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表面拡散場中のステップの不安定化とパターン形成 : 表
面原子のドリフト流による不安定化の場合
佐藤, 正英
物性研究 (2000), 74(2): 93-112
2000-05-20
http://hdl.handle.net/2433/96824
Right
Type
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Departmental Bulletin Paper
publisher
Kyoto University
物性研究
7
4-2(
2
00
0-5)
表面拡散場 中のステ ップの不安定化 とパ ター ン形成 *
- 表面原子の ドリフ ト流による不安定化の場合 一
名古屋大学 理学研 究科 a,学習院大学計算機 セ ンター b
佐藤 正英 ,a,
a1
(
2
0
0
0年 3月 31日受理)
気相 のよ うな希薄な環境相 か らの結晶成長 の場合,結晶表面に現れ るステ ップ位置 での原子の
固化が結晶の成長 に重要な働 きをす る.最近の電子顕微鏡技術の発達によ り,固化 に ともな う原子
層 の高 さのステ ップの運動 の観察が可能 になって きている.特 に盛 んに調べ られ ているものの 1
つ として,シ リコンを直流電流で加熱 して結晶を昇華 させた時の (
1
1
1
)微斜面上のステ ップ列の不
安定化がある.ここでは原子一層分の高 さを持つ ステ ップか らなる微斜面 を考 え,2種類 のステ ッ
プの不安定性 ,ステ ップの蛇行 とステ ップの束の形成 (
ステ ップ ･バ ンチ ング)につ いて調べた結
果 を紹介す る.特 に,シ リコン (
1
1
1
)微斜面での直線 ステ ップ列の不安定化 を念頭 にお いて,表面
原子 の ドリフ ト流 によ り起 きるステ ップの不安定化 につ いて考える.
1 は じめに
結晶が成長す る時に考 えなけれ ばな らない過程 は,環境相 か ら結晶表面-の原子 の供給 の過程,
供給 され た原子 の結晶表面での固体-の組み込み の過程,お よび原子 が結晶に組み込 まれ ること
によ り生 じる潜熱 の排除の過程 に分 け られ る.融液か らの結晶成長 の場合 には,固体の周 りにある
融液はすべて結晶化の材料 とな る.結晶表面-の原子 の供給 は容易なので,この場合 に問題 となる
のは原子の供給過程 よ りも結晶化 によ り生 じる潜熱の排除の過程である.一方で,気相か らの成長
のよ うに希薄な環境相か らの結晶成長では,結晶の周 りには結晶化す るべ き材料が少 ない.この場
合 には,環境相か らの材料の供給が どのよ うに行われ るのか,結晶表面での固体-の組み込みが ど
のよ うに起 こるのかが問題 となる.
十分 に高温であるために,熱的な荒れ によ り結晶表面の荒れている場合や,環境相か らの原子の
供給量が多いために結晶表面上のいたる ところで核生成 が起 きて結晶表面が荒れ る場合 を除いて
は,テ ラス と呼ばれ る平坦な面 とステ ップ と呼ばれ る段差が結晶表面上に現れ ることが多い.この
よ うな表面の うちで最近特 に研 究 され てい るのが,ステ ップが等間隔 に並んでい る微斜面 と呼ば
れ る面である.サイ コロ状の原子が積み重なって結晶ができているとす る模型 (コツセ ル (
Kos
s
e
l
)
模型)を用いれ ば,微斜面は図 1の よ うに表せ る.
気相か ら結晶表面 に入射 した原子は,結晶表面に束縛 され た表面原子 となって結晶表面上 を拡散
す る.拡散 している うちにステ ップに到達できれ ば,この表面原子 はステ ップ上のキンクと呼ばれ
1
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ya
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J
p
*本稿は､編集部の方から特にお願いして執筆していただいた記事である｡
-9
3-
佐藤
正英
図 1
:コ ツセル モデル での微斜 面
る場所 で固体 に取 り込 まれ る.滞在時間中にキ ンクに到達できない表面原子 は再 び気相- と蒸発
す る.逆 に,ステ ップを構成 してい る原子が結晶表面上 に融 け出 し表面原子 とな る こともある.気
相 か らの原子 の入射 が表面原子 の蒸発 に比べ て多けれ ば,テ ラス上での表面原子が増加す る.この
ときには,テ ラスか らステ ップ- の原子 の流入 も増加 してステ ップ位置 は前進す る.逆 に,気相 か
らの入射 が表面原子 の蒸発 に比べ て少 なけれ ば,テ ラス上での表面原子 が減少す る.この ときに
は,それ を補 うためにステ ップか らテ ラス- の原子の流出が増加 して,ステ ップ位 置は後退す るこ
とになる.
⊥
γ
図 2:ステ ップ を連続 的 な紐 とみな した微斜 面.
図 1の よ うにキ ンクがた くさん あ りガ タガ タ してい るステ ップ も,キ ンクの間隔 に比べて充分 に
大 きなスケール では図 2の よ うになめ らかな紐 の よ うにみ えるだ ろ う.ステ ップは紐状 の表面原
子 の取 り込み 口,または吐 き出 し口と して取 り扱 える.テ ラス とステ ップでの原子 のや り取 りす る
ことによ り,ステ ップは表面原子 の拡散場 の中で運動す る.その動 きは,個 々の表 面原子 の動 きに
一9
4-
表面拡散場中のステップの不安定化とパターン形成 一表面原子のドリフト流による不安定化の場合-
比べれ ば,はるかにゆっ く りした ものになる.
ステ ップ間に引力が働 いてい る場合 を除いては,平衡時のステ ップは平均的 には直線的で等間
隔な配置のまわ りで揺 らいでいるだけなので,平衡時の微斜面は安定である.しか し,結晶が成長
または昇華 しているときには,等間隔な直線 ステ ップ列が不安定になることがある.ステ ップ列が
示す不安定化は 2つの不安定化 に分解す ることができる.1つは図 3(
a)のよ うに,直線 ステ ップが
ステ ップに沿 って揺 らぎだす蛇行 と呼ばれ る不安定性 であ り,も う 1つ は図 3(
b)の よ うに等間隔
1
1
･
なステ ップ列が不安定にな り,ステ ップが束 になるバ ンチ ングと呼ばれ る不安定性 である [
(b)
図3
:(
a)ステ ップの蛇行 と (
b)ステ ップのバ ンチ ング
最近では,走査型電子顕微鏡 な どの発達 によ り,高 さが原子 レグェル のステ ップで,これ らの不安
定化が観察 されている.最近特 に盛んに観 察 されているのはシ リコン表面での不安定化である.シ
1
1
1
)微斜面上で これ らのステ ップ
リコンに直流電流 を流す ことで加熱 して結晶を昇華 させ る と,(
の不安定化 が起 きるのが観 察 されている 【
2
7
]
.奪間隔な直線 ステ ップ列 を不安定化 され る原因の
有力な候補 として,電場 の効果 によ り表面原子が力 を受 けることで生 じる結晶表面原子 の ドリフ
ト流 [
8
,
9
】が考 え られ ている.
