極限・微分 定理と公式Map

極限・微分
定理と公式 Map
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1
数列・関数の極限
定理 1.0.1. lim an = α , lim bn = β のとき、（この前提を忘れないこと）
n→∞
(1)
(2)
(3)
n→∞
lim {pan + qbn } = pα + qβ
n→∞
lim an bn = αβ
n→∞
lim
n→∞
an
\ 0)
= α (β =
bn
β
3
第 1. 数列・関数の極限
定理 1.0.2. lim an = α , lim bn = β のとき、
n→∞
n→∞
(1) an 5 bn ⇒ α 5 β
(2) an 5 cn 5 bn , α = β ⇒ lim cn = α（はさみうちの定理）
n→∞
(3) an 5 bn , lim an = +∞ ⇒ lim bn = +∞
n→∞
n→∞
(4) an 5 bn , lim bn = −∞ ⇒ lim an = −∞
n→∞
n→∞
定理 1.0.3.
lim n = +∞
n→∞

0 (: |r| < 1)



 1 (: r = 1)
lim rn =
n→∞

+∞ (: r > 1)



存在せず (: r 5 −1)
定義 1.0.1. 無限級数
n
∑
∞
∑
an = a1 +a2 +. . .+an +. . . が 収束するとは、部分和Sn =
n=1
ak が収束すること
k=1
定理 1.0.4.
「
∞
∑
an = a1 + a2 + . . . + an + . . . が収束する」⇒ lim an = 0
n→∞
n=1
が成り立ち、したがって、対偶：
\ 0 ⇒「
lim an =
n→∞
∞
∑
an = a1 + a2 + . . . + an + . . . が発散する」
n=1
が成り立つ。
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第 1. 数列・関数の極限
定理 1.0.5.
∞
∑
∞
∑
an = S ,
n=1
bn = T のとき、
n=1
∞
∑
(pan + qbn ) = pS + qT
n=1
∞
∑
定理 1.0.6. 無限等比級数
\ 0) は
arn−1 = a + ar + ar2 + . . . + arn−1 + . . . (a =
n=1
|r| < 1 のとき収束して、
∞
∑
ar n−1
n=1
a
=
1−r
となる。
定理 1.0.7.
lim f (x) = α , lim g(x) = β
x→a
x→b
のとき、
(1) lim {pf (x) + qg(x)} = pα + qβ
x→a
(2) f (x) < g(x) ⇒ α 5 β
(3) f (x) < h(x) < g(x) , α = β ⇒ lim h(x) = α
＜はさみうちの定理＞
x→a
定理 1.0.8.
lim
x→0
sin x
x
=1
系 1.0.1.
lim
x→0
1 − cos x
x2
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=
1
2
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第 1. 数列・関数の極限
{(
)n }
1
は収束し、その極限値を e と名付ける。
定理 1.0.9. 数列
1+
n
(
)n
1
lim 1 +
=e
n→∞
n
系 1.0.2.
(
lim
x→±∞
系 1.0.3.
lim
x→±∞
(
1
1+
x
1
1+
x
)x
=e
)x
1
t
= lim (1 + t) = e
t→0
系 1.0.4.
ex − 1
lim
=1
x→0
x
log(x + 1)
lim
=1
x→0
x
定義 1.0.2.
def
「関数f (x) が x = a で連続」⇔ lim f (x) = f (a)
x→a
定理 1.0.10. f (x) , g(x) がある区間で連続ならば、
αf (x) + βg(x) , f (x)g(x) ,
f (x)
\ 0)
(g(x) =
g(x)
もこの区間で連続である。 lim f (x) = f (a) = b かつ lim g(x) = g(b) ならば、合
x→a
x→b
成関数 g(f (x)) は x = a で連続である。
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第 1. 数列・関数の極限
定理 1.0.11. （中間値の定理）
\ f (b) ならば、f (a) < c < f (b) (f (a) >
関数 f (x) が区間 [a , b] で連続で、f (a) =
c > f (b)) をみたすどんな c に対しても、f (x0 ) = c かつ a < x0 < b をみたす x0
が少なくとも１つ存在する。
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2
微分公式
定義 2.0.3. 関数 f (x) に対して、
f (a + h) − f (a)
h→0
h
lim
が存在するとき、f (x) は x = a で微分可能であるといい、この極限値を x = a に
おける f (x) の 微分係数 といい、f 0 (a) と表す。
lim
h→0
f (a + h) − f (a)
= f 0 (a)
h
定理 2.0.12. 微分可能ならば、連続である。
9
第 2. 微分公式
定理 2.0.13. （和・差・積・商の微分）
(αu(x) + βv(x))0 = αu0 (x) + βv 0 (x) . . . . . . . . . (a)
(u(x)v(x))0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) . . . . . . . . . (b)
(
)0
u(x)
u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
=
. . . . . . . . . (c)
v(x)
v(x)2
定理 2.0.14. （合成関数の微分）
d
f (g(x)) = f 0 (g(x)) g 0 (x)
dx
定理 2.0.15.
d α
x = αxα−1 (α ∈ R)
dx
d
sin x = cos x
dx
d
cos x = − sin x
dx
d
1
tan x =
dx
cos2 x
d x
e = ex
dx
d x
a = ax log a
dx
d
1
log |x| =
dx
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (d)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (e)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (f )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (g)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (h)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (i)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (j)
定理 2.0.16. （媒介変数表示関数の微分）
g 0 (t) 0
dy
\ 0)
= 0
(f (t) =
dx
f (t)
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第 2. 微分公式
sin x の微分から tan x の微分までの道のりを Map にしてみよう。
sin( π2 − x) = cos
微分の定義
sin x
=1
x→0 x
lim
合成関数の微分
d
sin x = cos
dx
d
cos x = − sin x
dx
d f
f 0g − f g0
=
dx g
g2
加法定理
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
d
1
tan x =
dx
cos2 x
cos x の微分も tan x の微分も定義に基づいて微分できるが、できることならば、
微分公式等を用いながら示すほうがいい。例えば、α を実数とするとき、xα の微
分を定義を用いて示すことはできない。では、どのようにするのか、対数微分法
といううまい手段がある。
y = xα ⇒ log y = α log x (対数をとる)
1
1
⇒ y 0 = α (合成関数の微分を用いている)
y
x
1
⇒ y 0 = α · xα = αxα−1
x
y = xx の微分もこの方法で求めることができる。
指数関数、対数関数の微分までの流れを Map にしよう。
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第 2. 微分公式
e の定義
(
)n
1
lim 1 +
=e
n→∞
n
(
lim
x→∞
1
1+
x
)x
=e
lim (1 + t)t = e
t→0
et − 1
=1
t→0
t
lim
log(1 + t)
=1
t→0
t
lim
d
1
log x =
dx
x
d x
e = ex
dx
d x
a = ax log a
dx
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