ドリフト数

定常電流、揺動速度、電気抵抗
目次
§1.電荷移動と電流
§２.電気抵抗，抵抗率、伝導率の定義
§３.ミクロに見たオームの法則ー電気抵抗の古典的モデルー
§4.電気回路の電力の散逸ージュール熱
Made by R. Okamoto (Emeritus prof., Kyushu Inst. of Tech.)
Filename=Current-driftvelocity-resistence20150721A.ppt
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§1.電荷移動と電流
・同種の電荷が運動しているとき、電流が流れている（電流が存在する）という。
・断面積Sのある面に垂直に通過する電荷の集団を考える：
・電流とは、単位時間にこの面を通って流れる電荷の総量（代数和）である。
ある有限の時間Δt間に、この面を通過する全電荷の総量
（電荷の代数和）がΔQのとき、平均電流Iav
I av ≡
∆Q
∆t
・瞬間的な電流の強さ
∆Q dQ
=
∆t →0 ∆t
dt
I ≡ lim
電流の強さの次元、単位
C
[Q ] =
C, [t ] =→
s [I ] = ≡ A
s
A=ampere,アンペア
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＜電流の強さIの定義の拡張（一般化）＞
電流は外部から電場をかけられた場合に生じる、荷電粒子集団の正味の流れ
により決まる物理量。
荷電粒子としては，電子、半導体の正孔（ホール），正負のイオンなど。

q j : 電荷，
v j : 速度，n j : 数密度( j = 1,2,, n ), S : 断面積
  n


I ≡  ∑ q j ⋅ v j ⋅ n j  S  (1.1) 電流（ベクトル）
 j =1

 n
 I

i ≡ = ∑ q j ⋅ v j ⋅ n j  (1.2) 電流密度（ベクトル）
S j =1
荷電粒子の速度ベクトル：



vj =
v t, j + v d, j , (t ≡ thermal, d ≡ drift) (1.3)
熱運動速度 ドリフト速度（揺動速度）
熱運動は乱雑である＝正味の流れは生じない

q
v
⋅
∑ j t, j ⋅ n j ≅ 0 (1.4)
n
j =1
結局，電流はドリフト速度（揺動速度）で決まる
  n


I ≅  ∑ q j ⋅ v d , j ⋅ n j  S  (1.5)
 j =1

 n

i ≅ ∑ q j ⋅ v d, j ⋅ n j  (1.6)
j =1
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簡単のため、荷電粒子は同じ種類のものだけで、電荷をqとすると
I = q ⋅ vd ⋅ n ⋅ S  (1.7)
（電流の強さ）＝（電荷）×（ドリフト速度）×（数密度）×（断面積）
i =q ⋅ vd ⋅ n  (1.8)
（電流密度の強さ）＝（電荷）×（ドリフト速度）×（数密度）
・次元、単位の確認
m
1
C
, [n ] = 3 , [ S ] =m 2 → [ I ] = ≡ A  (1.9)
s
m
s
C
A
=
[i ]
≡
 (1.10)
s ⋅ m2 m2
[ q] =C, [vd ] =
A=ampere,アンペア
・荷電粒子の数密度nの計算：
導体の質量をm、体積をV、密度をρ、グラム原子量をM、アボガドロ数をNAとすると、
荷電粒子の個数Nと数密度n（＝単位体積あたりの原子数）は次のように表される。
m
N A  (1.11)
M
m
N  V 
n ≡ = NA
V
M
N=
ρ
→ n = N A  (1.12)
M
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§２.電気抵抗，抵抗率、伝導率の定義
・一般に、抵抗器など伝導素子（device）にかかる電圧をV、通過する電流の強さ
がIの場合、次の式で定義されるRを電気抵抗という。
V
R ≡  (2.1)
I
V
→ V= RI , =
I
 (2.1')
R
式（２．１）、（２．１‘）をオームの法則と説明する単行本が多いが、以下の本には適切
な注意が記されている：D. ハリディ, J. ウォーカ , R. レスニック「物理学の基礎〈3〉電磁
気学」培風館、2002年。特に、pp.105-106.
・多くの場合、抵抗Rは電圧の値に依存して変化する。
R=R(V)
しかし、特殊な場合には、Vの値が限られた領域において、Rの値がほぼ一定
になること、すなわちVとIが直線関係になることをオーム（G.S.Ohm,1787-1854）
が発見した：オームの（経験的）法則
・導線の断面積をS,長さをｌとしたとき、次の式で抵抗率ρ、伝導率σを定義する
RS

→ρ ≡
,
S

1
→σ ≡
R= ρ
ρ
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§３.ミクロに見たオームの法則ー電気抵抗の古典的モデルー
・自由電子（伝導電子）を含む金属原子の規則的配列を考える。
・これらの電子は導体中をほぼ自由に運動でき、その総数はほぼ原子数に等しい。
・この状況は金属に電場をかけると一変する。上に述べたランダムな（乱雑な）運動
に加えて，自由電子はゆっくりと、加えられた電場の向きと逆向きに平均速度Vdでド
リフト（漂流）する。
出典：M.M. Sternheim (著), J.W. Kane (著), 石井 千穎 (訳)
「ライフサイエンス物理学 」廣川書店、2000年。P.345.
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・一般に，電荷q、質量mの荷電粒子に、電場Eがかかると次の加速度を生じる。
a=
qE
 (3.1)
m
・電荷の，1つの衝突から次の衝突までの平均時間（＝緩和時間）をτとすると、
ドリフト速度Vd
vd =
qE
τ  (3.2)
m
・導線にかかる電場Eと電圧Vの関係
V = E  (3.3)
・オームの法則を抵抗率、伝導率を用いて表現すると

=
E  ρ=
I ρ i
S
→ E= ρ i, i= σ E  (3.4)
・一方、電流密度とドリフト速度の関係
オームの法則の意味：
nq 2 E
抵抗率ρが電圧によらず一定で、
=
i qnv
=
τ  (3.5)
d
m
式（3.6）で計算できること
・式（3.4）と（3.5）を比較すると
1
m
（抵抗率）＝（荷電粒子の質量）÷（数密度×電荷
ρ= =

(3.6)
の2乗×緩和時間）
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σ nq 2τ
・緩和時間と平均自由行程λの関係
=
τ
λ
v
 (3.7), v ≡
3k BT
: 熱運動の平均速度
m
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§4.電気回路の電力の散逸ージュール熱
・電圧Vのとき、時間ｄｔの間に，移動する電荷dqであれば、電気的ポテンシャル・
エネルギーの減少dUと、ポテンシャルエネルギーを失う時間的割合
dU =dqV =IVdt → P ≡
∴ P =IV  (4.1)
dU
dt
（消費される電力）＝（電流の強さ）×（電圧）
電池から伝導素子へのエネルギー移動率で、一般に成立する、すな
わちあらゆる種類の電気エネルギーの移動に対して適用される。
・抵抗器（抵抗R)では、V=RIであるから，式（4.1）は抵抗による熱の散逸を意味し、
次のように書ける
V2
P =I R＝  (4.2)
R
２
抵抗Rをもつ伝導素子で、電気的エネルギーが熱エネルギーに移動
するときだけに適用される。
：D. ハリディ, J. ウォーカ , R. レスニック「物理学の基礎〈3〉電磁気
学」培風館、2002年。特に、pp.109-111.
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