A12） X 面と Y 面に既知のσ xx,σxy(=σyx)とσyy が作用して，Z 面には何

加工の力学
演習 A（基本編その１）2013.7.2
A1) 降伏点が 400 MPa の一辺 10 mm の立方体がある．X 面だけに何 kN で圧縮すると降伏するか．
A2) 真ひずみε，公称ひずみε0 とするとき,公式ε=ln(1+ε0)の導出過程を示せ．
A3) 真応力σと公称応力σ0, 公称ひずみε0 とするとき，公式σ＝σ0 (1+ε0) の導出過程を示せ．
A4) 次の語句を簡潔に説明せよ．a) 主応力，b) 引張強さ, c) 一様伸び
A5)高さ 20 mm の円柱を速度 100mm/s ですえ込む（単軸圧縮する）とき，ひずみ速度はいくつか．
A6) 弾完全塑性体と剛完全塑性体の違いを簡潔に説明せよ．
A7) 降伏点が 400 MPa の一辺 10 mm の立方体の X 面と Y 面だけに同じ圧縮荷重をかけたら，塑性変形
を開始した．いったい何 kN の圧縮力をかけたのか Mises の降伏条件で判定せよ
A8) 剛塑性材料がσx=80, σy=20, σz=−40,τxy=20, τyz=0, τzx=0 (all in MPa)で降伏した．この瞬
間のモールの応力を表示し，主応力，X 面と最大主応力面のなす角を求めよ．
A9) 前の問 A8 について Tresca の降伏条件で判定するなら，この材料の降伏点は何 MPa か．
A10) 前の問 A8 を Mises の降伏条件で判定したとするなら，この材料の降伏点は何 MPa か．
A11) 前の問 A8 で降伏した瞬間のひずみ増分比はどうなるか．
A12）
X 面と Y 面に既知のσxx,σxy(=σyx)とσyy が作用して，Z 面には何も応力が作用していない
とする． x 軸と y 軸を z 軸周りに 30 度だけ反時計方向に回転させて，新しい x' y' z' (=z) 座標軸を
得た．座標変換によって得られた新しい方向余弦およびσx'y'を表示せよ．応力の座標変換の公式を
用いて答えよ．公式はσij = ailajkσlk （総和規約に注意．A12 では i, j = x', y', z'; l, k = x, y, z）
加工の力学
B1)
演習 B（基本編その２）2013.7.2
次の応力状態のモール円を表示し，作用面，主応力も書き込め．またＸ面と最大主応力面と
のなす角度を求めよ．
 σ x τ yx τ zx   500 100
0 

 

