講義スライド2

現代の経済問題 IV
第 2 講: ベイジアン・ゲーム 1
三浦慎太郎
2013 年 9 月 30 日
神奈川大学
1
概要
1. ベイジアン・ゲーム．
➢ 情報の非対称性がある状況の駆け引き．
➜ 不完備情報ゲーム．
➜ ベイジアン仮説と信念．
➢ ベイジアン・ゲームの定式化．
➜ タイプと共通事前分布 (事前信念)．
➜ ベイズ公式と事後信念．
2. ベイジアン・ナッシュ均衡．
➢ ベイジアン・ナッシュ均衡の定義．
3. 不完備情報ゲームとベイジアン・ゲーム．
➢ 階層的信念と全体タイプ空間
➢ ベイズ同値仮説と信念の整合性．
2
1. ベイジアン・ゲーム
3
⃝ これまで扱ってきたゲーム的状況の特徴:
➜
➢ ゲームのルールとは，ゲームの構造を決定する要素.
❒ どのような戦略が選択可能であるのか？
❒ どのような選好を持っているのか？
➢ (例) チェス，将棋，すごろく，じゃんけん...etc．
➢ このようなゲームを
と呼称する．
⃝ 現実のゲーム的状況では必ずしも完備情報ゲームではない！
➢ 相手の選択可能な戦略についてよく知らない.
(例) カードゲーム (e.g., 大貧民)，麻雀.
➢ 相手の利得構造についてよく分からない.
(例) 企業は消費者の好みに関して不確実.
➢
➜
と呼称する.
4
⃝ 不完備情報ゲームの枠組みで
を分析できる．
➢ (例) ポーカーゲーム その 1．
❒ J 太郎と DB がポーカーをしている．
❒ DB は J 太郎の手札についてよく分からない．
➜ “3 カード” or “1 ペア”のいずれかと仮定．
❒ DB の手札は 2 ペアだとする．
❒ J 太郎・DB の行動は，“勝負する” or “降りる”
❒ DB は勝負を仕掛けるべきかどうか？
➢
．
➜ 特定のプレイヤーしか知らない情報を
➱ 専ら，
➱ DB の立場から見た J 太郎の手札．
➜ 私的情報が存在するゲームを
と呼称．
を想定．
と呼称．
5
⃝
．
➢ 不完備情報ゲームにおけるプレイヤーの行動原理．
➢ プレイヤーは
する．
➜ 主観的確率による予想を
(belief) と呼称する．
➢ (例) ポーカーゲーム その 1．
❒ DB は J 太郎の手札に関して信念を持つ．
➜ 3 カードが確率 2/3 で，1 ペアが確率 1/3．
➜ “J 太郎は
”ならば，DB は降りる．
❒ DB の選択だけで帰結が確定するならばこれで OK．
➜ 不確実性がある状況での意思決定問題．
❒ しかしゲーム的状況では，話はそこまで単純ではない．
6
⃝ 不完備情報ゲームの分析の難点．
➢ ベイジアン仮説に従うプレイヤーの意思決定行動:
❒
を予想 ➱ 予想下での最適行動.
❒ 相手の行動を予想する点に大きな問題が付きまとう…．
➢ (例) ポーカーゲーム その 2．
❒ J 太郎は DB の手札が “2 ペア”か “ストレート”か知らない．
❒ DB の立場から J 太郎の行動を予想する．
✓ J 太郎の行動は，DB の手札の予想に依存．
✓ J 太郎の行動を予想すること
➱
に繋がる．
➱ (DB の)
(second-order belief) と呼称．
➱ J 太郎の手札に関する予想を，(DB の)
(firstorder belief) と呼称.
7
⃝ 不完備情報ゲームの分析の難点．(続き)
➢ (例) ポーカーゲーム その 2.(続き)
❒ 意思決定行動: 一次・二次の信念 ➱ 最適行動．
❒ 相手の行動を予想すること
➱ 相手の一次・二次の信念を予想すること．
➱ 二次の信念への予想:
(third-order belief).
