数学が未来を拓く - COE

数学が未来を拓く
ー 特異性と非線形性からみた
数学の広がりと深まり ー
COE拠点リーダー
理学研究科教授 小澤 徹
COEホームページ
http://coe.math.sci.hokudai.ac.jp/
北大数学COEが提案する
新しい数学 の視点
従来
代数
北大数学COE
パラダイムシフト
幾何
解析
対称性
特異性
各分野の融合
非線形性
これらの視点から、旧来の数学的枠組みにとらわれず、
理論・応用の双方から数学の深化・拡大をはかる。
非線形性とは？
•
非線形とは＝線形でない．
•
線形とは
– １＋１＝２
– 入力が二倍なら出力も二倍になる
– 「比例」の考え方（小学校以来慣れ親しんだ考え方）
– 予測が容易であるが、適用範囲も限られる
•
世の中の現象の多くは非線形現象である．
– 投資を二倍しても利益が二倍になるわけではない．
– 三人よれば文殊の知恵（１＋１＋１＝∞）
– 一般に予測は難しいが，解析ができれば，より現実的な問題
の理解が可能になる．
非線形現象の例（水面に立つ波）
池に石を投げると振幅の小さな波が立つ．
波の大きさが非常に大きくなると
波と波がぶつかると．．．
波と波がぶつかると．．．
二つの波を「足し合わせた」波ができる．
大きな津波のような構造が現れる．
線形波の足し合わせ（重ね合わせの原理）
非線形の現象
成果① 西浦廉政教授グループ
（プラズマパルスの衝突実験）
プラズマのスポットが衝突して消えたり，新しくできたり….
（線形の理解では無から有は生まれない）
このような現象をどう理解し，これを予測するか？
非線形偏微分方程式
考える物理量を変数として，その時間変化について成り立つ関係を
方程式にすると，非線形偏微分方程式（反応拡散方程式）が得られる．
ut = Du ∆u + λu − u − κ 2 v − κ 3 w + κ1
3
τ vt = Dv ∆v + u − γ v
θ wt = Dw ∆w + u − w
化学反応物質３種類
u , v, w
は３種の化学物質の濃度
数学による解析：関数解析（偏微分方程式論），力学系理論，数値計算など
多様性の源の解明
方程式の解析・数値計算
⇒ 二つのパルスがぶつかると？ １＋１＝？
消滅
反射
融合
このように非線形性は，現象に多様性を生み出す．
３種のパターン形式メカニズムの記述・予測が可能になった．
⇒ 「うつろひゆくもの」の科学の創成
特異点とは？
•
周囲と異なる特徴を持ったところ
•
特異点は厄介物？
–
–
–
特異点は重要？
•
–
–
–
•
連続的に変化していたものがジャンプする
近似理論がつかえない
様々な不変量や関数が発散する
目立つ点には注目が集まる
情報が集積している
現実世界は特異点に満ち満ちている
特異点は避けては通れない
特異点の例１（輪郭）
物を見る時，輪郭を見ている
建築物の見え方は「建築デザイン」で重要．
輪郭を見るメカニズムの
数学的説明
スペイン，バレンシア市の
水族館の屋根
ロシア，スズダリ村の
木造の教会
– 単純な直線の集まりからなる曲面
（線織面）でも様々な形が現れる
– その輪郭を見ると益々面白い形となる
南京玉簾
スペイン，バレンシア市の
地下鉄の入り口
プリュッカーコノイド
スペイン，バレンシア市の
科学博物館のモニュメント
新しい「映像理論」の展開（北大で研究集会を定期的に開催中）
成果② 泉屋周一教授グループ
（焦線と光錐曲面の研究）
– 光がレンズなどで屈折して集まって出来た光り輝く曲線
（焦線）
– 焦線自身は特異点の集まりであり特異点を持つ曲線でもある
– 平面上の焦線は「大抵の場合」尖点（カスプ）型をしている
• 光の形を見る
–
平面に時間軸を付け加えて空間（３次元ミンコフスキー時空という）にすると焦線を立
体化できる（光錐曲面）
–
焦線の尖点はツバメの尾となる
–
–
楕円から垂直に光が出ているとした
場合の焦線とそれに対応する光錐曲面
楕円の比を変化させると４つのツバメの尾が動き，円となるとき衝突して錐点となる
ブラックホールの形状，重力レンズなどの特異性に深く関わる
構造を解明した．
対称性
− 自然科学における基幹概念 −
＜雪の結晶と中谷宇吉郎博士＞
− 対称性とは「変換による不変性」をさす
− 変換群が対称性を記述
− 対称性の大きさ ⇔ 変換の豊富さ
正多面体とその対称性
− プラトンの多面体定理 −
正4面体
正6面体
正8面体
正12面体
正20面体
24
48
48
120
120
変換群の幾何学的研究
ディンキン図形
正多面体を不変にする
変換群(自己同型群)
変換で不変な
形の分類
滑らかな曲面（とその構造）
クライン特異点
z =x +y
2
2
2
z = y −x
2
2
3
z = y( y − x )
2
2
2
特異性解消理論
変換群の代数的研究
正多面体を不変にする
変換群(自己同型群)
代数学的研究
群の既約表現の構造
r
ρ ⋅ χi = ∑ aij′ χ j ,
i =0
ディンキン図形
C ( ∆ r ) = 2 E − ( aij′ )
~
成果③ 中村郁教授グループ
（対称性の背後にある豊かな構造）
ディンキン図形
一つの対象からスタートして、異なる二つの方法から
見つかった「ディンキン図形」：
これらが偶然一致するのはなぜか？
ヒルベルトスキームの理論で解明
（代数学、幾何学を横断する新しい分野へ）
北大COEの3機能
交流機能
• 外国人研究者の招聘
• ポストドクターの受入
• 研究集会の開催
情報文献機能
• 数学文献の管理
• 学術雑誌の刊行
特異性から見た
非線形構造の
