物質中のMaxwell方程式と光の屈折の法則について

物質中の Maxwell 方程式と光の屈折の法則について
7.3.3 Maxwell’s Equations
真空中の電磁場 E, B に対する Maxwell 方程式は以下で与えられる．
1
∇ · E = ρ （Gauss の法則）
ϵ0
(1)
∇·B=0
(2)
∂B
∇×E=−
（Faraday の法則）
∂t
(3)
∂E
∇ × B = µ0 J + µ0 ϵ 0
（Maxwell の補正を受けた Ampère の法則） (4)
∂t
1
7.3.5 Maxwell’s Equations in Matter
∇ · D = ρf （物質中の Gauss の法則）
(5)
∇·B=0
(6)
∇×E=−
∂B
（Faraday の法則）
∂t
∂D
∇ × H = Jf +
∂t
（Maxwell の補正を受けた物質中の Ampère の法則）
(7)
(8)
D = ϵ0 E + P
1
H= B−M
µ0
2
• D, H と E, B の関係は物質に依存する．しかし，単純な物質の場合（線形物質の場
合），D = ϵE, H = µ1 B で与えられる．ϵ, µ はそれぞれ物質に固有の量でそれぞれ
誘電率，透磁率と呼ばれる．
• このような単純な場合は Maxwell 方程式は真空中の場合と同じ形になる．
1
∇ · E = ρf （Gauss の法則）
ϵ
∇·B=0
∇×E=−
(9)
(10)
∂B
（Faraday の法則）
∂t
(11)
∂E
∇ × B = µJf + µϵ
（Maxwell の補正を受けた Ampère の法則） (12)
∂t
3
真空中の電磁波（Griffiths 9.2 Electromagnetic Waves in Vacuum）
• ρ = 0, J = 0 のとき，Faraday の法則と Ampère の法則の rotation をとると
(
)
∂B
2
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∇ E = ∇ × −
∂t
∂
∂ 2E
= − (∇ × B) = −µ0ϵ0 2
∂t
∂t
(13)
(
)
∂E
∇ × (∇ × B) = ∇(∇ · B) − ∇2B = ∇ × µ0ϵ0
∂t
∂
∂ 2B
= µ0ϵ0 (∇ × E) = −µ0ϵ0 2
∂t
∂t
(14)
• ∇ · E = 0, ∇ · B = 0 より
1 ∂ 2E
∇ E= 2 2,
c ∂t
2
1 ∂ 2B
∇ B= 2 2,
c ∂t
2
1
c =
µ0 ϵ 0
2
(15)
このような方程式は波動方程式とよばれる．
4
平面電磁波
• 電磁場 E, B に対する波動方程式 (15) は，以下の形の解を持つ．
E(r, t) = a sin(k · r − ωt − α)
(16)
B(r, t) = b sin(k · r − ωt − α)
(17)
k は波動ベクトルとよばれる．(17) 式を (15) 式に代入すると
∇2E = −k 2E, ∇2B = −k 2B
ω2
1 ∂ 2B
ω2
1 ∂ 2E
= − 2 E, 2 2 = − 2 B
2
2
c ∂t
c)
( c ∂t 2 ) c
(
ω
ω2
2
2
− k − 2 E = 0, − k − 2 B = 0
c
c
(18)
(19)
(20)
よって角振動数 ω と波数 k の間には ω = ck の関係がある．
• 時刻 t を固定したとき ϕ(r, t) = 定数 を満足する点 r の集まりを波面とよぶ．(16)，(17)
は波動ベクトル k に垂直な波面をもつ平面波である．
5
• 平面波の波面は速さ c で k の方向に動く．真空中における c の値を計算すると
c =
√
1
= (8.854 × 10−12 × 1.257 × 10−6)−1/2
ϵ 0 µ0
= 2.998 × 108m · s−1= 真空中の光速に一致！
⇒ 光は電磁波の一種である！
(21)
Figure 1: 平面波の波面と波動ベクトル
6
電磁波の偏り
