0 =
u r1 =
(1 + ν r )φ1 (
{1 − 2ν r )(q 0 − q1 ⋅ K12 ) + (q 0 − q1 )K 12 }
2
(3.2.6)
(1 + ν r )φ 2
(3.2.7)
(
)
) {(1 − 2ν )(q
2E r K 1 − 1
(
2
2E r K 1 − 1
r
)
}
− q 1 ⋅ K 1 + (q 0 − q 1 )
2
0
ここで、K1はφ1/φ2、νrは腐食生成物のポアソン比、Erは腐食生成物の弾性係数である。本研究で
は、既往の文献を参考に、Er=0.2N/mm2、νr=1/6 とした。
まだ腐食していない鉄筋断面は、中実軸の円形断面が外圧q0(N/mm2)を受けるものとして、式(3.2.8)
のように半径方向変位usを求めることができる。
10
us = −
(1 − ν s )φ1
2E s
q0
(3.2.8)
ここで、νsは鉄筋のポアソン比(=1/6)、Esは鉄筋の弾性係数Es=200N/mm2である。
鉄筋と腐食生成物、腐食生成物とコンクリートの力のつりあい条件から、式(3.2.9)の変位の境界条
件が得られ、腐食生成物の量からq1(N/mm2)およびq2(N/mm2)が求められる。
u r0 = u s
(3.2.9)
φ2 φ
− − u r1
2 2
uc =
従って、コンクリートが腐食生成物の膨張による内圧を受けることにより、発生する引張応力σtが、
コンクリートの引張強度ftu(N/mm2)を超えるとひび割れが生じる。式(3.2.10)のような性能関数Jr(t)が設
定される。
Jr ( t ) = σtu − f t
(3.2.10)
J r ( t ) = 0 となる時ひび割れが発生する。
3.3 剥離ひび割れ
かぶりが小さい場合、鉄筋腐食による膨張ひび割れによって表面コンクリートが剥離する。既往の
研究より、表面から鉄筋までの距離 D を鉄筋径φで除した値 D/φが 1.5 以下であれば剥離が卓越し、
それ以上であれば鉄筋に沿ったひび割れが発生することが示されている。一般に表面はく離ひび割れ
の角度はかぶりが大きいと狭くなり、かぶりが小さいと広くなる。本研究においては、一般的なモデ
ルとして図 3.3.1 のように表面コンクリートの剥離ひび割れは 45°方向に生じると仮定し、力学モデ
ルを構築した。フックの法則より応力は式(3.3.2)と表される。
σc = Ecε
σc =
(3.3.1)
Pc
φ
(3.3.2)
また、コンクリートひずみは式(3.3.3)と表される。
ε=
uc
tc
(3.3.3)
よって、剥離ひび割れが発生するコンクリート部に働く単位奥行あたりの力 Pc (N/mm)は式(3.3.4)の
ように表される。
Pc =
φ Ec u c
(3.3.4)
tc
ここで、φは鉄筋径(mm)、Ec はコンクリートのヤング率(N/mm2)、 t c はかぶり(mm)、uc は剥離ひび
割れが生じるために必要なコンクリート部位の変位(mm)である。
同様にフックの法則より腐食鉄筋の応力は式(3.3.6)と表される。
σcr = E cr ε
σcr =
(3.3.5)
Pcr
φ
(3.3.6)
鉄筋の両面において膨張が生じているので、腐食鉄筋のひずみは式(3.3.7)のように表される。
11
ε=
u cr
2n t cr
(3.3.7)
これより、腐食膨張圧によってコンクリートに生じる引張力 Pcr (N/mm)は式(3.3.8)のように表される。
φ E cr u cr
2n t cr
Pcr =
(3.3.8)
ここで、 Ecr は腐食生成物のヤング率、n は腐食生成物の膨張率、 t cr は腐食した鉄筋の厚さ(mm)で
ある。
また、腐食減量率を ∆ r (%)と置いたとき以下のような関係がある。
1
φ(1 − 1 − ∆r/100 )
2
t cr =
(3.3.9)
ここでucr (mm)は、剥離ひび割れが生じるために必要な腐食膨張による鉄筋の変位である。
Pc = Pcr より、式(3.3.10)となる。
φ Ec u c
tc
φ u
= E cr cr
2n t cr
(3.3.10)
ucについて解くと、式(3.3.11)が得られる。
uc =
t c E cr u cr
2nt cr E c
(3.3.11)
また、変位の適合性より式(3.3.12)のような関係がある。
u c + u cr = (n − 1)2 t cr
(3.3.12)
式(3.3.11)を式(3.3.12)に代入して、式(3.3.13)を得る。
t c E cr u cr
+ u cr = 2(n − 1) t cr
2n Ec t cr
(3.3.13)
これを u cr (mm)について解くと式(3.3.14)となる。
ucr =
4n(n −1) tcr2 Ec
tc Ecr + 2n tcr Ec
(3.3.14)
式(3.3.14)を式(3.3.8)に代入して、腐食膨張圧によりコンクリートに生じる引張力 Pcr (N/mm)は式
(3.3.15)のように表すことができる。
P cr = P =
2φ (n - 1) t cr ・ E c ・ E cr
2n・ t cr ・ E c ＋t c ・ E cr
(3.3.15)
引張力 Pc (N/mm)がひび割れ面の引張力 Pf = 2 t ・
c f tu に達した時、剥離ひび割れが発生すると考える。
ただし、 f tu はコンクリートの引張強度とする。
12
腐食していない鉄筋
腐食生成物
t c = n ⋅ t cr
Pu = A c ⋅ f t
剥離コンクリート
図 3.3.1 表面剥離ひび割れの力学モデル
3.4 計算
本力学モデルにおいて、かぶり厚さの違いによってひび割れモードに変化を与え、かぶりの大きさ
とひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量の関係を計算した。計算条件は、表面塩化物イオン濃度C0=20kg/m3、
等価拡散係数Dc=1.7×10-8cm2/secと平均的な既往の調査結果を与え、他は表 3.4.1 の値を採用した。鉄
筋径は、数値解析及び電食実験と同様にφ＝22mmである。表 3.4.2 に本計算から得られたかぶりの大
きさとひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量の関係を示す。かぶりが大きくなると腐食減量は増大するこ
とがわかる。
表 3.4.1 計算の諸条件
項 目
値
表面塩化物イオン濃度 C0
20.0kg/m3
等価拡散係数 Dc
1.7×10-8cm2/sec
コンクリートの圧縮強度 fc
30.0N/mm2
コンクリートの引張強度 ft
3.0N/mm2
鉄筋の腐食速度（ひび割れ発生前）Δr1
0.05%/yr.
鉄筋の腐食速度（ひび割れ発生後）Δr2
0.35%/yr.
限界塩化物イオン濃度 Ccr
1.2kg/m3
表 3.4.2 理論モデルより得られた腐食減量
鉄筋中心からコンクリート表面までの距離
(mm)
25
40
60
13
かぶり
(mm)
14
29
49
鉄筋の腐食減量
(mg/cm2)
9.4
20.2
40.4
4. 乾湿繰り返し試験
4.1 試験目的
鉄筋コンクリート構造物の塩害による耐荷力低下では、鉄筋が腐食し、増加した腐食生成物により
発生する膨張圧によりコンクリート表面にひび割れや剥離が発生、さらに腐食が進行すると、コンク
リートと鉄筋の間の付着力がなくなり、構造物としての機能が失われる、という過程をたどる。一般
に、鉄筋コンクリート構造物の補修の目安は、ひび割れが発生するまでとしている場合が一般的であ
り、ひび割れが発生した時点を補修の限界としている場合もある。この理由は、公共的な構造物にお
いては、かぶりコンクリートの剥落などといった第三者障害が考えられ、これを未然に防ぐためと考
えられる。
ひび割れ発生時の腐食減量を求めることを目的とする本研究においては、ひび割れが発生するまで
の過程も重要となる。既往の研究においては、鉄筋腐食によるひび割れ発生の解析結果を、電食実験
や静的破砕材による内圧をかけた実験の結果と照査してきた。実際の鉄筋コンクリート構造物におけ
るひび割れと照合した例は少ない。しかし、電食試験においては、電流を流すため電極の方に腐食が
起こりやすく、ひび割れが生じる部分のみに集中するために、比較的少ない腐食量で発生するという
問題がある。実際の鉄筋コンクリート構造物は、鉄筋付近の塩化物イオン濃度が限界濃度以上になっ
たとき腐食を開始するため、鉄筋全体に腐食が発生する。本研究では、実際の腐食機構を模擬するた
めに、乾湿繰り返しによる腐食試験を行う。本実験は供試体を海水に浸け、乾すことを繰返し、供試
体中の鉄筋を腐食させようとするものである。海水中に浸けることにより、供試体中に水と塩化物イ
オンを浸透させ、また乾かすことにより酸素を浸入させて、鉄筋の酸化を促進させる。実際の鉄筋コ
ンクリート構造物においても、同様の現象は起きている。本実験では乾湿繰り返しを定期的に行い、
鉄筋腐食を促進させるものである。
本実験の目的は、次の三つが挙げられる。電食実験による腐食形態と乾湿繰り返しによる腐食形態
を比較すること。次に、梁部材断面での多数鉄筋のひび割れモードの違いを検証すること。最後に、