以下では,表面原子 による微斜面上でのステ ップの不安定化 と微斜面に現れ るパ ターンについて
調べた結果 を報告す る.図 1よ りもはるかに微視的な ところか ら出発すれ ば,結晶の構造 をきちん
と考慮す ることで,表面原子 の素過程が問題 となるよ うな時間間隔お よび空間スケールか ら結晶
成長 と不安定化の しくみ を第 1原理的な計算 によ り考 えることも可能であろ う [
1
0
]
.また,図 2よ
a)の よ
りも十分 に大 きなスケールで微斜面 を見れ ば,ステ ップが同位相で蛇行 した微斜面は図 4(
-9
5-
佐藤
正英
うにステ ップに垂直な方向に溝 ができた よ うに見え,ステ ップがバ ンチ ング した微斜 面は図 4(
b)
の よ うにステ ップに平行 に溝 ができた よ うに見 えるだろ う.ステ ップな どの構造 は結晶の異方性
な どの中に取 り入れて,は じめか ら滑 らかな結晶表面での不安定化 を考えることもできるだろ う.
(b)
図 4‥(
a)ステ ップが蛇行 した微斜面 ,(
b)ステ ップがバ ンチ ング した微斜 面.
しか し,ここではステ ップの運動 を考えることか ら出発 して結晶成長 に ともな う微斜面の不安定化
を考 えることにす る.蛇行やバ ンチングな どのステ ップの不安定化 は個々の表面原子の運動 よ りも
十分 に長 い時間スケール である.したが って,ステ ップの運動 を考 える場合 には,結晶表面上での
表面原子の運動 は拡散流 と して取 り扱 える.以下ではステ ップ流モデル を用いる.これ は,テラス
での表面原子の拡散方程式 を解 くことでステ ップに流れ込む表面原子の量を決めてそ こか らステ ッ
プの速度 を求 めるモデルである.等間隔直線 ステ ップ列の線形不安定性 について調べ [
8,
1
ト2
0
】
,ス
21
]
.その式 を数
テ ップ流モデル の連続体近似 を して不安定化 した微斜面の発展方程式 を考 える 【
値計算 した結果 とモ ンテカル ロ ･シ ミュ レーシ ョンか ら得 られた結果 を比較す る.
-9
6-
表面拡散場中のステップの不安定化とパターン形成 一表面原子のドリフト流による不安定化の場合-
2 ステ ップ流モデル
x軸 に平行 なステ ップ列 か らな り,ステ ップ下段方向に y軸 を とった微斜 面を考 える.表面原子
は拡散係 数 psでテ ラス上 を拡散 し,滞在 時間 丁の間テ ラス上にいた表面原子 は蒸発す る とす る.
気相 か ら結晶表面への原子 の入射がな く,ステ ップの下段方 向に速度 Vdの ドリフ ト流がある とす
8,
ll
2
0
]
.
れ ば,表面原 子 の満 たす拡散方程式 は 【
芸 - DsV2C- vd芸
一 三C
(
1
)
とな る.ここで,右辺 の各項 はそれぞれ表面拡散,ステ ップの下段方向- の表面原子 の ドリフ ト流,
気相-の表面原子 の蒸発 を表 してい る.結 晶表面上での表面原子 の流れ 3
'は
3
'-Ds∇C
(
r)-vdC(r)
ay
(
2
)
とな る･m 番 目のステ ップ位 置 を y-(
m(
I)とす ると上段側 のテ ラスか らステ ップに流れ込む表
面原子量 は ey･
jI
E
m- で表 され る･この流れ の
部 はステ ップで固化 し,残 りは下段 のテ ラスに流
れ てい くと考 え られ る.表面原子密度 があま り高 くないな らば,ステ ップで固化す る表面原子 の量
は,上段側 での表面原子密度
c
l
(
m_ と平衡密度 の差 c
m に比例す る と考 えて良い･一方 で,ステ ッ
プで固体 に取 り込 まれず に,下段側 のテ ラスに流れ てい く表面原子 の量 は,ステ ップの上段側 のテ
ラス と下段側 のテ ラスでの表面原子 の密度差
c
l
く
m_- C
l
E
m. に比例す る と考 え られ る.下段 のテ
ラスか らステ ップに流れ 込む表面原子 の流れ につ いて も同様 の ことを考 えることがで きる.した
が って,ステ ップでの表面原子量 の保存 を考 える と,(
1)式で表せ る拡散方程式のステ ップ位置で
の境 界条件 は,
一兎･
(
Ds∇c
l
(
m一一 vd C
l
く
m一占
y
) - K-(
c
l
(
m- c
m)十P(
c
km+- C
E
く
m-)
(
3)
j
i･
(
Ds∇c
k
m+- vd C
l
(
m+占y) - K'(
c
l
(
m+-c
m)+P(
c
l
(
m一一c
I
(
m.)
(
4)
とな る･ここで,K-(
+)はキネテ ック係数 と呼 ばれ ステ ップ と下段 (
上段)
.
