1 - 公立はこだて未来大学

公立はこだて未来大学 2011 年度 システム情報科学実習
グループ報告書
Future University Hakodate 2011 System Information Science Practice
Group Report
プロジェクト名
進化ゲームの数理とシミュレーション
Project Name
A mathematical principle of evolutionary game and its simulation
グループ名
理論班
Group Name
Theory Group
プロジェクト番号/Project No.
1-A
プロジェクトリーダ/Project Leader
1009148
金村康佑
Kosuke Kanamura
グループリーダ/Group Leader
1009040
吉岡俊哉
Toshiya Yoshioka
グループメンバ/Group Member
1008176
高本佑樹
Yuki Takamoto
1009040
吉岡俊哉
Toshiya Yoshioka
1009113
諏訪翔大
Syota Suwa
1009148
金村康佑
Kosuke Kanamura
指導教員
川越敏司
川口聡
Advisor
Toshiji Kawagoe Satoshi Kawaguchi
提出日
2012 年 01 月 18 日
Date of Submission
January ,18,2012
概要
本プロジェクトは、進化ゲームの数理を理解し、数値的シミュレーションの基礎となるモデ
ルを開発する。そのモデルをベースにシミュレーションを行い、進化ゲームのダイナミクスの
挙動を多角的に捉え、視覚化するツールを開発し、その結果の表示を試みる。
ここで扱う進化ゲームとは、戦略分布や戦略プロファイルで表現される社会状態の変化を分
析する動学的な体系のことである。出生や死滅で起こる集団中の戦略分布の変化をレプリケー
タ方程式を用いて解く。捕食者と被食者の増減関係をモデル化し、増減速度を表現したものを
ロトカ・ヴォルテラの方程式という。このことを非線形微分方程式を用いて解く。
前期では、進化ゲームの数理を理解するために、理論班、システム班ともに進化ゲームの基
礎となる部分であるレプリケータ方程式とロトカ・ヴォルテラの方程式の参考書の輪講を行っ
た。参考書に記載されている図を計算してプログラミングで表示した。
後期は前期で学んだ内容の応用として参考書の内容から「言語の進化」を選び、それについ
て理論班は参考書の数値計算を行いシステム班が視覚化するツールを開発した。
キーワード
進化ゲーム, ロトカ・ヴォルテラ方程式, レプリケーター方程式, ダイナミクス
の挙動, 言語の進化
（※文責: 吉岡 俊哉）
-i-
Abstract
In this project study, we try to understand the mathematical principle of evolutionary
games and develop the basic model of numerical simulation. By using this model, we
perform simulation. Then we grasp dynamics of evolutionary game by multilateral.
Also we develop the tool that can visualize these result.
The evolutionary game we use in this project is the behavioristic system. This system
analyze changes of social status which is explained strategic distribution and strategic
profile. We try to solve the changes of strategic distribution occurred by birth or death
by using Replicator equation. Also, we solve the Lotka-Volterra equation by using Nonlinear Differential Equations. Lotka-Volterra equation is the model of fluctuate relation
of Prey and Predator, and its speed of fluctuate.
In first term, to understand mathematical principle of evolutionary game, we execute
many seminars by using text of Replicator equation and Lotka-Volterra equation which
are basic of evolutionary game. Also, we drew some graphs by doing programing.
Second half, ”Evolution of language” was chosen from the contents of the reference
book as application. The theoretical group performed the numerical computation of the
reference book about it. The tool which a system group visualizes was developed.
Keyword Evolutionary games, Lotka-Volterra equation, Replicator equation, behavior of Dynamics
（※文責: 吉岡 俊哉）
- ii -
目次
第1章
概要
1
1.1
このプロジェクトをやるにあたって . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
現状における問題点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
課題の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
到達目標
2
第2章
2.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
通常の授業ではなく、プロジェクト学習で行う利点 . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
具体的な手順・課題設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.3
課題の割り当て . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
課題解決のプロセスの概要
4
3.1
理論班 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2
プロセスの概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
課題解決のプロセスの詳細
6
ロジスティック成長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
本プロジェクトにおける目標
2.1.1
第3章
第4章
4.1
4.2
4.3
4.4
4.1.1
指数的成長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.1.2
ロジスティック成長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.1.3
回帰関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.1.4
安定、不安定不動点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.1.5
分岐 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.1.6
カオス的挙動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
被食者・捕食者に対するロトカ・ヴォルテラ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.2.1
被食者・捕食者方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.2.2
ロトカ・ヴォルテラの被食者・捕食者方程式の解析 . . . . . . . . . . . . .
9
4.2.3
ヴォルテラの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.2.4
種内競争を持つ捕食者・被食者方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.2.5
捕食者と被食者の共存 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
２種の競争種に対するロトカ・ヴォルテラ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.3.1
線形微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.3.2
線形化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.3.3
競争方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2 種の生物に対する方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.4.1
ポアンカレ・ベンディクソンの定理
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.4.2
２次元ロトカヴォルテラ方程式に対する周期軌道 . . . . . . . . . . . . . .
16
4.4.3
極限周期軌道とガウゼの捕食者・被食者モデル . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.4.4
飽和型反応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
- iii -
4.4.5
4.5
4.6
第5章
ポップ分岐 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
進化的に安定な戦略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.5.1
進化的安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.5.2
標準形ゲーム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.5.3
進化的に安定な戦略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.5.4
個体群ゲーム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
レプリケーター方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.6.1
レプリケーター力学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.6.2
ナッシュ均衡と進化的安定状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.6.3
レプリケーター力学とロトカ・ヴォルテラ方程式 . . . . . . . . . . . . . .
24
言語の進化
26
5.1
形式言語理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.2
有限状態文法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.3
文脈自由文法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.4
文脈依存文法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.5
句構造文法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.6
chomsky と Godel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.7
自然言語の位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.8
学習理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.9
言語の進化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.10
レプリケータ・ミューテータ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.11
新しい規則の進化
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.12
普遍文法の進化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.13
再帰性の進化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
結果
35
6.1
プロジェクトの結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
6.2
成果の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
第7章
今後の課題と展望
38
付録 A
新規習得技術
39
付録 B
活用した講義
40
付録 C
相互評価
41
付録 D
最終発表のまとめ
42
D.1
発表技術について
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
D.2
発表内容について
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
第6章
参考文献
43
- iv -
A mathematical principle of evolutionary game and its simulation
第1章
概要
本プロジェクトは、進化ゲームを取り上げ、それについて数値計算の方法を学び、シュミレー
ションを行っていく。この分野は今まで触れていなかったものなので、これまでの大学の講義等で
学んだことを復習、時には高校の参考書を参考に基礎となる部分の方程式を理解していく。そし
て、進化ゲームの勉強で得たことを応用して、参考書の中から自分達で選んだ項目の数値計算やま
とめを行い、iPad やパソコン等の機材を使い、高校生でも簡単に複雑系を理解できるようにする
視覚化ツールを開発することを目的としてプロジェクトを行う。
（※文責: 吉岡 俊哉）
1.1
このプロジェクトをやるにあたって