ひび割れの発生した供試体の鉄筋の腐食量から、ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量を算出すること。
鉄筋のかぶりの大きさにより、ひび割れモードは変化すると考えられ、それにより、腐食減量も変化
する。本試験は実際の鉄筋コンクリート構造物の腐食減量と影響因子の関係を検証することを目的と
する。
4.2 試験概要
(1) 実験装置
写真 4.2.1 は水槽と、供試体の写真である。水槽に蓋をして海水を満たす過程を 3 日半、海水を抜き
乾す過程を 3 日半、1 週間を 1 サイクルとして実施している。供試体は両端に添え木を置いて固定し、
各方向から塩化物イオンが入りやすいようにした。写真 4.2.2 は海水を入れるタンクである。海水の温
度は 70 度、乾燥時の温度は 15 度とし、塩化物イオンが浸透し腐食が進みやすいようにした。ポンプ
で海水を写真 4.2.2 のタンクに汲み上げ、加熱し水槽に戻すサイクルを行っている。
14
写真 4.2.1 乾湿繰り返し試験装置（水槽）
写真 4.2.2 乾湿繰り返し試験装置（タンク）
4.3 試験体
(1) 剥離と鉄筋に沿ったひび割れの試験体
一般に鉄筋コンクリート構造物において、かぶりが小さいとはく離が生じ、かぶりが大きいと鉄筋
に沿ったひび割れが発生する。実際の構造物で、せん断補強筋付近はかぶりが小さくなる場合がある
ことから、よく見られる現象である。本研究では、最も影響が大きいと思われるかぶりをひび割れモ
ードの影響因子と考えた。同様の条件でかぶりを変えた供試体を作成、かぶりが変化することで、ひ
び割れ発生時の鉄筋の腐食減量にどのような影響があるか検証を行っている。
試験体は図 4.3.2 のようになる。一つの試験体について四方向で鉄筋四本を同時に腐食させる。塩化
物イオンはかぶり方向からのみ浸透するものとする。供試体の寸法は、20cm×20cm×14cm とした。
対象をせん断補強筋として異形鉄筋 D16 を採用した。試験での因子は、コンクリート表面から鉄筋中
15
心までの距離 C に対する鉄筋径φの無次元量 C/φとした。表 4.3.1 に供試体の一覧を示す。既往の観
測や理論から C/φが 1.5 以下になると剥離ひび割れが、1.5 以上になると鉄筋に沿ったひび割れが生じ
ることから、その値を挟むように試験体を設定した。写真 4.3.3 は実際の供試体の写真である。写真の
供試体は、かぶりが薄く水平剥離ひび割れが卓越すると想定される。供試体の全ての図を末巻の参考
資料 1 に示す。
表 4.3.1 供試体寸法
試験体
番号
補強筋
試験体名
有(S)
無(N)
かぶり
無次元量
C(mm)
C/φ
1
CS15
15
0.94
2
CS20
20
1.25
3
CS25
25
1.56
4
CS30
30
1.88
5
CS40
40
2.5
無(N)
備 考
鉄筋径は D16 を
採用する。
200
20
20
D16
100 140
200
20
20
C
D16
(上端下端をエポキシ樹脂で被膜)
図 4.3.2 供試体のモデル
16
写真 4.3.3 供試体の例
(2) 鉄筋に沿ったひび割れと水平剥離ひび割れの試験体
主鉄筋が密に配筋されている場合、鉄筋に沿ったひび割れが生じるよりも先に、鉄筋同士を結ぶよ
うに水平剥離ひび割れが発生することがある。本研究において、鉄筋間隔がひび割れモードの変化に
影響を与えていると考え、それによりひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量に影響があると考えられるた
め影響因子とした。同様の条件で鉄筋間隔のみを変化することにより、鉄筋間隔が密な時には水平は
く離ひび割れが生じ、鉄筋間隔が十分にある場合には鉄筋に沿ったひび割れが生じるようにさせたモ
デルを作成することにより、鉄筋間隔の違いによるひび割れモードの変化がひび割れ発生時の鉄筋の
腐食減量にどのように影響を与えるか検証している。
本研究は、かぶりは 40mm に固定し、鉄筋間隔を変えた供試体（図 4.3.5 参照）を作成した。図は
供試体の中央の断面で、腐食させる主筋として異形鉄筋Ｄ16 を採用した。供試体の下面からのみ塩化
物イオンが浸透できるものとし、せん断補強筋は腐食しないようエポキシ樹脂を塗り保護した。表
4.3.4 に試験体の一覧を示す。写真 4.3.6 は実際の供試体の写真である。写真の供試体は、鉄筋間隔が
狭く水平剥離ひび割れが卓越すると想定される。全ての供試体の図を末巻参考資料 2 に示す。
表 4.3.4 供試体寸法
鉄筋間隔lp(mm)
試験体長 L(mm)
η
HC30
30
170
0.75
HC40
40
200
1.0
50
230
1.25
HC60
60
260
1.5
HC70
70
290
1.75
試験体名
HC50
かぶり C(mm)
40
17
備考
鉄筋径 D16,せ
ん断補強筋
D10 とする。C/
φ=2.5
3･lp+80
B
D10
40
B’
180 100
D16
A’
A 40
D10
(エポキシ樹脂で被膜)
40
lp
lp
lp
40
L
図 4.3.5 供試体のモデル
図 4.3.6 供試体の例
4.4 試験体の処理
(1) 実験時の試験体の補修
鉄筋がコンクリートから飛び出している部分は、供試体作成時の鉄筋の固定に必要である。しかし、
試験開始後は不要になるばかりか、腐食の妨げになる。鉄筋はどこか一部で腐食が起こると、その部
分でのみ腐食が進行し、ほかの部分の腐食が妨げられる。これを防ぐために本研究の供試体では鉄筋
の飛び出している部分にエポキシ樹脂を塗布し、無駄な腐食を防いでいる。また、エポキシ樹脂がひ
び割れたり剥離したりして、さびが発生することがあるので、毎週確認し、補修を施している。補修
18
にはエポキシ系二液式接着剤を用いた。
(2) 腐食した鉄筋の調査
腐食ひび割れ幅が 0.1∼0.2mm に達すると、ひび割れの様子をスケッチした後、鉄筋のはつり出し
を行う。腐食した鉄筋の状態を調べるために、腐食部のスケッチと腐食量の測定を行う。腐食量の測
定はクエン酸二アンモニウム 10％溶液をさび取り剤として用いてさびを取り除き、腐食前の質量と比
較した。
4.5 試験経過
表 4.5.1 のように供試体を作成し、乾湿繰り返し試験を実施した。早いものでは試験開始後 4 週間で
ひび割れが発生したものもあるが、遅いものでは５９週かかったものもある。かぶりの影響とともに
鉄筋端部のさび発生が要因ではないかと考えられる。鉄筋端部にさびが発生すると、コンクリート内
部の鉄筋では腐食が進まず、ひび割れ発生が遅れることになる。一度鉄筋端部にさびが発生すると、
補修を施してもそこが弱点となるため、繰り返しさびが発生してしまう。よって、ひび割れの発生時
期に大きな差が生じてしまうものと考えられる。なお、試験は現在も継続中である。
ここでのひび割れ発生とは、目視でひび割れの発生を発見したときを指し、ひび割れ幅が 0.1mm か
ら 0.2mm に達した時点でコア抜き、鉄筋の腐食量の計測を実施した。
表 4.5.1 試験経過
2002 年
8月
6日
10 月 15 日
11 月 12 日
11 月 26 日
12
12
2003 年 1
1
3
月
月
月
月
月
24
31
7
28
18
日
日
日
日
日
4 サイクル
6 サイクル
10 サイクル
11 サイクル
14 サイクル
21 サイクル
4
5
6
8
10
10
月 7 日 24 サイクル
月 27 日 31 サイクル
月 3 日 32 サイクル
月 5 日 41 サイクル
月 7 日 50 サイクル
月 21 日 52 サイクル
11
11
11
11
12
12
12
12
月
月
月
月
月
月
月
月
5
11
18
25
2
9
16
22
日
日
日
日
日
日
日
日
53
54
55
56
57
58
59
サイクル
サイクル
サイクル
サイクル
サイクル
サイクル
サイクル
コンクリート型枠に打設
四週間水中養生
試験開始
CS15下面にひび割れ発生
鉄筋の端部にさびが発生、エポキシ樹脂により補修。
以下たびたびさびが発生し、そのたびに補修を施す。
CS15左面にひび割れ発生
CS25左面にひび割れ発生
試験装置故障のため１サイクル休止
CS15上面にひび割れ発生
CS15右面に二本のひび割れ発生
CS25右、下面ひび割れ発生
CS15右面のコア抜き
CS20下面のひび割れ発生
CS15左面のコア抜き
CS15上、下面のコア抜き
CS25右、下面のコア抜き
この日から２週間、試験装置の修理のため中断。
供試体は、濡らしたウェスに包んで保存。
再開
HC30、50、70を除く全ての供試体にひび割れが発生。
CS25左面のコア抜き
HC30に鉄筋に沿ったひび割れが発生
HC30の横に剥離ひび割れが発生
HC60に鉄筋に沿ったひび割れが発生
CS20左、下面のコア抜き
HC70に鉄筋に沿ったひび割れが発生。
また、HC40、50、60にも剥離ひび割れが発見される。
19
4.6 乾湿繰り返し試験から得られる腐食減量
(1) ひび割れの進展