のテ ラス との表面原子
のや り取 りの容易 さを表 してい る.P は表面原子 がステ ップを通 り越 して隣のテ ラス-拡散す る
m は m 番 目のステ ップでの平衡原子密度 であ り,ステ ップ位 置で表面原
容易 さを表 わ している.c
子が この密度 な らば表面原子 の固化 とステ ップを構成 している固体原子 の表面原子- の融解 が釣
り合 うことにな る.ステ ップの形が直線 で等間隔な配置 か らずれ ると,平衡原子密度 の値 もステ ッ
E
｡か らずれ て,
プが孤立 してい る ときの値 c
C
--c
e
o
q(
1
+砦 -蒜
監)
(
5)
とな る.ここで,βはステ ップ ･ステ ィフネ ス と呼 ばれ ,ステ ップが曲が った ことに よる 自由エネ
ル ギーの増加 を表 してい る.r
cはステ ップの曲率 を表 してお り,(
5)式 の第 1項 はギプス ･トム ソ
ン(
Gi
bbs
Tho
ms
o
n)効果 である.第 2項 目はステ ップが等間隔な配置か らずれ ることでの 自由エ
22
2
4】
.Em は直線 ステ ップか らな る表面 を考 えた時 に,表面の 自由
ネル ギーの増加 を表 している [
-9
7-
佐藤
正英
エネル ギー をステ ップ 1本 ごとに割 り振 った時の m 番 目のステ ップの 自由エネル ギーである.以
下ではステ ップ間相互作用ポテ ンシャルがステ ップ間隔の幕乗で変化 して,
E
m-E
o+A
∑
(
(
,
n-(
n)
-u
(
6
)
n=mj=1
と表せ る場合 について考 える.ステ ップ間に弾性的な斥力の相互作用があるときには レ=2とな
2
5
]
.拡散方程式 (
1
)を境界条件 (
3
)
(
4)の もとで解 くことで各テ ラス上での表面原子の密度が
る[
決 まる.表面原子 の流れが求め られれ ば,ステ ップの法線方向の速度 vnは
Vn-
0允･Ds(∇c
l
(
+-∇c
l
ト)-n
免･
占y
vd(
cl
E
.- C
レ)
C
e
q
)
- OK+(
CE
E
.-c
e
q
)+OK-(cl
く
_-
(
7)
で与え られ る.あま り低温でないな らば,ステ ップ上にはた くさんのキンクがあると考 えて良いだ
ろ う.ステ ップにた どり着いた表面原子のほ とん どはステ ップ上に安定な場所を見つ け固化 して し
まい,ステ ップを素通 りして隣のテ ラスに拡散す る表面原子はわずかである.そ こで,ここでは簡
単のために
p-0として,ステ ップを素通 りす る表面原子がない場合 のステ ップのふ るまいを考
S
c
h
woe
be
l
)効果 と呼ばれ るキネテ イク係数の非対称性 [
2
6
,
2
7
】
えることにす る.シュウェ-ベル (
があ り K_≠ K+な らば,それ だけで もステ ップの不安定化が引き起 こされ ることが知 られ てい
2
7
3
3
]が,以 下では簡単のために ∬ -〟+- 〟_として この効果 を無視す ることにす る･
る[
3 孤立ステ ップの蛇行
まずステ ップの蛇行 につ いて,一番簡単な場合,ステ ップが無限に広いテ ラス上に孤立 してお り
一T
Ol
-
1
5,
1
9】
.∬ ぅ ∞ の場合 にはステ ップ とテ ラス との原子 のや り取
∬ → ∞ の場合 を考 えてみ よ う [
図 5:結晶表面での表面原子の運動
りが十分 に速 いので,ステ ップ位置では表面原子密度 は平衡密度になっている.したがって,上段
-9
8-
表面拡散場中のステップの不安定化とパターン形成 一表面原子のドリフト流による不安定化の場合-
側 と下段側 の表面原子の差はないので,(
7)式のステ ップ速度-の ドリフ トか らの寄与はな くなる.
ステ ップ位置での表面原子密度の勾配だけがステ ップの速度 に効 いて くる.
表面原子の ドリフ トがないな らば,ステ ップか ら流出 した原子 は結晶表面を滞在時間 Tの間拡
(
-価
散 し,ステ ップか ら表面拡散距離 xs
)程度離れ ると気相- と蒸発す る.蒸発 による表面原
子の不足分 を補 うためにステ ップか ら原子が融 け出だす (
図 5)
.ステ ップか ら離れ るに したがっ
て表面原子密度 は指数関数的に減少す る.この場合 には,表面原子密度の勾配は上段 と下段で対称
である.ここに下段 に向か う ドリフ ト流が加 わった としよ う.上段側では ドリフ トによ り表面原子
が押 し戻 され,表面原子は ドリフ トがない時に比べてステ ップの近 くに しかいない.ステ ップ位置
では常 に平衡密度 になっているので表面原子 の密度 勾配 は急 にな ることになる.ステ ップの下段
側 のテ ラスでは,表面原子は遠 くまで押 し流す ことになるので,上段側 とは逆に密度勾配 は緩やか
になる (
図 6)
･ステ ップ速度の式である (
7)式の うち,表面拡散である第 1項 目の効果 は表面原子
の密度勾配が急勾配なほ ど大 きい.ステ ップの後退速度-の寄与は上段側-の拡散 の効果が大 き
くなっている.したがって,ステ ップが変形 した ことによる上段側の密度勾配の変化がステ ップの
速度の変化 に大 きな影響 を与 える.
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一
一
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一
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e
p
図6
:直線 ステ ップの周 りの密度分布.点線 は ドリフ トがない場合,実線 は ドリフ トが下段方 向に
ある場合.
ステ ップに微小 な揺 らぎが加 わることで,直線 ステ ップに下段に突 き出 した部分 と上段側 に引っ
込んだ部分が現れ た としよ う.まずは,ステ ップの変形 による平衡密度の変化 を考 えない.上段側
に引っ込んだ部分 では,上段側 のテ ラスでの表面原子の密度勾配が よ り急 になる.したがって上段
側-原子の流出がます ます容易 にな る.下段側 のテ ラスについては逆 に密度勾配 がゆるやかにな
-9
9-
佐藤
正英
り,原子の流出が困難 になる.もともと上段方向に原子 を流出 しやす いので,ステ ップが揺 らいだ
ことによ り直線 ステ ップよ りも全体 としてた くさんの原子を流出できるよ うにな り,ステ ップの後
退速度 は速 くな る.下段側 に突 き出 した部分では上段側 に引っ込んだ部分 とはち ょうど逆 になる.
