第13回 および期末レポート課題 (12/5更新)

量子力学演習-1
6 Sep. ’16
■1.1
波動関数が Gaussian 分布型のとき、波束は時間とともに広がること（教科書 (2.11)）を示せ。
■1.2
1 次元の波束で、運動量 (p) 空間における波動関数が
ϕ̃(p) =
p2
N
+ a2
と与えられているとき、
(i) 座標 (x) 空間の波動関数を求めよ。
∫
∫
(ii) 物理量 A の期待値は ψ ∗ (x)Aψ(x)dx または ϕ̃∗ (p)Aϕ̃(p)dp で与えられることを用いて、不確定性関
係 ∆p∆x > ℏ が a の選び方によらず得られることを示せ。
ここで、N, a は定数である。
■1.3 次の Hamiltonian
H=
p2
+ α|x|ρ
2m
に従う系に対して、不確定性原理を用いることにより最低エネルギー固有値を評価せよ。またこの最低エネル
ギーが存在するために α, ρ が満たすべき条件を定めよ。得られた結果を見て、物理的考察をせよ。
量子力学演習-2
■2.1
13 Sep. ’16
運動量空間における波動関数
ψ̃(p, t) =
を用いれば ⟨p⟩ =
∫
1
(2πℏ)3/2
∫
ψ(r, t)e−ip·r d3 r
ψ̃ ∗ (p, t)pψ̃(p, t)d3 p と表せることを用いて、
∫
⟨p⟩ =
ψ ∗ (r, t)(−iℏ)∇ψ(r, t)d3 r
で与えられることを示せ。
■2.2
球面波
ψ± (r, t) =
N (±ipr−i p2 t)/ℏ
2m
e
r
は、原点を除き Schrödinger 方程式を満たしていることを示せ。
さらに、原点を除いて連続方程式
∂ρ
∂t
+ ∇ · j = 0 を満たしていることを示し、その物理的な意味を考察
せよ。
■2.3
３次元空間の波動関数が ψ(r) = N e−αr で与えられている。
(i) 規格化定数 N を定めよ。
(ii) 期待値 ⟨x⟩, ⟨r⟩, ⟨r2 ⟩ を求めよ。
(iii) 不確定性 (∆x)2 , (∆r)2 を求めよ。
(iv) この粒子が領域 r > ∆r に見出される確率を求めよ。
量子力学演習-3
■3.1
20 Sep. ’16
無限大のポテンシャル障壁
{
V (x) =
∞ x < 0, x > a
0
0<x<a
に閉じ込められた１次元量子力学的粒子の定常状態における波動関数とエネルギー準位を求めよ。さらに、
E < 0 であるような波動関数は存在しないことを示せ。
■3.2
階段型ポテンシャル
{
V (x) =
V0
0
x>0
x<0
に左 (x = −∞) からエネルギー E の粒子が入射する状況を考える。
(i) E ≥ V0 の場合の反射率 R と透過率 T を求め、R + T = 1 を示せ。
(ii) E < V0 の場合の反射率 R と透過率 T を求め、R + T = 1 を示せ。
■3.3
ポテンシャル障壁
{
V (x) =
V0
0
0<x<a
x < 0, a < x
（V0 > 0）に左からエネルギー E > 0 の粒子が入射する。
(i) E > V0 のとき、反射率 R と透過率 T （教科書 (3.46) および (3.47)）を求めよ。
(ii) E < V0 のとき、0 < T < 1 であることを示せ（教科書 (3.51)）。この結果より a ≫ 1 のとき、反射率は
急激に減少すること (3.53) を示せ。
量子力学演習-4
■4.1
井戸型ポテンシャル
{
V (x) =
27 Sep. ’16
−|V0 |
0<x<a
0
x < 0, a < x
に左からエネルギー E > 0 の粒子が入射する。
(i) 反射率 R と透過率 T を求め、無反射 (R = 0) 条件を示せ。
(ii) 透過率 T を E/|V0 | の関数として、その概形を示せ。
■4.2
周期的ポテンシャル障壁
{
V (x) =
0
V0
0<x<a
−b < x < 0
mod d := a + b
の下で運動する量子力学的粒子に対して、その許される固有エネルギーに対する条件を求めよ (3.92) (3.94)。
量子力学演習-5
■5.1
4 Oct. ’16