• Maxwell 方程式より ∇ · E = 0, ∇ · B = 0 である．これより
k · E = 0, k · B = 0
(22)
である．これは，光が横波（transverse wave）つまり，進行方向に垂直な方向に振
動することを示す．
（これに対して，音波のように波の進行方向に平行に振動する波
を縦波（longitudinal wave）とよぶ．
）電場の振動方向（定ベクトル a の方向）を偏
り（polarization）とよぶ．
• Faraday の法則より，(16) 式に対応する磁場は
1
∂B
⇒ B(r, t) = k × E(r, t)
∇×E=−
∂t
ω
(23)
で与えられる．よって，B は k にも E にも垂直である．
7
Figure 2: 平面電磁波の電場と磁場．進行方向は x 軸方向（k∥x̂）．偏極方向は y 軸方向
（E∥ŷ）．
波動方程式の線形性
• 簡単のため，電磁場 E, B の成分の一つに注目し，ϕ(r, t) = ϕ(x, y, z, t) と記すことに
すると，ϕ は波動方程式 ∇2ϕ = (1/c2)(∂ 2ϕ/∂t2) に従う．この波動方程式は線形であ
る．つまり，ϕ1, ϕ2 が解なら a1, a2 を定数として線形結合 a1ϕ1 + a2ϕ2 もやはり解に
なる．これは，微分演算子が以下のような線形性を持つからである．
∂
∂
∂
(a1ϕ1 + a2ϕ2) = a1 ϕ1 + a2 ϕ2
∂x
∂x
∂x
(24)
8
光の反射・屈折の法則（Griffiths 9.3.3 Reflection and Transimission at
Oblique Incidence
• xy 平面を境界として x < 0 が空気，x > 0 が水とする．空気中および水中の光速度を
それぞれ c1, c2 とする．
1 ∂ 2E
1 ∂ 2B
2
空気中の波動方程式： ∇ E = 2 2 , ∇ B = 2 2
c1 ∂t
c1 ∂t
(25)
1 ∂ 2E
1 ∂ 2B
2
水中の波動方程式： ∇ E = 2 2 , ∇ B = 2 2
c2 ∂t
c2 ∂t
(26)
2
2
• 空気中に入射波 EI , BI ，反射波 ER, BR が存在し，水中に屈折波（または透過波）
ET , BT が存在すると仮定する．いずれも単色平面波とする．
Ei(r, t) = E0i sin(ki · r − ωt − α), (i = I, R, T )
Bi(r, t) =
1
(k̂i × E0i) sin(ki · r − ωt − α), (cI = cR = c1, cT = c2)
ci
(27)
(28)
9
• 空気中の波 E1 = EI + ER は (25) を満足し，水中の波 E2 = ET は (26) を満足する．
これより
kI c2 = kRc1 = kT c2 = ω,
または kI = kR =
c2
n1
kT = kT
c1
n2
(29)
Figure 3: kI ：入射波，kR：反射波，kR：屈折波．
10
• 異なる媒質間の境界で電磁場が満たすべき境界条件は，Griffiths 9.3.1 より
(i) ϵ1E1⊥ = ϵ2E2⊥,
(ii)
B1⊥
=
B2⊥,
∥
∥
(iii) E1 = E2
(iv)
∥
1
B
µ1 1
=
∥
1
B
µ2 2
(30)
• この境界条件が成立するためには
kIx = kRx = kT x, kIy = kRy = kT y
(31)
である必要がある（詳しくは電磁気学３，または光学の授業で習うはず）．
• 波動ベクトルの大きさについては (29) 式が成り立っている．これより入射角 θI と反
射角 θR は等しく，屈折角 θT については
sin θI
c1 n2
=
=
= n12
sin θT
c2 n1
がえられる（スネルの法則）．ここで n12 は空気に対する水の屈折率である．実験事
実 θ > θ′′ を説明するためには c1 > c2 と仮定することが必要である．
11
Figure 4: 波動の反射・屈折．kIx = kRx = kT x, c1kI = c1kR = c2kT ．
12