➱ 二次以上の信念:
(higher-order belief).
❒ より高次の信念に対しても同様の理屈が成立する．
➱ “予想の予想の予想の…”という無限階層を考えることに．
➱
(hierarchical belief) と呼称．
➢ 階層的信念を愚直に考えることは非常に煩雑…．
➜ 分析を容易にするため，次のようなアプローチをとる．
8
⃝ 不完備情報ゲームから不完全情報ゲームへ．
➢ ゲームの構造に関する共有知識の欠如が分析の難点．
➜ 不明な点について各プレイヤーが
を持つ．
➜ 階層的信念を考えるハメになる．
➢ 代わりに，
➜
の分析．
➜ 戦略的同値な不完全情報ゲームが
を分析しよう！
．
⃝ 復習: (不) 完備情報ゲームと (不) 完全情報ゲーム．
➢ 不完備情報ゲーム:
．
➢ 完備情報ゲーム:
．
➱ 完全情報ゲーム:
．
➱ 不完全情報ゲーム:
．
9
P子
映画
サッカー
Q 太郎
Q 太郎
サッカー
サッカー
映画
映画
1
2
0
0
0
0
2
1
⃝ 復習: (不) 完備情報ゲームと (不) 完全情報ゲーム．(続き)
➢ 完全情報ゲームの例: レディ・ファーストゲーム．
➜
➜
10
P子
映画
サッカー
Q 太郎
Q 太郎
サッカー
サッカー
映画
映画
1
2
0
0
0
0
2
1
⃝ 復習: (不) 完備情報ゲームと (不) 完全情報ゲーム．(続き)
➢ 不完全情報ゲームの例: 男女の争い．
➜
➜
11
ベイジアン・ゲーム
⃝
➢
．
と見なす．
➜
と
をモデルに導入．
➢ タイプ:
．
❒
: プレイヤー i のタイプ．
➜ θi が分かればプレイヤー i の利得を完全に捕捉可能．
➜ (例) θJ = 3 カード，θJ′ = 1 ペア．
❒
: プレイヤー i の
．
➜ “起こりうる”タイプ全体の集まり．θJ , θJ′ ∈ ΘJ .
➜
➱ 実現しうるタイプについてコンセンサスがとれている．
12
⃝
．(続き)
➢ 共通事前分布:
．
➜ (例) ポーカーゲーム その 2．
❒ ΘJ ≡ {3 カード，1 ペア }， ΘD ≡ { ストレート，2 ペア }．
❒ タイプ (手札) の組み合わせ (θJ , θD ) は以下の四通り:
➱ (θJ , θD ) = (3 カード，ストレート)，(3 カード，2 ペア)，
(1 ペア，ストレート)， (1 ペア，2 ペア).
❒
p(3 カード，ストレート) = 1/6.
p(3 カード，2 ペア) = 1/3.
p(1 ペア，ストレート) = 1/3.
p(1 ペア，2 ペア) = 1/6.
13
ベイジアン・ゲーム
⃝
.(続き)
➢ 共通事前分布:
．
➜ (例) ポーカーゲーム その 2(続き)．
❒
➱ 各手札の実現確率はプレイヤー間でコンセンサス有り．
➱ 事前では，人によって異なる予想を持つことがない．
➜ 共通事前分布の p，前述した信念と区別すること．
❒ 信念 (主観的予想) を導出するための “原材料”．
➱ 共通事前分布:
(prior belief)．
➱ 前述した信念:
(posterior belief).
❒ 事後信念の導出の方法は後述．
14
⃝
．(続き)
➢ ゲームのタイミング．
1.
．
(ex ante stage).
❒
❒
(神様) がサイコロを振り，対応する確率で各タイプ
の組み合わせが決定する．
2.
．
(interim stage).