原子 を流出 しやすい上段側 のテ ラスで密度勾配がゆるやかになるので,原子の流出量が減 ることに
な りステ ップの後退速度が遅 くなる.上段側 に引っ込んだ部分 は直線部分 よ りも速 く後退 し,下段
側 に突 き出 した部分は直線部分 よ りも後退速度 が遅 くな るので,ドリフ トが下段方 向にある場合
にはステ ップに沿った揺 らぎは増大す ることになる.つま り,ステ ップの揺ち ぎが表面拡散場 を変
化 させ て不安定化す るとい う意味で,ステ ップにつ いてのマ リンズ ･セカー カ (
Mul
l
i
ns
Se
k
e
r
k
a)
タイプの不安定化 [
3
4,
35]が起 きる.これ だけだ と,どんな揺 らぎで も振幅は増加 していって しま
5
)式でわかるよ うに,ステ ップが曲がれ ば平衡原子密度 も変化す る.これ は揺 らぎを抑 える
うが (
よ うに働 き,大 きい曲率を持つ部分 ほどその効果は大 きい.表面拡散場 によるゆ らぎの増幅の効果
とギプス ･トム ソン効果 による揺 らぎを抑 える効果 の競合で特に速 く成長す るゆ らぎの波数が決
まる.
おお ざっぱな説明を したが,ゆ らぎの振幅が成長す るか どうかは,ステ ップに特定の波数の揺 ら
1
)を解 けばわか る.波数 qの揺 らぎが直線ステ ップに加 わるこ
ぎを与 えた境界条件 で拡散方程式 (
]
土.
･L
.JJ
t
-d
i
p
(
i
(
(芸
)
2
.芸+
4 q2
+
2
一川""■.■､l■
J
u
J
q
l
1
5
]
は
とで,表面原子密度 にも同 じ波数 の微小な揺 らぎが生 じる とす ると,ゆ らぎの線形増幅率 L
(
芸)
2
+芸+
4
q
2
(
8)
となる･L
J
q>0な らば揺 らぎの振幅は増大 し,L
J
q<0な らば揺 らぎの振幅は減少す る･(
8)式の第
1項 は拡散場の変形 による効果で,ステ ップの揺 らぎの曲率が大き くなるほ ど大 き くなる.この項
は ドリフ トの速度 Vdに比例 しているので,Ud >0
,つ ま り ドリフ トが下段方向を向いてい るとき
には不安定化 に働 くが,vd< 0,つま り ドリフ トが上段方向を向いているときには安定化 に働 くこ
とになる.第 2項 目はギブスー トムソン効果 に由来す る項で,ドリフ トの方向に関係 な くつねに負
になってい るので,いつで もステ ップを直線 に しよ うとす る働 きをす る.(
8)式は少 々分 か りに く
いので,揺 らぎの波長が表面拡散距離 に比べて十分 に長 い として (
8)式 を展開す る と,
+α4q4+-
(
9
)
L
Jq-α2q2
と表せ る.α2 は長波長 の揺 らぎに対す る直線 ステ ップの安定性 を決 めてお り,α2>0の場合 には
直線 ステ ップは微小な揺 らぎに対 して不安定になる. ドリフ トの速度が表面拡散の速度 に比べてあ
ま り速 くないな らば,ステ ップ ･スティフネス βに比例す る v
S(
>0
)を用いて,α2は α2∝
(
vd-
V
昌
)
と表せ る･したがって,下段方向の ドリフ トの速度 v
dが閲値 vSを超 えて大 きくな ると,長波長の
揺 らぎに対 して直線 ステ ップが不安定になることがわか る.短波長 のゆ らぎに対す る安定性 を決
めているのは
α4 であるが ,γd
>0の ときには常に α4 <0なので短波長 の揺 らぎは抑 え られ る.
V
/
α
2
/
2
l
α4
1とな る.ここ
J
q
/
aq- 0か ら決 ま り,qcもっ とも速 く成長す るゆ らぎの波数 q
cは ∂L
までは K う ∞ の場合 にか ぎって考 えてきたが ,
K が有限の値の場合 について も同様 な ことがで
-1
0
0-
表面拡散場中のステップの不安定化とパターン形成 一表面原子のドリフト流による不安定化の場合-
きる.方 が有限な場合 には上段側のテ ラス と下段側 のテ ラスでのステ ップ位置で表面原子密度の
差が生 じて
c
l
(
. ≠c
l
仁 となるので,K → ∞ の場合 には無視 できた (
7
)式の第 2項 目の効果が現
g J ∞ で調べてきた結果に定性
れ て くる･この項の効果は不安定化 を弱める働 きをす るものの,
3
6
】
.
的な影響 は与 えない [
線形不安定性 の議論 は不安定化す る条件 を与 えて くれ て も,不安定化 した後のステ ップの運動
までは教 えて くれ ない.そ こで,不安定化 したステ ップが どのよ うな運動 をす るのかをモ ンテカル
ロ ･シ ミュ レー シ ョンを用いて調べてみ よ う [
1
叶 図 1のよ うな正方格子 を考え,境界条件 として
周期的境界条件 を用いる.格子間を拡散す る表面原子のステ ップ位置でのみ固化 を試み,ステ ップ
を構成 してい る原子は詳細つ りあいを満 たす よ うに融解す るもの とす る.ステ ップのオーバーハ
ングを禁止 して,ステ ップ位置は Jの一価 関数で表せ るとす る.線形解析 で用いた境界条件 を満た
す よ うに,表面原子は固化す ることな しに隣 りのテ ラスに拡散す ることはできず,同 じテ ラス内だ
けを拡散す る とす る.表面原子密度 が低 く ドリフ トがあま り強 くないな らば ドリフ トの効果は拡
散の異方性 として取 り入れ られ る.ここで用いるアル ゴ リズムでは,線形解析では無祝 したステ ッ
プ ･カイネテ ィクスの非対称性 が若干残 って しま うが,表面原子密度が低 い ときには この効果 は小
さくなるので無視 できる.図 7はシ ミュ レー シ ョンか ら得 られ たステ ップ位置の時間発展 を表 し
ている.これ は各時刻 のステ ップ位置を 1つの図に重ね描 き したもので,一本一本の線 がある時刻
でのステ ップの形 を表 している.直線 ステ ップを y-0の場所 に置 き,結晶表面上には表面原子が
ない条件か らシ ミュレーシ ョンを始 めた.気相 か らの原子の入射 はな く蒸発す るだけなので,時間
とともにステ ップ位置 は後退 してい る.
-1.
5×1
03
0
64
1
28 1
92 256
-1.