進化ゲーム理論は戦略分布や戦略プロファイルで表現される社会状態の変化を分析の対象とする
動学的な体系である。プレーヤの出生死滅で集団中の戦略分布が変化することを想定するレプリ
ケータダイナミクスモデルや、プレーヤの学習によって戦略分布や戦略プロファイルが変化する学
習ダイナミクスモデルが考えられている。
（※文責: 吉岡 俊哉）
1.2
現状における問題点
本プロジェクトは、今年度が初めてということもあり、参考にするものが限られていた。そのた
め、今までの大学の講義で行ったことを復習を行い、時には高校の参考書も使用した。また、進化
ゲームについてテキストや web 上の情報を利用し、セミナーを行いながら互いに理解する必要が
あった。また、高校生にも簡単に理解できるようにまとめる、と言う目標のため曖昧にならないよ
うに注意する必要がある。
（※文責: 吉岡 俊哉）
1.3
課題の概要
進化ゲームを理解していく上で、基礎となる２つの方程式を勉強する必要がある。出生や死滅で
起こる集団中の戦略分布の変化をレプリケータ方程式と捕食者と被食者の増減関係をモデル化し、
増減速度を表現したロトカ・ヴォルテラの方程式である。このことを非線形微分方程式を用いて解
いていき基礎を学んだ。さらにこれらの応用として、別の参考書から選んだ項目をこれらの計算方
法を用い解析する。さらに視覚化ツールの開発のため事前に準備した iPad やパソコンを用いシュ
ミレーションを行い高校生でも理解できるよう分かりやすくまとめる。
（※文責: 吉岡 俊哉）
Group Report of 2011 SISP
-1-
Group Number 1-A
A mathematical principle of evolutionary game and its simulation
第 2 章 到達目標
2.1
本プロジェクトにおける目標
複雑系を理解する手がかりとして、進化ゲームを取り上げ、進化生態学・ゲーム理論・力学系の
観点からそれを分析し, その成果を iPad などといった機材で視覚化するツールを開発することで
ある。そして高校生等の下級生がゲーム理論について簡単に理解することができるようになること
を目標にする。理論班は進化ゲームの数理を理解し, テキストである Martin A. Nowak の『進化
のダイナミクス』の内容を理解する、それらを応用して、数値的シミュレーションの基礎となるモ
デルを開発する。システム班は理論班の開発したモデルをベースにシミュレーションを行い、進化
ゲームのダイナミクスの挙動を多角的にとらえ視覚化するツールを開発して、その結果を表示する
。さらに各班にグループリーダを設け、リーダーが全体の進行状況を管理する。
（※文責: 吉岡 俊哉）
2.1.1
通常の授業ではなく、プロジェクト学習で行う利点
講義ではタカハトゲームや、囚人のジレンマといったゲーム理論における代表的な例しか学ばな
い。その上、複雑系の選択科目ということで、ゲーム理論について知る機会が少ない。プロジェク
ト学習で取り上げることで、ゲーム理論について学ぶ機会が増え、iPad などという機材で資格化
することにより、ゲーム理論について理解することができる人たちが増えることが利点。また、時
間をかけてゲーム理論について考えることにより、体内におけるウイルスとワクチンの増減の関係
や、人が現在使用している言語がどのようにして増えてきたかといった、授業内容より発展した例
を考え、紹介することができる。
（※文責: 吉岡 俊哉）
2.2
具体的な手順・課題設定
目標達成するために、理論班とシステム班の２つのグループに分かれて考えることにした。理論
班が選んだテーマに対する現象の数値解析をし、システム班が解析された数値を用いて資格化する
ためのプログラムを考え、開発することにした。まず、プロジェクトメンバーがゲーム理論につい
て理解するため、両グループともに４月から６月までゲーム理論を考えるための基礎知識を身につ
けるためのセミナーを毎週毎行った。このセミナーでは、指定された教科書を基に、学生が二人一
組となって各章を担当し、プロジェクト内で発表をした。ゲーム理論を考える上で必要となるロト
カ・ヴォルテラ方程式やレプリケータ方程式といったものを中心に考え、それらの関係性について
学んだ。後期は前期で学んだことの応用として、教科書から自分達で選んだテーマについて、理論
班とシステム班に別れそれぞれの役割をはたした。
（※文責: 吉岡俊哉）
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Group Number 1-A
A mathematical principle of evolutionary game and its simulation
2.3
課題の割り当て
２つのグループについては、プロジェクトメンバーが全員複雑系ということで、それぞれが自分
の能力にあった方を選び、グループ分けをした。前期はセミナーは計６回行い、理論班の組が２
回、システム班の組が１回ずつ担当し、それぞれが担当した章について学習をすすめた。後期は前
期のセミナーで学んだ事をいかし、理論班とシステム班に別れ、各自で新たにセミナーを開くなど
して知識を深め発表に挑んだ。
（※文責: 吉岡 俊哉）
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Group Number 1-A
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第 3 章 課題解決のプロセスの概要
3.1
理論班
進化ゲームの数理を理解する。そのためにテキストの内容を理解し、数値的シミュレーションの
基礎となるモデルを開発する。さらにその内容を分担して高校生にも理解できるようにまとめる。
（※文責: 吉岡俊哉）
3.2
プロセスの概要
4月
理論班とシステム班にグループ分けを行った。また、プロジェクトリーダーおよび各グループの
グループリーダーを選び今後の計画を立てた。またこのプロジェクト内で使用するテキストを
Hofbauer J., K. Sigmund の『進化ゲームと微分方程式』と Martin A. Nowak の『進化のダイナ
ミクス』の 2 冊に絞り、前期は主に Hofbauer J., K. Sigmund の『進化ゲームと微分方程式』を使
用し、基礎知識を学ぶことにした。理論班は数値計算を行うにあたっての基礎を学ぶのはもちろん
であるが、システム班もシュミレーションを行うにために基礎の知識が必要なためグループに関係
なく勉強する必要があった。後期は Martin A. Nowak の『進化のダイナミクス』の内容からいく
つか選び、数値計算・シュミレーションを行うことにした。
5月
毎週水曜日にセミナーを行い、基礎知識を学ぶ上で Hofbauer J., K. Sigmund の『進化ゲームと微
分方程式』のテキストを使用し、読み進めていった。最初の 2 週間は講義形式でレプリケータ方程
式とロトカ・ヴォルテラ方程式について学び、3 週目から 2 人 1 組でテキストのまとめを発表して
いくことにより理解を深めていった。普段の講義とは違いメンバーの 1 人 1 人が予習を行い、計画
的に準備を行うことによって効率よく学習できた。また毎週金曜日は各自自習の時間を設け、それ
ぞれ次週の発表の準備や水曜日のセミナーで理解仕切れなった部分を補うための時間に利用した。
6月
前の月と同様に毎週水曜日にセミナーを行い、テキストの内容の発表を行った。また、７月に行わ
れる中間発表についても考え、あらかじめ計画を立てることによって、今後の活動を明確にして
いった。
7月
中間発表に向けて、今までのセミナーで学んだ事のまとめを行い、ポスター係・スライド係・シス
テム係に分け、それぞれ準備を進めていった。また当日の発表は全員で行うことにし、1 人 1 人が
発表の練習をする必要があった。中間発表当日は全員で準備を行い、発表を行った。発表の終了後
は片づけを行い、アンケート結果を確認し、問題点についての反省を行い、最終発表に向けて解決
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A mathematical principle of evolutionary game and its simulation
策を考えた。中間発表終了後は中間報告書の作成に取り組み、役割を全員で分担して行い、グルー
プ報告書および個人報告書の作成を TEX を使用して行った。
8 月 9 月
夏休み活動なし
10 月
テキストを読み進め発表に使用する数式モデルを解析した。
11 月
前月同様テキスト読み進め、発表の計画を立てながら今後の活動を明確した。
12 月
最終発表会に向けて、準備を進めていった。当日全員が発表をすることとし、1 人 1 人発表の練習
をした。最終発表を終了し、報告書の作成を始めた。
1月
最終報告書の作成をした。
（※文責: 吉岡 俊哉）
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Group Number 1-A
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第 4 章 課題解決のプロセスの詳細
進化ゲームを学習する上でロジスティック方程式とロトカ・ヴォルテラ方程式を学習した。
4.1
4.1.1
ロジスティック成長
指数的成長
世代が分離した個体群に対する成長率を R とすると、ẋ = Rx x は、ある世代の個体群密度であ
り、ẋ は次世代における密度である。R が一定なら t 世代後の密度は Rtx となり、R ＞ 1 では無限
大に爆発的に成長する。ここで、世代が分離していないので、個体群が連続的によく混ぜあわせら
れている場合について、その無制限な増殖を考える。x(t) を時刻ｔにおける個体数と表すと、
x(t + △t) −
x(t)
△t
が存在すると仮定し、ẋ(t) と書く。成長率が一定ならば、ẋ = rx であるならば、x(t) = x(0)en
よって、連続時間モデルに対しても再び指数成長が得られた。
（※文責: 吉岡俊哉）
4.1.2
ロジスティック成長
成長率が x の関数として線型に減少する最も単純な場合を考える。成長率は r と K を正の定数
として r(1 −
x
K)
と表せる。これより、ロジスティック方程式
x(t) ＝ Kx(0)en ·
en
ert − 1
K + x(0)
が与えられる。0 と K との間の領域における解の挙動はロジスティック成長と呼ばれる。解は x
の値が非常に小さいときは指数成長し、x の増加とともに成長が小さいときは指数成長し、x の値
が非常に小さいときは指数成長し、x の値の増加とともに成長が小さくなり定数 K に向かって漸近
する。K は環境収容力と呼ばれ、r は個体数が小さい場合の成長率である。
（※文責: 吉岡俊哉）
4.1.3
回帰関係
′
y をある世代の個体群密度、ẏ を次の世代の個体群密度とする。 (y y−y) は 1 個対あたりの増加率
である。ロジスティック方程式と同様に、増加率が y に関して線形に減少すると仮定すると、
ẏ ＝ ry(1 −
y
)
K
が得られる。個体数ｙが環境収容力 K を超えると ẏ ＜ 0 となり生物学的意味がない。方程式は K
より大きなｙに対して用いることができない。他方、もしパラメータ R が 4 より大きくｙの値が
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Group Number 1-A
A mathematical principle of evolutionary game and its simulation
K
2
に近づけば、ẏ は K より大きくなるのでモデルは生物学的に無意味になる。したがって、R の
値を 0 と 4 の間に制限する必要がある。より現実に近い数多くのモデルがもっている動的な挙動
y
ẏ
を理解するために非常に役立つので、”数学的寓話劇”と呼ばれてきた。x= K
、ẋ= K
と置く。これ
により差分方程式 Ẋ ＝ F (x) が得られる。F(x) ＝ Rx(1-x) である。これは、最も単純な非線形回
帰である。
（※文責: 吉岡 俊哉）
4.1.4
安定、不安定不動点
0 と 4 の間の R に対して、写像 x→ Rx(1 − x) は、区間 [0,1] 上で力学系を与える。点 0 は不動
点である。R ≦ 1 ならば、すべての x ∈ [0，1] に対して ẋ < x である。x の軌道は 0 に向かって単
調に減少する。今後は R ＞ 1 の場合だけ考察する。F のグラフは点 0 と 1 で x 軸と交わり、点
で最大値
R
4
1
2
をとる放物線である。放物線は一辺の長さ 1 の正方形の内部で、直線ｙ＝ x と 1 つの
点 p で交わる。p の横座標値 p は p・ṗ ＝ p を満たすので、もう 1 つの不動点
P =
R−1
R
が得られる。
平均値の定理より、x と p の間の適当なｃに対して
F (x) − p = F (x) − F (p) ＝ (x − p)
dF
c
dx
が成り立つ。x(したがってｃ) が p に十分に近づけば、
dF ＜ 1 のとき dF c ＜ 1
p
dx dx が成り立つ。したがって、
| F (x) − p | ＜ | x − p |
となる。すなわち、ẋ は x より不動点 p に近い、このことは、もし x が p のある適当な近傍から
選ばれれば、x の軌道から反復的に得られる数列は p の近傍に留まり、p に収束することを意味す
る。このような意味で、不動点 p は漸近安定である。逆に
dF dx p＞1 であるならば、
|F (x) − p|＞|x − p|
となるので、x の軌道は不動点から遠ざかる。このような場合、p は不安定である。
（※文責: 金村康佑）
4.1.5
分岐
x は F(F(x)) ＝ F 2 (x) に写される。F 2 (x) は次数 4 の多項式であり、 12 の右と左の対称な点で
局所的最大値をもつ。再び、傾き 1 の直線と F 2 (x) は点 p で交わる。実際、p ＝ F(p) ＝ F 2 (p)。
点 p における F 2 (x) の傾きは、合成関数に関する微分法により (2 − r)2 が与えられる。1 ＜ R
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Group Number 1-A
A mathematical principle of evolutionary game and its simulation
≦ 3 のとき、p は傾き 1 の直線とグラフ (x) の唯一の交点である。3 ＜ R ＜ 4 のとき、p の左と
右に他の交点を持つ。この 2 つの交点は周期 2 の周期点 p1 、p2 に対応する。実際、F 2 (p1 ) ＝ p1
と F 2 (p2 ) ＝ p2 より、F (p1 ) ＝ p2 と F (p2 ) ＝ p1 が確かめられる。一般的に、T kx ＝ x を満たす
ｋ＞ 1 が存在するとき、点 x は力学系Ｔ：x → x の周期点と呼ばれる。整数ｋは、x の周期と呼ば
れる。ロジスティック方程式では成長率が連続であったのに比べて、離散時間モデルは 1 世代の時
間遅れをもっている。この時間が”オーバーシュート”、不動点の一方から他方へのジャンプを引
き起こし、軌道に振動を与える。同様な効果は多くの操舵装置や制御装置にも現れる。パラメータ
値 r ＝ 3 は分岐点である。3 より少し小さな R に対しては不動点 p は漸近安定で周期振動は発生
しないが、3 より少し大きな R に対しては p は安定ではなく周期振動が出現する。パラメータ R
が 3 を越えると、力学系の動的挙動は劇的に変化する。R が 3 よりそれほど大きくならない限り、
点 p1 、p2 は x → F 2 (x) の不動点として漸近安定であることを示すことが出来る。R をさらに大き
