Page 1 Page 2 有限群の群環上の誘導加群と (課題番号 ー3640008

有 限 群 の 群 環 止 の 誘 導 加 群 と 誘 導 指標
( 課 題 番号
平 成 1 3 年度
一
)
1 3 6 400 08
平 成 1 5 年 度 科 学 研 究 費補 助 金( 基盤 研 究( c)( 2))
研究 成 果 報告 書
平成1 6 年 3 月
∴
二
一
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研 究代 表者 :
( 千 葉 大学
20 00580 908 5
山
内
教育学部
憲
一
教 授)
有 限 群 g) 群 環 止 の 誘 導 加 群 起 誘 導 指 標
( 課 題 番号
平 成 1 3 年度
一
1 3 6 4 0 0 0 8)
平 成 1 5 年 度科 学 研 究 費 補 助 金( 基 盤 研 究( c)( 2))
研 究 成 果報 告 書
平 成1 6 年3 月
研 究 代 表 者:
( 千 葉大学
山
内
教 育学 部
憲
一
教 授)
は じめ に
こ の 報 告 書 は 日 本学 術 振 興 会 科 学 研 究費 補助 金 ( 基盤 研 究( c)( 2)) の
年 度 か ら 平成
13
1 898
年に
呼 ばれ る
Fr
F G
あるとき
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G
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代表 的 なも の
本 研究 で は
の構造に
とともに
つ い
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て
研 究を進 め た
つ
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の助言
を得 ま し た
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2
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の
3
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本研 究 ば か り
､
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､
を進 め た
の
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が 標数 0 の 体
つ
本 質 的 に 重 要 なも の
､
ある
で
この こと
｡
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を 示 す 最も
｡
を用
い て
有 限群 の 指 標 環
専 門分 野 か ら の 情報
の
っ
あろう
で
の 提供
｡
gh
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2 00 2
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有 限群
､
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大 学 ( 英 国) を 訪 問 し
で なく誘 導加 群 に 関す る 諸 問題 に
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の 多く の
部分 は
､
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年
12
月 (2 日
-
の指標
つ い
1 2 日) に W i s c
教 授 と意 見交 換 を し ま し た
に 関す る 諸 問題 に
つ
か
成果 を得 る
こ とが
う し た 成 果 の 詳細 に
つ
い て
の
つ い
て
て
､
G R
･
･
も 多く
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大学
本研究 以外
o
多 く の 助 言を
出来 た
そ の 主 なも の
｡
て は 本文 の ｢ 研 究成果｣
つ い
決定
指標 環 が 同型 で あ る と き G
の
か
資料 収 集 や研 究 連絡
､
教授 をは
計 算機 購 入
じめ
､
,
H
の それ
の m od ul a r
ぞれ
｡
の
て は 研 究 分 担者 の み
こ こ に 記 し て 感謝 の
の
こ
｡
間 に ど の よ うな 関係 が 存在 す る
c o n si n
｡
の 1
それ ぞれ
､
特に
｡
誘導 加 群 と
V
.
( 誘 導 定 理)
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山内は
:
根基に
そ れ ぞれ
の
H
,
本 研 究 の 推進 に 当 た
した
体 とす る
､
｡
な複雑 な計算 を す る 必 要 も あ り
W is
V に対して
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構成 は
の
-
事項 に なり ま す
の
の 有限群 G
つ
研 究費
o
日 1 7 日) に B i r m i n
月( 7
有 限 群 の 指 標環 の 単数 ( 無 限位数)
･
d
群 と 誘 導指
｡
同 型 問題 を は じ め
有 限 群 の 指 標環 の J
･
Th
て は 共 同 研究
よ うな 3 年 間 の 研 究 の 結果
を参 照 し て
.