5×1
03
0
X
(
a
)
64
1
2
8
X
(
b
)
19 2
5
6
2
図 7: ドリフ トが (
a)上段 向き と (
b)下段 向きの場合 での孤立ステ ップ位置の時間発展
a)は ドリフ トが上段方向にある場合でのステ ップ位 置の時間変化 を表す.線形解析 か ら期待
図 7(
され るよ うに,ドリフ トが上段方向を向いているために後退するステ ップは直線的である.図 7(
b)
は下段向きに表面原子の ドリフ トが あ り,ドリフ トの速度が閥値 V
昌よ りも大き くなっている場合
ー
101 -
佐藤
正英
でのステ ップ位置の時間発展 を表 している.直線 ステ ップが後退 しなが ら不安定になっていること
(
b)の初期段階で見 られ る直線 ステ ップが不安定になって揺 らぎ始 めた直後の揺 ら
がわかる.図 7
ぎの波長 は,線形解析 で期待 され るもっ とも速 く成長す る揺 らぎの波数 とだいたい一致 している.
図 8はステ ップの移動 に ともな うステ ップの揺 らぎ幅の 2乗平均 W の変化 を表 した ものであ
る.縦軸はステ ップの平均の位置 を表 してお り,Eの値が小 さくなるほ ど時間がたっている.図 8
(
a
)
は ドリフ トが上段方向にある場合の揺 らぎ幅 の 2乗平均の変化 を表 している.図 7(
a)に見 られ る
よ うにステ ップは直線的なので揺 らぎ幅の 2乗平均 W は小 さい.図 8(
b)は ドリフ トが下段方向
を向いている時の W の変化 を表 している.不安定化が始まるとす ぐにステ ップの揺 らぎ幅が急激
に増加す る.あ る程度 大 き くな って しま うと揺 らぎ幅 はほぼ一定 になるが,その値 は安定な場合
(
図
8
(
a
)
)に比べてはるかに大 きい ことがわか る.
_1.
5×1
03
0
2
Ⅳ
4
10
2
0
Ⅳ
30
(
b
)
(a)
図 8:不安定化 したステ ップの揺 らぎ幅の 2乗平均 のステ ップ位置による変化
ドリフ トが (
a)上
段 向きで安定な場合 と (
b)上段 向きで不安定化 した場合.
図 7をみ ると分かるよ うに,不安定化 したステ ップの形は比較的平 らな部分 と下段側 に突 き出 し
て突起の よ うになっている部分 か らなってお り,y⇔ -yの対称性 はな くなっている.突起 になっ
ている部分の軌跡 をみ る と衝突合体や分裂 を起 こし,複雑 な運動 を していることが分か る.(
8)式
∂/
∂x,wq →∂/
∂tの置 き換 えをすれ ば,ステ ップ位置の線形の発展方程式が得 られ るが,
で q→-i
モ ンテカル ロ ･シ ミュ レー シ ョンで得 られ たよ うな複雑 な運動は表せ ない.そ こで,不安定化の臨
界値近傍 で重要な非線形項 を取 り入れ て,シ ミュ レー シ ョンで得 られ た よ うなステ ップの運動 を
表す非線形発展方程式 を考 えよ う･vd が V
昌の近傍 であるときに微小になるパ ラメータで座標 と
時間お よび揺 らぎの振幅 を展開 し,パ ラメータの各次数 で閉 じた式 を解 けば系統的 に非線形方程
式 を出す ことができる [
1
3,
15
]
･ここでは も う少 し簡単に,系の対称性 を考 えることで導出 してみ
3
7,
3
8,
1
9
]
.系の原点 を どこに とって もいいので,ステ ップ位 置 亡の幕,(2,63,64,
(5-･な ど
よ う[
の項 は非線形項 と しては考 え られ ない.系 に x ⇔ -xの反転対称性 があることと不安定化 の臨界
-
102 -
表面拡散場中のステップの不安定化とパターン形成 一表面原子のドリフト流による不安定化の場合-
値近傍 では成長す る揺 らぎが長波長 であることを考 える と,揺 らぎ幅 の増大によ り最初 に効いて
くる非線形項 は,(
∂
(
/
∂x)
2 の形 である と予想 され る.この タイプの非線形項の由来 と しては,ス
テ ップの傾 いた部分ほ どy方向-速 く進む ことが考 え られ る.傾 きが ∂
(
/
∂xの直線部分 と向きが
ない部分の速度の差 を考 えてみ よ う.一般的にはステ ップの法線方向の速度 Vnはステ ップの傾 き
によるが,ここではその効果が弱いので Vn-V
oと表せ る とす る.ステ ップの傾 き 0が大 き くな
い とすれ ば,このステ ップの y方向の速度 vyは
v
y
蓋
-
-vo･ ; (監) +vo
(
10)
2
となる (
図9
)
.
V o
♂
Vo
Vy
+
図 9:傾 いた面の速度 の変化
(
∂
(
/
∂
x
)
2
/
2で,これ が取 り入れ
ステ ップが傾 くことでの速度 の変化 として現れ る最低次の項 は Vo
るべ き非線形項 となる.したがって,ドリフ トの速度が不安定化の閉値 の近 くであるときのステ ッ
プの運動 を記述す る非線形方程式 としては,最低次の非線形 を取 り入れ る と,
+ 芸v
o(
S)
2
芸 ニ ーα2慧 -α4慧
(
ll
)
となる.ここで,速度 voでの直線 ステ ップの一様な運動はガ リレイ変換 により消去 してある.(
l
l
)
式は蔵本 -シバシンスキー (
Shi
v
a
s
hi
ns
ky)方程式 [
38
40]の形を している.蔵本 -シバ シンスキー
0(
a)は,(
ll
)式を数値的 に解 いて得
方程式の解はカオス的な運動 をす ることが知 られている.図 1
られた各時刻 の解 を重ね描 き したものである.初期条件 と して (- 0に微小な ランダムな揺 らぎ
を与え,周期的境界条件 の もとで解 いた.V0- -1としてあるので,非線形項があることによ りス
テ ップの平均 の位置は後退 している.突起 になった部分 の軌跡 をみ る と衝突合体や消滅 がみ られ
とい う点で,図 (
7)と類似 したパ ター ンが得 られ る.図 1
0(
b)は図 1
0(
a)の解の揺 らぎ幅の 2乗平
均の変化 を描 いた もので,縦軸 は各時刻 での解 の平均 の値である.モ ンテカル ロ ･シ ミュ レーシ ョ
ンの結果 と同様 に急激 な揺 らぎ幅の増加 の後 にほぼ一定値 になる.