くすると、この 2 点は不安定になる。分岐が再び起こり、周期点の周期が増加する。周期の初めの
うちは 2n のタイプである。R ＝ 3.5700 では既に無限個の周期点が存在する。R ＝ 3.6786 で初め
て奇数周期が現れ、R ＝ 3.82・・・以降ではすべての周期が出現する。
（※文責: 金村康佑）
4.1.6
カオス的挙動
R ＝ 4 を考える。このとき、放物線の最大値は 1 に達する。区間 Ｉ0 ＝ [0, 12 ] と Ｉ1 ＝ [ 21 , 1]
は共に、写像Ｆで全区間 [0,1] に全単射的に写される。Ｉ0 は 2 このコンパクトな部分区間 I00
＝ [0, q] と I01 = [q ，12 ] に分割され、両区間は F で I0 と I1 に写される。同様に、I1 は部分区間
I10 ＝ [1 − q, 1] と I11 = [ 12 , 1 − q] に分割され、I10 は F で I0 に、I11 は I1 に写される。よって、
[0,1] は 2 つのコンパクトな 1 階の区間 I0 と I1 に分割され、それぞれ写像 F で [0,1] に全単射に写
される。次に、I0 と I1 は 2 階のコンパクトな部分区間 I00 、I01 、I10 、I11 に分割され、それぞれ
F 2 で [0,1] に写される。これら 4 つの区間はそれぞれ 2 つのコンパクトな 3 階の部分区間に分割
でき、F 3 で I0 または I1 に写される。このような帰納的に繰り返されて、このｎ階のコンパクト
な区間が求められる。得られた区間はで区間 [0,1] に全単射に写されるため、それぞれの区間は I0
に写される部分区間と I1 に写される部分区間に分割できる。よって、n+1 階が求められる。部分
区間に対する表記法は 2 進法により展開を連想され、x ∈Ｉ0100 ならば、x ∈ Ｉ0 、Ｆ (x) ∈ Ｉ1
、(x) ∈ Ｉ0 、(x) ∈ Ｉ0 である。x → Rx(1 − x) に対するランダム性は、R ＝ 4 の場合に限られて
いるわけではなく、別の多くの値に対しても発生する。
（※文責: 金村康佑）
4.2
4.2.1
被食者・捕食者に対するロトカ・ヴォルテラ方程式
被食者・捕食者方程式
第一次世界大戦後、アドリア海における漁獲高を調べてみると、戦前に比べて捕食者 (サメ) の数
が非常に多くなっていたことが発見された。戦争により漁業活動を中断していたわけだが、このこ
とがなぜ被食者 (小魚) より捕食者に有利に働いたのかという疑問がヴィトー・ヴォルテラに持ち込
まれた。彼は x を被食者密度、ｙを捕食者密度と表し、それらを微分方程式にまとめ、サメが非常
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Group Number 1-A
A mathematical principle of evolutionary game and its simulation
に多くなったの理由を説明した。ヴォルテラは、サメが存在しない場合小魚の個体群の成長がある
定数 a で与えられ、更に成長率は捕食者密度 y の関数として線形に減少すると仮定した。これから
ẋ
x
= a − by(a, b > 0) が得られる。小魚が存在しない場合、サメは死亡せざるをえないので成長は
負である。しかし、被食者密度 x が正であるならば、成長率は回復するので
= −c + dx(c, d > 0)
ẏ
y
両者をまとめて次を得る。
ẋ = x(a − by)
ẏ = y(−c + dx)
(4.1)
（※文責: 金村康佑）
4.2.2
ロトカ・ヴォルテラの被食者・捕食者方程式の解析
微分方程式 (4.1) より、次の 3 種類の解が書き下せる。
(i)x(t) = y(t) = 0
(ii)x(t) = 0, y(t) = y(0)e−ct (任意の y(0) > 0 に対して)
(iii)y(t) = 0, x(t) = x(0)eat (任意の x(0) > 0 に対して)
これらより、サメもしくは小魚の固体群密度がある時刻において 0 であるなら、常に 0 であること
がわかる。小魚が不在の場合、餌がないということでサメは絶滅 (t →∞で y(t) は 0 に収束) する。
サメがいなければ、被食者個体群は爆発 (x(t) → + ∞) する。しかし、後者の性質は非現実的であ
る。3 種類の解 (i)(ii)(iii) に次の 3 種類の軌道が対応している。
(i) 休止点である原点 (0,0)
(ii) 正のｙ軸
(iii) 正のｘ軸
これらを合わせると 3 個の軌道は正の象限
ℜ2+ = {(x, y)ϵℜ2 : x ≥ 0, y ≥ 0}
も不変である。
intℜ2+ には唯一の休止点が存在する。そのような休止点 F = (x̄, ȳ) は x̄(a − bȳ) = 0 と ȳ(−c +
bx̄) = 0 を満足しなければならない。x̄ > 0, ȳ > 0 であるから
x̄ =
c
a
, ȳ =
d
b
となる。ẋ, ẏ の符号は y と ȳ, x とx̄ の大小に依存する。従って、ℜ2+ は 4 個の領域に分割でき、反
時計方向に回転する周期軌道で囲まれている。実際、(4.1) の第 1 行に
c−dx
x
第 2 行に
a−by
y
をそれ
ぞれに掛けて、それらを加えると
(
a
c
− d)ẋ + ( − b)ẏ = 0
x
y
すなわち
d
[c log x − dx + a log y − by] = 0
dt
(4.2)
が得られる。これを少し書き換えると次が得られる。
H(x) = x̄ log x − x、G(y) = ȳ log y − y
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と
V (x, y) = dH(x) + bG(y)
により (4.2) は
d
V (x(t), y(t)) = 0
dt
すなわち
V (x(t), y(t)) = 一定
となる。intℜ2+ で定義された関数 V は (4.1) の軌道に沿って一定値をとる。これはいわゆる運動
の常数である。H(x) は
x̄
d2 H
dH
x̄
= − 1,
=− 2 <0
dt
x
dx2
x
を満たすので、x = x̄ で最大値を取り、同様に G(y) は y = ȳ で最大値となる。V(x,y) は休止点
F = (x̄, ȳ) で唯一の最大値を取る。F から出発する全ての半直線に沿って V は-∞へ減少する。等
高線の集合 { (x, y)ϵintℜ2+ : V (x, y) = 一定} は F の周りの閉曲線である。解は等高線の集合に留
まるので、その出発点に戻ってくる。従って、軌道は周期的である。
（※文責: 金村康佑）
4.2.3
ヴォルテラの原理
捕食者と被食者の個体群密度は周期的に振動し、その振幅と振動数は初期条件に依存して決ま
る。しかしながら、個体群密度の時間平均は一定であり、休止点 F の対応する成分の値は等しい。
すなわち、
1
T
∫
T
x(t)dt = x̄,
0
1
T
∫
T
y(t)dt = ȳ
0
ここで T は解の周期である。実際、
d
ẋ
(log x) = = a − by
dt
x
の両辺を積分して
∫
∫
T
T
(a − by(t))dt
log x(t)dt =
0
0
すなわち
∫
T
log x(T ) − log x(0) = aT − b
y(t)dt
0
を得る。x(T)=x(0) より
1
T
∫
T
y(t)dt =
0
a
= ȳ
b
となる。同様な結果が x の時間平均についても成り立つ。
以上より、戦争中に捕食者であるサメの個体数が増加したことに対するヴォルテラの準備が整っ
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た。漁業活動は、小魚の増加率を減少 (a のかわりに少し小さな値 a-k) させるとともに、サメの減
少率を増加 (c のかわりに少し大きな c+m) させる。しかし、相互作用を表す定数 b,d は不変であ
る。従って、漁業活動が中断されている場合と比べて、捕食者密度の時間平均は
り、被食者の平均は
c+m
d
a−k
b
で小さくな
で少し大きくなる。戦争による漁業活動の停止により、捕食者密度は増
加し、被食者密度は減少したのである。
（※文責: 金村康佑）
4.2.4
種内競争を持つ捕食者・被食者方程式
(4.1) の代わりに
ẋ = x(a − ex − by)
ẏ = y(−c + dx − f y)
(4.3)
を考える。ここで、e > 0,f ≥ 0 である。再び、ℜ2+ は不変。その境界は次の 5 個の軌道から構成
されている。2 個の休止点 0=(0,0)、P = ( ae , 0)、x 軸の 2 個の区間 (0, ae ) と ( ae , +∞)、及び正の
y 軸。
intℜ2+ 、つまり両方の個体群が存在する状態で解の様子をおおまかに調べために等傾斜線を調べる。
x の等傾斜線は ẋ＝ 0 を満たすので、ベクトル場が垂直となる集合である。intℜ2+ で、これは集合
(4.4)
ex + by = a
となる。同様にベクトル場が水平な y の等傾斜線は次の集合になる。
dx − f y = c
(4.5)
パラメータの値に依存して、これらの斜線は intℜ2+ で交点を持つ場合と持たない場合がある。も
し持たなければ、斜線は intℜ2+ を 3 個の領域に分割する。この場合、全ての軌道は P に収束しな
ければならない。従って、サメは絶滅し、被食者密度はその極限
a
e
に収束する。ここで
a
e
は、サ
メがいない場合に、小魚の成長を支配するロジスティック方程式 ẋ = x(a − ex) の環境収容力であ
ることに注意せよ。もし等傾斜線が intℜ2+ のある点 F = (x̄, ȳ) で交差すれば、その交差は休止点
である。その座標は、線形方程式 (4.4)、(4.5) の解である。この場合、intℜ2+ は 4 個の領域に分割
される。ẋとẏ の符号から、軌道は F の回りを反時計方向に回転しそうである。この回転運動は再
び周期的となるのか、不動点 F に収束するのか、それとも螺旋コースを描いて F から遠ざかって
しまうのか。等傾斜線だけでは不十分で決定できない。
（※文責: 金村康佑）
4.2.5
捕食者と被食者の共存
(4.3) の等傾斜線が交差する場合を考える。このとき、intℜ2+ に休止点 F = (x̄, ȳ) が存在する。
対応する密度で、サメと小魚は共存できる。この休止点は安全か
V (x, y) = dH(x) + bG(y) で定義される関数 V を試そう。ここで
H(x) = x̄ log x − x, G(y) = ȳ log y − y
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関数 t → V (x(t), y(t)) の導関数は、
∂V
∂V
ẋ +
ẏ
∂x
∂y
x̄
ȳ
= d( − 1)x(a − by − ex) + d( − 1)y(−c + dx − f y)
x
y
V̇ (x, y) =
x̄とȳ は (4.4)、(4.5) の解であるから a を ex̄ + bȳc を dx̄ − f ȳ にそれぞれ置き換えることができ、
V̇ (x, y) = d(x̄ − x)(bȳ + ex̄ − by − ex) + b(ȳ − y)(−dx̄ + f ȳ + dx − f y)
= de(x̄ − x)2 + bf (ȳ − y)2 ≥ 0
が得られる。従って、リアプノフの定理が使える。intℜ2+ の全ての軌道のω極限は、集合 {
(x,y:V̇ (x,y)=0)} に含まれる。f > 0 のとき、この集合は点 F と一致する。f=0 のとき、この集合
は K={ (x,y)∈ ℜ2 :y > 0、x=x̄} となる。しかしω極限は K の不変部分集合であるので、再び K
は F と一致する。従って、intℜ2+ の全ての解はこの休止点に収束する。再び、V(x,y) を点 (x,y)
における等高線とみる。解軌道は等高線上を移動し同じ高さに留まっているが、(4.1) の軌道は山
を登る。x が休止点でないとき常に V̇ (x) > 0 となる狭義のリアプノフ関数は、登り勾配の道を登
る運動を記述する。このような関数を持つシステムは、勾配的と呼ばれる。
（※文責: 金村康佑）
4.3
4.3.1
２種の競争種に対するロトカ・ヴォルテラ方程式
線形微分方程式
休止点の安全性に関する全ての重要な問題は、多くの場合関連する線形方程式の問題に還元でき
る。そこで、線形系の主要な特徴をいくつか簡単に見てみる。A を n× n の実行列とし、
(4.6)
ẋ = Ax
を、Rn の線形微分方程式とする。この解 x(t) は、eAt x(0) と表せる。ここで行列は、eAt は
eAt = I ＋ A
t
t2
＋ A2
1!
2!
で与えられる。A の固有値は実数または複素数であり、後者の場合、共役な複素数が共に固有値と
なる。(4.6) の解の成分 xi (t) は、次の関数の線形結合で与えられる。(i)eλt :λが A の実固有値で
あるとき、(ii)eat cosbt、eat sinbt、すなわちの実数部分と虚数部分：μ=a ＋ ib が A の複素固有値
であるとき、(iii)tj eλt 、tj eat cosbt、tj eat sinbt(0 ≤ j < m):λまたはμが重複度の m 固有値である
とき。複素固有値がμ解の振動成分を与えることに注意する。この振動が減衰するための必要十分
条件は a < 0 である。原点 0 は (4.6) の休止点である。0 は次のように分類される。
(a) 固有値の実部λと a が全て負の場合、0 は沈点と呼ばれる。
(b) 固有値の実部が全て正である場合、0 は源点と呼ばれる。
(c) 固有値が複素平面 C の左半平面と右半平面の両方に存在し、かつ虚数軸上に存在しない場合、
双曲型と呼ばれる。
虚数軸上の固有値 0 は”退化”解に対応する。すなわち、固有値は休止点の線形形多様体に、虚数
軸上の固有値の組± ib は
2π
b
周期を持つ周期解から構成される線形多様体にそれぞれ対応する。す
べての固有値が虚数軸上にある場合、0 は渦心点と呼ばれる。0 が双曲型でない場合、行列 A はの
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Group Number 1-A
A mathematical principle of evolutionary game and its simulation
成分に任意の小さな摂動を加えると、0 を源点、沈点、鞍点に変化させることができるため、まっ
たく違った挙動を得られる。また、双曲型の場合は、構造安定である。すなわち、行列の成分の値
に対する摂動が十分に小さければ、軌道の挙動は本質的にかわらない。
（※文責: 金村康佑）
4.3.2
線形化
Rn の点 z の近傍で
ẋ = f (x)
(4.7)
の解の局所的な挙動を調べる。もし z が休止点でないとすると、z の近傍 U を考えれば、連続的な
変換により軌道を”まっすぐに伸ばす”ことが可能で、すべての軌道は平行を見なせる。これは、
Z におけるテイラー展開の初項が定数 f(x) ≠ 0 を満たすことから導かれる。しかし、z が休止点で
ある場合、局所的挙動をスケッチすることは少し難しくなる、今度は定数項 f(z) が 0 である。テイ
ラー展開の次の項は、一階の偏導関数から作られるヤコビアン行列 Dz f = A で与えられる。


A=
∂f1
∂x1 (z)
..
.
∂fn
∂x1 (z)
···
..
.
···
∂f1
∂xn (z)
..
.



∂fn
∂xn (z)
線形方程式
(4.8)
ẏ = Ay
は解析的に解ける。A のすべての固有値の実数が 0 でない場合、z が双曲型である限り (4.7) の解
析に役立つ。またこれは、次のハートマン・グロブマンの定理の中身である。
定理 4.3.1.
