テイラー展開

テイラー展開
春日 悠
2012 年 10 月 27 日
目次
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テイラー展開
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テイラー展開
任意の関数 f ( x ) を考える。関数 f ( x ) が次式で表されるとする。
f ( x ) = a0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a )2 + a3 ( x − a )3 + · · · + a n ( x − a ) n + · · ·
(1)
係数 a0 , a1 , ... を決めていく。まず、 x = a として a0 = f ( a)。関数 f ( x ) を x で微分し
ていくと
d f (x)
= a1 + 2a2 ( x − a) + 3a3 ( x − a)2 + · · · + nan ( x − a)n−1 + · · ·
dx
d2 f ( x )
= 2a2 + 6a3 ( x − a) + · · · + n(n − 1) an ( x − a)n−2 + · · ·
dx2
d3 f ( x )
= 6a3 + · · · + n(n − 1)(n − 2) an ( x − a)n−3 + · · ·
dx3
···
dn f ( x )
= n!an + · · ·
dx n
···
1
(2)
それぞれ x = a として
d f ( a)
dx
1 d2 f ( a )
a2 =
2 dx2
1 d3 f ( a )
a3 =
6 dx3
···
a1 =
an =
(3)
1 dn f ( a)
n! dx n
···
したがって
d f ( a)
1 d2 f ( a )
1 d3 f ( a )
2
( x − a) +
(
x
−
a
)
+
( x − a )3 + · · ·
dx
2 dx2
6 dx3
1 dn f ( a)
+
( x − a)n + · · ·
n! dx n
f ( x ) = f ( a) +
(4)
これを関数 f ( x ) のテイラー展開と呼ぶ。
また、a → x, x → x + ∆x と置き換えて、次式のように書くこともある。
1 d2 f ( x ) 2 1 d3 f ( x ) 3
d f (x)
∆x +
∆x +
∆x + · · ·
dx
2 dx2
6 dx3
1 dn f ( x ) n
+
∆x + · · ·
n! dx n
f ( x + ∆x ) = f ( x ) +
2
(5)