-
1
0 3
-
佐藤
正英
〟 -1
00
0
32
6
4 96
X
(
a
)
1
28
0
2
Ⅳ
4
6
(
b
)
図 1
0‥
(
a
)蔵本 -シバ シンスキー方程式の数値解 の時間発展.パ ラメー タは α2-α4- 1,V0- -1
(
b)とステ ップの揺 らぎ幅 W の変化
4 微斜面での不安定化
つ ぎに微斜面でのステ ップの運動 を考 えてみ よ う. ドリフ トが強 くないな らば,拡散場のスケー
ル を決めているのは表面拡散距離 xsだ と思 って良い.も しもステ ップが表面拡散距離 よ りも離れ
ているよ うな微斜面を考 えるな らば,拡散場 を通 してのステ ップ間の相互作用は弱いので,微斜面
であった として も前節 の よ うにステ ップは孤 立 していると考 えてよい.どの よ うな物質 を考 える
1
1
1
)面では表面拡散距離 は数マイクロ ･メー トル にもなる [
2,
3
]
かにもよるだろ うが,シ リコンの (
ので,ステ ップが孤立 した状況 を作 るのは難 しい.む しろ実験的に良 く調べ らているのは,ステ ッ
プの間隔 lが表面拡散距離 に比べて十分 に狭 くなってお り,ステ ップ同士が拡散場 を通 して相互
kml
+i
q
x+wt とい
作用 している場合である.この よ うな場合 に も,それぞれ のステ ップに (m - 6cci
う揺 らぎが加わ った と して拡散方程式 を解 けば,微斜 面の特定の波数 の揺 らぎに対す る安定性 が
分 かる.表面拡散距離 xsに比べ てステ ップ間隔が十分 にせ ま く,ステ ップ間隔 に比べて十分に揺
Jは 【
21
】
らぎの波長が長波長 であるな らば,揺 らぎの増幅率 L
L
J
- P2q2+p4q4
+i
L
'
1
k+l
/
2k2+i
l
/
3k3+i
,
4k4
+i
p3kq2+
p4k2q2+･
･
･
(
1
2
)
と表す ことができる.(
1
2)式の第 1行 目は,全てのステ ップが同位相で揺 らいだ場合のステ ップに
沿 った揺 らぎに対す る安定性 を決 めている.それぞれ の項の係数 β2 と β4の値 は孤立ステ ップの
v
d-Vd
X)
,@4 <0とい う形 になっている･孤
場合の増幅率の各係数 とは異なってはい るが,P2∝(
-
104
-
表面拡散場中のステップの不安定化とパターン形成 一表面原子のドリフト流による不安定化の場合-
立ステ ップの蛇行の場合 と同様 に,下段方向を向いた ドリフ トの速度が閉値 を超 えると,やは り長
波長の揺 らぎに対 して不安定化 にな り,直線 ステ ップは蛇行す ることになる.第 2行 目はステ ップ
間隔が揺 らぎに対す る等間隔な直線 ステ ップ列の安定性,つ ま りバ ンチ ングに対す る安定性 を決
めている.第 1行 目と異なっているのは虚数部分があることである.実数部分 は揺 らぎの増幅 を
/
2∝
表 してお り,各項 の係数 は L
(
vd- V
d
y
)と Z
,
4
<0となっている･したがって,下段方向の ドリフ
トの速度が vd
yよ りも大 き くなれ ば,等間隔なステ ップ列 は長波長の揺 らぎに対 して不安定にな り,
ステ ップのバ ンチ ングが生 じる.虚数部分 は不安定化 によって生 じたステ ップ間隔の疎密が伝播
す ることを示 している.虚数部分は揺 らぎの波数 kの奇数次の項か らなってお り,これ らの項があ
ることで y ⇔ -yの対称性 がな くなってい る.この対称性 がない ことが非線形項 まで含 めた時間
発展 を考えた時に蛇行 とバ ンチ ングの違 いをつ くり出す.
孤立ステ ップの時 と同様 に,長波長の揺 らぎに対 して重要 となる非線形項 を取 り込んで,揺 らぎ
の非線形発展方程式を考 えてみ よ う.孤立ステ ップの場合 と同様 に考 えれ ば,非線形項 として期待
人
ぐ
2とい う形 を している･ステ ップが傾 くことによる速度 の変化 と,ステ ッ
され る非線形項は 7(
2, y
プ間隔が広がることによる速度の変化 を考 えることで,それぞれの非線形項の係数が得 られ る.ス
/
2とい う関係 がな りたち [
4
1
,
2
1
]
,ステ ップ位置の揺 らぎ
テ ップ間隔が十分 に狭いな らば 7- -A
の時間発展は
芸 ニ ー接
-p3品
一境
-α2
宗 一α憲
+潤
- p4品
一α4
)21喜
(
監)
2
(
1
3)
となる.ここで ∂(
/
a
yに比例す る項 は,ガ リレイ変換 によ り消去できるので無視 した.
微斜面では蛇行 もバ ンチ ングもステ ップの下段方向に ドリフ トがあるときに不安定化す るので,
2つの不安定化が同時にお きることが可能 である.y方向 とx方向の最低次 に非線形項 を取 り入れ
ただけの (
1
3)式 でもた くさんの項か らなっているので,この式 をそのまま扱 ったのでは,それぞ
れ の項が どのよ うな働 きをす るのか少 しわか りにくい.以下では,手続 き としては厳密 さに欠 ける
が,微斜面が不安定になっている典型的な場合 につ いて適切 と思われ る項 を選びだ して,それぞれ
の場合 に対応す るできるだけ少 ない項か らなる発展方程式 を考えてみ よ う.
(
i
)vd
X< v
d<v
d
yの場合
この場合 は,ドリフ トの速 さが蛇行 を引き起 こす閉値 は超 えているがバ
;方向についての不安定化が起 きるが y
ンチ ングを引き起 こす閥値 は超 えていない.したがって,3
方向につ いての不安定化 は起 きない.この ことを考慮 に入れ ると揺 らぎの時間変化 は
冨 -宗
一宗
-(
諾 )2･(
冨 )2
一諾
(
1
4
)
で表 され る.ここで,
H,T,Yお よび X はそれぞれ (,iお よび xを適 当な変数変換 した変数で,
1は (
1
4
)
式を数値
それぞれ規格化 された表面の高 さの揺 らぎ,時間お よび座標 を表 している.図 1
的 に解 いた解 のある時刻 の様子 を表 した ものである.初期条件 と して,H(
X,
Y)-0に微小 なラ
ンダムな揺 らぎが加 わった条件 か ら数値計算 した.濃淡 は高 さの差 を表 し,色が薄 いほ ど高 くなっ
ていることを表 している.横軸が x方向,縦軸が y方向を表 してお り,もともとステ ップは x軸 に
-
10 5
-
佐藤
正英
ミ
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破
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¥
図
I
ヾ
:
∴
(
a
)
亡
羊
:
1
:
1
:
穴
(
C
)
(b)
1
1
:(
1
4
)
式 の数値解.(
a
)か ら (
b
)
,(
C
)と時間がたった表面の様子 を表す.