(4.7) の任意の双曲型休止点に対し、その近傍 U と、U から原点のある近傍 V への同相写像 h が
存在し、y=h(x) ならば、x(t) ⊆ U を満たすすべての t ⊆ R に対してとなる。(ここで、x(t) は
x(o)= x を満たす (4.7) の解、y(t) は y(0) となる線形方程式 (4.8) の解である。同相写像とは、連
続な逆写像を持つ連続写像である。) 従って、局所的には、z の近傍における (4.7) の軌道は、原点
の近傍における (4.8) の軌道と同一視できる。線形系の場合と同様に、(4.7) の沈点、源点、鞍点、
安定・不安定多様体について議論できる。特に z が沈点であるならば、それは漸近安定である。も
し A の固有値のうちで１つでも正の実部をもつものがあれば、z は不安定である。微分方程式と
差分方程式の安定条件を比較すると有益である。ℜ2 の微分方程式 (4.7) に対応する差分方程式と
して、
ẋ = x ＋ hf (x)
(4.9)
を考える。ここで、増分は ẋ− x (4.7) のベクトル場と同一方向を指している。h は刻み幅である
（通常 h=1）
。数値解析学ではオイラー法と呼ばれる。h が小さければ、少なくともある有限な時間
内では、(4.9) の軌道は (4.7) の軌道の近傍に留まると思われる。今、z を (4.7) の、従って (4.9) の
不動点として、A = Dz f と置く。両方の方程式において、z の近傍における局所的挙動を比較す
るため、その線形化
ẏ = y ＋ hAy = (I ＋ hA)y
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(4.10)
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と
|1＋hλ|＜1
(4.11)
を考える。0 が（4.10）安定休止点であるための必要十分条件は、A の固有値が全て負の実部を持
つことである。A の固有値をλとすれば、1 ＋ h λは I ＋ hA の固有値であるから、
（4.11）の 0 が
安定となるためには
|1＋hλ|＜1
すなわち、λが中心 − h1 で半径
1
h
の円の内部も存在することが必要である。従って、差分方程式に
対する安定条件の方が、微分方程式に比べると厳しい。0 が（4.10）に対して安定であるとき、h が
十分小さい場合に限り、
（4.11）に対しても安定となる。h をあまり大きくしすぎると、0 は離散時
間に関して安定性を失う。また、もし 0 が（4.10）の渦心点であるならば、(4.7) に対しては漸近安
定であることは可能であるが、(4.11) に対しては h をどのように選んでも 0 は常に不安定である。
（※文責: 金村康佑）
4.3.3
競争方程式
生物学を考え、2 種の競争種をモデル化してみる。x と y を競争種の密度とすれば、競争は種内
と種間に働くので、成長率は
ẋ
x
と
ẏ
y
は x と y の両方の減少関係となると思われる。もっとも単純
な仮定は、この減少が線形であるとすることであり、
ẋ = x(a − bx − cy)
ẏ = y(d − ex − f y)
(4.12)
2
2
自身も不変である。実
の境界が不変であるので、R+
を得る。ここで a∼f は正の定数である。R+
際、一方の個体群が存在しなければ、他方はいつでもロジスティック成長則に従う。x と y の等傾
2
で
斜線は、R+
a − bx − cy = 0
d − ex − f y = 0
2
を満足する。これらは負の傾きを持つ直線である。残された場合は、R+
で等傾斜線が唯一の交点
F=(x̄,ȳ) を持つ場合がある。ここで、
x̄ =
af − cd
bd − ae
、
ȳ =
bf − ce
bf − ce
(4.13)
における (4.12)n ヤコビアンは次のように
(
w=
−dx̄
−eȳ
−cx̄
−f ȳ
)
(4.14)
を表せる。ここで 2 つのケースを区別してみる。(a)bf ＞ ce ならば (4.13) の分母は正である。こ
れから af − cd ＞ 0、bd − ae ＞ 0 となるので次を得る。
b a c
＞ ＞
e d f
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2
の符号から、intR+
のすべての軌道がに収束することが推測される。これは、(4.14) の固有値が負
であり、従って F が沈点であるという事実と合致する。このケースは安定依存である。
(b)bf ＜ ce ならば
c a b
＞ ＞
f d e
となる。detA=x̄ȳ(bf − ce) ＜ 0 なので、F は鞍点である。その安定多様体は F に収束する 2 つ
2
軌道からなる。これから、安定多様体が intR+
を 2 つの吸引域に分割することがわかる。一方の
吸引域から出発するすべての解は
F2 = (0, fd )
に、他方のすべては
F1 = ( ab , 0)
にそれぞれ収束する。このことは初期条件に依存して、どちらか一方の種が絶滅することを意味し
ている。つまり、これはいわゆる双安定の場合である。
（※文責: 金村康佑）
4.4
4.4.1
2 種の生物に対する方程式
ポアンカレ・ベンディクソンの定理
定理 4.4.1. ẋ = f (x) を開集合Ｇ ⊆ ℜ2 で定義されたＯＤＥとし、ω(x) を空でないコンパクト
な ω 極限集合とする。このとき、ω(x) が休止点を含まなければ、それは周期軌道である。ω(x) が
空であることや有界でないこともある。休止点と周回軌道を含まない ω(x) も存在する。ポアンカ
レ・ベンディクソンの定理より次のことが分かる。Ｋ ⊆ Ｇをコンパクトかつ正不変で空でないと
すると、Ｋは休止点または周期軌道を含む。γ を周期軌道とし、γ とその内部 Γ がＧに含まれれ
ば、Γ は休止点を含む。
周期軌道が存在しないことを示すための方法は次のベンディクソン・デュラク法である。ℜ2 の
単連結な部分集合Ｇで定義され、全ての x∈ Ｇに対して divf(x) ＞ 0 を満たす。
divf (x) =
∂f1
∂f2
(x) +
(x)
∂x1
∂x2
はｆの発散と呼ばれ、ヤコビアンのトレースである。事実、γ を周期軌道、Γ をその内部とすれば、
Γ は不変集合でその面積は流れの下で保存される。しかし、divf(x) ＞０は面積拡大型であること
を意味するので、これは不可能である。より正確に言えば、グリーンの定理から、Ｔを γ の周期と
すると
∫
∫
T
divf (x)d(x1 , x2 ) = ±
Γ
f2 (x(t))ẋ1 (t) − f1 (x(t))ẋ2 (t)dt
0
が成り立つ。左辺は正であるが、右辺は f1 = ẋ1 、f2 = ẋ2 より０となり、矛盾する。次のような
系が得られる。Ｇ上の全ての点でベクトル場 Bf が正の発散を持つような正の関数 B が存在すれ
ば、ẋ = f (x) は周期軌道を持たない。（このような関数Ｂはデュラク関数と呼ばれる。
）事実、f と
Bf の違いは速度の変化だけであるので、両者の軌道は一致する。
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（※文責: 金村康佑）
4.4.2
２次元ロトカヴォルテラ方程式に対する周期軌道
定理 4.4.2. ２次元のロトカヴォルテラ方程式
ẋ = x(a + bx + cy)
ẏ = y(d + ex + f y)
(4.15)
は孤立した周期軌道を持たない。
証明
γ を (4.15) の周期軌道とする。このとき γ の内部に休止点が存在する。従って、２直線
a + bx + cy = 0
d + ex + f y = 0
は intℜ2+ の一意な点で交差する。とくに
△ = bf − ce ≠ 0
であるデュラク関数として
B(x, y) = xα−1 + y β−1
を用いて、ベンディクソンデュラクの定理を適用する。(4.15) の右辺を P (x, y), Q(x, y) と置いて、
ベクトル場 (BP,BQ) を計算すると
∂
∂
BP +
∂x
∂y
]
]
∂ [ α β−1
∂ [ α−1 β
x y
(a + bx + cy) +
x
y (d + ex + f y)
∂x
∂y
α−1 β−1
α β−1
= αx
y
(a + bx + cy) + x y
b + βxα−1 y β−1 (d + ex + f y) + xα−1 y β f
=
= B [α(a + bx + cy) + bx + β(d + ex + f y) + f y]
(4.16)
となる。αとβ を
αb + βe = −b
αc + βf = −f
を満たすように選ぶ。すると
∂
∂
(BP ) +
= δＢ
∂x
∂y
となる。ここで
δ = aα + dβ
周期軌道が存在すると仮定したため、ベンディクソンデュラクの定理より δ ＝０。しかし、このと
き δＢ は
−
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∂
∂
(BP ) =
(BQ)
∂x
∂y
- 16 -
(4.17)
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となる。これは２次元ベクトル場 (BQ,-BP) に対する積分条件である。従って、intℜ2+ 上で
∂V
∂V
= BQ,
= −BP
∂x
∂y
を満たす関数 V=V(x,y) が存在する。t → V (x(t), y(t)) の導関数は
V̇ =
∂V
∂V
ẋ =
ẏ = P Q(B − B) ≡ 0
∂x
∂y
を満たすのでＶは運動の常数である。従って、周期軌道が存在すれば、それは別の周期軌道で囲ま
れている。孤立した周期軌道は存在しない。
（※文責: 金村康佑）
4.4.3
極限周期軌道とガウゼの捕食者・被食者モデル
周期軌道 γ は、γ のある近傍に属する全ての初期値ｘに対して ω(x) ＝γ である場合周期アトラ
クターと呼ばれ、少なくとも一つのｘ ̸∈ γ に対して ω(x) ＝γ であるとき極限周期軌道（リミット
サイクル）と呼ばれる。x と y をそれぞれ被食者と捕食者の密度としよう。捕食者が存在しなけれ
ば、被食者の個体群は極限値 K¿0 に収束する。従って、ẋ = xg(x) において
(a) x¡K で g(x)¿0、x¿K で g(x)¡0、g(K)=0
捕食者は被食者の増加率 ẋ を yp(x) だけ減少させる。ここで p(x) は１捕食者に殺される被食者の
数を表す。従って
(b) p(0)=0、x¿0 で p(x)¿0
最後に捕食者の増加率
ẏ
y
は-d+q(x) で与えられる。定数 d > 0 は被食者が不在時の捕食者死亡率、
q(x) は正の単調増加関数である。従って、
(c) q(0)=0、x¿0 で
d
dx q(x)
＞0
これらの仮定から次の方程式が得られる。
ẋ = xg(x) − yp(x)
ẏ = y (−d + q (x))
(4.18)
x≡ 0 と y ≡ 0 は (4.18) の解である。従って、ℜ2+ は不変、q は単調増加であるから、q(x̄) を満た
す x̄＞ 0 が最大一つ存在する。x̄ が存在しなければ捕食者は全滅する。この場合を除いて今後は、
x̄ の存在を仮定する。このとき、y 等傾斜線は垂直な直線 x=x̄ である。x 等傾斜線は方程式
y=
xg(x)
p(x)
すなわち、区間（0,K）上で定義された x の関数グラフで与えられる。明らかに２つの統計斜線は
多くても一度だけ交差する。交点が存在しなければ、ẋとẏ の符号からわかるように捕食者が全滅
する。しかし交点Ｆ (x̄, ȳ) が存在すればＦは intℜ2+ の唯一の休止点である。この場合を考察する。
bdℜ2+ 上に２つの不動点（0,0）とＰ＝（K,0）が存在する。両者ともに鞍点である。Ｐの安定多
様体は正の x 軸である。不安定多様体は２つの 軌道からなり、一方のみが ℜ2+ に属する。x をこ
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の軸上の点とする。明らかに、ω(x) は空でなくコンパクトである。ポアンカレベンディクソンの
定理から次の二つの場合が得られる。
(a)ω(x) が休止点を含まなければ、ω(x) は周期軌道 γ である。この軌道は休止点Ｆを囲む。明
らかに γ は極限周期軌道である。実際、γ の外部の全ての軌道は γ に向かって螺旋状に収束する。
(b)ω(x) が休止点を含む場合。(0,0) と (K,0) はこのような休止点の候補ではないので、ω(x) は
点Ｆを含む。ẋとẏ の符号から ℜ2+ の全ての軌道がＦに収束すること、さらに軌道はＰの不安定多
様体と交わらないことが分かる。この場合Ｆは大域的に安定である。
（※文責: 金村康佑）
4.4.4
飽和型反応
(4.18) の反応関数 p(x) と q(x) は
x
(a+x) (a
＞ 0) に比例すると仮定されることが多い。この関数
は大きな x の値に対する飽和効果を表し、生態学と化学反応速度論でよく現れる式である。さら
に、q(x) が線形であるならば、(4.18) は
x
cx
)−y
K
a+x
bx
ẏ = y(−d +
)
a+x
ẋ = rx(1 −
(4.19)
となる。ここで全てのパラメータは正である。この休止点 F が大域的に安定となるための必要十
分条件は K≤ a + 2z である。（定理 4.4.3.）
（※文責: 金村康佑）
4.4.5
ポップ分岐
G を ℜn の開の部分集合とし、あるパラメータ µ ∈ (−ϵ, ϵ) に依存する微分方程式の族
ẋ = f µ(x)
(4.20)
を考える。Pµ を (4.20) の休止点とする。そのヤコビアン Jµ の固有値は、１組の共役複素数を除
いて、全て負での実部を持つと仮定する。ここで α(µ)、β(µ) ∈ R で、実部 α(µ) の符号は µ の符
号と一致し、さらに β(0) ≠ 0 を満たすとする。このとき、Pµ はµ＜ 0 で沈点であり、µ＞ 0 で不
安定となる。次の３つのテクニカルな条件を付け加える。
(a)fµ (x) の成分は解析的（つまり、ベキ級数で表せる）
(b)
d
α(0) > 0
dµ
(c)P0 は漸近安定
後で付け加えたテクニカルな３つの条件を理解するために、平面上のベクトル場を考える。座標の
なめらかな変換により、fµ (x) の３次のテイラー級数は、正規形
ẋ1 = (dµ + a(x21 + x22 ))x1 − (ω + cµ + b(x21 + x22 )x2 ẋ2 = (ω + cµ + b(x21 + x22 ))x1 + (dµ +
a(x21 + x22 ))x2
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に変形できる。極座標においてこれは
ṙ = (dµ + ar2 )r
θ̇ = ω + cµ + br2
となる。この初めの方程式は θ と無関係である。r¿0 においてその右辺が 0 となるようならば、
そのような r を半径とする周期軌道が得られる。d ≠ 0、a ≠ 0 ならば半径
√
r=
−dµ
a