運動量固有関数を一辺の長さ L の箱を用いて規格化する (4.48) (4.49)。このとき、固有関数系が直交
性 (4.50)
∫
L3
および完全性 (4.52)
∑
ϕ∗P ′ (r)ϕP (r)d3 r = δP P ′
φp (r)φ∗p (r ′ ) = δ(r − r ′ )
p
をみたすことを示せ。ここで、右辺は周期性 δ(r + L) = δ(r) をもつ δ-関数である。
■5.2
ポテンシャル障壁
V (x) =
V0
1 + e−αx
に左から入射する E > V0 の粒子を考える。
(i) x → ∞ において ψ ∼ eik2 x , k2 :=
√
2m(E − V0 )/ℏ となるような解を見つけよう。新しい変数
ξ = −e−αx を導入し、ψ = ξ −ik2 /α w(ξ) とおけば、w(ξ) は
(
)
2ik2
k2 − k2
ξ(1 − ξ)w + 1 −
(1 − ξ)w′ + 2 2 1 w = 0
α
α
√
を満たすことを示せ。ここで k1 = 2mE/ℏ である。
′′
(ii) この方程式は Gauss の超幾何関数によって解けることを示し、x → ∞ (ξ → 0) において波動関数が求
める形になっていることを確認せよ。（各種公式集等が参考になるはず）
(iii) このポテンシャル障壁による反射率は
(
R=
となることを示せ。（挑戦課題）
sinh π(k1 − k2 )/α
sinh π(k1 + k2 )/α
)2
量子力学演習-6
■6.1
Hermite 多項式 Hn (x) は g(t, x) := e−t
2
+2tx
義できる。
11 Oct. ’16
=
∞
∑
1
Hn (x)tn のように母関数 g(t, x) を用いても定
n!
n=0
(i) H0 (x), H1 (x) を求めよ。
(ii) 母関数表示を用いて漸化式
Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x),
Hn′ (x) = 2nHn−1 (x)
(n ≥ 1) を示せ。
(iii) これらの漸化式から H2 (x), H3 (x), H4 (x) を求めよ。また、Hn (x) は Hermite の微分方程式
Hn′′ (x) − 2xHn′ (x) + 2nHn (x) = 0
を満たすことを導け。
(iv) g(t, x) = e−t
2
+2tx
= ex e−(t−x) とも表せる。
2
2
2
∂ −(t−x)2
∂
e
= − e−(t−x) を用いて
∂t
∂x
Hn (x) = (−1)n ex
を示せ。
∫
∞
(v) 直交関係式：
−∞
2
dn −x2
e
dxn
√
2
Hm (x)Hn (x)e−x = 2n πn!δmn を示せ。
量子力学演習-7
18 Oct. ’16
角運動量演算子 L = r × p を極座標を用いて表せ (5.16)。これを用いて
■7.1
{
L2 = −ℏ2
1 ∂
sin θ ∂θ
(
sin θ
∂
∂θ
)
+
1 ∂2
sin2 θ ∂ϕ2
}
となることを示せ (5.17)。
角運動量演算子 L = −iℏr × ∇ は
■7.2
[Lx , Ly ] = iℏLz , [Ly , Lz ] = iℏLx , [Lz , Lx ] = iℏLy
および
[L2 , Li ] = 0, (i = x, y, z)
をみたすことを示せ。
∞
■7.3
Legendre 多項式 Pl (z) は g(t, z) = √
できる。
∑
1
Pl (z)tl のように母関数 g(t, z) を用いて定義
=
1 − 2zt + t2
l=0
(i) P0 (z), P1 (z), P2 (z) を求めよ。
(ii) 母関数表示を t で微分し、漸化式 (2l + 1)zPl (z) = (l + 1)Pl+1 (z) + lPl−1 (z) を示せ。同様に z で微分
′
′
することにより、漸化式 Pl+1
(z) + Pl−1
(z) = 2zPl′ (z) + Pl (z) を示せ。
(iii) これらを組み合わせて、漸化式
′
Pl+1
(z) = (l + 1)Pl (z) + zPl′ (z)