つ い
米国) を 訪 問 し
,
の 誘 導加
｡
を挙 げ る と 次 の
の項
の
u c ti o n
ま た 研 究代 表者
｡
o n si n
も群環
得 ま した
以上
べ
教授 と 意見交換 し
いて
つ
て述
誘導指標)
､
各研 究 分 担 者 に は
｡
かの 方向に
つ い
群環 上
山 内 を 中 心 に 誘 導 加 群 ( 誘導 指標)
山内 は 2 0 0 2 年 1
:
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:
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-
最 も基本 的 な道 具
い て
の Ind
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研 究代 表者
次 に 外 国訪 問 に
研 究代表者
にお
､
いく
､
が B
の F H
指 標 の 誘 導 指 標 と 呼 ばれ る
の
の研究
つ
の
こ こ に F tま任 意 の
o
は 同 じ こ と で ある が
い
有 限群 の 表 現 論
､
を 構 成 した
指標 を V
の
限群
平成
､
｡
G
V
｢有
年 間 に実 施 され た 研 究
の 3
は 有 限群 G の 部 分 群 H
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-
V
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o
誘 導加群 ( ある
て
年度
に 関す る も の で あ る
標｣
で
15
交付 を 受 け て
い
た め の 旅 費 と して 使 用 さ れ た
た め に 設備 備 品 費 の
ならず
数 多く
意 を申 し 上 げ た
の
｡
の
一
部 を使 用
ま た細か
｡
した
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大学
の
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研 究者 並 び に 大 学 院 生
の
お 世 話 に なり ま
､
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教授
､
平成
1 6
年
3 月
研 究代 表者
:
山
内
憲
一
科 学研 究 費補 助 金( 基盤 研 究( c)( 2)) 研 究成 果 報 告 書
( 1) 課 題 番 号
1 3 6 4 0 0 08
研 究 課題
( 2)
有 限群
( 3) 研究 代 表 者
の
群環 上
山内
憲
一
の 誘 導加 群 と 誘 導指標
( 千 葉 大学
･
研 究 分担 者
( 4)
野揮
宗平
( 千葉 大 学
越谷
重夫
(千葉大学
北詰
正顕
( 千葉 大 学
越川
浩明
( 千葉 大 学
丸山
研
( 千葉 大 学
一
( 5) 研究経 費
総計
:
13
年度
:
1 300
千円
平成
14
年度
:
1 000
千円
平成
15
年度
:
1 ,0 0 0
千円
,
理学部
･
理学部
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･
教 育学部
教 育学部
3 ,3 0 0
平成
,
理学部
･
教授)
教 授)
教 授)
･
･
教授)
助教 授)
千円
iii
教 育学 部
･
教授)
( 6)･ 研 究発 表
( 6 1) 学 会誌 等
･
山内
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山内 憲
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口頭発表
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千 葉大 学教 育学部 研 究紀 要
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10 月
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年
2002
3 月
､
日 本 数学 会代 数 学分 科会
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共 役 類 の 長 さ と 既 約指 標
( 熊 本 大学)
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2002
次数
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年
20 0 2
3 月
年
.
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7 月
日 本 数 学 会代 数 学分 科 会
､
第
( 明 治 大学)
1 9 回 代数 的組合 せ 論 シ ン ポ ジ
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研 究 集 会)
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第
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10 月
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､
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( 有 限群 の 表 現 論 に お け る 現 在 の 傾 向)
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有 限群論
3 回
年
7 月
4
7 回 代数 学 シ ン ポ ジ
2 0 01
,
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2002
､
年
8
月
第
､
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集 合上
第
､
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2
,
年
2002
( 京都 大 学数 理 解析 研 究 所)
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( 北海 道 大学)
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短 期 共同
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,
年
2003
7 月
､
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談話会 ( 九 州大 学)
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年
5 月
高麗 大 学 ( 韓 国)
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20 0 3
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年
9 月
､
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( 7) 研 究 成果
以 下 に述
1
.
2
.
3
べ
る3
の 事項 に
つ
つ い
有 限群
の
指標 環
の J ac ob so n
有 限群
の
指標環
の単数
2
.
根基に
( 無 限位数)
有 限群 G
の
つ
研 究成果 が あ り ま し た
て
の
H
,
つ い
の各項目
G
c
:
複 素数 体
=
最小
1
.
部 分体
の
そ れ ぞ れ の 指標 環 が 同型 で あ る と き G
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､
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､
A
､
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.
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.
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,
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J
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.
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は 素数
( > 5)
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単位 元
1
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-
:
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補題
,
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2 1
.
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ac o
n
b
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｡
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根基は
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R
単数群
m o
d
ula r
｡
Q (()
-
:
Q
､
:
有理 数体
-
( および Q を含むような C
-
R ( a)
､
:
-
G
の
､
の
指標 鼠
つ い て
O
n
th
e
c
) を用 い
べ
h
a r a ct e r
て I( c 7 ')
-
,
0 で
ある
r
in gs
of
fi n i t e g r o u p
次の 定理を得る
て
s
,
C
a n ad
･
o
( ￠I ￠ ∈ R ( a ) 4 ( c)
∈7
,
)
'
で与え
o
根 基 に 関す る 次 の 定 理 を得 る
｡
.