数学
先端研究機能
• 他分野の数学的問題の
発掘
• 数学情報の提供
交流機能の活動の一例
（次世代の研究者育成のための教育および交流活動）
I. 蔵本由紀氏（COE特任教授，京大名誉教授） レクチャーシリーズ
『振動場のダイナミクス』(2004.October - )
II. 特別月間 (Special Month)における講演会
＜Navier-Stokes 方程式月間＞(2004.1,2月) 5 件
＜非線型分散方程式月間＞(2004年 8月,9月) 5 件
＜数理物性学の展開月間＞(2004年 10月-2005年3月) 5件
III. COE ポスドク連続講義（5件）
(1) J. Saal (2004.2.5-2.6）, (2) 有馬 研一郎 (2004.6.4, 6.11)
(3) 阿部 孝之 (2004.6.16, 6.23, 6,30) (4) 梅田 典晃 (2004.7.7, 7.14, 7.21)
(5) 渡邊 道之 (2004.12.13-12.15)
IV. 大学院生による研究集会の企画
数学総合若手研究集会2005年２月１４日-１７日
北大大学院生が主催する全国規模の研究会
http://coe.math.sci.hokudai.ac.jp/sympo/ccyr/index.htmlI.ja
先端機能の活動の一例
国際研究集会の開催
・札幌に数学の国際的研究拠点を形成，
・国内外からの多数の来訪者，
・札幌天神山国際ハウスとの連携
[2003 年]
第28回 偏微分方程式論 札幌シンポジウム 7/23-7/25 北大理学部
特異点論とその応用 9/16-9/25 札幌コンベンションセンター
3rd Japanese-Polish Singularity Theory Working days 9/27-29 北大理学部
Mathematics of Nonlinear Structure （主催者：北大数学教室，ソウル国立大数学教室）
10/18 Seoul National University, Sangsan Building
Sapporo Guest House Symposium " Evolution Equations " 11/15 -11/16 札幌天神山国際ハウス
数論幾何学シンポジウム Symposium of Arithemtic Geometry 11/18-11/21 北大理学部
Mathematical Aspects of Image Processing and Computer Vision 2003
11/27-11/29 北大理学部
Symposium on current topics in Mathematical Science (COE Workshop 2003)
12/9-12/10北大理学部
[2004年]
非線形ダイナミクスに内在する不安定軌道の数理 2/20-2/21 北大電子科学研究所
第5回北東数学解析研究会 2/23-2/24札幌コンベンションセンター
複雑系生命科学のゆくえ-動的生命像を求めて- 5/30-5/31 北大電子科学研究所
第一回中日特異点論研究集会「特異点論とその応用」 6/1-6/3 東北師範大学・数学系（中国，吉林省）
局所等長埋め込み問題, 7/1(木)北大理学部
h-path processes and related topics 7/3札幌天神山国際ハウス
2nd HU and SNU Symposium on Mathematics（第7回ソウル大-北大ジョイントシンポジウム）
7/9北大理学部
Floer thoery and related topics, II 7/16-7/18北大理学部
アファインはめ込みと情報 7/21北大理学部
第29回 偏微分方程式論 札幌シンポジウム 8/4-8/6北大理学部
国際高等研究所 課題研究「ダイナミックスからみた生命的システムの進化と意義」
8/8-8/11札幌アスペンホテル
語ろう 「数理解析」 8/11-8/12札幌天神山国際ハウス
4th Polish-Japanese Singularity Theory Working days 8/30-9/8 北大理学部
幾何学とトポロジーにおける特異点 (第３回 日仏特異点シンポジウム) 9/13-9/17 北海道大学
微分同相写像の周期点の個数の増大度に関する Kaloshin 理論とその周辺 9/15-9/18 北大理学部
The Dynamic Brain Forum, Antonio C. Roque, Ichiro Tsuda, Minoru Tsukada
9/19(日)-9/24(金) サンパウロ大学（ブラジル）Univ. Sao Paulo, Sao Paulo
COEシンポジウム：非線型分散方程式 9/23-9/24札幌コンベンションセンター
有界変動関数と自由境界問題に関する研究会 10/8-10/11ニセコエーデルワイス
はこだて特異点研究集会 10/27-10/30サン・リフレ函館（函館勤労者総合福祉センター）
Mathematical Aspects of Image Processing and Computer Vision 2004 11/18-11/19 北大理学部
情報文献機能の活動の一例
数学の海
（数学電子文献情報サーバ）
• 数学版 Google を作る．
• メタデータの利用
– 国際標準規格の採用
– 日本における数学文献コンソーシアム構想に関与
その中核技術として貢献
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