τ xy σ y τ zy  =  100 0
0  MPa

 
0 − 300 
τ xz τ yz σ z   0
B2) 前問 B1 の応力状態になった瞬間に降伏したなら,この材料の引張降伏応力 Y は何 MPa か．Tresca の
降伏条件を用いて答えよ．
B3) 前問 B1 の応力状態で降伏を開始し，この応力比を保ちながら，さらに塑性変形を続けたところ，
相当ひずみが 0.5 に達した．この時点で材料の変形抵抗は降伏時より 30％増加していた．さらに塑性変
形を続けて，相当ひずみが 1 に達した．その結果この材料の変形抵抗は降伏時より 40％増加していた．
この剛塑性体を Y = Y0+Cεn（Ludwik 型の近似という）で表せ．
B4) 降伏応力 Y = 200 + 300ε0.25（MPa)の一辺 10 mm の立方体がある．このうち X 面と Y 面だけに同じ
圧縮荷重をかけながら塑性変形を進めた．z 軸方向に長さが 16mm になった瞬間の X 面の荷重は何 kN か．
ただし，材料と型との接触面での摩擦は無視できるとする．
B5) 塑性仕事の等価性を仮定して，変形抵抗が Y = 200 + 100ε0.2 (MPa)で与えられている材料が，応
力比一定で変形し，εx=−0.3, εy=0.2，εz=0.1, εxy=0.1, εyz=0, εzx=0 となった．この材料の平均
変形抵抗を求めよ．
B6) 降伏応力 Y = 400 MPa で直径が 40 mm，厚み 1 mm，長さ 1 m の薄肉パイプがある．片方の端を固
定してもう片方の端を軸周りにねじるとき，何 m・N のトルクで塑性変形を開始するか．Mises の降伏条
件で考えよ．
B7) 降伏応力 Y = 400 MPa で直径が 40 mm，厚み 1 mm，長さ 1 m の薄肉パイプがある．軸方向に 100 MPa
で引張りながら，片方の端を固定してもう片方の端を軸周りに周方向にねじるとき，何 m・N のトルク
で塑性変形を開始するか．Tresca の降伏条件で考えよ．
B8) 降伏応力 Y = 400 MPa の薄板から製作した直径 100mm，板厚 0.1 の両端を閉じた円管に対して，内
圧を 0.5 MPa 掛けた状態を保ちながら，軸方向に引張を開始した．何 kN の引張力 F を与えると塑性変
形を開始するか．ただし Tresca の降伏条件を適用する．
B9) 降伏応力 Y = 400 MPa の薄板から，直径 100 mm 板厚 0.5 の両端を閉じた円管に対して，内圧を 0.5MPa
掛けた状態を保ちながら，片方の端を固定してもう片方の端を軸周りに周方向にねじった．いったい何
m・N のトルクを与えると塑性変形を開始するか．
B10) 材料の降伏点 Y0= 250 MPa で，厚さ 10 mm，幅 10 mm,奥行き 10 mm の立方体材料を平行で平らな金
型で，奥行き方向の 10ｍｍを拘束したまま，厚さ方向に平面ひずみ圧縮する．摩擦なしで，降伏開始に
必要な荷重を求めよ．
加工の力学 演習 C（応用編）2013.7.2
C1) 高さ 20 mm ×直径 15 mm の円柱を高さ 8 mm まで断熱的に圧縮した．この材料の降伏応力は剛塑性
＿
体で，Y = 400ε0.4(MPa)で，密度は 7800 kg/m3，比熱は 440 J/kg·K であった．この圧縮による相当ひず
みを計算し，円柱の圧縮直後の温度が，圧縮前より何度上昇したか推定せよ．
C2) 剛塑性材料がσx = 80, σy = 20, σz = −40,τxy = 20, τyz = 0, τzx = 0 (all in MPa)で降伏した．
＿
この瞬間の相当ひずみ増分 dεは,z 方向のひずみ増分 dε z の何倍か？
C3) 長さ 300 mm, 幅 25 mm, 厚さ 0.7 mm の引張試験片がある．この材料は剛塑性体で，その変形抵抗
＿
（＝降伏応力）は，Y = 300(0.1+ε)0.5 (MPa)で近似された．(これを swift 型の近似曲線という）この
材料の降伏点，引張強さ，一様のびを推定せよ．ただし，一様伸びは公称ひずみとする．
＿
C4) 降伏応力 Y = 300 + 200ε0.3 (MPa)で外径が 42 mm，厚み 1 mm，長さ 100 mm の薄肉パイプがある．
このパイプを軸方向に引っ張って，塑性変形を開始するには何 kN 必要か？
C5) 降伏応力 Y = 400 (MPa)一定で，外径が 42 mm，厚み 1 mm，長さ 100 mm の薄肉パイプがある．この
パイプの内径と同じ芯金を入れたまま，このパイプを引っ張り始めたところ降伏した．パイプと芯金の
間は滑らかで摩擦はなく，芯金は剛体とし，Mises の降伏条件を用いて，パイプの降伏荷重を推定せよ．
＿
C6) Y = 100 + 400ε(MPa)の剛塑性材料に対して，右図の
主応力の大小順は無視
負荷して，20 秒後に加工を終了した．降伏開始は何秒の
時か．また，20 秒後のε1, ε 2, ε 3 を推定せよ．ただし，
Mises の降伏条件で考えよ．
応力（MPa）
ような平面応力（簡単のためにすべて主応力とした．）を
σ1
200
100
0
-100
0
１0
20
t (s)
σ3
σ2 = 0