図 4.6.1 にひび割れのスケッチの例を示す。また、巻末資料 3 に現在までに得られたひび割れのスケ
ッチを全て示す。今までに得られているかぶりの小さい供試体においては、どれも鉄筋に沿ったひび
割れが見られ、徐々に大きく進展した。ひび割れ幅が 0.1mm 前後になるとひび割れからさび汁が染み
出してくるものが多く、このあたりでひび割れが鉄筋まで貫通したものと考えられる。本研究では、
ここをひび割れの入り始めとして取り扱った。
CS15 左面
図 4.6.1 ひび割れの例
(2) 腐食の分布
供試体作成時に鉄筋の下部にはブリージングによる
図 4.6.2 に腐食した鉄筋のスケッチの例を示す。
弱点が形成される。
これにより、
鉄筋の腐食はかぶり側と作成時に下になった部分の両方が腐食する。
図 4.6.2 の CS15(鉄筋の中心からコンクリート表面までの距離が 15mm、かぶり厚は 7mm)の例では、
スケッチの中心であるかぶり側からずれている様子がよくわかる。これは、ブリージングの影響でか
ぶり側以外も腐食したことが示されている。
20
かぶり位置
図 4.6.2 鉄筋の腐食の例
(3) 腐食減量の算出
ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量とかぶりの関係を図 4.6.3 に示す。 本試験では、30∼40mmとい
ったかぶりの大きな試験体はコア抜きに至っておらず、かぶりが 10∼25mmの試験体のみ、結果が得
られている。現在までに得られた結果では、ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量はかぶりの大きさにか
かわらず 20∼90mg/cm2の範囲にある。
また、ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量と最大ひび割れ幅の関係を図 4.6.4 に示す。最大ひび割れ幅
はそのほとんどが 0.1mm で、若干大きな場合もある。図 4.6.4 に見られるように、腐食減量とひび割
れ幅の相関性は見られないため、ひび割れ発生時の腐食減量と同じであると考えられる。
21
図 4.6.3 ひび割れ発生時の腐食減量とかぶり
100
2
腐食減量Δ(mg/cm )
80
60
40
20
0
0
0.05
0.1
0.15
最大ひび割れ幅W(mm)
0.2
図 4.6.4 ひび割れ発生時の腐食減量と最大ひび割れ幅
22
0.25
(4) 電食試験との比較
現在まで乾湿繰り返し試験より得られたひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量は、電食試験より得られ
る結果 40mg/cm2とほぼ同程度の値となっている。しかし、この結果はかぶりの小さい試験体から得ら
れるもののみであり、実用されているかぶり 30∼40mmではもっと大きな腐食減量が得られることが
考えられる。
23
5. 数値解析による腐食量の算出
5.1 概要
現在、鉄筋コンクリート構造物の塩害劣化に伴うコンクリート隗の剥離剥落事故が問題となってい
る。コンクリート構造物の塩害の進行状態を調査する際、鉄筋の腐食減量を調べることはよくなされ
る手法である。本研究は、ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量について、コンクリートかぶり及び鉄筋
の腐食生成物の膨張率を影響因子としている。腐食生成物とコンクリートの変位の関係から、ひび割
れモードと影響因子の理論式を示した。理論式の結果を検証するために鉄筋コンクリート供試体の腐
食実験を行っている。理論式を検証し、実験における結果を予測するために、数値解析によるひび割
れ進展の検証を行った。その際、ひび割れモードのモデルとして、経験上最も起こりうるモードを選
択した。対象の供試体モデルはコンクリートかぶりとそれに伴う供試体の高さのみを変化させ、得た
値と鉄筋の腐食生成物の膨張率を加味して計算を実施した。解析する供試体モデルの諸寸法を図 5.1.1
に示す。主鉄筋は D22 を用いた。供試体表面(下面を除く)をエポキシ樹脂により塗装し、かぶり側か
らのみ塩化物イオンが浸入するようにし、梁のモデルに模した。主鉄筋の腐食膨張圧により、ひび割
れが発生するものと仮定した。
C×10
鉄筋 D16
かぶり C
図 5.1.1 供試体のモデル
5.2 解析モデル
(1) 解析手法
本研究では、前章で鉄筋の腐食減量算出の理論式を述べた。本章では理論式と数値解析の手法を用
いて、実験より得られたひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量を検証した。ひび割れ進展の数値解析の手
法として、有限要素法を用いた。有限要素法とは微小要素の集合を用いて、連続体力学における問題
を数値的に解析するために用いる近似法である。例えば、図 5.2.1 のように円または球において、有限
24
要素法では、二次元ならば三角形または四角形、三次元の場合には四面体、五面体、六面体の各要素
を用い対象領域を埋め尽くし、計算を行う。この各要素を小さくすれば近似解を真値に近づけること
ができる。
ある物体に荷重を加えると変形が生じる。荷重と変位の関係は、物体の剛
性を表すものと考えられる。荷重及び変位をベクトルで表し、マトリックス
表示したときに現れるマトリックスを剛性マトリックスという4)。有)限要素
法とは、荷重、変位、剛性マトリックスにより、連続体の問題を解析しよう
とするものである。本解析モデルは、主に六面体要素で供試体を分割した。
有限要素法に関して詳しい資料を参考資料 4 に示す。
図 5.2.2 は解析モデルである。本モデルでは図 5.2.2 に見られるように、二
図 5.2.1 要素分割
次元モデルでの計算を試みたが、コンクリートのひび割れ軟化をモデル化す
の例図
るにあたり、三次元ソリッド要素を使わなければならないという制限がある
ため、奥行きを単位量とした三次元モデルを採用した。主鉄筋の腐食による膨張をシミュレーション
するために、鉄筋部分に熱膨張する筒状の物体を置き、これに熱荷重を与えた。
図 5.2.2 解析モデル
25
(2) ひずみ軟化
初期ひび割れの進展に関して腐食鉄筋の膨張圧によりコンクリートが引張軟化を起こすものとし
た。コンクリートに引張応力が作用すると、ある部分に歪が局所的に現れ、ひび割れが発生する。コ
ンクリートはあるひび割れ幅まではひび割れを介してコンクリートのひび割れに直角方向の引張応力
が伝達される。図 5.2.3 に見られるようにひび割れが目視可能なひび割れ幅にまで進行する過程は、無
数の微細ひび割れが発生した状態でひび割れが進行し、次第に一本のひび割れへと成長する。ひび割
れを介してコンクリートに伝達される応力とひび割れ幅の関係を、引張軟化曲線という5)。図 5.2.4 に
塑性時の引張軟化曲線の例を示す。コンクリートが引張強度に達した後、ひび割れ幅の増加に伴い、
コンクリートに伝達される引張応力が減少する様子を表にした関係である(ただし、破壊エネルギー：
GF 引張力：ftとする)。ひび割れ領域の応力歪曲線を求めるためには、二つのパラメーターが必要と
なる。GFとはひび割れ開口によって消費されるエネルギーで、単位面積あたりのエネルギーGFで定義
される。本研究ではコンクリートのGF＝100Nm/m2を用いた。
引張力
微細ひび割れ
ひび割れ
図 5.2.3 引張軟化のモデル
(Kg/cm2 )
ft
GF
0.25ft
0
εcr 0.75GF／ft
5GF/fｔ
図 5.2.4 引張軟化曲線
(3) 材料特性
材料特性の一覧を表 5.2.5 に示す。表にも見られるように、コンクリートのポアソン比は一般的な
値を用いた。弾性係数はクリープ変形を考慮し、一般的な値 20000N/mm2を低減して用いた。ひび割
れのせん断伝達のための係数は、開口時は 0.2 と小さく、閉口時は 0.6 と大きくし、実験値はないが経
験的に設定した。一軸引張強度は一軸圧縮強度の十分の一とし、二軸圧縮強度はコンクリート標準示
26
方書による実験式ｆ=1.2fcより求めた。
表 5.2.5 コンクリートの材料特性
弾性係数
6000N/mm2
ポアソン比
0.2
亀裂開口時のせん断伝達係数
0.2
亀裂閉口時のせん断伝達係数
0.6
一軸引張強度
3.0N/mm2
一軸圧縮強度
30N/mm2
二軸圧縮強度
36N/mm2
(4) 荷重の載荷と変位量および応力の出力
鉄筋が腐食により膨張し、その膨張圧によりコンクリートに荷重がかかるものと仮定した。 荷重
は鉄筋部分に温度制御でステップ荷重を与え、鉄筋部分を熱膨張させ、腐食による鉄筋の膨張を模し
た。鉄筋部分の熱膨張率は 1.0×10-5mm/℃とし、計算はひび割れがかぶり面に貫通したところで終了
とした。
図 5.2.6 に荷重をかけたときのコンクリートの相当応力の進展を示す。相当応力とは、三軸状態の応
力を一軸状態に変換したものである。コンクリートの応力状態は、ひび割れが発生する前までは同心
円状に広がっていくが、最大値を迎え、ひび割れが発生すると応力の再配分が起こるため、ひび割れ
発生後の応力状態は不均等な状態となる。また、上面の変位を拘束しているため、縦方向の変位は下
