近似値

数学班
● はじめに
近似値とは、無理数などの値を必要とされる誤差の範囲内で、その数を表していると思って構わない
数値のこと。ある数値に対して端数処理を施した値（数値を「丸め」たもの）すなわち、本当の値に近
い値を近似値という。
● 目的・動機
現在小学校では、円周率を 3.14……として学習しているが、実際に円の面積など計算するときにはπ
＝3.14 や、π＝3 として計算することがある。そこでいろいろな方面から円周率や誤差のことを調べた。
● 研究
①−研究内容と結果
半径 10ｃｍの円において円周率をどの値に設定するかによって、円周の長さと面積にどのくらい差が出
るのか調べた。
円周率
面積
割合
円周率
面積
割合
3
300
0.95492966
3.1415
314.15
0.99997051
3.1
310
0.98676065
・・・
・・・
・・・
3.14
314
0.99949304
・・・
・・・
・・・
3.141
314.1
0.9549296
3.1415926
314.1592
0.99999998
−考察
πで割った値が 3.14 ですでに 0.999……なので、
当初予想していた値よりπとの値の差はなかった。
πを細かくしても値が大きく変わるわけではなかった。
②−研究内容と結果
下の図のようにその曲線を適当なところでいくつかに分割しそれぞれの端から端までの直線距離を
測り合計する。また、長さのわかっている曲線をキルビメーターで測る。この二通りの測り方で測った。
（１つ目のやり方の例）
２分割
４分割
使用した曲線の長さは、9.4cm
５分割
６分割
キルビメーターでの測定結果
分割するやり方の結果
キルビメーター
２回目
３回目
9.5cm
４回目
9.4cm
５回目
9.4cm
８回目
100.00%
80.00%
9.7cm
９回目
9.8cm
１０回目
9.1cm
６回目
9.6cm
７回目
120.00%
9.5cm
割合
１回目
実際の値との誤差
生徒1
の結果
生徒2
の結果
60.00%
40.00%
9.6cm
20.00%
0.00%
平均
2
9.5cm
9.5cm
3
4
6
8 12 16 32 64
分割
−考察
分割して図ったものは、２分割，３分割ではやはり真の値には近づかなかった。
6 分割では曲線の形に近づき、それより細かく分割すればするほど近い結果が出た。
逆に分割しすぎると、真の値から遠のいたり、100％を超える値が出たりした。これは図る回数が多い
ため、一回一回の誤差が積み重なって真の値から遠のいたと思われる。
③（ⅰ）−研究内容＆結果
棒を地面に垂直に立て、右の図のθの角度
（今回は 30 度、45 度、60 度）を決めて、
測定者と棒の距離ⅹから三角比を使って高さ
を求める。（目から地面までの高さも必要）
使用した棒の高さは 251cm
角度θを決めたときの測定結果
測定結果
265
棒の高さ（ｃｍ）
260
255
250
生徒1の
測定値
生徒2の
測定値
正確な値
245
240
235
230
30
45
θの値（度）
60
（ⅰ）−考察
人間の手で測ったものなので少々のブレが生じたが、実際には５％の差もなかった
（ⅱ）−研究内容と結果
・ 対象物と自分までの距離（前ページの図のⅹ）を決めて対象物を見上げ、見上げた角度から三角比
を使って高さを求める。
使用した測定物の高さは 921cm
棒 の 高 さ （ ｃｍ ）
1000
107%
106%
105%
104%
103%
102%
101%
100%
99%
98%
980
960
940
920
900
880
1000
1100
1200
1300
Xの値（ｃｍ）
1400
割合
測定結果および実際の長さとの誤差
測定結果
％
実際
（ⅱ）−考察
特定の角度が正確に測れるということはなかった
測定したものは、100％を超えるものばかりなので、この方法だと実際の値より大きくなるようだ。
③全体の考察
この実験は、江戸時代の数学本である塵劫記を参考にしているのだが、高さの測定は誤差が出やすかっ
たので、昔の人はかなり慎重に測定していたと思う。
（ⅱ）のほうが（ⅰ）より、素早く測定できるが三角比の表が必要なので、どちらにも長所短所がある。
④−研究内容と結果
富山の海岸線の長さを測る
縮尺の違う富山湾の地図を用いて、それぞれキルビメーターで測る。縮尺を用いて値を求める。縮尺
よってどのくらいの誤差が出るのか調べた。
地図を図る（富山湾）
1 回目
2 回目
１：1000000
100km
98km
１：100000
107km
107km
１：50000
111km
110km
実際
117km
117km
（ⅲ）−考察
縮尺が小さい五万分の一のほうが、真の値に近い結果が出た。
詳しいほうが港の窪みなどが細かいので、より正確な値になったのだと思う。
⑤−研究内容と結果
一年六組、二年五組にアンケートをとり、人の感覚による誤差の許容範囲を調査した。
『円の面積や円周の長さを求めるとき現在小学校では 3.14 を使用しているが、πの値を３として計
算してもよいと思いますか？』という質問をして………
いいと思う…10 人
どちらでもいい…15 人
だめだと思う…34 人
『あなたにとって、いくつからいくつまでなら、1000 ぐらいという言葉を使いますか。』という質
問をして………
950∼1050…0 人
900∼1100…48 人
800∼1200…6 人
―考察
日常的に、１０％ほどの誤差は起こっている。
⑥−研究内容と結果
『近似値とはまず何か』ということを調べ、πを表す近似式を集め、またその式を使用してπの値を
求めていった。
下の式を、関数電卓を用いて計算を行った。
6/13 まで計算すると
3.132167
9/19
3.140578
12/25
3.141479
15/31
3.141579
18/37
3.141591
ちなみにπは
3.1415926……
少数第 5 位まで一致
―考察
近似式には複雑なものが多いが、上の式は簡単にみえたが、実際大変だった。
●
まとめ
自分達の最初の感覚では円周率を 3 で計算することは桁を今までの 3.14 から２桁も省略するので、
まったく違う値になると思っていた。しかし、研究を進めるにつれて 3 と 3.14 のそれぞれの場合での
値の差が小さく、人の誤差の許容範囲内だったのもあって、自分の中で円周率は 3 で計算しても変わり
ないという意識が芽生えた。
長さを測定するとき細かく分割するほど正確な値へ近づいていくと思われたが、あまり分割しすぎる
と実際の値から離れていったのは測り手のミスが大きく関係していると思った。
近似式で計算するとき、計算が無限に続き人の手で計算するにはあまりにも複雑で長すぎるので、誤
差の範囲内であればある程度近い値になったところでやめてもかまわないと思った
今後の課題として今回は身近なπについてでしたが、今度は私たちの身近にある√２などのほかの無理
数についても調べてみたいと思った。