❒ 自然が決定したタイプの組み合わせのうち，
を知る．依然として
．
❒
3.
．中間段階．
❒ 事後信念を前提にして，行動を決定する．
4. 帰結と私的情報の開示．
(ex post stage).
15
⃝
．(続き)
➢ ポーカーゲーム ver ベイジアン・ゲーム．
1. 共通事前分布に従って手札の組み合わせが決まる．
2. J 太郎・DB は自身の手札が何か把握する．
自身の手札から相手の手札に関する事後信念を形成する．
3. 事後信念に基づいて，“勝負” or “降りる”を決定．
➢ ポイント．
➜
➱
は知らない．
➱ ただし，
している．
➜ 不完備情報ゲームをベイジアン・ゲームに変換．
➱ 不完備情報ゲーム:
を知らない．
➱ ベイジアン・ゲーム:
を知らない．
➱ この変換を
と呼ぶ．
16
⃝ ベイジアン・ゲームの定式化．以下の要素を特定化する:
1. プレイヤー:
.
2. 行動:
❒
❒
3. タイプ:
❒
❒
.
: 行動プロファイルの集合．
.
. (有限集合を仮定)
: タイププロファイルの集合．
.
4. 利得関数 (vNM 効用関数):
❒ 利得は行動と自タイプに依存．
❒ 全タイプに依存 (i.e.,
.
.
).
.
5. 共通事前分布:
.
❒ タイププロファイル集合 Θ 上の確率分布．
❒ p(θ1, · · · , θn): θ ≡ (θ1, · · · , θn) が実現する確率．
17
⃝ 事後信念．
➢
❒ 自タイプと相手タイプが相関していると仮定する．
➜ 自タイプの情報は，部分的に相手タイプの情報を含む．
❒ 自タイプの情報 ➱ 相手タイプに対する予想を更新．
➢
で導出した
を採用．
定義 1
. (Bayes’ rule)
事象 A が実現したことを前提にした際の，事象 B の条件付確率
P r.(B|A) は以下のように与えられる:
(1)
18
ストレート
2 ペア
3 カード
1
6
1
3
1 ペア
1
3
1
6
⃝ 事後信念．(続き)
➢ ベイズ公式の使い方@ポーカーゲーム その 2．
P r.(スト) = P r.(3 カ ∩ スト) + P r.(1 ペ ∩ スト)
=
(2)
P r.(2 ペ) = P r.(3 カ ∩ 2 ペ) + P r.(1 ペ ∩ 2 ペ)
=
(3)
19
ストレート
2 ペア
3 カード
1
6
1
3
1 ペア
1
3
1
6
⃝ 事後信念．(続き)
➢ ベイズ公式の使い方@ポーカーゲーム その 2．(続き)
P r.(3 カ ∩ スト)
P r.(スト |3 カ) =
P r.(3 カ ∩ スト) + P r.(3 カ ∩ 2 ペ)
=
(4)
20
ストレート
2 ペア
3 カード
1
6
1
3
1 ペア
1
3
1
6
⃝ 事後信念．(続き)
➢ ベイズ公式の使い方@ポーカーゲーム その 2．(続き)
P r.(3 カ ∩ 2 ペ)
P r.(2 ペ |3 カ) =
P r.(3 カ ∩ スト) + P r.(3 カ ∩ 2 ペ)
=
(5)
21
ベイジアン・ゲーム
⃝ 共通事前分布の仮定によるメリット・デメリット．
➢ メリット:
➜ 事後信念はベイズ公式に基づいて一意に決まる．
➱ タイプが決まれば，信念も
決まる．
➜
➱ 他プレイヤーの信念に関する “コンセンサス”が出来る．
➱ 高次の信念を考慮する必要がなくなる！
➢ デメリット:
➜ “人々が同じ予想を持つこと”は現実的ではない？
➜ モデルの適用範囲を制限することにならないのか？
➜ 詳細は後述．
22
2. ベイジアン・ナッシュ均衡
23
⃝ ベイジアン・ゲームの戦略．
定義 2
ベイジアン・ゲームの純粋戦略．
プレイヤー i の純粋戦略は，
である．
➢ 展開形ゲーム (完全情報ゲーム) 同様に，
純粋戦略と呼ぶ．
のことを
➜ (例) J 太郎の純粋戦略@ポーカーゲーム その 2.