方向に発生する。これらの影響を無くすために、コンクリートにかかる応力はひび割れが入り始める
寸前の、鉄筋表面の変位量はひび割れが貫通した瞬間のそれぞれ横方向成分を、鉄筋部分の左右端で
出力させて採用した。
27
図 5.2.6 相当応力の進展
5.3 数値解析から得られる腐食減量
(1) かぶりの腐食減量への影響
図 5.3.1 にかぶりが 14mm のとき、図 5.3.2 にかぶりが 49mm のときのひび割れの状態を示す。図は
供試体を横から見ているところで、ひび割れを透過して表示している。かぶりが小さいときには剥離
ひび割れが、かぶりが大きくなると鉄筋に沿ったひび割れが生じていることがわかる。ひび割れモー
ドの違いの影響により、鉄筋の腐食減量も変化が見られる。図 5.3.3、5.3.4 はどちらもかぶりが 49mm
のときのひび割れの様子であるが、メッシュ形状の影響を受けてひび割れモードが違っていることが
わかる。このときの鉄筋の腐食減量には 1.5 倍以上の格差があり、かぶりの大きさによるひび割れモ
ードの変化が鉄筋の腐食減量に与える影響は大きいと考えられる。本研究では、ひび割れモードの影
響を考慮して、経験上最も現実に近いひび割れが生じたものを結果として採用した。採用したモデル
のひび割れ状態を巻末資料 5 に示す。
28
図 5.3.1 ひび割れの様子 1 (14mm)
図 5.3.2 ひび割れの様子 2 (49mm)
図 5.3.3 ひび割れの様子 3 (49mm)
図 5.3.4 ひび割れの様子 4 (49mm)
(2) 腐食生成物の違いによる腐食減量への影響
式(2.3.7)に見られるように、本研究におけるモデルでは鉄筋の腐食減量は腐食生成物の膨張率の関
数となっている。腐食生成物の膨張率は、図 5.3.5 に見られるようにその種類により、1.8∼6.5 まで大
きく変化することが知られている。腐食生成物の膨張率が小さいほどひび割れ発生時の鉄筋の腐食減
量は大きくなり、その傾向は膨張率が小さいときほど感度が大きい。
29
1.0
Fe
1.8
腐食生成物の種類
FeO
2.2
Fe3O4
Fe2O3
2.3
3.8
Fe(OH)2
4.3
Fe(OH)3
6.5
Fe(OH)3 3H2O
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
腐食生成物の膨張率 n
図 5.3.5 腐食生成物の膨張率
(3) 腐食減量の算出
数値解析より得られたコンクリートの応力q0、およびコンクリートの変位Δhの値と腐食生成物の膨
張係数n、ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量Δの関係を表 5.3.6 に示す。ここでは式(2.3.7)を用いて計
算を行った。膨張係数については、一般に 2.5 前後といわれているが、ここでは 1.5∼2.5 で 0.5 おきに
計算した。
当然ではあるが、かぶり D が大きくなるほど、また鉄筋の膨張係数 n が小さくなるほどひび割れ発
生時の鉄筋の腐食減量は大きくなっている。
しかし、
かぶりの感度が膨張係数のそれに比べて小さく、
モデリングの精度に課題が残った。
表 5.3.6 解析より得られた腐食減量
かぶり C
(mm)
応力 q0
(N/mm)
変位 Δh
(mm)
14
1.656
0.00709
19
1.747
0.01132
29
1.823
0.01131
39
2.039
0.01119
49
1.920
0.01188
30
膨張係数 n
腐食減量 Δ
1.5
2.0
2.5
1.5
2.0
2.5
1.5
2.0
2.5
1.5
2.0
2.5
1.5
2.0
2.5
(mg/cm2)
33.419
16.491
10.978
40.784
20.110
13.386
40.891
20.150
13.412
41.042
20.187
13.434
42.034
20.696
13.774
6. ひび割れ発生時の腐食減量
6.1 電食実験より得られる腐食減量
図 6.1.1 は電食実験より得られた腐食ひび割れ幅と鉄筋の腐食減量の関係である。この実験では、か
ぶり 29mm(鉄筋の中心からかぶり面までの距離は 40mm)、主鉄筋に D22 を採用した。図 6.1.1 のグラ
フに線形近似直線を与え、切片を求めることで、ひび割れ発生時の腐食減量を求めることができる。
これより、電食実験より得られるひび割れ発生時の腐食減量は表 6.1.2 の通りとなる。
250
2
腐食減量(mg/cm )
200
150
100
50
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ひび割れ幅(mm)
図 6.1.1 ひび割れ幅と鉄筋の腐食減量
表 6.1.2 電食試験から得られる腐食減量
かぶりC 腐食減量Δ
(mm)
(mg/cm2)
29
40
6.2 乾湿繰り返し試験より得られる腐食減量
現在までに、乾湿繰り返し試験からは 9 本の腐食鉄筋が得られている。しかしながら、前章でも述
べたとおりかぶりの小さな供試体しか試験終了に至っておらず、今後実用されているかぶり厚が
30mm∼40mm の供試体からの結果が待たれる。乾湿繰り返し試験より得られるひび割れ発生時の鉄筋
の腐食減量は表 6.2.1 のとおりである。
31
表 6.2.1 乾湿繰り返し試験から得られる腐食減量
かぶりC 腐食減量Δ
(mm)
(mg/cm2)
6
85.41
6
80.49
9
71.13
7
24.08
17
51.93
10
33.25
12
85.83
12
66.43
14
59.07
6.3 理論モデルより得られる腐食減量
理論モデルにおける腐食生成物の膨張率 n は、一般的に用いられている 2.5 を採用した。鉄筋中心
からコンクリート表面までの距離を 25mm∼60mm に変化させて計算したため、実際のかぶりは鉄筋
半径を引いた 14mm∼49mm となる。理論モデルより得られるひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量は表
6.3.1 のとおりである。
表 6.3.1 理論モデルから得られる腐食減量
かぶりC 腐食減量Δ
(mm)
(mg/cm2)
14
9.4
29
20.2
49
40.4
6.4 数値解析より得られる腐食減量
数値解析では、腐食生成物の膨張率 n を 2.5∼1.5 に変化させて、n とひび割れ発生時の腐食減量Δ
の関係も調べた。もちろん、n が小さくなるほどΔが大きくなるのは自明であるが、その感度は当初
予想していたものよりもかなり大きいものだった。逆に数値解析ではΔに対するかぶり C の感度がさ
ほど大きくなく、理論モデルとの差が開く結果となった。数値解析より得られるひび割れ発生時の鉄
筋の腐食減量は表 6.4.1 のとおりである。
32
表 6.4.1 数値解析から得られる腐食減量
膨張率n かぶりC 腐食減量Δ
(mm)
(mg/cm2)
14
11.23
19
11.80
2.5
29
12.06
39
12.27
49
13.92
14
16.88
19
17.73
2
29
18.12
39
18.44
49
20.91
14
34.25
19
35.99
1.5
29
36.82
39
37.50
49
42.52
6.5 ひび割れ発生時の腐食減量の提案
図 6.5.1 は本研究で得られたかぶり C とひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量Δの関係を示している。
これより、ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量を推定した。
電食実験では腐食ひび割れが発生する部分に腐食が集中して起こるという特徴が見られる。対して、
乾湿繰り返し試験では腐食部分が広がって発生しており、実現象に近い現象であると言える。電食実
験、乾湿繰り返し試験、理論モデル、および数値解析より、ひび割れ発生時の鉄筋の腐食減量は 50∼
100mg/cm2であると言える。この値は、コンクリート標準示方書で示されている 10mg/cm2よりも大き
い。
33
100
電食実験
乾湿繰り返し試験
理論式(n=2.5)
数値解析(n=2.5)
数値解析(n=2.0)
数値解析(n=1.5)
90
2
腐食減量Δ(mg/cm )
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
かぶりC(mm)
図 6.5.1 かぶり C と腐食減量Δの関係
34
50
60
謝辞
本研究の遂行、取りまとめに際しまして、終始丁寧なご指導、ご鞭撻をいただきました指導教官の
松島学教官に心より感謝いたします。また、本研究の中の実験で数多くの助言、サポートをいただき
ました、四国総合研究所、土木技術部横田優主席研究員をはじめ、土木技術部の皆様に深く感謝いた
します。同時に、同研究室の大学院生、牧野誠太郎先輩には、私のふがいなさから多大なるご迷惑を
おかけしましたにもかかわらず、温かな助言、心からの叱咤激励いただきました。そして、黒田裕伸