′
Pl−1
(z) = −lPl (z) + zPl′ (z)
(1 − z 2 )Pl′ (z) = lPl−1 (z) − lzPl (z)
を確認し、微分方程式
(1 − z 2 )Pl′′ (z) − 2zPl′ (z) + l(l + 1)Pl (z) = 0 ⇔ −
d
d
(1 − z 2 ) Pl (z) = l(l + 1)Pl (z)
dz
dz
d
d
(1 − z 2 )
と 定 義 す れ ば 、Legendre 多 項 式 は LPl (z) =
dz
dz
が 成 立 す る こ と を 示 せ 。L := −
λl Pl (z), λl = l(l + 1) のような固有値方程式を満たすことがわかる。
(iv) 一般に u(z)Lv(z) − v(z)Lu(z) = {(1 − z 2 )(vu′ − v ′ u)}′ が成り立つことを用いて、l ̸= m のとき、
Legendre 多項式は区間 [−1, 1] で直交すること
∫
1
−1
を示せ。
2 −1
(v) 母関数表示より (1 − 2tz + t )
=
∫
(∞
∑
Pl (z)Pm (z)dz = 0
)(
Pl (z)t
l
l=0
1
間 [−1, 1] で積分することにより
−1
Pl (z)2 dz =
∞
∑
)
m
Pm (z)t
m=0
2
を示せ。
2l + 1
である。この両辺を z について区
量子力学演習-8
■8.1
25 Oct. ’16
Bessel の微分方程式（次数 ν ）
(
)
d2 u 1 du
ν2
+
+ 1− 2 u=0
dz 2
z dz
z
の解を Jν (z) とする。次数 ν が半奇数 ν = ℓ + 12 , (ℓ ∈ Z) の場合、
√
jℓ (z) :=
π
Jν (z)
2z
および、
√
ℓ+1
nℓ (z) := (−1)
π
J−ν(z)
2z
は自由粒子の動径方程式 (5.56) を満たしていることを示せ。
■8.2
Laguerre 陪多項式 Lkm (z) は
Lkm (x) =
1 x −k dm ( −x m+k )
e x
e x
m!
dxm
のように定義される (Rodorigues の公式）
。
(i) Lk0 (x), Lk1 (x), Lk2 (x) を求めよ。
(ii) Lkm (x) が m 次の多項式であり、直交性
∫
∞
e−x xk Lkn (x)Lkm (x)dx = δm,n
0
(n + k)!
n!
が成り立つことを示せ。
(iii) Rodorigues の公式に z m をかけて、非負整数 m について総和する。
∑
Lkm (x)z m = ex x−k
∑ 1 dm (
)
e−x xm+k z m
m
m! dx
m≥0
m≥0
このとき、右辺に対して Cauchy の積分公式（導関数の積分表示）を適用することにより、母関数表示
g(x, z) :=
∞
∑
e−xz/(1−z)
=
Lkm (x)z m
(1 − z)k+1
n=0
を求めよ。また、どのような積分路が適切であるかを示せ。
(iv) 母関数 g(x, z) をそれぞれの変数で微分することにより、漸化式
(m + 1)Lkm+1 (x) = (2m + k + 1 − x)Lkm (x) − (m + k)Lkm−1 (x)
x
d k
L (x) = mLkm (x) − (m + k)Lkm−1 (x)
dx m
を示せ。
(v) この母関数表示から、Laguerre 陪多項式は Laguerre 陪微分方程式
x
を満たすことを示せ。
d
d2 k
Lm (x) + (k + 1 − x) Lkm (x) + mLkm (x) = 0
2
dx
dx
量子力学演習-9
■9.1
1 Nov. ’16
中心力ポテンシャル V (r) = −V0 e−r/a , V0 > 0 の下での運動を考える。
(i) ℓ = 0 のとき、動径方程式は変数変換 z = e−r/2a により Bessel 方程式になることを示せ。その場合の適
切な境界条件を求めよ。
(ii) Bessel 関数 Jν (ξ), (ν > 0) の正の零点は、一般に J0 (ξ) の最小の零点 ξ0 ≃ 2.405 より大きいこと、また
