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担当:吉永正彦 テキスト:「離散体積計算による組合せ数学入門」 M

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担当:吉永正彦 テキスト:「離散体積計算による組合せ数学入門」 M
担当:吉永正彦
テキスト:
「離散体積計算による組合せ数学入門」M. Beck, S. Robins 著
岡本吉央訳 (ちなみに元の英語版, Computing the continuous discretely.
は大学の図書から PDF がダウンロードできるかもしれない.)
格子点の数え上げは初等的ではあるが, 現代数学の最先端の様々な話題
とも関係している. 多面体上の格子点の数え上げに関する最も基本的な概
念は, Ehrhart 多項式である. (ちなみに定義は以下である: 全ての頂点
が格子点であるような整数多面体 (格子多面体)P を固定する. 自然数 n に
対して, P を n 倍して得られる多面体 nP 上にある格子点の個数を LP (n)
と表すことにすると, もちろん LP (n) は n の関数なのだが, 実は (全く自
明ではないが) n に関する多項式で表される. この多項式が P の Ehrhart
多項式である.)
本セミナーの目標は, 「離散体積計算による組合せ数学入門」の第 2 章
∼4 章を通して Ehrhart 多項式の理論に入門することである. 以下内容を
簡単に紹介する.
第 2 章「離散体積の展覧会」では, いくつかの具体的な多面体に対して,
格子点の数え上げを実行する. 本章で多くの多面体に共通する性質を観
察して次章で一般化するという流れである. (時間的な制約から, 有理多
面体の話はとばすことを考えている.)
第 3 章「多面体の格子点を数える:Ehrhart 理論」では, 前章での具体
的な例の計算から予想される一般的な結果 (Ehrhart 多項式の存在と基本
的な性質) をまとめて証明する.
第 4 章「相互法則」では Ehrhart 多項式に負の整数を代入したときの
値に意味づけをする「相互法則」が証明される.
さらに余裕があれば 5∼6 章の応用へと進むのも面白いかもしれない.
数学的な予備知識は, あまり多くは必要ないが, 線型代数以外に次の二
点がクリアできていれば本書を楽しめると思う:
• 等比級数の和の公式を使って有理関数と無限級数を行ったり来た
∑
1
n
りする計算ができる. (例えば, 1−x
= ∞
n=0 x の両辺を微分して,
∑
1
n
= ∞
n=0 (n + 1)x を得る, 2 回, 3 回以上微分するとどのよう
(1−x)2
な公式になるだろうか? またこれの多変数版はあるか?)
• 多面体に関するいくらかの直感的理解がある. (この点については,
2 章 §2.1 に必要なことがまとまっている.)
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