君、奈良知典君は協力して研究、実験を実施し、仲間の大切さを学ぶことができました。ここに感謝
の意を表します。
最後となりましたが、学校生活において惜しまぬご助力をいただきました安全システム建設工学科
の教官各位に、厚く感謝いたします。
35
参考文献
1) 小林豊治・米澤敏男・出頭圭三：コンクリート構造物の耐久性診断シリーズ 3，鉄筋腐食の診断，
森北出版，1993
2) 片脇清士：最新コンクリート防食と補修技術，山海堂 pp．62∼66，1999
3) 松島学，堤知明，関博，松井邦人：塩害劣化における RC 構造物の設計かぶり，土木学会論文集，
No.490/V-23，pp．41∼49，1994.5
4) 三好俊郎：有限要素法入門改訂版，培風館
5) 松尾真紀：局所挙動を表現する有限要素モデルを用いた RC 構造のひび割れ進展と付着性状評価，
p.11，2002.11
36
参考資料
37
参考資料 1 剥離と鉄筋に沿ったひび割れの試験体の図
試験体
番号
補強筋
試験体名
有(S)
無(N)
かぶり
無次元量
C(mm)
C/φ
1
CS15
15
0.94
2
CS20
20
1.25
3
CS25
25
1.56
4
CS30
30
1.88
5
CS40
40
2.5
無(N)
ただしここで言うかぶり C とは鉄筋中心からコンクリート表面までの距離を指す。
38
備 考
鉄筋径は D16 を
採用する。
39
40
41
42
43
参考資料 2 鉄筋に沿ったひび割れと水平剥離ひび割れの試験体の図
鉄筋間隔lp(mm)
試験体長 L(mm)
η
HC30
30
170
0.75
HC40
40
200
1.0
50
230
1.25
HC60
60
260
1.5
HC70
70
290
1.75
試験体名
HC50
かぶり C(mm)
40
ただしここで言うかぶり C とは鉄筋中心からコンクリート表面までの距離を指す。
44
備考
鉄筋径 D16,せ
ん断補強筋
D10 とする。C/
φ=2.5
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
参考資料 3 現在までに得られたひび割れのスケッチ
CS15 上面ひび割れ
55
CS15 右面ひび割れ
56
CS15 下面ひび割れ
57
CS15 左面ひび割れ
58
CS20 右面ひび割れ
59
CS20 下面ひび割れ
60
CS20 左面ひび割れ
61
CS25 右面ひび割れ
62
CS25 下面ひび割れ
63
CS40 下面ひび割れ
64
参考資料 4 有限要素法について
1.有限要素法とは
有限要素法は、微小要素の集合を用いて連続体力学における問題を、数値
的に解析するために用いる近似法である。また他の近似法として代表的なも
のには差分法がある。
差分法では、図 1.1 に示しているように各要素を格子状に区切ることによ
り、差分近似していく。差分法では得られる差分式は簡単であるが、複雑な
図 1.1
形状の境界の処理場合、格子点が境界上にないため困難である。そこで図 1.1
の場合に、空間分割を四角形だけでなく三角形も許すと、図 1.2 のように境
界の形状を容易に近似できる。
有限要素法ではこのように、２次元ならば三角形または四角形、３次元の
場合には四面体、五面体、六面体の各要素を用い対象領域を埋め尽くす。そ
してこの各要素を小さくすれば近似解を真値に近づけることができる。
図 1.2
2.マトリックス法
有限要素法はマトリックス法とも呼ばれるが、厳密にはマトリックス法の中で連続体力
学の分野を取り扱うのが有限要素法であり、マトリックス法は構造力学等の分野をも含めた総称であ
る。
棒材(軸力のみが働く)を例にとって、マトリックス法で解析する手順を説明する。
棒材の剛性マトリックスを考える。
ε=
d
l
σ = Eε =
P
A
EA
p=
d
l
棒材の
⎧pi ⎫ ⎡ k − k ⎤ ⎧ui ⎫
⎨ ⎬=⎢
⎥⎨ ⎬
⎩ pj⎭ ⎣− k k ⎦ ⎩ uj⎭
剛性マトリックスは
k=
EA
l
そして図 2.1 のような棒材が x 軸からθだけ傾
いている場合の剛性マトリックスを考える。
ここでトラスは x’方向のみに剛性をもっている
から、剛性マトリックスのうち y’方向に関する項
はすべて 0 になる。よって節点力と変位の関係は
式(2.1)のようになる。
65
図 2.1
EA
⎧Px′i ⎫ ⎡⎢
⎪P ⎪ ⎢ l
⎪ y′i ⎪
0
⎨ ⎬ = ⎢ EA
P
⎪ x′j ⎪ ⎢−
⎪⎩ Py′j ⎪⎭ ⎢ l
⎣⎢ 0
EA
l
0
EA
l
0
0 −
0
0
0
⎤
0⎥ ⎧u x′i ⎫
⎪ ⎪
0⎥ ⎪u y′i ⎪
⎥⎨ ⎬
0⎥ ⎪u x′j ⎪
⎥ ⎪u ⎪
0⎦⎥ ⎩ y′j ⎭
(2.1)
x’∼y’における節点力と変位の関係では扱いにくいので，x∼y における節点力と変位の関係に置き
換える。まず x’∼y’における節点変位 u x ′i , u y′i , u x′j , u x ′j と全体座標系 x∼y に関する
u xi , u yi , u xj , u xj の関係は式(2.2)に示される。
u x ′i = u xi cosθ + u yi sinθ
u y′i = −u xi cosθ + u yi sinθ
(2.2)
u x ′j = u xj cosθ + u yjsinθ
u y′i = u xj cosθ + u yjsinθ
式(2.2)をマトリックス表示すると式(2.3)となる。
⎧u x′i ⎫ ⎡ cosθ sinθ
0
0 ⎤ ⎧u xi ⎫
⎪u ⎪ ⎢
⎪ ⎪
0
0 ⎥⎥ ⎪u yi ⎪
⎪ y′i ⎪ ⎢− sinθ cosθ
⎨ ⎬=
⎨ ⎬
0
cosθ sinθ ⎥ ⎪u xj ⎪
⎪u x′j ⎪ ⎢ 0
⎥
⎪⎩ u y′j ⎪⎭ ⎢⎣ 0
− sinθ cosθ ⎦ ⎪⎩u yj ⎪⎭
0
(2.3)
次に節点力に関しても、同じように x’∼y’における節点力から全体座標系 x∼y における節点力に置
き換える。
⎧p x′i ⎫ ⎡ cosθ
⎪p ⎪ ⎢
⎪ y′i ⎪ ⎢− sinθ
⎨ ⎬=
⎪p x′j ⎪ ⎢ 0
⎪⎩ p y′j ⎪⎭ ⎢⎣ 0
sinθ
0
cosθ
0
0
cosθ
− sinθ
0
0 ⎤ ⎧p xi ⎫
⎪ ⎪
0 ⎥⎥ ⎪p yi ⎪
⎨ ⎬
sinθ ⎥ ⎪p xj ⎪
⎥
cosθ ⎦ ⎪⎩ p yj ⎪⎭
(2.4)
式(2.3)、式(2.4)を式(2.1)に代入することにより、全体座標系 x∼y における節点力と変位の関係を求
めることができる。式(2.5)がその結果である。
⎧ p xi ⎫ ⎡ cos 2 θ
⎪p ⎪ ⎢
⎪ yi ⎪ ⎢ cos θ sin θ
⎨ ⎬=⎢
2
⎪ p xj ⎪ ⎢ − cos θ
⎪⎩ p yj ⎪⎭ ⎢⎣− cos θ sin θ
cos θ sin θ
sin 2 θ
− cos 2 θ
− cos θ sin θ
− cos θ sin θ
cos 2 θ
− sin 2 θ
cos θ sin θ
− cos θ sin θ ⎤ ⎧u xi ⎫
⎥⎪ ⎪
− sin 2 θ ⎥ ⎪u yi ⎪
⎨ ⎬
cos θ sin θ ⎥ ⎪u xj ⎪
⎥
sin 2 θ ⎥⎦ ⎪⎩u yj ⎪⎭
(2.5)
3.全体剛性マトリックス
前で求めた剛性マトリックスを用い、構造全体の剛性マトリックスを考える。ここでは図 3.1 のよ
うなトラスを例にする。
66
図 3.1 において、部材①は接点 1、2 を持ち、x 軸との
なす角は 0°である。 cos0° = 1 、 sin0° = 0 より剛性方
EA
である。これより、式(3.1)が成り立つ。
l
程式は k =
⎧ P1x ⎫
⎡1
⎪P ⎪
⎢0
⎪ 1y ⎪
⎢
k
=
⎨ ⎬
P
⎢− 1
2x
⎪ ⎪
⎢
⎪⎩P2y ⎪⎭
⎣0
0 − 1 0⎤ ⎧ u 1x ⎫
⎪ ⎪
0 0 0⎥⎥ ⎪ u 1y ⎪
⎨ ⎬
0 1 0⎥ ⎪u 2x ⎪
⎥
0 0 0⎦ ⎪⎩u 2y ⎪⎭
(3.1)
また、同様に部材②、③についても式(3.2)、式(3.3)が
成り立つ。
⎧ P1x ⎫
⎡0 0
⎪P ⎪
⎢0 1
⎪ 1y ⎪
⎨ ⎬ = k⎢
⎢0 0
⎪P3x ⎪
⎢
⎪⎩P3y ⎪⎭
⎣0 − 1
⎡ 1
⎢ 2 2
⎢
⎧ Px ⎫
⎢− 1
⎪P ⎪
⎪ 2y ⎪
⎢ 2 2
⎨ ⎬ = k⎢ 1
⎪P3x ⎪
⎢−
⎪⎩P3y ⎪⎭
⎢ 2 2
⎢ 1
⎢⎣ 2 2
0 0 ⎤ ⎧ u 1x ⎫
⎪ ⎪
0 − 1⎥⎥ ⎪ u 1y ⎪
⎨ ⎬
0 0 ⎥ ⎪u 3x ⎪
⎥
0 1 ⎦ ⎪⎩u 3y ⎪⎭
−
1
2 2
1
−
(3.2)
1
2 2
1
2 2
1
2 2
1
2 2
1
−
2 2
2 2
1
−
2 2
⎤
2 2 ⎥⎥
1 ⎥ ⎧u 2x ⎫
−
⎪ ⎪
2 2 ⎥ ⎪u 2y ⎪
1 ⎥ ⎨u 3x ⎬
−
⎥⎪ ⎪
2 2 ⎥ ⎪⎩u 3y ⎪⎭
1 ⎥
2 2 ⎥⎦
1
(3.3)
この三式を重ね合わせて全体剛性マトリックス式(3.4)を作る。
−1
0
⎡1
⎢0 1
0
⎢
1
⎢− 1 0 1 +
⎢
2 2
⎢
1
⎢0 0 −
2 2