平行 にな らんでいる.不安定化 の初期段階である図
1
1
(
a
)をみ ると分か るよ うに,x軸 に垂直に帯
状の模様 ができる.これ は図 4(
a)のよ うに,ステ ップが位相 をそ ろえて蛇行 した ことに対応 して
いる.図 1
1
(
b
)は少 し時間がたった後の様子を表 している.途 中でぶつぶつ切れ ている色の濃い帯
1
(
a
)よ りも太 くなっている.平均 よ りも高 くなっている白い部分
状 の模様が現れ てお り,帯は図 1
は反対 に細 くなっているので,微斜面上には急峻な峰 となだ らかな谷が もともとのステ ップの方
1
4
)
式の y方向の勾配 による非線形項がない場合 について も調べ らてお
向 と垂直に現れ ている.(
り[
4
2
〕
,同様 な結果が得 られ ている.
(
i
i
)v
d
y< vd < v
d
Xの場合
この場合 には,線形解析 か らはバ ンチ ングのみが起 きることが期待 さ
れ る.その ことを考慮 に入れ る と,必要最小限の項 を含 んだ非線形発展方程式 としては,
冨
- 一票
-∂1宗
一 宗
+6
2
宗
一
(芸 )
2+(
諾 )2
(
1
5,
が考 えられ る.ここで,
∂
1は大 きなパ ラメー タ,
∂
2は微小 なパ ラメー タである.
>
l
H
r､
く
ノ
L
:
L
こ
:
.
=
鴫
鞠
柵.
さ
十
,
:
.=
.
=
噸
轡･
t
t
n
:
:
.
i
.
:
潔
.
樹1
.
1
.
#
感轡
酵
X
S
i
:
t
撃
I
i
:
;
こ
;
;
=
:
≡
=
.
;
=
三
1
r
j
.
L
.
､
A
.
.
適
:
.
ノ
:
I
T
藤
二
:
:
′
.
か
M
…
三
≡
蝉
･
､
辞
R
:
;
=
一
読
∼
.
T
i
I
…
≡
詔
と
誠書
ゞ
f
:
二
)
.
=
:
.
=
/
;
R
=
,
A
;
.
,
i
:
.
<
:
=
.
L
:
二
<
ン
i
≡
:
三
.
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N
?
.
i
'
>
'
=
=
L
■
二
1
=
淡
■
L
.
誌
:
虫
と
:
=
≒
≠
=
'
ニ
=
;
.
=
J
人
:
.
/
1
こ
よ
こ
.
ゴ
=
p
=
{
=
;
<
=
:
.
i
:
.
て
=
:
∼
.
=
p
L
≒
ン
=
こ
.
:
A
:
,
i
:
.
:
拙:
1
:
.
.
(
a
)
図 1
2:(
1
5)式の数値楓
様子 を表す.
(b)
(
C
)
,才
2-0.
2 と した もので,(
a)か ら (
b)
,(
C)と時間がたった表面の
∂1 - 1
-1
0
6-
表面拡散場中のステップの不安定化とパターン形成 一表面原子のドリフト流による不安定化の場合-
1
2が (
1
5
)式の解 を表 している.初期段階である図 1
2
(
a
)は (
1
4
)式の初期段階の解 の初期段階
図
(
a)の ェ方向 とy方向を入れ換 えたよ うなパ ター ンになってお り,y軸 に垂直な帯状の
を示す図 11
模様 が現れ る･図
1
2
(
a
)よ りもす こ し時 間の経 った図 1
2
(
b)では帯が太 くなってい る.図 1
2(
C
)
1
2(
b)よ りも後期段階での様子 を表 している.図 1
2(
b)では帯の太 さが揺 らいで一様ではな
2(
C
)では-様な太 さのまっす ぐした帯状の模様 が現れている.これ は直線的な
かった ものが,図 1
は図
ステ ップの束が現れた ことに対応 してお り,微斜面は図
4(
b)のよ うになっていることを表 してい
る.全体的に色の薄い部分が多いので,結晶表面には ともとものステ ップの方向 と平行 に,なだ ら
かな岡 と急な谷が現れ ている.
(
C
)
(b)
(a)
図
1
3
:(
1
5
)式の数値解.∂1-0,∂
2-0
.
2と した もの.
1
5
)式の非線形項が異符号であることと,∂1が大 きい ことであるが,
微斜面であることの特徴 は (
図
(
1
2
)では ∂1が大 きい ことが,規則的なパ ターンをつ くる上で,重要が働 きを している.も し Jl
が小 さいな らば,きれ いに整列 した帯状のパ ター ンはえ られない.図
1
3は ∂1-0と した時の (
1
5
)
1
3
(
a
)では図 1
2
(
a
)と同様 に帯状の模様が現れ るが,時間がたっ
3
)
.
て もきれ いに整列 した帯状 のパ ター ンはえ られず に ぐね ぐね と曲がった ものになる (
図 1
式の解 である.初期段階である図
(
i
i
i
)vd
y, V
d
X<
vd の場合
この時には蛇行 もバ ンチ ングも同時 にお きる･その点 を考慮 に入れ る
と,発展方程式は
宗
1
宗
一6
一宗
で与え られ る.(
1
6
)式の解 を表すのが図
一6
2芸芸 16
憲
一 (蛋
)2+(
冨 )2
(
1
6
,
1
4である.図 11
(
a
)お よび図 1
2(
a
)とは異な り,初期で
はジグザ グパ ター ンが現れ る.時間が経つ と図
1
2(
b)の よ うにこのパ ターンがはっき りしは じめ
y- j=
xに平行 な溝が現れ て くる･後期段階では これ らの溝 の うちの片方が生 き残 る･(
i
i
)では微
H/∂Y3の項が重要な働 きを していたが,この場合 には非線形
斜面であるこ との性質 の うちの 83
4
3
]
,溝が現れ るのは非線形項の符合が異なっているためである･初期
項が重要な働 きを してお り [
に現れ るジグザ クパ ターンの傾 きは線形項 によ り決 まるが,後期段階 で現れ る溝 の傾 きは非線形
項の係数 の比 によって変化す る.
