STABLY FILLING CURVES ON A SURFACE 市原一裕 奈良女子大学

STABLY FILLING CURVES ON A SURFACE
市原一裕
茂手木公彦
奈良女子大学理学部
日本大学文理学部
よく知られているように、負のオイラー標数を持つ向き付け可能な曲面
の向きを保つ自己同相写像 f は、周期的、可約、または、擬アノソフ写像
のいずれかに、曲面上イソトピックである (例えば [2] 参照)。これを f の
ニールセン・サーストン型ということにする。
ここで、種数 g ≥ 2 の閉曲面 F 上のある一点 x の近傍 Dx を固定する自
己同相写像 f を考え、その F̂ := F − intDx への制限 fˆ を考える。このと
き、f のニールセン・サーストン型と、fˆ の（F̂ 上での）ニールセン・サー
ストン型が異なる場合がある。
最も極端な場合、f が F 上で恒等写像とイソトピックな場合でも、fˆ が
F̂ 上で擬アノソフ写像とイソトピックになることがある。この場合、fˆ は、
閉曲線 c に沿って基点 x を動かすような写像 ϕc の F̂ への制限 ϕ̂c とイソト
ピックになり、さらに、そのような写像と、基本群 π1 (F, x) の元とが１対
１に対応することが知られている [1]。
実際、このような写像の擬アノソフ性に関しては、次が示されている。
定理 1 (Kra [6]). 閉曲面 F 上の閉曲線 c に沿って基点 x を動かすような写
像 ϕc の F̂ への制限 ϕ̂c が、F̂ 上で擬アノソフ写像とイソトピックになる必
要十分条件は、c が stably filling であることである。
ここで、F 上の閉曲線 c が stably filling であるとは、c とホモトピック
な任意の閉曲線について、その補領域の任意の連結成分が単連結となるこ
とである。
この定理の Kra による証明は、タイヒミューラー理論を用いるが、今回、
３次元多様体論を用いた純粋に位相幾何的な証明がつけることができた [4]。
一方、曲面上の自己同相写像の中で、擬アノソフ写像とイソトピックなも
のが、最も一般的だと考えられている。そこで、閉曲面 F 上の閉曲線全体
の中で、stably filling なものが、どのくらい一般的かという問題を考える。
ここで、もしある閉曲線が stably filling ならば、それに巻き付くものも
全て stably filling であるので、他の曲線に巻き付かない primitive な閉曲線
の自由ホモトピー類のなす空間を考えれば良い。また、曲面 F に双曲計量
を一つ定めると、primitive な閉曲線に対し、閉測地線が唯一に定まるので、
実際、F 上の閉測地線のなす空間を考えれば良い。
実際、この空間を、[3] において導入した位相を用いて、位相空間だとみ
なしたとき、次を示すことができた。
定理 2 ([5]). 種数 g ≥ 2 の閉曲面 F 上の primitive な閉曲線の自由ホモト
ピー類のなす空間において、stably filling closed curves のなす部分空間は、
開かつ稠密。
References
1. J. S. Birman; Mapping class groups and their relationship to braid groups,
Comm. Pure Appl. Math. 22 (1969), 213–238.
2. A. J. Casson and S. A. Bleiler; Automorphisms of surfaces after Nielsen and
Thurston, London Mathematical Society Student Texts, 9. Cambridge University
Press, Cambridge, 1988.
3. K. Ichihara; The space of closed geodesics on a surface, to appear in Interdiscip.
Inform. Sci..
4. K. Ichihara and K. Motegi; Nielsen-Thurston types of surface-automorphisms after
puncturing surfaces, preprint.
5. K. Ichihara and K. Motegi; Stably filling curves on a surface, preprint.
6. I. Kra; On the Nielsen-Thurston-Bers type of some self-maps of Riemann surfaces,
Acta mathematica 146 (1981), 231–270.