⎢
⎢0 0 − 1
⎢
2 2
⎢
1
⎢ 0 −1
⎢⎣
2 2
−
0
0
1
2 2
1
2 2
1
2 2
1
−
2 2
⎤
⎥
⎥
⎥
−
2 2
2 2 ⎥
1
1 ⎥
−
⎥
2 2
2 2 ⎥
1
1 ⎥
−
2 2
2 2 ⎥
1
1 ⎥
−
1+
⎥
2 2
2 2 ⎥⎦
0
0
1
0
−1
1
また、荷重条件と拘束条件は図 3.1 より、
P3y = Pa
u 1x = 0
u 2x = u 2y = 0
となる。また、拘束されていない接点では反力が生じないので、
67
(3.4)
P1x = P3x = 0
これらの条件を考慮すると、全体の剛性方程式は式(3.5)となる。
−1
⎡1 0
⎢0 1
0
⎧0 ⎫
⎢
1
⎪P ⎪
⎢− 1 0 1 +
1y
⎪ ⎪
⎢
2 2
⎪⎪P2x ⎪⎪
⎢
1
⎨ ⎬ = k⎢ 0 0 −
2 2
⎢
⎪P2y ⎪
⎢0 0 − 1
⎪0 ⎪
⎢
⎪ ⎪
2 2
⎪⎩ Pa ⎪⎭
⎢
1
⎢ 0 −1
2 2
⎣⎢
−
⎤
⎥
⎥ ⎧u 1x ⎫
⎥⎪ 0 ⎪
−
2 2
2 2 ⎥⎪ ⎪
1
1 ⎥ ⎪⎪ 0 ⎪⎪
−
⎥⎨ ⎬
2 2
2 2 ⎥⎪ 0 ⎪
1
1 ⎥ ⎪u ⎪
−
3x
2 2
2 2 ⎥ ⎪⎪u ⎪⎪
1
1 ⎥ ⎩ 3y ⎭
−
⎥
1+
2 2
2 2 ⎦⎥
0
0
1
0
0
1
2 2
1
2 2
1
2 2
1
−
2 2
0
−1
1
(3.5)
式(3.5)は、未知項と既知項が混在していてわかりにくい。そこで、並び替えを行うと式(3.6)となる。
0
0
⎡1
1
1
⎢
−
⎧0 ⎫
⎢0
2 2
2 2
⎪0 ⎪
⎢
1
1
⎪ ⎪
⎢0 −
+
1
⎪⎪ Pa ⎪⎪
⎢
2 2
2 2
⎨ ⎬ = k⎢
1
1
P
⎪ 2y ⎪
−
⎢0
⎪ P1y ⎪
2 2
2 2
⎢
⎪ ⎪
0
0
1
−
⎢
⎪⎩P2x ⎪⎭
1
1
⎢− 1 −
⎢⎣
2 2
2 2
0
1
2 2
1
−
2 2
1
2 2
0
1
−
2 2
−1
1
⎤
⎥
0 −
⎧u 1x ⎫
2 2 ⎥⎥ ⎪ ⎪
1 ⎥ ⎪u 3x ⎪
−1
2 2 ⎥ ⎪⎪u 3y ⎪⎪
1 ⎥⎨ 0 ⎬
0 −
⎥⎪ ⎪
2 2 ⎥⎪ 0 ⎪
1
0 ⎥⎪ ⎪
1 ⎥ ⎪⎩ 0 ⎪⎭
0 1+
2 2 ⎥⎦
0
(3.6)
荷重ベクトル、変位ベクトルをともに２つに分けることが出来た。既知部分の荷重ベクトルをp1、
そして既知の変位ベクトルをu1、
未知の変位ベクトルをu2で表わす。
未知の荷重ベクトルをp2で表わす。
一方剛性マトリックスは４つの部分マトリックスに分けることが出来た。すると式(3.6)は、式(3.7)と
書くことができる。
⎧ P1 ⎫ ⎡ K 11
⎨ ⎬=⎢
⎩P2 ⎭ ⎣K 21
K 12 ⎤ ⎧ u 1 ⎫
⎨ ⎬
K 22 ⎥⎦ ⎩u 2 ⎭
(3.7)
式(3.7)を分解すると式(3.8)、式(3.9)が得られる。
{P1 } = [K 11 ]{u 1 } + [K 12 ]{u 2 }
(3.8)
{P2 } = [K 21 ]{u 1 } + [K 22 ]{u 2 }
(3.9)
変位ベクトルu2は既知量であり、零ベクトルである。よって、式(3.8)は式(3.10)となる。
{P1 } = [K 11 ]{u 1 }
(3.10)
ここで、荷重ベクトルp1は既知であり、変位ベクトルu1は未知であるから、式(3.10)は未知の
変位ベクトルu1に関する連立方程式(3.11)となる。
{u 1 } = [K 11 ]−1 {P1 }
(3.11)
68
さらに、式(3.11)を書き下して、式(3.12)を得る。
⎡
⎤
⎢
⎥
0
0 ⎥
⎧ u 1x ⎫
⎢1
1
1 ⎥
⎪ ⎪
−
⎨u 3x ⎬ = k ⎢0
⎢
2 2
2 2 ⎥
⎪u ⎪
⎢
⎩ 3y ⎭
1
1 ⎥
1+
⎢0 −
⎥
2 2
2 2⎦
⎣
−1
⎧0⎫
⎪ ⎪
⎨0⎬
⎪P ⎪
⎩ a⎭
(3.12)
式(3.12)を解とことにより、未知の変位が求められる。未知の変位が求められれば、式(3.9)に代入し
未知反力を得ることができる。
{P2 } = [K 21 ]{u 1 }
(3.13)
これより、未知反力p2を得ることができる。
4.有限要素法の基礎
図 4.1 のような４つの応力が正方形 ABCD に
働く場合について考える．
4.1 変位とひずみ
図 4.2 のように四角形 ABCD が応力を受けて
A’B’C’D’に変形したとする。この時、点 A から
y 成分を v とする。
点 A’の移動量の x 成分を u、
ここで、点 A から x 方向にΔx だけ離れた点
B(x+Δx,y)の x 方向の変位量が u+Δu のとき、
AB 間の x 方向の距離はΔu だけ伸びたことにな
る。これを単位長あたりに直すと式(4.1)となる。
εx =
⊿u ∂u
=
⊿x ∂x
図 4.1
(4.1)
また、せん断応力も働いているので、同様
にy方向へも変形する。τyxによるせん断ひず
みはΔu/Δy、τxyによるせん断ひずみはΔv/
Δxで表される。
これら二つのせん断ひずみの
和は式(4.2)である。
γ xy = θ x + θ y =
∂v ∂u
+
∂x ∂y
(4.2)
これは、せん断力による変形を表す。ほかの
力についても同様に式(4.3)に示される。これ
図 4.2
を変形‐ひずみ関係式という。
69
∂u
∂x
∂v
εy =
∂y
∂w
εz =
∂z
εx =
∂v ∂u
+
∂x ∂y
∂w ∂v
=
+
∂y ∂z
∂u ∂w
=
+
∂z ∂x
ε xy =
ε yz
ε zx
(4.3)
5.応力とひずみの関係
フックの法則により
σ = Eε
(5.1)
図 5.1 に示したように、棒材に応力を
加えると次のような関係が成り立つ。
ε y = −υε x = −υ
σ
E
(5.2)
よって、一般的にx方向のひずみεxは、
次の数式で表される。
εx =
{
(
1
σx − υ σy + σz
E
)}
(5.3)
となり同様に、
{
図 5.1
}
(5.4)
)}
(5.5)
1
εy =
σ y − υ(σ z + σ x )
E
εz =
{
(
1
σz − υ σx + σy
E
となる。
一方せん断応力τxyとせん断ひずみνxyとは、次の関係が成り立つ。
τ xy =
E
γ xy = Gγ xy
2(1 + υ)
(5.6)
τ yz =
E
γ yz = Gγ yz
2(1 + υ)
(5.7)
τ zx =
E
γ zx = Gγ zx
2(1 + υ)
(5.8)
となる。
平面応力の場合、応力のｚ方向はすべて 0 となる。したがって，γ yz = γ zx = 0
σ z = τ yz = τ zy = 0
となる。
したがって式(5.3)から(5.8)は次のように変形される。
(
)
(5.9)
(
)
(5.10)
εx =
1
σ x − υσ y
E
εy =
1
σ y − υσ x
E
70
2(1 + υ)
τ xy
E
γ xy =
(5.11)
6.三角形要素の剛性マトリックス
6.1 変位関数
有限要素法の場合、ある領域を適当な数の有限要素に分割する。このとき差分法では四角形だけだ
が、有限要素法では三角形も使用する。
そこで三角形要素について考えていく。
まず、要素内での応力あるいはひずみが一定であるとし、要素内の変位は節点変位を用いて１次式
で表される。また三角形は三つの節点をもつことから、三つのパラメーターを含む式として変位関数
を式(6.1)に表す。
u = α1 + α 2 x + α 3 y
(6.1)
υ = α4 + α5x + α6 y
図 6.1 の各節点のおける座標および変
位を式(6.1)に代入すると、式(6.2)が得ら
れる。
u i = α1 + α 2 x i + α 3 y i
υi = α 4 + α 5 x i + α 6 y i
uj
υj
uk
υk
= α1 + α 2 x j
= α4 + α5x j
= α1 + α 2 x k
= α4 + α5x k
+ α3y j
+ α6y j
+ α3yk
+ α6yk
(6.2)
また、式(6.2)をマトリックス表示する
と式(6.3)が得られる。
図 6.1
⎧ u i ⎫ ⎡1 x i
⎪ υ ⎪ ⎢0 0
⎪ i⎪ ⎢
⎪⎪ u j ⎪⎪ ⎢1 x j
⎨ ⎬=⎢
⎪υ j ⎪ ⎢ 0 0
⎪u k ⎪ ⎢1 x k
⎪ ⎪ ⎢
⎪⎩υ k ⎪⎭ ⎣⎢0 0
yi
0
0
0
1
xi
yj
0
0
1
0
xj
yk
0
0
0
1 xk
0 ⎤⎧a 1 ⎫
y i ⎥⎥ ⎪⎪a 2 ⎪⎪
0 ⎥ ⎪⎪a 3 ⎪⎪
⎥⎨ ⎬
y j ⎥ ⎪a 4 ⎪
0 ⎥ ⎪a 5 ⎪
⎥⎪ ⎪
y k ⎦⎥ ⎪⎩a 6 ⎪⎭
(6.3)
ここで、式(6.3)を式(6.4)と表現する。
{d} = [C]{a}
(6.4)
また、式(6.4)を{a}について解くと、式(6.5)を得る。
{a} = [C −1 ]{d}
(6.5)
ここで、
71
[C ]
−1
⎡x i y k − x k y j
⎢ y −y
j
k
⎢
⎢
xk − x j
1
=
⎢
0
2A ⎢