の周期軌道が存在する。d と a の符号に依存して、周期軌道が µ > 0 または µ < 0 に対して出現
する。周期軌道は a¡0 でアトラクター、a¿0 でリペラーとなる。前者をスーパークリティカル、後
者をサブクリティカルなホップ分岐という。d ≠ 0、a=0 ならば、µ = 0 を除いて周期軌道は存在
しない。この場合、ホップ分岐は退化していると言われる。より高次の次元においては、2 次元の
中心多様体上で同様な現象が起こる。他の固有値は全て負の実部を持つので、中心多様体近傍の全
ての軌道はその多様体に収束する。スーパークリティカル分岐では、安定不動点が不安定になり安
定周期軌道が出現する。サブクリティカル分岐では不安定不動点が安定となるが、不安定周期軌道
によってその吸引域は非常に狭くなる。
（※文責: 金村康佑）
4.5
進化的に安定な戦略
生物学者 John Maynard Smith は、ゲーム理論を用いて儀式的競り合いが高い頻度で発生する
ことを説明した。それは次の形式の思考実験である。2 つの行動タイプが可能であるとする。一方
は相手を傷つけるまで争いをエスカレートし、敵が飛び去るまで攻撃を続ける。他方はディスプレ
イに固執し相手がエスカレートすると退却する。少し誤解を招くかもしれないが、このような 2 つ
の行動タイプは通常”タカ派”と”ハト派”と名付けられる。争いは 1 つの生物種内で起こるので
あり、異なる種間でおこるのではないと仮定でされる。さらに、実際のハトは闘争をエスカレート
するが、それについては後で考察する。競り合いは少量しかない食料や縄張りの境界線、または配
偶者をめぐって起こる。勝者には適応度 G が加算され、傷つくと適応度 C だけ減少する。ハト派
が出会うと互いに身構え、にらみ合い、鳴き声を大きくし、色を変えたりするが、最終的には一報
が退却する。勝者は G を得る、敗者は何も失わない。従って、ハト派が別のハト派に出会った場
合の適応度はかわらず、タカ派の方は G だけ増加する。最後に、タカ派とタカ派が出会うと、両
者は一方がノックダウンされるまで闘争をエスカレートさせる。勝者の適応度は G 増加し、敗者
は C 減少するので、適応度の平均的増加は
(G−C)
2
である。この値は（今後、常に仮定することで
あるが）、傷による損失が闘争によって得られる利益より大きく、負であると仮定される。以上は
次の利得行列にまとめられる。
鷹派
ハト派
鷹派
G−C
2
G
ハト派
0
G
2
個体群の多数派がハト派であれば、タカ派であれば、タカ派が勢力を拡張していく。何故なら、
タカ派はハト派に出会う確率が高く争いによって G を受け取り、一方ハト派はハト派と多く出会
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い平均的に
G
2
しか受け取らない。しかし、タカ派が多数となった個体群では、ハト派が有利であ
る。ハト派は闘争を回避するので適応度を一定に保つが、タカ派はタカ派との闘争の度に適応度を
平均的に
(G−C)
2
だけを失う。闘争の成功度は個体群の構成割合に依存している。タカ派の頻度を
x、 ハト派を 1-x とすると、
タカ派の適応度平均増加は
ハト派は
G−C
+ (1 − x)G、
2
1−x
G となる。
2
両者が等しくなるのは x=G/C の場合である。タカ派の頻度が
G
C
より小さければタカ派に都合よ
く、タカ派は勢力を拡げていく。よって、タカ派の頻度が安定である休止点
G
C
に進化は進む。特
に、負傷による損失 C が非常に大きい場合、タカ派頻度は小さくなる。
（※文責: 金村康佑）
進化的安定性
4.5.1
個体群の行動タイプの構成が Q であるとき、行動タイプ I を持つ個体の適応度を W(I,Q) とす
る。行動タイプ J の頻度を x、行動タイプ I の頻度を 1-x とすると、xJ+(1-x)I は 2 つの行動タイ
プが混合された個体群の集団を表す。タイプ I を持つ個体群は、それと異なるどのようなタイプ J
が少数導入されても元のタイプ I の方が新しいタイプ J よりも有利であるとき、進化的に安定であ
ると呼ばれ、全ての J+I に対し
W (J, ϵJ + (1 − ϵ)I) ＜ W (I, ϵJ + (1 − ϵ)I)…(4 − a)
が十分小さな全ての ϵ＞ 0 に関して成り立つとき、タイプ I は進化的に安定である。W(I,Q) は第
２の変数 Q に関して連続であると仮定する。個体群構成の微小な変化に対する I の適応度への影
響は小さいとする。ϵ → 0 とすれば (4-a) から W(J,I)≤ W(I,I) がすべての J について成り立つ。
タカハトゲームでは、2 つの行動タイプのいずれも進化的に安定ではない。確率 p =
G
C
で争いを
エスカレートする行動タイプが別の行動タイプに侵入されないので、進化的に安定である。別の例
として”性比”ゲームを考えるため、それぞれの行動タイプは異なる性比を持つと仮定する。個
体の性比を p、個体群の平均性比を m とする。N1 を娘世代 F1 の個体群の大きさ (mN1 が雄、
(1 − m)N1 が雌) とし、N2 を孫世代 F2 の個体群の大きさとする。F2 の各メンバーは１人ずつ父
親と母親を持つ。F1 世代のある雄がその父親である確率は
ら見た F2 世代の子の期待値は
N2
mN1
1
mN1
となる。従って、F1 世代の雄か
である。同様に、F1 世代の雌から見た子の期待値は
N2
(1−m)N1
である。性比 p を持つ個体は、雄の子と雌の子を p:(1-p) の比を産むので、その孫の期待値は
N2
N2
p mN
+ (1 − p) (1−m)N
に比例する。すなわち、適応度を w(p, m) =
1
1
p
m
えられた m∈ (0,1) に対して、関数 p→ w(p,m) はアフィン線形で、m
少,m =
1
2
+
＜ 21
1−p
1−m
に比例する。与
で増加、m ＞ 12 で減
で一定である。侵入性比 p が小さい割合 ∈ で導入されると、平均性比は r=ϵp + (1 − ϵ)q
となる。性比 q が性比 p よりも有利であるための必要条件は w(p,r)¡w(q,r) である。明らかに、す
べての p についてこの不等式が成り立つのは q =
1
2
である場合に限る。q ＜ 12 に対しては、性比
p > q が有利であるので p が拡がる。q ＞ 12 に対しては小さな p が侵入できる。従って、12 が (4-a)
の意味で唯一の進化的に安定な性比である。
（※文責: 金村康佑）
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4.5.2
標準形ゲーム
行動タイプが有限個の純戦略の集合で記述される場合を考える。純戦略とは、例えばタカ派戦略
やハト派戦略、性比ゲームでは”息子だけを産む”戦略と”娘だけを産む”戦略である。一般に、こ
のような N 個の純戦略 R1 から RN が存在すると仮定する。純戦略 R1 から RN をある確率 p1 か
ら pN を用いてプレイするような混合戦略も考慮する。pi ≥ 0,1Σpi = 1 であるの、1 つの戦略は
単体 SN = p = (p1 , ..., pN ) ∈ RN , Σpi = 1 のある点 p に対応する。単体の N 個の端点 ei は標準
基底であり、純戦略に Ri に対応している。内部 intSN は、すべての i について pi > 0 を満たす完
全混合戦略 p を表す。最初、ゲームは 2 人のプレーヤーで行われると仮定し、純戦略 Rj を用いる
プレイヤーと対戦する純戦略 Ri を用いるプレイヤーの利得を Uij と書く。N × N 行列 U = (Uij )
を利得行列と呼ぶ。q 戦略家に対する Ri 戦略家の利得は (Uq )i = ΣUij qj である。よって、q 戦略
家に対する p 戦略家の利得は p ・ Uq = ΣUij pi qj である。戦略 q に対して写像 p → p・Uq が最大
値を取る戦略の集合をβ (q) と書き、戦略 q に対する最適反応と呼ぶ。ゲーム理論で最も重要な概
念はナッシュ均衡であり、これは自分自身に対して最適反応となる戦略のことである。全ての標準
形ゲームは、少なくても 1 つのナッシュ均衡をもつ。戦略 q は自分自身に対する唯一の最適反応で
あるとき、p ・ Uq < q ・ Uq が全ての戦略 p ≠ q について成り立つとき、強意のナッシュ均衡と呼
ばれる。強意のナッシュ均衡は純戦略であることを確かめることができる。
（※文責: 諏訪翔大）
4.5.3
進化的に安定な戦略
全てのプレイヤーが同一の強意のナッシュ均衡 q を用いるならば、q からずれるプレイヤー
はペナルティを受ける。しかし、タカ派ハト派ゲームではこのような強意のナッシュ均衡は存
在しない。強意ではないナッシュ均衡の全てがそれと異なる少数派の侵入を防ぐことができる
わけではない。侵入者はナッシュ均衡と同程度に利益を得ることができるので、勢力を広げる可
能性がある。進化的安定性の定義を思い出すと、２つのタイプ I と J は、２つの戦略 p̂ と p に
対応する。集団 ϵ J+(1-ϵ )I は戦略 ϵ p+(1-ϵ )p̂ となる。従って、戦略 p̂ ∈ SN は、p ≠ p̂ であ
る全ての p̂ ∈ SN は、p ≠ p̂ である全ての p ∈ SN に対して、不等式 p・U(ϵp + (1 − ϵ)p̂) ＜p̂
・U (ϵp + (1 − ϵ)p̂)…(4-a) が十分小さな全てのε¿0 について成り立つとき、進化的安定であると言
われる。次のように書ける。(1-ϵ)(p̂ ・Up̂ -p・Up̂)+ϵ(p̂・Up−p・Up ) > 0 これより、p̂ が進化的安
定な戦略 (ESS) であるための必要十分条件は、次の２つの条件がなりたつことである。(a) 均衡条
件全ての p ∈ SN に対して、p・U p̂ ≤ p・U p̂ ≤ p̂・U p̂(b) 安定条件もし、p ≠p̂かつ p・U p̂ = p・U p̂
ならば p ・ U p̂ ≤ p ・ U p̂(a) はナッシュ均衡の定義である。戦略p̂が自分自身に対する最適な反応
であることを意味する。しかし、この性質だけでは、別の戦略 p が代替の最適反応となる可能性
があるので、他の戦略の不可侵性を意味しない。安定条件は、このような場合、p の p 自身に対す
る利得よりp̂に p に対する利得の方が大きいことを示している。p ∈ SN が ESS となるための必要
十分条件はp̂・ Uq > q ・ Uq …(4 − c) が、SN 内のp̂のある近傍における全ての q ≠p̂について成り立
つことである。p̂が進化的安定であると仮定する。p̂の全ての近傍 q は小さなϵに対してϵp + (1 − ϵ)p̂
と書けることを示す。実際, p̂を含まない辺から構成されるコンパクト集合 C から p を選ぶ。全て
の p ∈ C に対して (4 − b) が全てのϵ ≤ ϵ̄(p) で成り立つ。ϵ̄(p) が連続関数として選べることを示す
のは簡単である。従って、ϵ̄ = minϵ̄(p) : p ∈ C は正であり、(4 − b) は全てのϵ ∈ (0, ϵ̄) で成り立つ
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。このとき、(4 − b) にϵを乗じ、(1 − ϵ)p̂・U ((1 − ϵ)p̂ + ϵp) を両辺に加える。q = (1 − ϵ)p̂ + ϵp と
置くと、
p̂の適当な近傍で全てのに q ≠p̂対して (4 − c) が成り立つ。逆の場合も同様である。
（※文責: 諏訪翔大）
4.5.4
個体群ゲーム
例えば、成否の成功度は特定の相手の性比にではなく、個体群の平均性比に依存している。ESS 理
論はこのような場合にも拡張できる。純戦略 Ri の利得 fi が個体群の状態に依存している、正確に
言うと、fi が個体群の戦略 Ri の頻度 mj の関数であると仮定する。個体群の戦略混合は、SN に属
す点 m で与えられる p 戦略家は確率 pi で Ri をプレイするから、その利得は Σpi fi (m) = p・f (m)
で与えられる。p̂ は、p̂ のある近傍の全ての q ≠p̂ に対して p̂・ f (q) ＞ q ・ f (q) が成り立つとき、
局所的 ESS であると呼ばれる。
（※文責: 諏訪翔大）
4.6
4.6.1
レプリケーター方程式
レプリケーター力学系
あるプレーヤーの集団があって、そこで n 個の純粋戦略が用いられている状況を考える。戦略 i
を採用しているプレーヤーの数を pi 、戦略を i を採用しているプレーヤーの全体に占めるシェア
を xi 、戦略のシェア分布を示すベクトルを x = (x1 , x2 , ..., xn ) として、xi の時間変化をしめす微
分方程式を求めてみる。まず、pi の（内的自然）増加率を λi とする。すなわち
ṗi = λi pi
とします。このとき、λi が時間的に一定であるならば、
pi (t) = pi (0)・exp(λi t)
となり、pi は指数関数的に増加（減少）することになる。ここで λi を、戦略に無関係な成分と戦
略に依存する成分に分解する。戦略に無関係な成分をλ、戦略 i に依存する成分を fi と書く。ui
は一般に集団の戦略分布 x にも依存するので fi (x) と書くことができる。このとき pi の支配方程
式は
ṗi = (λ + fi (x))pi
(4.21)
となる。この式に登場する fi (x) が、進化ゲーム理論における戦略の「利得」になる。すなわち、
進化ゲームにおける利得とは、戦略の採用人数の時間増加率（のバックグラウンドからの増減）を
示す概念になる。これを、通常のゲーム理論におけるフォンノイマン・モルゲンシュテルン効用と
区別して、＜進化ゲーム利得＞と呼ぶ。(4.21) 式が進化ゲーム利得の定義式である。以下では単に
得という場合には、この進化ゲーム利得を指すものとする。進化ゲーム利得と、フォンノイマン・
モルゲンシュテルン効用との関係が問題になるところだが、この問題はのちに考察することにし
て、ここでは、以上のように利得を定義した時に、戦略 i の頻度の変化率 ẋi がどうなるかを考え
てみる。p を、集団の人数（Σ pi ）とすると、
xi =
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pi
p
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と書ける。これより pi = xi p 両辺を t で微分して ṗi = ẋi・p + xi・ṗ これを移項して、
ẋi・p = ṗi − xi・ṗ
(4.22)
ṗ = Σṗi = Σ (λ + fi (x))pi = λ p ＋Σ fi (x)pi
(4.23)
ここで
(4.23) と (4.21) を (4.22) に代入すると
ẋi・p = (λ + fi (x))pi − xi (λ p + Σ fi (x)pi ) = λ pi + fi (x)pi − xi λ p − xi Σ fi (x)pi
両辺を p で割って
ẋi = λ xi + fi (x)xi − λ xi − xi Σ fi (x)xi = fi (x)xi − xi Σ fi (x)xi