の決定
｡
:
-
1
の原始 p
指 標 の 値 を含 む
を持
の
K
､
e w ski,
ル
H の そ れ ぞれ の
有 理 整 数全 体 の 成す 環
-
:
ア は A の 極 大イ デ ア ル で あ る
,
､
て の
と 定 義す る
i
B
根基 に
s o n
有限 群 の 指標 環 の 単 数 ( 無 限位 数)
.
:
.
b
6 1 2 を 参照 せ よ
-
さ ら に 記 号 を追加 す る
p
Z
原 始I G ト乗 根
極大 イ デ ア
R( a) の J
1 2
る 前 に 記 号 の 説 明 をす る
に 含 まれ る 代数 的 整 数 全 体 の 成 す環
K
,
｡
の位数､
1 の
R ( a) の
1 1
G
定理( B
の
べ
-
-
‥=
(1 9 6 3)
15
.
定理
2
て述
つ い
有 限群 の 指標 環 の
.
B
I
有 限群
-
‥
に
て
決定
の
表現 の 間 に ど の よ う な関係 が 存在 す る か
上記
｡
A
乗根
の
Z[ L J]
､
部 分環
:
-
LJ
と Z を含 む C
の
最小
の
部分 環
､
｡
可換環 R に対 して
､
U f( R )
:
-
位数が有限
R
の
の
単数 か ら成 る
U ( R ) の 部 分群
｡
U( B )
j を 1 ≦i j
,
< p
U f( B ) な らば U ( R ( a ))
-
,
i
-
U f( R ( G )) が 成 り 立
≠j を 満 た す有 理 整 数 と す る
1Ⅹ
｡
こ の と きi k
≡
つ
o
j( r , w
d p)
,
1 ≦k < p
を
満 た す 有 理 整数
k が 存在 す る
に対 して
か の 1 変数 関数 を 定義す る
く
い
つ
-
I
k
X P +
-
1
蛋
'k
x p
-
2
-
f k( x)
X
-
k
1
k
x
-
2
1
+
-
･
･
定理
9ij( e)
定理
-
2 3
i
9 k( e )
e
.
,
ある
f i ,( E)
e
(ii)
1
-
叩
I
A
x p+
-
,
m
-
+
･
･
+ 1
･
,
1
-
x
k
m
-
+
-
･
+ 1
,
-
i
f k( x )
I
次 の (i) (ii) が 成 り 立
､
つ
｡
,
入を 1
･
の原始p
つ
乗根 と す る
一
e
=
｡
ま た は e 入 が成 り 立
つ
と
｡
･
0 ま た は T70
-
4, を G
. l
･
-
,
(i)
x
o
こ の と き 次 の (i) (ii) が 成 り 立
.
m
m
1)
一
i
士1 , rl , 0
-
-
原 始 p 乗根 と す れ ば
1 の
f k( e )
-
' l
｡
の単数 で
糾
は
(ii)
の
を任 意 の
e
.
詰壬
(i)
する
2 2
k
が 奇数 の と き)
･
つ
,
,
-
1)
-
(
+
･
f i ,( x)
定理 が成り立
(
k
X
g k( x)
+
+
(k
こ の とき次の
有理整数i i
o
が 偶 数 の と き)
(k
-
意 的 に定 ま る
一
｡
,
. l
て
っ
,
I l
g i, ( I )
f k( I)
値はi j によ
この k の
o
-
1
･
指標 と す る と き有 理 整 数係数 の 多項 式
の
仲)
a
-
n
n
x
+
･
-
+
+
al X
ao
に 対 して G
般 指 標 f(ゆ) を
一
'
f (4 ,)
a
-
n
+
で
ある
ゆ
n
+
-
ゅ+
al
a oI G
l
定義 す る
で
を用
2 3
.
定理
とす る
り立
つ
(i)
(ii)
定理
れた H
は G
G
ら は f ij( a) を定 理
これか
定理
こ こ に1
o
2 4
.
2 2 の
･
次
の定理が
得 られる
<
>
を位数 p
の
a
,
< p
,
,
ゆ を ゆ( a)
､
≠j) に 対 し て i
i
o
2 2 と
定理
･
｡
巡 回群と し
(l ≦i j
o
前 に 定義 され た 有 理 整 数係 数 の 多 項 式 と す る
い て
有理整数i i
.
単位 指 標
の
-
+
LJ
定義 さ れ る
で
j ≠p と 仮 定す る
<
a
>
次指標
の 1
こ の とき次が成
.