(6)
➜ 混合戦略: 純粋戦略の集合上の確率分布．
24
⃝
(Bayesian Nash Equilibrium)．
定義 3
.
以下の条件を満たす純粋戦略プロファイル
s∗ ≡ (s∗1(·), s∗2(·), · · · , s∗n(·)) を純粋戦略ベイジアン・ナッ
シュ均衡と呼称する:
の
と，
につ
いて，
(7)
➢ θ−i ≡ (θ1, · · · , θi−1, θi+1, · · · , θn) ∈ Θ−i.
➢ s−i(θ−i) ≡ (s1(θ1), · · · , si−1(θi−1), si+1(θi+1), · · · , sn(θn))
25
ベイジアン・ナッシュ均衡
⃝
➢
．(続き)
がベイジアン・ナッシュ均衡．
➢ 即ち，各プレイヤーの各タイプが次のように行動する状態:
❒
❒
を選択．
➢ イメージは，
➜ そのような “大人数”ゲームのナッシュ均衡．
．
➢ ベイジアン・ナッシュ均衡の存在は広範なクラスで保証．
➜ 完備情報ゲームのナッシュ均衡の存在より．(後述)
26
ベイジアン・ナッシュ均衡
⃝ ベイジアン・ナッシュ均衡の求め方．
➢ 男女の争い with オタク．
➜ P 子と Q 太郎による男女の争いを以下のように変更する．
➜ P 子のタイプは２種類: “通常”と “オタク”．
➜ 通常タイプはこれまで通りの P 子．
❒ (サ，サ) ➱ 2, (映，映) ➱ 1, それ以外 ➱ 0.
➜ オタクタイプはサッカー観戦が至上命題．
❒ サッカーを選択すれば必ず利得 2 を得る.
❒ 映画を選択すれば必ず利得 0.
➜ Q 太郎は P 子のタイプを知らない．
➜ 事前共通分布: 通常・オタクが 1/2 の確率ずつで実現．
➜ Q 太郎のタイプは通常タイプのみで，共有知識．
27
P
サッカー
P
サッカー
映画
2; 1
0; 0
Q
サッカー
映画
サッカー
2; 2
0; 0
映画
0; 2
1; 0
Q
映画
0; 0
1; 2
通常タイプ
オタクタイプ
⃝ ベイジアン・ナッシュ均衡の求め方．(続き)
➢ (例) 男女の争い with オタク．(続き)
➜ 各タイプ毎の利得行列は上のようになる．
➜ P 子は左右どちらをプレイしてるか正確に把握．
➱ 利得行列の数字の大小で最適反応を決定．
➜ Q 太郎は左を 1/2，右 1/2 でプレイしていると想定．
➱
で最適反応を決定．
28
P
サッカー
P
サッカー
映画
2; 1
0; 0
Q
サッカー
映画
サッカー
2; 2
0; 0
映画
0; 2
1; 0
Q
映画
0; 0
1; 2
通常タイプ
オタクタイプ
⃝ ベイジアン・ナッシュ均衡の求め方．(続き)
➢ (例) 男女の争い with オタク．(続き)
➜ Q 太郎の事後信念:
．
➱ Q 太郎のタイプは通常タイプのみ．
➱ Q 太郎のタイプと P 子のタイプは
．
✓ Q 太郎のタイプは P 子のタイプに関する情報なし．
➱
29
ベイジアン・ナッシュ均衡
P
サッカー
映画
サッカー
2; 1
0; 0
映画
0; 0
