さくら春野変態

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中学数学講座 on Web 《学習書》
FAX送信先 ０２３－６３３－１０９４
会員名：601 春野さくら
図形の性質
１
４
１・三角形
二等辺三角形の性質（その４）
（１／５）■
(1)
正三角形
■
正三角形の定義と性質
★知識の整理★
(1) 正三角形の定義
３つの辺の等しい三角形を正三角形という。
(2) 二等辺三角形としての正三角形の性質
二等辺三角形
正三角形は，２つ辺が等しいから，二等辺
三角形の特別な形である。
正三角形
したがって，正三角形は，二等辺三角形の
性質はすべて持っている。
(3) 正三角形に特有の性質
①
正三角形の３つの角は等しい。
②
正三角形の１つの角は６０°である。
(2)
正三角形であるこ との証明方法
★知識の整理★
ある三角形が正三角形であることを証明するには，△ＡＢＣにおいて，
次のうちのいずれか１つが成り立つことを示せばよい。
①
三辺が等しい。
（定義）ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ
②
３つの角が等しい。
（性質）∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ
③
頂角が６０°の二等辺三角形である。
（性質）∠Ａ＝６０°でＡＢ＝ＡＣ
①
②
A
A
③
A
60°
＝
＝
＝
B
＝
C B
C B
＝
C
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図形の性質
１
４
１・三角形
二等辺三角形の性質（その４）
（２／５）■
◇《三角形の性質の証明》
学力化
会員名：601 春野さくら
正三角形
■
·
★演習★【 １ 】 《 Ｃ・Ｂ・Ａ 》
△ＡＢＣで，∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃならば，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡであることを
証明しなさい。
［答
案］
△ＡＢＣで，
∠［
］＝∠［
］だから
［
］＝［
］…①
∠［
］＝∠［
］だから
［
］＝［
］…②
］＝［
］＝［
A
①と②より，
［
◇《三角形の性質の証明》
学力化
］
B
C
·
★演習★【 ２ 】 《 Ｃ・Ｂ・Ａ 》
正三角形の３つの内角が等しいことを証明しなさい。
［答
案］
［仮定］［
］＝［
］＝［
］
［結論］∠［
］＝∠［
］＝∠［
］
A
［証明］
△ＡＢＣは，ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形と
B
考えられるから
∠Ｂ＝∠［
］…①
また，△ＡＢＣは，ＢＡ＝ＢＣである二等辺三角形とも考えられるから
∠Ａ＝∠［
］…②
①と②より，
∠［
］＝∠［
］＝∠［
］
C
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図形の性質
１
４
会員名：601 春野さくら
１・三角形
二等辺三角形の性質（その４）
（３／５）■
◇《正三角形の性質を利用した証明》
正三角形
学力化
■
·
★演習★【 ３ 】 《 Ｃ・Ｂ・Ａ 》
A
正三角形ＡＢＣの辺ＡＢ，ＢＣ上に，それぞれ，
D
ＡＥ＝ＣＤ
＝
点Ｄ，Ｅを，ＡＤ＝ＢＥとなるようにとると，
である。
＝
これを証明しなさい。
B
E
C
【考え方】「２つの三角形は合同だから対応する辺の長さは等しい」ともって
いきます。仮定や図形の性質などを調べ，合同条件を拾える三角形を
設定します。 ·合同条件を探す手順（ プリント№１ （１／２） 参照）
＊正三角形の定義 ‡（ 仮定として使えま す。）
「３つの辺の長さの等しい三角形を正三角形という。」
＊正三角形の性質
A
「正三角形の３つの角は等しい。」
案］
［仮定］［
］＝［
］＝［
［
］＝［
］
］＝［
D
］
B
［証明］
＝
［結論］［
］
＝
［答
E
C
△［
］と△［
］において
［
］＝［
］（
）…①
［
］＝［
］（
）…②
［
］＝［
］（
）…③
①，②，③から，［
△［
］がそれぞれ等しいので
］≡△［
合同な図形では［
［
］
］は等しいから
］＝［
］
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図形の性質
１
４
会員名：601 春野さくら
１・三角形
二等辺三角形の性質（その４）
（４／５）■
◇《正三角形の性質を利用した証明》
正三角形
学力化
■
·
★演習★【 ４ 】 《 Ｃ・Ｂ・Ａ 》
右の図のように，頂点Ａが共通な正三角形
A
ＡＢＣ，ＡＤＥをかくとき，
Ｅ
ＢＤ＝ＣＥ
である。
Ｄ
このことを証明しなさい。
B
C
【考え方】「２つの三角形は合同だから対応する辺の長さは等しい」ともって
いきます。仮定や図形の性質などを調べ，合同条件を拾える三角形を
設定します。
＊正三角形の定義 ‡（ 仮定として使えま す。）