これらの零点は 1 位であることを用いて、束縛状態が存在するために V0 が満たすべき条件を求めよ。
■9.2 中心力ポテンシャル V (r) =
A
B
− , A, B > 0 の下で運動する粒子の束縛状態を考える。
2
r
r
r
(i) 動径方程式において ρ :=
√
2 −2mE
r
ℏ
および
s(s + 1) = ℓ(ℓ + 1) +
B
2mA
, n=
ℏ2
ℏ
を導入すれば、方程式は水素原子と同様の形になることを示せ。
(ii) 束縛状態のエネルギー準位を求めよ。
√
m
−2E
量子力学演習-10
■10.1
8 Nov. ’16
１次元の調和振動子を考える。消滅演算子 â の固有状態で固有値 λ に属するものを |λ⟩ と書き、
coherent 状態と呼ぶ。
(1) |λ⟩ を個数演算子 N̂ の固有状態 |n⟩ の重ね合わせで表せ。規格化因子も求めよ。
(2) |λ⟩ の座標表示を求めよ。
(3) |λ⟩ の時間発展を求めよ。
∫
1
(4)
d2 λ|λ⟩⟨λ| = 1 を示せ。ただし、d2 λ := dλR dλI , (λ = λR + iλI ) である。
π
■10.2
１次元調和振動子の Green 関数
)
i
G(q , q ; t) = ⟨q | exp − Ĥt |q ′ ⟩
ℏ
′′
を求めよ。
′
′′
(
量子力学演習-11
■11.1
15 Nov. ’16
電子や陽子・中性子はスピン 1/2 をもつ粒子であり、スピン演算子 S の各成分は
Sj =
ℏ
σj ,
2
(j = 1, 2, 3)
と表せる。ここで σj はパウリ行列である。以下ではこれらの粒子の状態空間のうち、スピンの自由度を表す
部分空間だけを考える。また S3 の固有値 ±ℏ/2 に属する固有状態をそれぞれ |±⟩ とする。
(1) ある方向の単位ベクトルを n̂ = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) とする。n̂ · S の固有値・固有状態を求めよ。
(2) 各固有状態においてスピンが上向き（|+⟩）である確率を求めよ。
(3) 外部磁場 B = B n̂ の下で、この系のハミルトニアンが Ĥ = λB · S で与えられるとする。このハミルト
ニアンの物理的意味を述べよ。また、初期状態 |+⟩ の粒子が、時刻 t において |±⟩ をとる確率をそれぞれ
求めよ。
(4) 時刻 t におけるスピン演算子の期待値を求めよ。特に、磁場を x 方向にかけた場合には、スピンの期待値
は yz-平面で回転運動を起こすことを示せ。
量子力学演習-12
■12.1
22 Nov. ’16
電荷 e で帯電した 1 次元の調和振動子に、弱い一定電場 ε が加わった場合のエネルギー変化を計算
する。
(1) 摂動ポテンシャルはどのように与えられるか。
(2) １次の摂動エネルギーを求めよ。
(3) ２次の摂動エネルギーを求め「分極率」を求めよ。ここで分極率 α は ∆E = −αε2 /2 のように定義され
るものとする。
(4) このエネルギーのずれは、摂動論を用いずに計算することができる。その理由を考察せよ。
■12.2
１次元の調和振動子に V̂ = λx4 が加わった系のエネルギーのずれを、１次の摂動により求めよ。
（Hermite 多項式の漸化式を用いれば計算を簡略化できる。）
量子力学演習-13
■13.1
29 Nov. ’16
１次元調和振動子の原点に、撃力的な斥力がはたらく系を考える。摂動ポテンシャル V0 δ(αx) が加
わったとして、エネルギー準位のずれ、および固有関数の変化を調べよ。ここで α =
√
mω/ℏ とする。
量子力学演習-14（期末レポート課題）
6 Dec. ’16
以下の課題のどちらかを選び、期日までに提出せよ。
■14.1
自然現象または科学技術の中で、量子力学に拠らなければ説明できないもの、つまりニュートン力学
では説明不可能な事項を一つ挙げ、それについて可能な限り詳細な解説を与えよ。
■14.2
摂動論や WKB 法など、量子力学における近似法の具体的な問題を一つ挙げ、それを解け（講義およ
び演習で扱った問題は除く）。