1; 2
Q
通常タイプ
⃝ ベイジアン・ナッシュ均衡の求め方．(続き)
➢ (例) 男女の争い with オタク．(続き)
➜ 通常タイプ P 子の最適反応:
❒ Q 太郎のサッカー選択を前提 ➱ ❒ Q 太郎の映画選択を前提 ➱ ．
．
30
ベイジアン・ナッシュ均衡
P
サッカー
映画
サッカー
2; 2
0; 0
映画
0; 2
1; 0
Q
オタクタイプ
⃝ ベイジアン・ナッシュ均衡の求め方．(続き)
➢ (例) 男女の争い with オタク．(続き)
➜ オタクタイプ P 子の最適反応:
❒ Q 太郎のサッカー選択を前提 ➱ ．
❒ Q 太郎の映画選択を前提 ➱ ．
➜ オタクタイプは
を選択する．
31
P
サッカー
P
サッカー
映画
2; 1
0; 0
Q
サッカー
映画
サッカー
2; 2
0; 0
映画
0; 2
1; 0
Q
映画
0; 0
1; 2
通常タイプ
オタクタイプ
⃝ ベイジアン・ナッシュ均衡の求め方．(続き)
➢ Q 太郎の最適反応:
➜ Q 太郎の期待利得．(Q: サッカー，P: サッカー・サッカー)
(8)
➜ Q 太郎の期待利得．(Q: 映画，P: サッカー・サッカー)
(9)
➜ (サッカー・サッカー) への最適反応は
．
32
P
サッカー
P
サッカー
映画
2; 1
0; 0
Q
サッカー
映画
サッカー
2; 2
0; 0
映画
0; 2
1; 0
Q
映画
0; 0
1; 2
通常タイプ
オタクタイプ
⃝ ベイジアン・ナッシュ均衡の求め方．(続き)
➢ Q 太郎の最適反応:
➜ Q 太郎の期待利得．(Q: サッカー，P: サッカー・映画)
(10)
➜ Q 太郎の期待利得．(Q: 映画，P: サッカー・映画)
(11)
➜ (サッカー・映画) への最適反応は
．
33
P
サッカー
P
サッカー
映画
2; 1
0; 0
Q
サッカー
映画
サッカー
2; 2
0; 0
映画
0; 2
1; 0
Q
映画
0; 0
1; 2
通常タイプ
オタクタイプ
⃝ ベイジアン・ナッシュ均衡の求め方．(続き)
➢ Q 太郎の最適反応:
➜ Q 太郎の期待利得．(Q: サッカー，P: 映画・サッカー)
(12)
➜ Q 太郎の期待利得．(Q: 映画，P: 映画・サッカー)
(13)
➜ (映画・サッカー) への最適反応は
．
34
P
サッカー
P
サッカー
映画
2; 1
0; 0
Q
サッカー
映画
サッカー
2; 2
0; 0
映画
0; 2
1; 0
Q
映画
0; 0
1; 2
通常タイプ
オタクタイプ
⃝ ベイジアン・ナッシュ均衡の求め方．(続き)
➢ Q 太郎の最適反応:
➜ Q 太郎の期待利得．(Q: サッカー，P: 映画・映画)
(14)
➜ Q 太郎の期待利得．(Q: 映画，P: 映画・映画)
(15)
➜ (映画・映画) への最適反応は
．
35
ベイジアン・ナッシュ均衡
⃝ ベイジアン・ナッシュ均衡の求め方．(続き)
➢ 各プレイヤーの最適反応のまとめ:
➜ 通常タイプ P 子: サッカー ➱ サッカー，映画 ➱ 映画.
