特殊な関数の極限の確認

特殊な関数の極限の確認
★ ちょっと特殊な関数の極限を確認しておこう
以下にあげる関数の極限は形は特殊ですが大事な関数の極限が並んでいます。
それぞれ，なぜなのか証明をしてみるとよりいっそう理解できるでしょう。
xn  1
n
x 1 x  1
lim
lim x  a
xa
lim
1  x 
n
1
x
x 0
n
lim x k  a k
xa
lim
xa
1
1
 k  a  0
k
x
a
xn
0
n  n !
lim
lim x  sin
x 0
1
0
x
lim
x 0
sin ax
1
ax
lim sin x  sin a
xa
lim
lim cos x  cos a
x 0
xa
sin x
1
x 0
x
lim
lim
x 0
1  cos x 1

x2
2
sin ax a

bx
b
lim
x 0
tan x
1
x
lim e  x  cos x  0
x 
ex

x  x n
lim
lim
log 1  x 
x 0
x
 1
lim 1    e
x 
x

x
1
lim
x 
log x
0
x
lim x log x  0
x 0
1
lim 1  x  x  e
x 0
ex  1
1
x 0
x
lim
ax 1
 log a  a  0 
x 0
x
lim
特に
で囲まれた極限は重要です！しっかり押さえておきましょう。
特殊な関数の極限の確認
★ ちょっと特殊な関数の極限の証明方法を確認しておこう
 x  1  x n 1  x n  2    1
xn  1
 lim
 lim  x n 1  x n  2    1  1  1    1  n
x 1 x  1
x 1
x 1
x 1
lim
lim
t  1  x とおくと lim
1  x 
1  x 
1

 1  1  x   1 1  x 
sin x  sin a  2cos
tn 1
n
t 1 t  1
xn
x x x
x
 lim       0
n! n  1 2 3
n
 lim
x
x 0
n
n
n 
n 1
 
 1  x     1  x 1  x 
n
n 1

 1  x     1 としてもよい
n
xa
xa
xa
sin
≦ 2 sin
2
2
2
1 より小さい
   , PQ ≦ PA
 なので sin  ≦ 
PQ  sin  , PA
右図より
0 ≦ sin   sin a ≦ 2 sin
 lim sin x  sin a  0 なので limsin x  sin a


また， cos x  sin  x   より
2

0 ≦ sin
関数 f  x  

O
xa
xa
≦2
 xa
2
2
x  a のとき， x  a  0
xa
xa
A  1, 0 
Q
P
lim cos x  cos a
xa
1
1
≦ 1 より， 0 ≦ x  sin ≦ x
x
x
x 0
x 0
sin x
は偶関数であるので右側極限値だけを確かめればよい。
x
P  cos x, sin x 
図において面積を比較すると，
△OAP の面積 ＜ 扇形 OAP の面積 ＜ △OAT の面積
sin x x tan x
sin x
 

2
2
2
2 cos x
2
x
1
sin x  0 より
をかけると 1 

sin x
sin x cos x
sin x
 cos x 
1
x
sin x
lim cos x  1 であるから lim
1
x 0
x 0
x
T 1, tan x 
これを偏角 x で表すと
lim
x 0
1
0
x
lim x  0 よりはさみうちの原理から lim x  sin
x
A  1, 0 
O
sin ax
a sin ax a
a
 lim 
 1 
x0 b
bx
ax
b
b
1  cos x
1  cos x 1  cos x   lim 1  cos 2 x  lim sin 2 x  lim  sin x   1
1
 lim

2
x 0
x

0
x  0 x 2 1  cos x
x
x 2 1  cos x 

 x 0 x 2 1  cos x  x 0  x  1  cos x  2
2
lim
lim
x 0
tan x
sin x
sin x 1
 lim
 lim

1
x  0 x cos x
x 0
x
x cos x
 1
an  1  
 n
n
1
1
1
1
 n C2  2  n C3  3    n Cn  n
n
n
n
n
n  n  1 n  2     1 1
n 1 n  n  1 1 n  n  1 n  2  1
 1  
 2
 3  
 n
1! n
2!
n
3!
n
n!
n
1 n 1 n  n  1 1 n  n  1 n  2 
1 n  n  1 n  2     1
 1   
 
  
1! n 2!
n2
3!
n3
n!
nn
1
1
1
≦1  1      
2! 3!
n!
1
1
1
≦ 1  1    2    n 1
2 2
2
n
  1  
1  1    
1
  2  
 1 
 3  n1
1
2
1
2
3
 n C0  n C1 
n
 1
上に有界なので lim an が存在する。この値を e と定義する( lim 1    e )
n 
n 
 n
n   x   x ≧ 1 とすると n ≦ x  n  1 より
1
1 1
1
1
1
 
1
1 1
n 1 x n
n 1
x
n
n
x
1   1  1

1 
   1    1  
x  n
 n  1 
n 1
x   のとき n   （追い越し禁止）なので
n
1  
1 

1 
  1 

 n 1  n 1
n 1
1
1 

1 
 e
 n 1
 1
1  
 n
n 1
 1
 1  
 n
t
1
 1
lim 1  x  x  lim 1    e
x 0
t 
 t
lim
n
log 1  x 
x 0
x
1
 1
1    e
 n
x
 1
 lim 1    e
x 
x

1
1
 lim log 1  x   lim log 1  x  x  log e  1
x 0 x
x 0
e x  1  t とおくと e x  t  1  x  log  t  1
a x  1  t とおくと a x  t  1  x  log a  t  1
ex  1
t
1
 lim
 lim
1
1
x 0
x  0 log  t  1
x 0
x
log  t  1 t
lim
lim
log x
t
 lim t  0 q.e.d .
t  e
x
log x
1
x  0 のとき log x  x
x  1 のとき 0 

x
x
1
log x
lim
 0 なので lim
 0 q . e. d .
x 
x 
x
x
log x  t とおくと x  et
lim
x 
0 ≦ cos x ≦ 1 より， 0 ≦ e  x cos x ≦
1
ex
lim e  x  0 よりはさみうちの原理から lim e  x cos x  0
x 
x 
ax 1
t
t
log a
 lim
 lim
 lim
 log a
1
x 0
x  0 log  t  1
x  0 log  t  1
x 0
x
a
log  t  1 t
log a
1
x  とおくと
t
1
t  lim  log t  0
lim x log x  lim
x 0
t 
t 
t
t
log