⎢
0
⎢
0
⎣⎢
⎡a i
⎢b
⎢ i
⎢c
=⎢ i
⎢0
⎢0
⎢
⎢⎣ 0
0
0
xi yk − x k y j
y j − yk
0
0
xi yk − x k y j
y j − yk
0
xk − x j
0
xk − x j
xi yk − x k y j
0
xi yk − x k y j
0
y j − yk
0
y j − yk
0
xk − x j
0
xk − x j
0
0
ai
0
ai
0
bi
0
bi
0
ci
0
ci
ai
0
ai
0
bi
0
bi
0
ci
0
ci
0
ただし、 a i = x j y k − x k y j ,
⎤
⎥
⎥
⎥
0
⎥
xi yk − x k y j ⎥
y j − yk ⎥
⎥
x k − x j ⎦⎥
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
ai ⎥
bi ⎥
⎥
c i ⎥⎦
0
0
(6.6)
b i = y j − y k , c i = x k − x j とする。
式(6.5)と(6.6)により未知数α1、α2、α3を求めることができる。さらに式(6.1)に代入すれば、式(6.7)
を得る。
u=
1
{(a i + b i x + c i y)u i + (a j + b j x + c j y)u j + (a k + b k x + c k y)u k }
2A
(6.7)
ただし、A は三角形要素の面積を表す。
同様に、変位νも節点変位νi、νj、νkを用いて表すことができ、式(6.8)となる。
ν=
1
{(a i + b i x + c i y )υ i + (a j + b j x + c j y)υ j + (a k + b k x + c k y )υ k }
2A
(6.8)
6.2 ひずみ−変位マトリックス
節点変位を用いて三角形要素内のひずみを求めてみよう。二次元問題におけるひずみは式(6.9)で表
すことができる。
∂u
∂x
∂v
εy =
∂y
∂u ∂v
γ xy =
+
∂y ∂x
εx =
(6.9)
式(6.9)に式(6.2)を代入すると、式(6.10)を得る。
72
εx = α2
εy = α6
(6.10)
γ xy = α 3 + α 6
式(6.10)をマトリックス表示すると式(6.11)を得る。
⎧ α1 ⎫
⎪α ⎪
⎧ ε x ⎫ ⎡0 1 0 0 0 0 ⎤ ⎪ 2 ⎪
⎪ ⎪ ⎢
⎥ ⎪⎪α 3 ⎪⎪
⎨ ε y ⎬ = ⎢0 0 0 0 0 1 ⎥ ⎨ ⎬
⎪γ ⎪ ⎢0 0 1 0 1 0⎥ ⎪α 4 ⎪
⎦ ⎪α ⎪
⎩ xy ⎭ ⎣
5
⎪ ⎪
⎪⎩α 6 ⎪⎭
(6.11)
式(6.11)を簡単に表すと式(6.12)となる。
{ε} = [S]{α}
(6.12)
式(6.12)の関係を節点変位とひずみの関係で表すため、式(6.12)に式(6.5)を代入する。
{ε} = [S][C −1 ]{d} = [B]{d}
(6.13)
ここで、[B]は変位‐ひずみマトリックスで、式(6.14)で示される。
⎡y j − yk
1 ⎢
[B] = ⎢ 0
2A
⎢x k − x j
⎣
0
xk − x j
yk − yi
0
0
xi − xk
yi − y j
0
y j − yk
xi − xk
y k − yi
x j − xi
0 ⎤
⎥
x j − xi ⎥
y i − y j ⎥⎦
(6.14)
6.3 応力−ひずみマトリックス
ひずみと応力の関係を考える。式(5.9)と(5.11)より式(6.15)を得る。
εx =
(
1
σ x − νσ y
E
(
εy =
1
σ y − νσ x
E
γ xy =
2(1 + ν)
τ xy
E
)
)
(6.15)
式(6.15)をマトリックス表示すると、式(6.16)を得る。
⎧ εx ⎫
0 ⎤⎧σ x ⎫
⎡ 1 −ν
⎪ ⎪
⎪ ⎪ 1⎢
0 ⎥⎥ ⎨ σ y ⎬
⎨ ε y ⎬ = ⎢− ν 1
⎪γ ⎪ E ⎢ 0
0 2(1 + ν)⎥⎦ ⎪⎩τ xy ⎪⎭
⎣
⎩ xy ⎭
(6.16)
簡単に書くと式(6.17)となる。
{ε} = [D]{σ}
(6.17)
D の逆行列は式(6.18)となる。
{ε} = [D −1 ]{σ}
(6.18)
73
したがって、式(6.19)を得る。
⎧σ x ⎫
E
⎪ ⎪
⎨σ y ⎬ =
2
⎪τ ⎪ 1 − ν
⎩ xy ⎭
0 ⎤⎧ ε x ⎫
⎡ 1 −ν
⎥⎪ ε ⎪
⎢− ν 1
0
⎥⎨ y ⎬
⎢
⎢⎣ 0
0 2(1 + ν)⎥⎦ ⎪⎩γ xy ⎪⎭
(6.19)
これが平面応力の場合の応力‐ひずみマトリックスである。また、平面ひずみの場合の応力‐ひずみ
マトリックスは式(6.20)に示される。
⎡
⎢ 1
⎧σ x ⎫
E(1 − ν) ⎢⎢ ν
⎪ ⎪
⎨σ y ⎬ =
⎪τ ⎪ (1 + ν )(1 − 2ν) ⎢1 − ν
⎢
⎩ xy ⎭
⎢ 0
⎣
ν
1− ν
1
0
⎤
⎥
⎥⎧ ε x ⎫
⎪ ⎪
0 ⎥⎨ ε y ⎬
⎥⎪ ⎪
1 − 2ν ⎥ ⎩γ xy ⎭
2(1 + ν) ⎥⎦
0
(6.20)
6.4 剛性マトリックス
弾性体に力が働くと変
形を生じ、外部から加え
られた仕事に応じたエネ
ルギーが貯えられる。こ
れをひずみエネルギーと
いう。このひずみエネル
ギーについて、弾性体の
微小正六面体を考え、物
体に六個の応力が作用す
る場合を考える。
弾性変形によって弾性
体内に貯えられたひずみ
図 6.2
エネルギーU を、応力σ
およびひずみεによって表してみる。ここでは図 6.2 のような微小正六面体に作用している応力六成
分のそれぞれについてひずみエネルギーを考えてみる。
まず垂直応力σ=Fxについて考えると、図 6.2 に示すようにσの作用する断面積はdydzであるから、
その時の力は、式(6.21)で示される。
Fx = σ x dydz
(6.21)
また、Fxによって生じるx方向の変位uは、式(6.22)で示される。
u = ε x dx
(6.22)
したがって、力Fxが作用し、変位dxが生じるときの微小体積に貯えられるひずみエネルギーΔUxは、
式(6.23)で表すことができる。
74
⊿U x = Fx u = σ x ε x dxdydz
(6.23)
全体積Vに貯えられるひずみエネルギーWxは、ΔUxを全体積でVにわたって積分することにより求
められ、式(6.24)に示される。
U x = ∫∫∫ σ x ε x dxdydz = ∫V σ x ε x dV
(6.24)
σy、σzについても同様に、式(6.25)、式(6.26)に示される。
U y = ∫∫∫ σ y ε y dxdydz = ∫V σ y ε y dV
(6.25)
U z = ∫∫∫ σ z ε z dxdydz = ∫V σ z ε z dV
(6.26)
次にy面に作用するx方
向のせん断応力τyxにつ
いて考える。図 6.3 に示
されるようにτyxの作用
する断面積がdxdzである
から、せん断力 Fyx は式
(6.27)に示される。
Fyx = τ yx dxdz (6.27)
Fyx によって生じる変
位は式(6.28)に示される。
u = γ yx dy
(6.28)
したがって、力Fyxが作
用し、
変位uが生じたとき
図 6.2
の微小体積に貯えられる
ひずみエネルギーΔUyx
は式(6.29)となる。
⊿U yx = Fyx u = τ yx γ yx dxdydz
(6.29)
また、全体積に貯えられるひずみエネルギーは式(6.30)となる。
⊿U yx = ∫∫∫ τ yx γ yx dxdydz = ∫V τ yx γ yx dV
(6.30)
τyz、τzxについても同様にしてひずみエネルギーを求めることができる。したがって、σx、σy、
σz、τxy、τyz、τzxが存在する場合のひずみエネルギーUは、式(6.24)、(6.25)、(6.26)、(6.30)より式(6.31)
となる。
(
)
U = ∫V σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx dV
(6.31)
よって、式(6.32)を得る。
U = ∫V {ε} {σ}dV
T
(6.32)
ところで、ここでは三角形要素を考えているため、二次元弾性体であるといえる。よって、
75
σ z = τ zx = τ yz = 0 （平面応力の場合）、または ε z = γ yz = γ xz = 0 （平面ひずみ）である。内部エネ
ルギーの式は式(6.33)に示される。
(
)
U IN = ∫∫ σ x ε x + σ y ε y + τ xy γ xy tdxdy
(6.33)
ただし、ｔはｚ方向の厚さである。
この内部エネルギーは外部から加えられたエネルギーに等しい。外力としては三角形要素の周辺上
に作用する表面力と三角形要素に加えられる体積力とが考えられるが、ここでは三角形要素が小さい
ために三角形内のひずみエネルギーに関係する力のみ考えることにする。よって、重力などの影響が
無視されて、体積力は無視できる。
また三角形要素の周辺上（S）の表面力｛q｝によるエネルギーは周辺の変位｛u｝を用いて、式(6.34)