➜ オタクタイプ P 子: 常にサッカー．
➜ Q 太郎:
❒ (サ・サ)，(サ・映)，(映・サ) ➱ サッカー．
❒ (映・映) ➱ 映画．
➢ 互いに最適反応を選択している状態を探す:
➜ オタクタイプの P 子は常にサッカーを選択．
➱
だけが均衡になりうる．
➱ Q 太郎が均衡で選択する行動は，
．
➱ Q 太郎のサッカーを前提 ➱ 通常 P 子は
を選択．
36
ベイジアン・ナッシュ均衡
⃝ ベイジアン・ナッシュ均衡の求め方．(続き)
➢ 男女の争い with オタク．(続き)
➜ ベイジアン・ナッシュ均衡は以下のようになる:
(16)
(17)
➢
➜ 複雑なゲームでも基本はこのやり方で対応できる．
37
3. ベイジアン・ゲーム
と
不完備情報ゲーム
38
⃝ ここまでの議論でよく出てくる疑問:
1.
➢ 階層的信念とタイプアプローチの関係性は？
➜ タイプアプローチに取りこぼしはないのか？
2.
➢ 不完備情報ゲームとベイジアン・ゲームは別物．
➢ ハーサニ変換して分析することに問題はないのか？
➜ 不完備情報ゲームの均衡では別の帰結を導かないのか？
3.
➢ 事前分布とは “ゲーム開始前”の予想と解釈．
➢ その予想がプレイヤー間で共通していることを要求．
➜ この仮定は制約的なのではないか？
➱ 厳密には非常にテクニカルな議論．直観的に説明する．
39
ベイジアン・ゲームと不完備情報ゲーム
1. タイプによるアプローチの妥当性．
➢ 相手について分からないことを全て “タイプ”で一括りにした．
➜ 便宜的に “ハーサニ・モデル”と呼称する．
➢ 階層的信念を考察することがベイジアン仮説での本筋．
➜ 便宜的に “信念モデル”と呼称する．
➢ ハーサニ・モデルと信念モデルの関連性とは？
➜
➢ 解答:
➜ 任意の信念を許容する “巨大”なハーサニ・モデルが作れる．
➜ ハーサニ・モデルで分析を進めることは無問題！
40
1. タイプによるアプローチの妥当性．(続き)
➢ もし “No”ならば，ハーサニ・モデルに取りこぼしが…．
➢ 信念モデルで不完備情報ゲームを定式化する:
➜ N ≡ {1, 2, · · · , n}: プレイヤーの集合．i ∈ N .
∏n
➜ Ai: i の行動集合．A ≡ i=1 Ai = A1 × · · · × An.
➜ S: 不確実なパラメータの集合．
➜ ui : A × S → R: プレイヤー i の vNM 効用関数．
➜ 信念．
➢ 階層的信念の構成．
➜
: プレイヤー i の一次の信念の集合．
❒ 一次の信念:
➜
: i の二次の信念の集合．
❒ 二次の信念:
41
1. タイプによるアプローチの妥当性．(続き)
➢ 階層的信念の構成．(続き)
➜ 帰納的に k(≥ 3) 次の信念の集合も定義できる:
(18)
➜ 階層的信念の集合 Bi∞ を以下のように定義する:
(19)
➜ Bi∞ の中には “不適切”な階層的信念も含まれている．
❒ k 次の信念と k − 1 次の信念が “チグハグ”なもの．
❒ Bi ⊂ Bi∞: チグハグではない階層的信念の集合．
❒ Bi を
(universal type space) と呼称.
42
ベイジアン・ゲームと不完備情報ゲーム
1. タイプによるアプローチの妥当性．(続き)
➢ タイプ = 階層的信念．
➜ Bi: 全体タイプ空間．
と見なす．
❒
∏
➜ ∆(S × j∈N \{i} Bj ):
❒ S と i 以外の全体タイプ空間上の同時確率分布の集合．
❒
と見なす．
∏
➜ Bi と ∆(S × j∈N \{i} Bj ) は
する！
∏
❒ そのような関数 qi : Bi → ∆(S × j∈N \{i} Bj ) が存在．
❒
43
ベイジアン・ゲームと不完備情報ゲーム
1. タイプによるアプローチの妥当性．(続き)
➢ ハーサニ・モデルへの変換.