｡
土f i ,( ゆ
) は <
a
･
士f i, (
抑
2 5
H
I
.
の 1
>
の 1
ま指 標 環 R ( <
=
<
a
>
次 指標
a
>
)
を 有 限群 G
次 の 指 標 とす る
で はない
o
の 位 数無 限 の
の
位数 p
の巡
,
こ の と き 土f i ,(4)
･
｡
Ⅹ
⑳G
単数
で
ある
o
回 部分 群 と す る
(l
≦i j
,
< p
,
i
｡
4 , を 4 ( a)
≠j
,
,
i +
-
で
w
j ≠ p) は
定義 さ
R( G ) の
単数
ある
で
こ こ に fi ,( 申
)
･
o
'
2 6
定理
2 7
1 G/ G 1
定理
ある
3
を有 限 群 G
'
これ から は G
.
がp
の
有 限群 G に
.
⑳G
,
は f ij(4 )
倍数
で
2 つ の 有限群 G
雷:
デア
て G
/
≠G
,
u
である
c ti o n
o
o
U ( R ( a ))
の
単数 を も つ
/
U f( A ( a )) な ら ば
-
o
a / a tま( 2 , 3) 群 で
一
､
ル
雷
､
.
.
.
di
､
A/ ア
-
軒) を同型
,
宮( a )
定理 3
‥
-
( ∑;
1
.
2
( a)
m
雷a 雷
di
-
-
k( B i)
:
ai ∈
雷 a 宵( H ) が 成 り 立
m
B
-
-
定理
3 2
7)
､
:
-
ただ 1
素数 p を含 む A
つ の
全体 と す る
の
雷R ( a ) か ら 言R ( H )
つ
素イ
の
o
-
の
同型 写 像 が 存 在 す る と
の
同型 写 像 が 存 在す る も
｡
G の p bl o c k の 全 体
-
､
絶 対 既 約 な 通 常指標
つ
の
て B l( a) ∋ B
･
Y
r au e r
の個数､
有 限群 G
)
i
の
a m
-
i
ト
k( B ;)
,
,
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n
-
の
個数
､
i( B i)
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a
co
b
べ
-
so n
ば次 が 成 り 立
i( B ()
l
(iii)
･
た 3 編
r
a
H)
-
全単射 写 像 が 存在す る
Bi ∈ B l( H ) と す れ
(ii)
O
の
雷R ( a ) か ら 言R (
H 8 こ対 して
主要 な研 究成 果 を 述
a u chi
既約 指標
.
こ の と き B l( a ) か ら B l( H )
o
k( B
K
-
に含 ま れ る 同型 で な い B
2
最後 に 上
･
i
.
とする
(i)
‥
t
B i の d e fe c t
d( B i)
っ
)
B
,
r
｡
に含 ま れ る 同型 で な い
.
成 す環
H 8 こ対 し て
,
i
B
-
.
la
o
1
.
u
雷) とお く
B
,
d
I
i( B i)
によ
(
の
-
こ こ で 記 号を追加 す る
B l( a)
o
｡
な い 絶 対既 約 な 雷 G 加 群 の 指標
で
有 限群 G
つ の
m
o
軒1
ai
1
=
H の それ ぞれ の
,
｡
C に 含 ま れ る 代数 的整 数 全 体
=
( 蘇
2
ind
の それ ぞれ の 指標環 が 同 型 で あ るとき G
H
,
さら に 記 号 を追加 す る
の
s o r
あ れ ば R ( a) は 位 数 無 限
表現 の 間 に ど の よ う な 関 係 が 存 在 す る か
き
n
｡
.
a
の te
-
交換 子 群 と す る
の
つ い
G
の
の
d( B
)
i
つ
-
.
さらに
こ の
全 単射 写 像
｡
d( B;)
論文
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31 7
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( 投稿 予 定)
｡
山 内が
:
,
ch a r a c t er rin
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こ とにする
a u chi
,
A
,
ま た 研 究代 表者
.