のように示される。
∫ {u} {q}dS
T
(6.34)
また、三角形内で変位が、x、y の一次式で表されるときは、ひずみまたは応力は一定となるので、
図 6.3 に示されるように応力を各辺上で二等分して振り分けて i、j、k の各節点に力｛p｝が加わった
と考える。また各節点の変位を d とすると、外部から加えられたエネルギーは式(6.35)で示される。
T
∫ {u} {q}dS = {d} {p}
t
(6.35)
ただし、
｛p｝および｛d｝は、式(6.36)で示されると仮定する。
{p} = {p xi , p xi , p xj , p yj , p xk , p yk }T
(6.36)
{d} = {d xi , d xi , d xj , d yj , d xk , d yk }T
式(6.36)が内部エネルギーと等しいことから、式(6.37)を得る。
T
T
∫∫ {ε {σ}tdxdy = {d} {p}
(6.37)
式(6.37)の左辺は式(6.13)と(6.17)を用いて式(6.38)のように表される。
T
T
∫∫ { ε } { σ }tdxdy = ∫∫ ([ B]{ d } [ B][ D ]{ d }tdxdy
= ∫∫ { d } T [ B]T [ D ][ B]{ d }tdxdy
(6.38)
したがって、式(6.39)を得る。
{ d } T [ ∫∫ [ B]T [ D][ B]{ d }tdxdy − { p }] = 0
(6.39)
この数式は任意の｛d｝について成立しなければならないから、式(6.40)が成立する必要がある。
∫∫ [B] [D][B]{d}tdxdy = {p}
T
(6.40)
ここで、[B]、[D]、{ｄ}は x、y の関数ではないので、式(6.41)を得る。
[ K ] = ∫∫ [ B]T [ D][ B]tdxdy = At[ B]T [ D][ B]
(6.41)
ただし、A は三角形の面積で、ｔは要素の板厚である。[K]は三角形要素の剛性マトリックスで、式
(6.42)のようにも書ける。
76
{p} = [K ]{d}
(6.42)
7.アイソパラメトリック要素
写像
η
（‐1，+1）
+1
4
（+1，+1）
3
+1
‐1
0
η
（ｘ3，ｙ3）
３
（ｘ4，ｙ4）
４
ξ
ξ
２
ｙ
1
‐1
（‐1，‐1）
2
（+1，‐1）
１
（ｘ1，ｙ1）
（ｘ2，ｙ2）
ξη座標
ｘ
図 7.1
7.1 写像
四節点要素でも、形状が正方形や長方形では曲線で囲まれた領域を分割することができない。した
がって、一般的な四角形の要素が必要になる。
そのために、図 7.1 のように正方形要素を写像して作ることにする。まずξη座標で正方形要素を
定義する。一辺の長さは 2 である。
図 7.1 に示したように四つの節点に１∼４までの番号をふる。この時ξη座標の１∼４と xy 座標の
１∼４は対応している。よって式(7.1)のような条件が与えられる。
x i = x i (ξ i , ηi ) , y i = y i ( y i , y i ) ; (i = 1∼4)
(7.1)
ここで ( x1 , y1 ) は実際の要素の四つの節点の座標である。よって (ξ i ,η i ) は式(7.2)のように与えられ
る。
⎡ ξ 3 ⎤ ⎡1⎤
⎡ ξ1 ⎤ ⎡− 1⎤
⎡ξ 2 ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎡ ξ 4 ⎤ ⎡− 1⎤
⎢ ⎥=⎢ ⎥ , ⎢ ⎥=⎢ ⎥ , ⎢ ⎥=⎢⎥ , ⎢ ⎥=⎢ ⎥
⎣η1 ⎦ ⎣− 1⎦
⎣η 2 ⎦ ⎣− 1⎦
⎣η 4 ⎦ ⎣ 1 ⎦
⎣η3 ⎦ ⎣1⎦
(7.2)
式(7.2)はそれぞれについて四つずつの条件であるから、写像関係式としては四つずつの係数を含ん
だ関数を考える必要がある。そのような関数として式(7.3)のようなものを考える。
x(ξ, η) = α 0 + α 1 ξ + α 2 η + α 3 ξη
(7.3)
y(ξ, η) = β 0 + β1ξ + β 2 η + β 3 ξη
これに式(7.1) (7.2)の条件を課すると、八個の係数は式(7.4)を満足する必要がある。
77
⎡ x 1 ⎤ ⎡1 − 1 − 1 1 ⎤ ⎡α 0 ⎤
⎡ y 1 ⎤ ⎡1 − 1 − 1 1 ⎤ ⎡β 0 ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥⎢ ⎥
⎢ x 2 ⎥ = ⎢1 1 − 1 − 1⎥ ⎢ α 1 ⎥ , ⎢ y 2 ⎥ = ⎢1 1 − 1 − 1⎥ ⎢ β1 ⎥
⎢ x 3 ⎥ ⎢1 1
⎢ y 3 ⎥ ⎢1 1
1
1 ⎥ ⎢β 2 ⎥
1
1 ⎥ ⎢α 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥
⎥⎢ ⎥
⎣ x 4 ⎦ ⎣1 − 1 1 − 1⎦ ⎣α 3 ⎦
⎣ y 4 ⎦ ⎣1 − 1 1 − 1⎦ ⎣β 3 ⎦
(7.4)
式(7.4)を解いて式(7.3)に代入すると、写像関係式が式(7.5)のように表される。
4
x(ξ, η) = ∑ N i (ξξη)x i
i =1
4
, y(ξ, η) = ∑ N i (ξξη)y i
i =1
(7.5)
ここで、 N i (ξ ,η ) は形状係数といい、式(7.6)のように表される。
1
⎫
(1 − ξ)(1 − η) ⎪
4
⎪
1
N 2 = (1 + ξ)(1 − η)⎪
⎪
4
⎬
1
N 3 = (1 + ξ)(1 + η) ⎪
4
⎪
1
⎪
N 4 = (1 − ξ)(1 + η)⎪
4
⎭
N1 =
(7.6)
要素はxy座標に変換して使用する。この座標での変位ux，uyを式(7.5)の形状関数を用いて表せば、
式(7.7)を得る。
4
u x = N 1 u x1 + N 2 u x 2 + N 3 u x 3 + N 4 u x 4 = ∑ N i u xi
i =1
4
u y = N 1 u y1 + N 2 u y 2 + N 3 u y3 + N 4 u y 4 = ∑ N i u yi
(7.7)
i =1
ここで ( u x1 , u y1 ) ∼ ( u x 4 , u y 4 ) はそれぞれ節点 1∼4 の変位である。
形状係数 N i はξ、ηの関数なので、ξη座標と xy 座標との関係式が必要である。
ξη座標での節点 1∼4 が xy 座標の (x 1 , y1 ) ∼ (x 4 , y 4 ) に来るように座標変換を行う。節点変位と
同じように (x 1 , y1 ) ∼ (x 4 , y 4 ) も節点値の一つであると考えれば、要素内の x、y が式(7.6)の形状関数
N を用いて式(7.8)のように書くことができる。
4
u x = N1 x 1 + N 2 x 2 + N 3 x 3 + N 4 x 4 = ∑ N i x i
i =1
4
u y = N 1 y1 + N 2 y 2 + N 3 y 3 + N 4 y 4 = ∑ N i y i
(7.8)
i =1
式(7.8)はξη座標から xy 座標への変換式となる。
このような要素をアイソパラメトリック要素と呼ぶ。
8.ガウスの数値積分
ガウス数値積分は、積分点における関数の値f(aj)と、その点に対する重み係数Wjとの積和の形で定
積分の近似値を求めるものである。式(8.1)のような数値積分の形になる。
n
( )
In = ∑ W j f a j
j=1
(8.1)
なお、ガウス積分法のうち、積分区間が[‐1，1]のものはガウス‐ルジャンドル積分公式と呼ばれ、
78
式(8.2)に示される。
I = ∫abf (x )dx
(8.2)
式(8.3)のような、定積分において、変数を式(8.3)とおいて、x から t へ変換すると式(8.4)となり、積
分範囲を[‐1，1]に変換できる。
x=
1
(1 − t )a + 1 (1 + t )b （＝g(t)とおく）
2
2
(8.3)
b−a 1
∫ f (g(t ))dt
2 −1
(8.4)
b
∫a f (x )dx =
ガウスの数値積分は、積分領域が長方形あるいは直方体であるような二重積分、三重積分に対して
容易に適用することができる。積分区間は式(8.4)のように[‐1，1]に変換できるので、数値積分公式
は式(8.5)のようになる。
n
n
∫−1 ∫−1 f (u, v )dudv = ∑ ∑ Wi W j f ( a i , a j )
1
1
i =1 j=1
(8.5)
積分領域が一般の四角形や六面体の場合も、変数変換を行うことによって式(8.5)を適用することが
できる。
79
参考資料 5 数値解析に利用したモデルのひび割れ図
ひび割れが下面まで貫通した瞬間のひび割れ図である。
ここでのひび割れ図は、供試体を透過して見た図である。供試体表面までひび割れが現れているわ
けではない。
かぶり 14mm のときのひび割れ図
80
かぶり 19mm のときのひび割れ図
かぶり 29mm のときのひび割れ図
81
かぶり 39mm のときのひび割れ図
かぶり 49mm のときのひび割れ図
82