∏
➜ pi を qi の j∈N \{i} Bj に関する周辺確率分布とする．
❒ 自身のタイプをインプットした場合，他プレイヤーのタイ
プに関する信念を qi と “整合的”な形でアウトプットする．
➜ 以下のようなハーサニ・モデル H ∗ を考える:
❒ プレイヤー: N , 行動: Ai, タイプ:
.
❒ 利得: vi(ui から変形), 信念: .
➜
．
❒ 任意の信念モデルはハーサニ・モデル H ∗ で描写可能！
❒ ハーサニ・モデルに取りこぼしなし！
44
1. タイプによるアプローチの妥当性．(続き)
➢ ハーサニ・モデル H ∗ の位置づけ．
➜ 実際にハーサニ・モデル H ∗ を用いて分析を試みるか？
❒ No！H ∗ は非常に複雑なので，扱いにくい…．
➜ H ∗ はハーサニ・モデルの正当性を主張する “証拠”．
❒ 具体的な分析はより単純なハーサニ・モデルで行う．
➢ 一連の研究を
(epistemic game theory) と呼称する．
➜ Mertens and Zamir (1985).
➜ Brandenburger and Dekel (1993).
➜ この説明は Myerson (1991) に基づく．
➜ Perea, Andrés (2012) Epistemic Game Theory:
Reasoning and Choice, Cambridge University Press.
45
ベイジアン・ゲームと不完備情報ゲーム
2. ベイジアン・ゲームを分析することの妥当性．
➢ 不完備情報ゲームとベイジアン・ゲームは本質的に異なる．
➢ ベイジアン・ゲームで分析することに祖語はないのか？
➜ 即ち，分析結果が変わってしまうことはないのか？
➢ 解答:
➜ 不完備情報ゲームの均衡はベイジアン・ゲームの均衡．
➢ ハーサニ・モデルによる不完備情報ゲームの定式化．
➜ プレイヤー，行動，タイプ，利得関数，信念．
➱ 信念は他プレイヤーのタイプに関する主観的確率分布．
➱
❒ ベイジアン・ゲーム:
．
❒ 不完備情報ゲーム:
．
46
⃝ ベイジアン・ゲームを分析することの妥当性．(続き)
➢ 不完備情報ゲームの信念に関して “整合性”の条件を課す．
➜
➜ 要は共通事前分布のような確率分布の存在を仮定．
➢ 整合性の条件を課すことで両モデルの構造が一致する．
➢
➜
➜
．
不完備情報ゲームとベイジアン・ゲームは戦略的に同値．
分析する時は同じ解概念 (BNE) を用いるべき．
➢
命題 1
(Harsanyi, 1968a)
不完備情報ゲーム G∗ において，戦略の組 s∗ がベイジアン・ナッ
シュ均衡であることの必要十分条件は，s∗ がベイジアン・ゲー
ムの G∗∗ のベイジアン・ナッシュ均衡である．
47
3. 共通事前分布の妥当性．
➢ 事前分布とは事前段階における信念．
➜ “ゲーム開始前”における主観的予想と解釈出来る．
➢ 主観的予想が全プレイヤー間で共通であることを要求．
➜ 主観的予想はプレイヤー毎に異なるのが自然では？
➜ 一見すると非常に制約的な仮定．
➢ 反論: 事前予想が異なる状況は
．
➜ プレイヤーは理性的で，客観情報のみで事前予想を形成．
➜
➜ モデル化されていない私的情報が背後にあるということ！
❒ 背後にある情報もきちんと私的情報としてモデル化．
➜ 究極的には共通の事前予想に辿り着く．
➜
.
48
3. 共通事前分布の妥当性．(続き)
➢ 別方向からの批判:
➜ “整合的”ならば，不完備情報ゲーム = ベイジアン・ゲーム．
➜
➢ (例 1) 整合的な信念の不完備情報ゲーム．
➜ プレイヤー: N ≡ {1, 2}.