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( 投稿 中)
を以 下 に 綴 る
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日 本数 学 会代数 学分 科会
(2 0 01 年 1
･
｡
ii
Ⅹ
0 月
､
九 州 大 学) で 発 表 し た 原稿 も載 せ る
有限 群 の 指標環
根基 に
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山内
憲
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の 同 じb lo ck に 属すれ
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こ こ に x七
｡
を素数 と す る
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｡
こ の とき
｡
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､
｡
定理
る
)
X
千 葉 大 学 教 育学 部
一
,
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､
a n o 七b e r ,Ⅰ
Ⅰ
o nto
g
指標 環 を そ れ ぞ れ R ( a ) R ( H ) と す る ま た 雷 を 代 数 的整
の 同型 写
入 ‥ 言R ( a) → 雷R ( H ) を 言R ( a) か ら 雷R ( H )
の
数全 体 か ら成 る 環 と
像 と すれ ば S a k s o n
r a u e r c h a r a c t e r ri n
B
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/
,
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と す る 入 ‥ 雷B R ( a)
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.
.
,
h)
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の 同 じ blo
と x; も H
･
′
′
c
k に属す
o
有 限群 G H の B r a u e r 指標 環 を そ れ ぞれ B R ( G ) B
雷B R ( H ) を 同型 写 像 と す る 入 は 1 対 1 対応 : C l( G
R(H)
,
,
→
.
.
,
ば
)
｡
→
｡
) を誘 導 す る こ こ に G H は そ れ ぞれ G H の p r e g u l a r el e m e n t 全 体 の
の 共役 類 の 集 合)
C l( H )
eL)
a )( G
集 合 で あ る C l( G )
(al
( a:1
r) で
入 に よ っ て e i ー e; で あ る と す る こ の とき ci う c;
e i ∋ c i a; ∋ c; (i 1
と 書く こ と に す る (i 1 ･ ∫)
m p
(l C H ( c 1 )l p
I C E ( cL )lp ) と お く ' こ こ
(I C G ( c l)Ip
l C G ( c )I p ) m ;
m
にI X I p は 有限集合 X の 元 の 個数1 X l の p
i C G ( c )I)
p a r t を表す
(t C G( c l)l
m
l C H ( cL )I) と お く C C を そ れ ぞ れ G H の C a r t a n m a t ri x
(I C H ( c l )I
と し A を I B r( a )
P ) I B r( H )
(dl
銘) に 関す る 入 の 行 列 表 現 と
(p l
c l( H
-
. ,
｡
.
｡
.
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-
,
…
,
,
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-
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′
,
,
,
,
,
.
,
,
.
･
,
こ の とき 次 の 3
2
定理
3
m
m
p
次
-
;
'
-
,
4
C A
=
,
,
,
,
,
は 同値 で ある
,
古
∑
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,
定 理 が得 ら れ る
C A
*
ェ
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-
′
C
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o
さ ら に 次の 定 理 が 得 られ る
定理
-
-
,
｡
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,
,
こ こ に(I , 9) a
,
-
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(i) (ii) (iii)
(ii) A
の
m
m
-
,
o
-
-
定理
(i)
,
,
･
､
｡
,
'
l
-
する
o
-
-
/
/
,
,
-
'
'
｡
(iii) ( p i
打
と 定義 し
,
P j)
A
､
'
'
( A( p i) A( 甲,)) H
･
-
G
,
は A の 共役 転置 行 列 を表す
*
o
｡
が成 り立
つ
とする
｡
こ の と き 次 の (i)
( v i)
と書く )
-
が成り 立
つ
｡
r)
ei 甲
( こ の と き p i う di
(i) A( p i)
; (i 1
(ii) G と H の B r a u e r c h a r a c t e r t a bl e は 同 じ で あ る
C で ある
(iii) 行 と 列 の 適 当 な 入 れ 替 え をす れ ば C
ei叩
r
叩) ( r] 1
砿) は そ れ ぞ れ G H の
(i v) A( り豆)
; (i 1
) こ こ に( 恥
主直 既 約 指 標 で あ る ( こ の と き りi 与 り
; と書く )
( v) 叩盲 と n j が G の 同 じ b l o c k に 属す れ ば り; と 7; iま H の 同 じ b l o c k に 属 す る
こ こ に りf う 叩
r
; (t 1
)
-
-
′
,
o
,
…
,
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-
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'
-
-
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,
-
･
,
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,
,
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｡
-
,
…
,
o
39
,
,
-
,
,
｡
､
∫
･
,
I
,
o
,
pi と p, が G
( v i)
る
ここ にp
o
の
･
注意
入
ヰ
t
定理
P;
(t
′
1
-
,
-
)
,r
4 に於 い て は C A
上記
定理
の
つ
本 的 な役 割 を果 た す
補題
1
A
( p i( cj))
5
C W
.
.
L D
N
3
5
.
K
k
u
b
pp
"
as
Ch
er
.
r
の
同 じb lo c k に属 す
a
実際 に C
.
≠A C
A
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