Σ ui (x)xi は、集団の平均利得なのでこれを u(x) と書くことにすると
ẋi = (fi (x) − f (x))xi
(4.24)
という微分方程式が得られる。これがレプリケーターダイナミクスの支配方程式で、(4.24) 式に従
うダイナミクスをレプリケーターダイナミクスという。(4.24) 式は、平均より利得の高い戦略は、
そのシェアが増加することを示している。進化ゲームにおける利得は、戦略の増加率（再生産効
率）の大小を意味するので、
「良く増える戦略ほど（そのシェアが）よく増える」ことが分かる。ま
た、(4.21) 式で定義された進化ゲーム利得を用いると、シェアの増加率が平均利得からの偏差に比
例するというきれいな結果が得られる。次の式の商の法則について考える
(
xi
xi
) = ( )(fi (x) − fj (x)
xj
xj
関数Ψ：Si → R を全ての fi に付け加えても Sn 上の方程式 (4) には影響を与えない。事実、
gi (x) = fi (x) + Ψ(x)
と単体 Sn 上で置くと、
ｇ̄(x) = Σ xi gi (x) = f¯(x) ＋Ψ(x)
となり、全ての x ⊆ Sn と全ての i に対して、
gi (x) − ḡ(x) = fi (x) − f¯(x) となる
(4.25)
この fi が線形の場合、このとき n × n 行列 A = (ai j) で fi (x) = (Ax)i を満たすものが存在す
る。このとき、方程式 (4.24) は、
ẋi = xi ((Ax)i − x・Ax) となる。
intSn における (4.25) の休止点は
(Ax)1 = ・・・ = (Ax)n
x1 +・・・+ xn = 1
の xi ＞ 0 を満たす解であり、これもレプリケーター方程式となる。このようにレプリケーターダ
イナミクスは微分方程式系であらわされますので、その挙動を分析するには、定常点（静止点）を
求めて局所安定性解析、という方法が有効である。レプリケーターダイナミクスを局所安定性解析
すると ESS （進化的に安定な戦略）を求めることができる。
（※文責: 諏訪翔大）
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- 23 -
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4.6.2
ナッシュ均衡と進化的安定状態
まず前提として、ナッシュ均衡の説明をする。戦略 X を採用している母集団に戦略 Y を採用し
ている個体が侵略してくるとする。その母集団内でゲームを行い、得点が高い個体が生き残るとす
る。戦略 X が ESS とは、X 以外の、いかなる戦略 Y によっても侵略されないということである。
プレーヤーが、とる戦略を選択・変更できる場合、もとの母集団は戦略 Y に切り替えていくこと
になるだろう。そうなると多くの場合、戦略 Y を取る方の得点は低くなり、結局は戦略 X と戦略
Y がある割合を取って釣り合うこととなる。ESS は、たまたま発生する侵略的戦略に対しては安
定であるが、大挙して来襲する侵略者に対しては安定とは限らない。戦略 X が ESS であるとは、
以下の二条件を満たすことである。X 以外の、任意の戦略 Y に対して、
• 1.E(X,X) ≦ E(Y,X)
• 2.E(X,X) = E(Y,X) ∼ E(X,Y) ＞ E(Y,Y)
ここで、E(i, j) とは戦略 i が戦略 j と対戦した場合の i の得点である。これはナッシュ均衡と密接
に関係している。ESS は、対称ナッシュ均衡（自分も相手も同じ戦略を取っているナッシュ均衡）
を構成する戦略の部分集合である。それは、1. の条件から明らかである。ある個体群に属する個体
がみな進化的に安定な戦略を採用している時、それを進化的に安定な状態 (evolutionarily stable
state) と呼ぶ。このとき採られる進化的に安定な戦略は一つとは限らず、複数の戦略が同時に存在
して進化的に安定な状態を構成するとき、それらの戦略を混合 ESS と呼ぶ。レプリケーター力学
系をゲーム理論を用いて理解する問題に戻る。純戦略 R1 ∼Rn と、N × N 行列 U で与えられる
利得関数で構成される標準ゲームを考える。戦略 Sn 上の点で定義される。従って、タイプ E1 か
ら En は p1 ,・・・, pn ⊆ Sn に対応する個体群の状態は、それらの頻度 x1 ∼xn 、すなわち x ⊆ Sn
で定義される。(相手が戦略 pi をとる場合の pi 戦略家の利得) ai j = pi・U pi を用いて、タイプ Ei
の適応度 fi (x) は、
fi (x) =
∑
ai jxi = (Ax)i
j
で与えられるため、ここでのレプリケーター方程式は (4.25) になる。N と n は無関係の数字である
が、純戦略 R1 から Rn , Sn の点および N × N の利得行列 U が、プレイヤーのタイプ E1 ∼En ,Sn
の点および、n × n 適応度行列 A と対応している。特に x̂⊆ Sn は全ての x ⊆ Sn に対して、
x・Ax̂≦x̂・Ax̂
であるときはナッシュ均衡であり、x̂ の近傍に属する全ての x ≠x̂ に対して、
x̂・Ax > x・Ax
となるなら、ESS であると呼べる。
（※文責: 諏訪翔大）
4.6.3
レプリケーター力学とロトカ・ヴォルテラ方程式
レプリケーター方程式は、コンパクト集合 Sn 上で３次方程式であり、一方ロトカ・ヴォルテ
n
で２次方程式である。この n 変数のレプリケーター方程式は、(n − 1) 変数、
ラ方程式は、R＋
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y1 ,・・・・, yn−1 のロトカ・ヴォルテラ方程式と同値を取る。
ẋ = xi ((Ax)i − x・Ax)
(4.26)
の軌道を、ロトカ・ヴォルテラ方程式
ẏ = yi (ri +
n−1
∑
a′ij yj )(i = 1,・・・, n − 1)
(4.27)
j=1
n−1
の軌道へと対応づける。Ŝn = x ⊆ Sn : xn ＞ 0 から R＋
へ微分可能で可逆な写像が存在する。
ここで ri = ain − ann 、a′ij = aij − anj である。yn ≡ 1 とし変換 y → x
yi
xi = ∑n
j=1
yi
(i = 1,・・・, n)
n
を考えるこれは y ⊆ R＋
: yn = 1 を Ŝn へ写像する。逆変換 x → y は
yi =
yi
xi
=
(i = 1,・・・, n)
yn
xn
で与えられる。n 変数のレプリケーター方程式 (4.26) を考える。n × n 行列 A = (aij ) の第 n 行
は、成分がすべて 0 であると仮定する。(4.25) より
ẏi = (
xi
xi
) = ( )[(Ax)i − (Ax)n ]
xn
xn
となり、(Ax)n = 0 より
ẏi = yi (
n
∑
aij xj ) = yi (
j=1
n
∑
aij yj )
j=1
速度変化を無視して、項 xn を除去する。yn = 1 であるから
ẏ = yi (ain +
n−1
∑
aij yj )
j=1
が得られ、(ri = ain とすれば)、(4.27) となる。逆に、(4.27) から (4.26) を求めることもできる。
従って、ロトカ・ヴォルテラ方程式は、レプリケーター方程式に移すことができ、逆も同じことが
できる。性質によっては、一方の方程式で証明することが容易であり、ESS との関係も成り立つ。
（※文責: 諏訪翔大）
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第 5 章 言語の進化
今までやってきたことの応用として、進化ゲームの中から「言語の進化」について取り上げ学ぶ
こととした。
5.1
形式言語理論
言語はコミュニケーション様式の１つであり、ヒトの行動の重大な部分であり、さらに我々が社
会的に何者であるかを決める文化的対象でもある。言語には式的な分析が可能な基本的側面があ
る。すなわち言語学上の構造は、ある規則に従ってグループ化された小さな構成単位から構成され
る。小さな構成単位を組み合わせて並べて大きな構造を作ることは、いくつかの異なるレベルで行
われている。音素は音節や単語をなし、単語が句や文をなす。このようなグループ化の規則は、好
きなように決められるというものではない。
個々の言語がそれぞれ固有の規則をもつ。ある単語の順番はある言語では認められるが、別の言語
では認められない。いくつかの言語では、単語の順番は比較的自由であるが、そのかわりに名詞の
格（主格、目的語など）を示す記号がはっきりしている。どの言語にも独特の規則が存在し、正し
いもしくは妥当で意義ある言語学的構造をもたらす。近年の言語学の理論の多くは、この視点から
研究をすすめている。形式言語理論と呼ばれる≠あるいは計算機科学の領域は、このような現象を
取り扱う数学的方法を提供している。
形式言語理論は、言語の基本的側面を表現することを試みた数学的アプローチである。ある有限の
数のシンボルの集合として「アルファベット」を定義することから始めよう。自然言語に対して、
アルファベットはその言語の音素すべての集合でもよいし、すべての単語の集合としてもよい。こ
れら２つの選択によって異なる２つのレベルの形式言語が得られるが、数学的原理は同じである。
一般性を失うことなく２値アルファベット [0.1] を用いることができる。というのも、実際のアル
ファベットを２進符号で表せばよいからだ。
「 文 」と は シ ン ボ ル の 有 限 列 で あ る 。２ 進 ア ル フ ァ ベ ッ ト で 表 し た す べ て の 文 の 集 合 は
[0,1,00,01,10,000,...] となる。整数と同じ無限の数の文がある。このことから、すべての文の集合
は「可算」であるといえる。
言語は文の集合で指定される。すべての可能な文のうち、ある文はその言語に含まれるが別の文は
そうではない。有限言語は有限の数からなる。一方、無限言語は無限の数から文からなる。有限言
語は整数と同じだけ無限に存在する。つまり有限言語の集合は可算である。無限言語は実数と同じ
だけ無限に存在する。それゆえに、すべての言語の集合は非可算である。すべての文法の集合は加
算なので、これは記憶するのに値する重要な事実である。したがって文法の総数よりはるかに多い
数の言語が存在する。
以下の３つの文からなる有限言語の例である。
L=｛0,00,111｝(5.1)
以下は無限言語の例である。
L=0,01,011,0111,01111,....(5.2)
この言語は１個の０から始まり、任意の数の１が続く文からなる。この言語を以下のような形式で
書くこともできる。
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L = 01n (5.3)
ここで 1n はｎ個の１の列を表す。ｎは任意の非負の整数である。
「文法」とは言語を指定する有限個の規則のリストのことである。文法は書き換え規則によって
表現される。ここで書き換え規則とは、ある記号列を別の記号列で書き換えるという規則のことで
ある。ここでの記号列は「終端記号」と「非終端記号」を含む．終端記号はアルファベットの要素
である。非終端記号は後で他の記号列に書き換えられる仮の状態である。書き換え規則を繰り返し
て適用した後、終端記号だけを含んだ最終的な記号列が得られる。
簡単な文法の例として
S → 0A
A → 1A
(5.4)
A →ε
を考えよう。非終端記号は S と A である。終端記号は 0 と 1 である。空単語εもあり、これは何
も無いことを表す。どの文も S から開始する。最初の規則によって S が記号列 0A に書き換えら
れる。残りの２つの規則によって A は 1A か空単語εに書き換えられる。この文法を使っていく
つか文を作ってみると
S → 0A → 0
S → 0A → 01A → 01
(5.5)
S → 0A → 01A → 011A → 011
のようになる。この文法が作る言語が
L = 01n (5.6) であることは明らかであろう。この言語は１つので始まり、任意の数のが続く。
（※文責: 諏訪翔大）
5.2
有限状態文法
文法 (5.4) は有限状態文法の一例である。書き換え規則は次のような形式になる必要。左辺の 1
個の非終端記号、右辺の 1 個の終端記号あるいは 1 個の終端記号とそれに続く 1 個の非終端記号
に書き換えられる。有限状態文法は有限オートマトンで表現できる。
有限オートマトンは開始状態と有限個の中間状態最終状態からなる。機械が１つの状態から別の状
態へ動く際、１つの終端記号を出力する。開始状態状態から最終状態へ移動する間に文が１つ出力
される。開始状態から最終状態へはいろいろな道筋あるので、出力される文も多様になる。もし有
限オートマトンが１つでもループを持てば、作られる言語無限言語となる。
（※文責: 諏訪翔大）
5.3
文脈自由文法
以下のような言語を考えてみよう。
L = 0n 1n (5.7)
この言語で生じる文は、０の列の後に１の列が続き、それらの列の長さが等しくなっている。有限
状態文法では、この言語を生じさせることができないことが証明されている。有限状態文法は数え
上げができないからである。すなわち任意のｎに対して L = 0n のあとに L = 1n を続け」させる
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ようにはできないのである。しかし、以下の「文脈自由」文法
S → 0S1
(5.8)
S →ε
だとそれができる。文をいくつか作ってみよう。
S →ε
S → 0S1 → 01
(5.9)
S → 0S1 → 00S11 → 0011
文脈自由文法は次のような形式の書き換え規則を許す。左辺に書かれた１つの非終端記号、右辺に
ある任意の記号列に書き換わる。文脈自由文法はプッシュダウンオートマトンによって実行でき
る。プッシュダウンオートマトンとは、１つのメモリースタック（半無限長のテープからなるメモ
リーで最上位のレジスターにだけアクセス可能なもの）を計算機である。
（※文責: 諏訪翔大）
5.4
文脈依存文法
文脈依存文法でも生成できない言語が存在する．アルファベット [0,1,2] と言語
L = 0n 1n 2[ n](5.10)
を考えてみよう。この言語は以下の文法作成できる。この文法は文脈自由ではない．最後の 2 つは
文脈自由文法の制限を破っている。なぜなら左辺が 1 つの非終端記号でないからである。実際、言
語 L = 0n 1n 2[ n] を生成する文脈自由文法は存在しないことが証明されている。文法 (5.11) は文脈
依存と呼ばれる。文脈自由文法は、ある記号列の文脈の中で非終端記号が一定の方法で書き換えら
れるという規則をもつ。もっと正確にいえば、文脈自由文法は
α A β→αγβ
(5.12)
という形式の規則を許す。ここで A は非終端記号であり、α、β、γは非終端記号や終端記号か
らなる記号列である。αやβは空単語でもよいが、γは空単語であってはならない。つまり右辺の