➜ タイプ: Θ1 ≡ {θ11, θ12}, Θ2 ≡ {θ21, θ22}.
➜ 信念:
❒ θ11: θ21 が 3/7 の確率, θ22 が 4/7 の確率．
❒ θ12: θ21 が 2/3 の確率, θ22 が 1/3 の確率．
❒ θ21: θ11 が 3/5 の確率, θ12 が 2/5 の確率．
❒ θ22: θ11 が 4/5 の確率, θ12 が 1/5 の確率．
49
21
22
11
3
7
4
7
12
2
3
1
3
21
22
11
3
5
4
5
12
2
5
1
5
3. 共通事前分布の妥当性．(続き)
➢ (例 1) 整合的な信念の不完備情報ゲーム．(続き)
➜ 左がプレイヤー 1 の，右がプレイヤー 2 の信念．
➜ この信念と整合的な同時確率分布はどうなるか？
50
21
22
11
12
3.
．(続き)
➢ (例 1) 整合的な信念の不完備情報ゲーム．(続き)
➜ 各信念は上記の確率分布から導出できる．
➜
51
21
22
11
3
7
4
7
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2
3
1
3
21
22
11
1
2
4
5
12
1
2
1
5
3. 共通事前分布の妥当性．(続き)
➢ (例 2) 非整合的な信念の不完備情報ゲーム．
➜ これらの信念を同時に導く同時確率分布は存在しない．
➜
52
ベイジアン・ゲームと不完備情報ゲーム
3. 共通事前分布の妥当性．(続き)
➢ (例 1) と (例 2) の違い．
➜ θ21 の信念が，(例 1) で (3/5, 2/5)，(例 2) で (1/2, 1/2)．
➜ 前者が OK で，後者が NG．これに納得できるか？
➢ 整合的な信念は，信念全体の中に占める割合は 0．
➜ 事前段階の状況を含めて分析したい場合:
❒ ベイジアン・ゲーム ➱ 整合的な信念を要求．
➜ 中間段階の状況を分析したい場合:
❒ 非整合的な信念を排除する必然性は薄いのでは？
53
ベイジアン・ゲームと不完備情報ゲーム
⃝ 1994 年ノーベル経済学賞受賞者：
ラインハルト・ゼルテン，ジョン・ナッシュ，ジョン・ハーサニ
『非協力ゲームの均衡の分析に関する理論の開拓を称えて.』
➢ ベイジアン・ゲームの理論はハーサニによって始められた．
➜ Harsanyi (1967-1968).
➜ 情報の非対称性の下での駆け引きが分析可能になった．
➱ 多くの応用研究が生まれる．
54
まとめ
⃝
➢
がある状況ではゲームのルールが共有知識ではない．
と呼ぶ．
⃝ 不完備情報ゲームを分析する際は，
が重要．
➢ 信念とは
．
➢ 真面目に取り組むと
を考えることに…．
⃝ 分析する際は，
に
する．
➢
: プレイヤーの私的情報を表す確率変数．
➢
: 各タイプの実現する確率分布．
➜ プレイヤーが共通の
を持っている．
➢
がタイプを決定する手番を加える ➱
．
➢
は
に従い，事前信念から導出．
55
まとめ
⃝ ベイジアン・ゲームの解概念は
➢
．
➢ 各タイプをあたかも一人のプレイヤーと見なす．
．
⃝ ハーサニ・モデルで分析することは問題なし．
➢
によるハーサニ・モデルを構成可能．
⃝
ならば，不完備情報ゲームとベイジアン・ゲーム
は同値．
➢ 整合的信念 ➱ 共通事前分布を定義できる．
⃝ 共通事前分布の仮定は妥当なのか？
➢ 事前分布の差は私的情報の差 ➱ ➢ しかし整合的な信念は全体の中でごく僅か．
．
56