10．ゲームの理論（続き）

2005 年 11 月 17 日（木曜 2 限）1/4
10．ゲームの理論（続き）
10.2
動学的なゲーム（dynamic game）
＜動学的なゲームの構造＞
動学的なゲームは標準形の表現より「展開型（extensive-form）」の表現を用いることによ
り細かいゲームの状況を表現することができる。また、展開型の表現を「ゲームの木
（game-tree）」による表現ともいう。
行動（action） a i ＝プレーヤーｉが自分の手番で選択するもの
行動集合（action set）＝選択可能な行動 a i の集合
節（node）＝各プレーヤーの手番を表すもの
戦略＝各節に対してその節で選択する行動を対応させたもの
次のマトリックスで表現されるゲームを考えよう。
aB
L
aA
T
1, 9
W
0, 0
R
1, 8
2, 1
このゲームの各プレーヤーの手番がどのような順番になっているかについては、
(i) プレーヤーA が先手でプレーヤーB が後手
(ii) プレーヤーB が先手でプレーヤーA が後手
という２通りが考えられる。
動学的なゲームを標準形で表す場合には各プレーヤーの手番がどのような順番になってい
るかという情報が失われることになる。
1
2005 年 11 月 17 日（木曜 2 限）2/4
＜ケース(i)に対応するゲームの木＞
1, 9
T
B1
L
・
R
1, 8
・
L
0, 0
B2
R
A・
W
2, 1
最後の節（＝終節）に並んでいる数字はその終節にゲームが進行したときの各プレーヤー
の利得の組である。なお、利得はゲームの木に先に登場したプレーヤーのものを左側に置
くのが普通である。
たとえば、
s A ＝ ( A, W ) ：節 A において行動 W を選択するというプレーヤーA の戦略
s B ＝ (( B1 , L), ( B2 , R) ) ：節 B1 で行動 L を選択し、節 B 2 で行動 R を選択するという戦略
などと表わすことにする。
（問題１） (( A,W ), (( B1 , L), ( B2 , R))) と (( A, T ), (( B1 , L), ( B2 , L))) がともにナッシュ均衡で
あることを示しなさい。
（問題２）ケース(ii)に対応するゲームの木を描きなさい。
2
2005 年 11 月 17 日（木曜 2 限）3/4
＜部分ゲーム完全（ナッシュ）均衡（subgame-perfect Nash equilibrium）＞
部分ゲーム（subgame）＝ある節に続く行動と節により構成されるゲーム
全体ゲーム＝最初の節（starting node）に続く行動と節により構成される（部分）ゲーム
図１
1, 9
T
B1
L
・
R
1, 8
・
L
0, 0
B2
R
A・
W
2, 1
（問題５）図１で描かれている全体ゲームにおける全体ゲーム以外の２つの部分ゲームを
描きなさい。
3
2005 年 11 月 17 日（木曜 2 限）4/4
( s A , s B ) は「部分ゲーム完全均衡」である。
⇔ ( s A , s B ) が如何なる部分ゲームにおいてもナッシュ均衡になっている。
（問題４）図１で表されるゲームにおいて、戦略の組 (( A,W ), (( B1 , L), ( B2 , R)) ) が部分ゲ
ーム完全均衡であることを示しなさい。
（問題５）図１で表されるゲームにおいて、戦略の組 (( A, T ), (( B1 , L), ( B2 , L))) が部分ゲー
ム完全均衡でないことを示しなさい。
（問題６）問題２のゲームにおける部分ゲーム完全均衡を求めなさい。
4