記号列は少なくとも左辺の記号列より同じか長くないといけない。文脈自由文法 (5.11) を用いた
文の導出例を見ておこう。
S → 012
S → 0AS2 → 0A0122 → 00A122 → 001122
(5.12)
S → 0AS2 → 0A0AS22 → 0A0A01222 → 00AA01222 → 00A0A1222 → 000AA1222 →
000A11222 → 000111222
文脈依存文法によって得られるすべての言語の集合は、いわゆる決定可能な言語の部分集合をな
す。決定可能な言語では、終端記号の列を入力したとき、その記号列がこの言語の正しい文である
かどうかをいつでも計算できる Turing マシンが存在する。このような場合、Turing マシンはあら
ゆる記号列について、それが文法に適っているかを判断できる。 Turing マシンは一般的な計算
機のモデルである。それはデータを読み書きするヘッドと無限のテープからなる。テープの各場所
には０か１の値が記憶されている。ヘッドは有限オートマトンである。計算の各ステップで、ヘッ
ドはテープの位置を読み込んで右か左に 1 個分移動する。ヘッドはその位置に新たな値を書き込む
ことができる。Turing マシンは、無限のメモリーをもつデジタルコンピュータの理論的概念を体
現したものである。
（※文責: 諏訪翔大）
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5.5
句構造文法
句構造文法は，制限の無い書き換え規則
(5.14)
α→β
をもつ。ここでαもβも終端記号と非終端記号からなる有限の記号列を表す。 句構造文法は計算
可能な言語の集合をなす。計算可能な言語では、言語内の全ての文を正しいと確認できる Turing
マシンが存在する．しかしもし Turing マシンがその言語に属さない文を入力として受け取ったな
ら、計算は永遠に続いてしまうかもしれない。したがって Turing マシンによって与えられた記号
列が、言語の部分であるかどうかを判断することは原理的に不可能である。なぜなら計算が永遠に
停止しない可能性があるからだ。
句構造文法は Turing 完全である。すなわちある Turing マシンには対応する句構造文法が存在す
るし、逆にある句構造文法には対応する Turing マシンが存在する。それゆえに、句構造文法は、
無限のメモリーをもつあらゆるデジタルコンピュータからなる集合と同じくらい強力である。
決定可能でない計算可能な言語の例を作ってみよう。Turing マシンの集合は数え上げることがで
きることに注意しよう。Turing マシンは文法と同じ数だけ存在する。一方、文法は整数と同じ数
だけ存在する。M を Turing マシンに対応する整数とし、ωを 2 値入力記号列とする。Turing マ
シン M が入力ωを受諾するようなすべてのペア（M、ω）からなる言語 L
L=(M、ω)
(5.15)
を考えよう。
M がωをどう受諾するかどうかを計算できる Turing マシンは存在しない。その代わりにωを入力
して M の計算を走らせて何が起こるか見てみる。もし計算が停止すれば、M はωを受諾したこと
になる。しかし、計算が停止しないときは何もわからない。これは Turing の停止問題と関係があ
る。しかしながら、停止するすべてのペア（M、ω）を列挙していく計算は明らかに存在する。し
たがって L=(M、ω) は計算可能なのである。このように決定不可能だが計算可能な言語のことを
半決定可能と呼ぶ。この場合、文法的な文を網羅することができる。
（※文責: 諏訪翔大）
5.6
chomsky と Godel
言語と文法とマシンの間には美しい対応関係がある。いま見たように、すべての文法の集合は無
限のメモリーをもつデジタル計算機の集合と対応づけられ、計算可能な言語の集合を生成する。こ
の集合の中のほとんどすべて言語は、半決定可能であるが決定可能ではない。決定可能な言語は、
計算可能な言語のなかの小さな部分集合にすぎない。それゆえにほとんどの言語は、Turing マシ
ンによっては決定できない文法を持つ。
決定可能な言語のある部分集合が、文脈依存文法によって生成される。文脈依存言語のある部分集
合が、文脈自由文法によって生成できる。文脈自由言語のある部分集合はすべての正規言語を含
む。正規言語のある部分集合はすべての有限言語を含む。
このような文法間の包含関係は、Chomsky 階層と呼ばれる。これはヒトの言語の研究に数学的厳
密性を導入した言語学者 Noma Chomsky に因んでいる。文法規則やその関係を形式的離散体系と
して表現するには、さまざまな異なったやり方がある。しかし、すべての文法規則は Chomsky 階
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層のどこかに属している。Chomsky 階層は計算機科学、数理論理学、形式言語学のまさに基盤を
なしている。
数学における問題は、ある文がある言語に属するか否かを問うことと等価である。というのも、数
学の定理は文であり、定理の証明は、文法の書き換え規則を繰り返し用いることでその文を得るこ
とに他ならない。その書き換え規則が、その形式体系における公理である。
形式言語理論と Godel の不完全性定理には興味深い関連がある。整形式の算術式をすべて含む言
語を考えることができる。整形式の算術式の例を挙げると
3+5=7
8/2=3
(5.16)
(1+4)*3=15
がある。これらは確かに算術式だが、最初の２つは間違っていて３番目だけが正しい。整形式でな
い算術式とは
3+ =4
(13.17)
(2+6=)/3
のようなものである。すべての整形式の算術式からなる言語は文脈自由言語によって生成できるこ
とが分かってる。しかし、Godel は、すべての正しい算術式からなる言語は、文法をもたないこと
を証明した。初めて公表された Godel の不完全性定理によれば、数学を言語とみたとき、それは計
算不可能である。
（※文責: 諏訪翔大）
5.7
自然言語の位置
Chomsky 階層が導入された今、自然言語がこの枠組みのどこに位置してるのかに興味がもたれ
た。自然言語は無限言語であり、すべての英語の文を並べた有限りすとは考えられないからであ
る。さらに有限状態文法は、自然言語となるには不適格である。自然言語を表すのに文脈自由文法
で十分なのかそれとももっと複雑な文法が必要かについては、現在もまだ議論が続いている。ほと
んどの言語学者は、ヒトの言語はおだやかな文脈依存言語だと主張している。すなわち文脈依存な
書き換え規則が必要だが、文脈依存文法の書き換え規則のすべての能力を必要とするわけではな
い。自然言語の基礎知識は木である。ノードは句を表し、句は他のいくつかの句から構成されると
いう再帰的な構造を持つ。木は、特定の文法のルール系の中である文を導きだす過程である。ある
文の解釈は、根底にある木構造に依存する。１つの文に２つ以上の木が対応できる場合には、文の
解釈に曖昧さが生じる。ある言語の文法とは、どの木がその言語に受け入れられるかどうかを直接
決めるものと定義することもできる。木で定義された文法のあるクラスは、おだやかに文脈依存す
る言語に対応し、それは自然言語の構文を表すのに丁度良い強さをもっているように思える。
（※文責: 諏訪翔大）
5.8
学習理論
学習とは帰納的推理のことである。学習者はデータを与えられ、そのデータを生み出した規則を
推理しなくてはならない。「学習」と「記憶」との違いは、初めての環境においてそれまでに経験
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してきたことを般化できるかどうかである。言語関連していえば、子供は般化によって初めて聞く
文に対してもその意味を推理することができる。学習理論とは般化が成功する条件をあきらかにす
ることを目標として学習の数理を記述するものである。
（※文責: 諏訪翔大）
5.9
言語の進化
n 通りの候補条件
G1 , ..., Gn
(5.17)
からなる探索空間をもつ学習者を考える。それぞれの文法 Gi は正しい文の集合を定義する規則シ
ステムである。さらに Gi はすべての文の集合に測度 µi を与えている。この測度は、文法 Gi と矛
盾しないすべての文の上に正の測度をもつ。それ以外の文に対して測度は０である。２通りの文法
Gi と Gj を考える。共通の文の集合は積集合 Gi
∩
Gj で与えられる。文法 Gi を使う話者が文法
Gj でも使われる分をつくる確率は
∩
aij = µi (Gi Gj )
(5.18)
で与えられる。これは、Gi と Gj に共通な文の集合について文法 Gi がもたらす確率分布による重
みである。これに対し、文法 Gj を用いる話者が、文法 Gi と矛盾のない文をつくる確率は
aij = µi (Gi
∪
Gj )
(5.19)
となる。ただし aij が aji と同じとは限らない。文法 Gi をつかう話者が同じ文法 Gi の他の人に
理解できる文を作成する確率は、
aii = µi (Gi ) = 1
(5.20)
である。行列 A = aij はｎ通りの文法の間の相互関係を表現している。0 ≤ aij ≤ 1 と aii = 1 が
成り立っている。行列 A は必ずしも対称ではない。
相互理解が実現すると報酬がもたらされると仮定する。Gi を使う人が Gj を使う人とコミュニ
ケーションすることに対して得られる利得は
F (Gi , Gj ) = 12 (aij + aji )
(5.21)
と与えられる。
これは Gi から作られた文が Gj で解釈できる確率と Gj からつくられた文が Gi で解釈できる確率
の平均値である。F (Gi , G1 = 1) である。
（※文責: 諏訪翔大）
5.10
レプリケータ・ミューテータ方程式
文法 Gi を用いる人の割合を xi とおく。この人の平均利得は
→
fi ( −
x)=
∑n
j=1
xj F (Gi , Gj )
(5.22)
であたえられる。この利得は繁殖成功度に換算されるものとする。つまり高い利得をもつ人はより
多くの子孫を残す。ここで繁殖が意味するものは、遺伝子でも文化的でも良い。
学習過程で間違いが生じることを考える。文法 Gi 使う親から子が間違って文法 Gj を学習してし
まう確率を Qij とおくと、Q は明らかに確率行列である。これらの仮定により集団のダイナミク
スは
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∑n
→
ẋi = j=1 xj fj (−
x )Qji − φ xi
i = 1, ..., n
(5.23)
∑
と与えられる。ここで、φ = i xi fi は平均適応度、つまり集団の文法的首尾一貫性である。こ
れは、ある 1 人が話した文が他の 1 人に理解できる確率である。集団の総人数は一定と仮定して
∑
i
xi = 1 とおく。
式（5.23）はレプリケータ・ミューテータ方程式である。この方程式の特殊な場合として、擬種
の方程式やレプリケータ方程式が出てくる。完全学習の極限では Q が単位行列となり、対角成分
が 1 で非対角成分が 0 となってレプリケータ方程式が得られる。
aij = 1 と 0 ≤ aij ≤ 1 が成り立つ行列 A に対して、式（5.23）は多数の安定平衡状態や不安定平
衡状態を持つかもしれない。Q が単位行列の場合は間違いのない学習であり、ｎ個の非対称な平衡
状態（xi = 1 であり j ̸= i に対して xj = 0）が存在する。これらの平衡状態は漸近安定である。こ
れらの解は、集団すべての人が同じ文法を用いてる状況に対応している。これに対して高いエラー
率を持つ場合、安定な平衡状態はただ 1 つで、すべての文法が同じような確率で用いられている状
況に対応している。ここで、ほとんどの人が同じ文法を用いるには、学習過程がどれくらい正確で
なければならないかという問題について考えてみる。
（※文責: 高本佑樹）
新しい規則の進化
5.11
新しい規則の進化について検討する。すべての人が同じ言語を話す集団を考える。ある新しい言
語が現れ、それを使うと 2 人のコミュニケーションを行ったときの適応度が [s] あがるとする。そ
れを使うと、言語運用力や言語の効率改善がされる。それを知らない人も、それらを学ぼうとする
ことにし、正しく学べる確率を [q] とする。
新しい特徴を使う人を [x]、残った人を [y] とする。[x] や [y] の個体の文化的適応度と生物学的適
応度はそれぞれ
fx = 1 + sx かつ fy = 1
(5.24)
となる。集団の適応度は
φ = xfx + (1 − x)fy = 1 + sx2
(5.25)
となる。これにより進化ダイナミクスは以下になる。
ẋ = fx qx − φ x
ẏ = fx (1 − q)x + fy y − φ y
(5.26)
この微分方程式の解は x=0,y=1 であり、平衡状態は常に存在して安定である。2 番目の平衡状態
は 2 次方程式
sx2 − sqx + 1 − q = 0
(5.27)
の解で与えられる。もし、
√
q > 2(−1 + 1 + s)/s
(5.28)
ならば解は実数であり、[s] が小さい場合、不等式は
q >1−
s
4
(5.29)
と近似できる。この条件は、大きな集団において新しい規則が持続されるのに必要な学習の成功確
率の最小値を決める。
記憶なし学習により新しい規則が習得されると仮定する。データを一般化するにあたって、学習者
は [n] 個の仮定を考えるものとする。新しい規則で作られた文が仮説と矛盾しない確率を [a] とお
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く。よって、学習者が考えた仮設と矛盾し、正しい仮説に移らなければならなくなる確率は (1-a)/n
で与えられる。N 個の例文を受け取っても、矛盾が発生しない確率は [1 − (1 − a)/n]N と表すこ
とができる。よって、正しく学べる確率は
q = 1 − (1 −
1−a N
n )
(5.30)
である。(5.29) と (5.30) をまとめると
N>
n
4
1−a log s
(5.31)
が近似的に得られる。これによりわかったことは、探索空間のサイズ [n] と集団が阿他悪しい言語
の性質を維持するのに必要な例文の数 [N] の間には、線形の関係があるということである。
（※文責: 高本佑樹）
5.12
普遍文法の進化
普遍文法の進化普遍文法の公正に働く淘汰圧をしらべるため、異なる普遍文法間の競争を調べる
まず、同じ探査空間と学習手続きをもつ複数の普遍文法を考える。ここでの違いは、入力した例文
の数 [N] だけとする。この量は、学習した期間の長さに比例する。図から、自然淘汰は N の中間
的な値を導くことがわかる。少ない N では学習が不十分で正しく文法を覚えられず、多い N では
無駄なことまで学んでしまう。このことから、人の言語獲得の時期が限られている理由が説明でき
る。
次に、探査空間のサイズ [n] が異なるが、同じ学習機構と同じ数の例文 [N] をもつ複数の普遍文法