「３つの辺の長さの等しい三角形を正三角形という。」
＊３辺目が等しいことを証明するのだから「３辺」という合同条件は
使えません。必然的に「２辺とその間の角」になるわけですが，そ
の間の角はなぜ等しいのでしょうか。 ⇒次のページの資料(4)を学習して下さい。
［答
案］
［仮定］［
］＝［
］＝［
］
［
］＝［
］＝［
］
A
Ｅ
［結論］［
］＝［
］
Ｄ
［証明］
B
］において
C
△［
］と△［
［
］＝［
］（
）…①
［
］＝［
］（
）…②
［
］＝［
］（
）…③
①，②，③から，［
△［
］がそれぞれ等しいので
］≡△［
合同な図形では［
［
］
］は等しいから，
］＝［
］
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会員名：601 春野さくら
＊学習資料
証明の手順
合同条件は，次の(1)～(4)の順にさがしていきます。
(1) 三角形の合同条件は，まず 仮定 を使います。
„（仮定とは問題文で書かれている図形の性質です。）
(2) 次に， 共通 を使います。
（共通とは２つの三角形で共有している辺や角のことです）
＊角の共通の場合
＊辺の共通の場合
A
△ＡＢＤと
△ＡＣＥで
E
A
△ＥＢＣと
△ＤＣＢで
D
B
E
C
D
B
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ（共通）
C
ＢＣ＝ＣＢ（共通）
(3) 共通がないときは， 図形の性質 を使います。
次のような図形の性質が使えます。
・対頂角は等しい。
E
・平行線の錯角や同位角は等しい。
A
A
D
・正三角形の３つの角は等しい。
C
B
∠Ｂ＝∠Ｃ
M
=
B
（右図の左側の図）
=
・二等辺三角形の底角は等しい。
C
ＡＭ⊥ＢＣ，
ＢＭ＝ＣＭ
・二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する。
（右図の右側の図）
A
(4) それでも合同条件が足りない場合は，辺や角度を 計算
して辺や角が等しいことを説明します。
E
右図で，△ＡＢＣと△ＡＤＥが正三角形のとき
D
∠ＢＡＤ＝６０°－∠ＤＡＣ
∠ＣＡＥ＝６０°－∠ＤＡＣ
C
B
よって，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ
＊上の３つの作業でも合同条件がない場合には，合同な三角形ができるように
補助線をひいて 作図 します。
D
A
ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢで
D
A
O
O
∠Ａ＝∠Ｄを証明するとき左
図では合同な三角形がないの
B
C
B
C
で右図のような補助線を作図して，合同な三角形△ＡＢＣと△ＤＣＢを作る。
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図形の性質
１
４
会員名：601 春野さくら
１・三角形
二等辺三角形の性質（その４）
（５／５）■
◇《正三角形の性質を利用した証明》
正三角形
学力化
■
·
★演習★【 ５ 】 《 Ｃ・Ｂ・Ａ 》
E
線分ＡＢ上の１点をＣとし，ＡＣ，ＣＢを
それぞれ１辺とする正三角形ＡＣＤ，ＣＢＥ
D
O
をつくるとき，次の問いに答えなさい。
(1) ＡＥ＝ＤＢであることを証明しなさい。
(2) ∠ＡＯＢの大きさを求めなさい。
A
B
C
【考え方】「２つの三角形は合同だから対応する辺の長さは等しい」ともって
いきます。仮定や図形の性質などを調べ，合同条件を拾える三角形を
設定します。
＊正三角形の定義 ‡（ 仮定として使えま す。）
「３つの辺の長さの等しい三角形を正三角形という。」
＊３辺目が等しいことを証明するのだから「３辺」という合同条件は
使えません。必然的に「２辺とその間の角」になるわけですが，そ
の間の角はなぜ等しいのでしょうか。 ⇒「 角度の和が等しい」ことを 示しま す。
［答
E
案］
(1) ［仮定］
［
］＝［
］＝［
］
［
］＝［
］＝［
］
［結論］［
］＝［
D
O
］
［証明］
A
B
C
△［
］と△［
］において
［
］＝［
］（
）…①
［
］＝［
］（
）…②
［
］＝［
］（
）…③
①，②，③から，［
△［
］がそれぞれ等しいので
］≡△［
合同な図形では［
［
］
］は等しいから，
］＝［
］
（次のページへつづく）Æ
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□ □ 【 図形の性質
会員名：601 春野さくら
№ ４ （５／５）】 －〈２枚目／２枚〉
Æ （前のページからのつづき）
(2) ［
］°
（理由）∠ＥＡＣ＝∠ＢＤＣ＝ａ，∠ＡＥＣ＝∠ＤＢＣ＝ｂとし，ａとｂと
角度を使って説明しなさい。
△ＤＣＢの外角より
∠ＤＣＡ＝［
△ＯＡＢで，∠ＡＯＢ＋(［
］＋［
］＋［
］＝［
］)＝１８０°
この式を変形して，∠ＡＯＢ＝１８０°－(［
①と②より，∠ＡＯＢ＝１８０°－［
］＋［
］°＝［
E
D
b
a
O
a
A
b
C
］°
B
］)
…②
］°
…①