-1
0
7-
佐藤
正英
I
1
ン
l
J¥
:
■
:
J
.
∼
.
:
l
t
は
.
=
. H
j
.
=
.
,
i
I
:
三
i
:
鞘､
L
･
､
､
S
:
.
:
.
:
>
(
a
)
(
C
)
(b)
図1
4:(
1
6)式 の数値解.∂
1-1,∂
2-1お よび J
3-1と した もの.
以上では,ステ ップ流モデルか ら出発 して微斜面の不安定化 について調べた.ステ ップ流モデル
1
3)を求 めた.(
i
)
,(
i
i
)お
の連続体極限を とり,非線形項 まで考慮す ることで微斜面の発展方程式 (
よび (
i
i
i
)で典型的ない くつかの場合 につ いて発展方程式 を数値的に解 いた時のバ ター ンを示 した
が,これ らに対応す るステ ップのふ るまいは適 当なパ ラメータを選ぶ ことでモンテカル ロ ･シ ミュ
5
-1
7)
.
レー シ ョンによっても確認 できる (
図1
Dr
i
f
tdi
r
ec
t
i
on
ここ
128
96
X 64
32
0
0
64
128
192
256
y
図 1
5:モ ンテカル ロ ･シ ミュ レー シ ョンによる不安定化 したステ ップ列 のスナ ップシ ョッ ト.蛇
行 のみの場合,
-
0
8
-
1
表面拡散場中のステップの不安定化とパターン形成 一表面原子のドリフト流による不安定化の場合-
Dr
汁
td
i
r
e
c
t
i
o
n
こ.
1
28
96
X 64
32
0
0
64
128
192
256
y
図 1
6:モ ンテ カル ロ ･シ ミュ レー シ ョンに よる不安 定化 した ステ ップ列 の スナ ップ シ ョッ ト バ
ンチ ングのみ の場合
Dr
i
f
td
i
r
e
c
t
i
o
n
=
二
コ
128
96
X 64
32
0
0
64
128
192
256
y
図 1
7:モ ンテ カル ロ ･シ ミュ レー シ ョンに よる不安 定化 したステ ップ列 の スナ ップ シ ョッ ト.バ
ンチ ング と蛇行 が 両方 の場合 .
ー1
09-
佐藤 正英
5 まとめ
表面原子がステ ップを素通 りして しま うことがない場合 (
p -0
)での表面原子 の ドリフ トによ
るステ ップの不安定化 につ いて考えてきた.等間隔な直線 ステ ップ列が引き起 こす二つの不安定
化,蛇行 とバ ンチ ング,のいずれ も ドリフ トが下段方向を向いてお り.ステ ップ ･ステ ィフネ スか
ステ ップ間相互作用の強 さで決 まる閲値 を超 えると不安定化す ることが分かった.不安定化 の原
因は,ステ ップ位置が揺 らいだ ことによる表面拡散場 の歪み に由来す る とい う点でマ リンズ ･セ
Mul
l
i
ns
Se
k
e
r
k
a)不安定性である.ステ ップに沿った方向には反転対称性 があるのに対 し
カーカ (
て,微斜 面であるためにもともとステ ップに垂直な方向にはない.この ことが,不安定になったあ
とで蛇行がお きている表面 とバ ンチ ングがお きている表面でのふ るまいの違 いをつ くっている.
ここでは,ドリフ トによるステ ップの不安定化 と微斜面のパ ター ンについて考えてきた.ドリフ
ト流のほかに不安定性 を引 き起 こす原因の 1つ として,ステ ップでのキネ ィクス係数 の非対称性
Sc
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)効果がある.ステ ップの上段か らの原子 の取 り込みが困難 な
であるシュウェ-ベル (
場合 には,昇華 中に微斜面がバ ンチングを起 こ し,成長 中にステ ップの蛇行がお きることが理論的
に調べ られ ている.この場合 には,2つの不安定化が同時 に起 きることはない.シュ ウェ-ベル効
mound)をつ くることで も知 られている･表面原子の ドリフ トによ
果 は平 らな表面に丘状の構造 (
る不安定性 に しろシュウェ-ベル効果 による不安定性 に しろ,これ らはいずれ も表面拡散場の非
対称性 によ り生 じる不安定性 であ り,結晶表面の不安定化 にステ ップが担 う役割 はおお きい.
結晶成長 とパ ター ン形成 とい うと,融液成長 でのパ ター ンの話や雪の結晶な どの樹枝状成長 な
どで話 しは尽 きて しま うと思 っていた人がいたか も しれ ない.最近では電子顕微鏡技術 の発展 か
ら原子 レグェル で結晶表面が観 察 され るよ うになってきたおかげで,ここで紹介 したステ ップの
運動 に基づ く結晶表面の不安定性 の研 究が理論 と実験 の両面か ら盛 んに研究 され るよ うになって
きている.
謝辞
以上で紹介 した内容は,名古屋大学理学研究科 上羽助教授 との共同研究 をま とめた ものであ り,
学術振興会未来開拓研 究事業研 究プ ロジェク ト ｢
成長表面界面の動的挙動 と原子 スケール シ ミュ
レー シ ョン｣ お よび文部省科学研究費補助金の援助 のもとに行われ た.
参考文献
[
1
]関連 したテーマの解説 としては,上羽牧夫,日本結晶成長学会誌 21,(
1
99
4)59,上羽牧夫,磨
1
99
4)636,斎藤幸夫,上羽牧夫,固体物理 ,29(
1
99
4)51
7,佐藤
藤幸夫,日本物理学会誌 49,(
1
9
97)47,上羽牧夫,佐藤正英,日本物理学会誌 53,
正英,上羽牧夫,日本結晶成長学会誌 24,(
(
1
998)673,佐藤正英,上羽牧夫,表面科学 20,(
1
9
99)8
2
4,
[
2
]A.V･Lat
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9
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1
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表面拡散場中のステップの不安定化とパターン形成 一表面原子のドリフト流による不安定化の場合-
[
3
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99
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[
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43
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