を考える。一般的に、サイズ [n] を減らす方向への淘汰圧がある。[n] が首尾一貫性閾値より小さい
場合のみ、普遍文法によって文法的なコミュニケーションが可能になる。加えて [n] が小さいと、
文法獲得の正確性が高まる。
（※文責: 高本佑樹）
5.13
再帰性の進化
最後に、無限の表現力を持つ規制に基づいた再帰的文法システムが自然淘汰の上で有利になる条
件を調べることとする。無限の表現力を持つものとは反対に、有限の文しか作れない網羅に基づく
文法を想定し、比べてみる。
現在の人間が使っている文法は無限に多くの文型を作ることができる。しかし、情報伝達を目的と
した場合は、有限個の文型が実質重要である。自然淘汰は、無限に長い文を作れるような理論的能
力には有利に働かない。そこで、[M] 通りの異なる文型を用いる集団を考える。[M] は生物学的適
応度の観点で重要な文型の数とする。
集団が M 通りの文型を持続していくために子供たちに教えなければならない例文の数を [N] とす
る。すべての文型が等しく現れるなら、単に N¿M という結果が得られる。
網羅に基づく文法を使う人と、規制に基づく文法を使う人の言語運用力を比べることにする。網羅
的学習者と同じくらいの記憶力を必要とするバッチ学習に対する結果を使うと、言語に含まれる文
型の数 [M] は候補の文型のサイズ n の対数の定数倍を超えていなければならないので
M >
logn
log(1/a)
もしこの条件が満たされれば、規制に基づく文法は網羅に基づく文法より効率的で
あり、より高い適応度をもつこととなる。そうでない場合は、任意の意味に対応する文型を逐一記
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憶するほうが効率的である。そうなった場合、言語は統語論理的レベルでの創造性がまったくない
退屈なコミュニケーションシステムとなってしまう。しかし、規制に基づく文法が淘汰で有利であ
れば、「有限の手段を用いて無限に使用する」という可能性が、副産物として生み出されることと
なる。
（※文責: 高本佑樹）
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第6章
6.1
結果
プロジェクトの結果
結果として、当初に決めていた「言語の進化」と「毒性の進化」のうち、
「言語の進化」のほうし
かできなかった。
「言語の進化」の解析に時間がかかってしまい、「毒性の進化」のほうまで詳しくやることはで
きなかった。できなかったが、一つに絞ったことにより、しっかりと「言語の進化」の解析と、そ
れをわかりやすく伝えることができる視覚化ツールの開発に成功した。
参考にした教科書が、外国の本を和訳したもので、
「言語の進化」と書かれていたが、実際は「進
化」というよりも「言語の移り変わり」と言ったほうが正しいもので、プロジェクトのシステム班
が作り出したツールは、理論班が解析した式をさらに範囲を絞り、どのように言語が移り変わるか
をセルオートマトンで表すものであった。
今回のプロジェクトで理論班が解析したものは、全世界を対象にした言語の移り変わりであった
が、式も複雑で、また、現実味があまりなく、発表には向かないだろうと言う話し合いの元、範囲
を絞り、言語の種類もわかりやすく２種類にした。その数式モデルを理論班で作成、解析をし、シ
ステム班がうまく視覚化ツールを作り出した。
システム班が作り出したツールは、ルールを説明すれば誰でも簡単に理解できるものであり、発
表の際にも聞きに来てくれた方々にわかりやすく伝えることもでき、視覚化してあるということか
ら、式だけの発表であった前期よりも、理解し質問してくれた方々も多かったように感じました。
プロジェクト内の最初の目標でもあった、高校生等に「進化ゲーム」という未知の学問に興味
を持ってもらい、少しでも理解してもらおう。という目標にも到達できたのではないかと感じま
した。
実際に、最終発表を聞きに来てくれた高校生もいましたが、やはり視覚で伝えられたのがよかっ
たのか、興味を持ってもらうこともできました。このプロジェクトが始まった当初は、プロジェク
ト内のメンバーも「進化ゲーム」というものがよくわかっておらず、また前期の発表の評価もあま
り良いものではありませんでした。
その失敗を生かし、後期ではアンケートなどでも、前期とは違い、とてもよく評価をしてくれ
た方々が多かったです。評価はとても良かったのですが、何人かの先生から悪い点も指摘されま
した。
例としては、
(1) 教科書のモデルを使用したのですが、その式は正しいと証明はしたのか？
(2) もっと多種多様な言語で資格化ツールを動かしたらどうなるのか？
等といった、自分たちでは気づかなかった点も指摘されました。他にも細かな点を指摘はされまし
たが、大きく残っているのはこの２つでした。反省点もありましたが、やはり全体的に見れば、前
期と比べるまでもなくかなり良くなっていたのではないかと思いました。
前期の発表で学んだ
(1) 式だけを見せ続けられ、何が言いたいのかよくわからない
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(2) 口頭で式の説明をするばかりで、だんだん内容がわからなくなる。
等といった点は、最終発表では改善され、それはアンケートにもしっかりとでていたので、とても
よかったと思います。
（※文責: 高本佑樹）
6.2
成果の評価
前述したとおり、自分たちの立てた目標はかなり達成できたように感じました。「言語の進化」
と「毒性の進化」の２つをやる予定だったのを、一つに絞ったことも、結果としてはよかったので
はないのかと思います。
担当教員の川越先生が前期から言っていた、ipad で動かせる視覚化ツールを作り出せたことが、
自分たちで満足できた最大の理由であるように感じます。このプロジェクトが始まった当初、先生
が目標は大きく持っていこうと、ipad でのツール作成を提案し、始まったのですが、ipad でツー
ルを動かすとなると問題も多く、最初期には、ネットに接続もできない状況でした。
そうした多くの問題を乗り越え、最終発表を聞きに来てくれた方々に、ipad を見せて回れたの
は、プロジェクトメンバーの自信にもなったのではないかと感じました。セルオートマトンのルー
ル自体は、なかなか単純なものですが、このプロジェクトの趣旨を説明するにはとてもわかりやす
い物ができあがったと思います。
ポスターやスライドについても、前期で言われたことなどを参考にメンバーで話し合い作りま
した。
主に言われたこととしては
(1) １枚にグラフと式がぎっしり書き込まれており、どのようなプロジェクトなのか把握しづらい。
(2) こんなにぎっしり書くくらいなら、枚数を増やしたほうがいい。
(3) スライドに難しいこと書くくらいなら、ポスターに書いていてほしかった。
と書かれたアンケートを参考にし、最終発表ではグラフのポスター、数式モデルのポスター、「言
語の進化」についての説明のポスターと、余裕を持たせながらつくりました。
前期は、数学に興味のある方等はしっかりと見てくれましたが、大体の人はあまりしっかりとポ
スターを見てくれることはありませんでしたが、後期は、わかりやすいポスターに加え、隣に ipad
の視覚化ツールを置いておくことにより、興味を持ってくれた方も増え、前期よりはしっかりと見
てくれていたと思います。
発表の際に使用したスライドも、なるべく難しい数式などは使わず、スライドを見ただけでもあ
る程度言いたいことが伝わるよう、絵を使いわかりやすく状況を説明しました。
当初の目標通り、コンセプトとしては少しでも多くの人に「ゲーム理論」を理解してもらい、興
味を持っていただくということであり、その際に高校生等にでも、なるべくわかりやすく説明でき
るようにということでしたので、絵を使い、少し発表では説明しづらく、また口頭で説明したとし
ても、イメージしづらいのでは？と思われる事柄をポスターに詳しく書くことによって、ポスター
で理解できなかったことも、発表ではわかりやすくイメージできた。逆に発表では少し浅いかな？
といったところも、ポスターを見ればしっかりと書いてある。といったことも言っていただき、前
期よりは確実に成功したのではないかと思います。
また、発表態度のことですが、前期は目の前でやっていたイカロボットプロジェクトに声で負け
ていて、何を言っているか聞き取りづらい、後ろで聞いていた人に至っては、何を言っているのか
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まるで聞こえない。と、かなり残念な思いをしました。
後期もまた、イカロボットプロジェクトが隣で発表をするということになったのですが、前期で
メンバー一同反省し、しっかりと聞きに来てくださった方々が聞き取りやすいようハキハキとしゃ
べろうと、発表前からしっかりと話し合いました。
その結果、前期ではかなりのアンケートで声のことについて書かれていましたが、後期ではそう
いった内容の書き込みはほとんど見られませんでした。
前期の反省を生かし、しっかりと後期の最終発表に繋げられたのではないかとメンバー一同手ご
たえを掴むことができてよかったと思います。
（※文責: 高本佑樹）
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第 7 章 今後の課題と展望
今後このプロジェクトが続くのであれば、来年やる人たちにはぜひ自分たちが時間がなくて着手
できなかった「毒性の進化」について学び、発表してほしいと思います。
Martin A. Nowak の『進化のダイナミクス』という教科書にある内容は、どれもとても楽しそ
うでしたが、できれば自分たちがやりたくてできなかったことについてやってほしいと思います
し、その発表はぜひ聞いてみたいと思います。
それと、システム班が開発した「言語の進化」を視覚化したツールを、さらに改良して、多種多
様な言語の進化の様子を見れるようなツールも見てみたいと思います。
個人的には、様々な言語は入り乱れるが、最終的には同じ色の巨大なクラスタがいくつも出来上
がると思います。今の世界がそうであるように、同じ言語を話す人同士で固まるのではないかと考
えますが、もしかしたら違った結果が出るかもしれません。ならなぜそうなったのかといった説明
をわかりやすくしてもらえると、一度取り組んだ自分たちならば、また他の人とは違った見かたが
できて楽しめるのではないかと思います。
自分たちの活動の中で残ってしまった課題、
(1) 数式モデルの完全な理解
(2) 多種多様な言語の進化を表す視覚化ツールの開発
といったものがあります。
これらに触れてくれても、触れてくれなくても構いません。あの教科書の内容に興味を見出し、
研究してくれる人がいるならば、来年は閲覧者として見てみたいとおもいます。
それと、教員の方から言われた、数式モデルが本当に正しいのか？教科書に載っているからと
いって証明もせず正しいといえるのか？という意見がありました。
まさにその通りで、式の証明まで考えがいかなかったのが最大の課題かもしれません。
今後、このような状況が訪れた場合は、しっかりと自分で理解し、それが正しいと裏づけが取れ
るまでやっていかなければならないと強く思いました。
後もう一点、このプロジェクトは高校生などにもこの学問を理解してもらえるようにという目標
がありましたが、高校生などが聞く機会を得れたのが、最終発表だけという結果になってしまいま
した。これは大いに反省すべき点で、しっかりと高校生だけが聞ける場や、未来大生以外の人たち
が集まって聞ける機会を設けなかったことは、高校生などが聞いても理解できるような発表かどう
かを完全に証明するものではありませんでした。
今後は、そういった場を設け、しっかりと数学に興味のない方たちでも、楽しめて、興味を持っ
てもらうような発表をし、この「ゲーム理論」に触れ合ってもらえるようにしていきたいと思いま
した。
（※文責: 高本佑樹）
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付録 A
新規習得技術
• Adobe Illustrator CS5
ポスター制作のために利用した
• TeX
報告書作成のために利用した
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付録 B 活用した講義
• 解析学 I,II
• 線形代数学 I,II
• 微分方程式
• 複素関数論
• 非線形力学
• ベクトル解析
• 実験経済学 I,II
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付録 C
相互評価
金村康佑
プロジェクトリーダーとして色々と大変になったと思うけど頑張っていた。
吉岡俊哉
グループリーダーとして皆の意見を聞き、皆をまとめたりして、とても頑張っていたと思う。積極
的な姿勢が印象として強かった。
高本佑樹
最終発表では声を大きく出していてよかったと思う。何か調べる際には率先して調べ作業をしてい
てよかったと思う。
諏訪翔大
積極的な姿勢で取り組んでいた。
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付録 D 最終発表のまとめ
発表技術 平均評価 6.0
発表内容 平均評価 6.4
D.1
発表技術について
• 声を出している人と出していない人とがいて、声を出していない人が目立っていた。
• 他の発表に押されているイメージがあり、声が小さいという意見が多かった。
• 学習してきたことを理解する為の情報が少なく、難しい用語の説明を工夫すべき。
• 発表資料や原稿を見過ぎている。
D.2
発表内容について
• シミュレーションを行っていてよかったが、そのシミュレーションの動作が速く、どのよう
に動いているのかわからなかった。
• 全体的に説明が不十分で、これからやっていくこと、また、このプロジェクトの対象が誰な
のかが曖昧だった。
• このプロジェクトにおけるオリジナリティが何なのかわからなかった。
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参考文献
[1] Hofbauer J., K. Sigmund, 1998, Evolutionary Games and Population Dynamics, Cambridge
University Press, (竹内康博, 佐藤一憲, 宮崎倫子, 2001, 『進化ゲームと微分方程式』, 現代数
学社).
[2] Martin A. Nowak, 2006, Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life, The
President and Fellows of Harvard University Press, (竹内康博, 佐藤一憲, 巌佐庸, 中岡慎治,
2008, 『進化ゲームのダイナミクス-生命の謎を解き明かす方程式』, 共立社).
[3] 田代嘉宏, 1982, 『微分方程式要論』, 森北出版
[4] 津野義道, 1990, 『経済数学
微分と偏微分』, 培風館
[5] 津野義道, 1990, 『経済数学 線形代数と産業連関論』, 培風館
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