レポート問題5の解答

物理学基礎論 B （電磁気学） レポート問題 5 略解
（この講義に関するホームページ http://www.kusastro.kyoto-u.ac.jp/˜nakajima/lecture/electromagnetism.html）
問1
半径 R の球中に一様に分布する電荷（総電荷量 Q）によるポテンシャルを求めよ。
解答
球の内外における電場 E(r) はそれぞれ、



Q
2
4πε
0r
E(r) =
Qr


4πε0 R3
(r ≥ R)
(r < R)
と表されるので（ただし r は球の中心からの距離を表す）、ポテンシャルはこれを積分して

Q


4πε
0r
φ(r) =
2
Qr

−
+C
8πε0 R3
(r ≥ R)
(r < R)
となる（ただし C は積分定数、r → ∞ で φ(r) = 0 とした）
。C は r = R でポテンシャルが連続であること（境界条
件）から求まる。
Q
Q
=−
+C
4πε0 R
8πε0 R
3Q
C=
8πε0 R
以上より、求めるポテンシャルは

Q


4πε
0r
φ(r) =
( 2
)
Q


3R − r2
3
8πε0 R
(r ≥ R)
(r < R)
となる。
問2
半径が a の無限に長い円柱がある。この円柱は電荷密度 ρ で一様に電荷が分布している。この時、中心軸方向単位長
さ当たりに蓄えられる静電エネルギーを求めよ。ただし、円柱表面の電位を 0 とする。（注：電位=静電ポテンシャル）
解答
円柱の中心軸からの距離が r となる円を底面とする円柱の閉曲面を考えて、ガウスの法則を用いて電場を求める。
r < a の時、軸対称であることを考慮し、適当に軸方向の円柱の長さを l とすると、電場 E(r) は
πr2 lρ
ε0
ρr
E(r) =
2ε0
E(r) · 2πrl =
となるので、静電ポテンシャル φ(r) は
∫
r
φ(r) = −
E(r)dr =
a
ρ 2
(a − r2 )
4ε0
である。r ≥ a の時は、先と同様にして、電場は
πa2 lρ
ε0
ρa2
E(r) =
2ε0 r
E(r) · 2πrl =
となり、ポテンシャルは
∫
r
E(r)dr = −
φ(r) = −
a
となる。
1
(r)
ρa2
log
2ε0
a
この問題の解き方は何通りかあるが、まず、微小電荷を無限遠から次々に運んできて円柱を形取り、その際に要した
仕事を静電エネルギーとみなす方法を考える。
帯電している円柱の半径が a0 の時、r = a を基準とした r = a0 の電位は
φ(a0 ) = −
∫
a0
a
ρa0
ρa0
=−
log
2ε0 r
2ε0
2
2
(
a0
a
)
となる。円柱の半径を a0 から a0 + da0 にする時、その際運んでこなければならない微小電荷 dq は、円柱の高さをと
りあえず l として
dq = 2πa0 lda0 · ρ
であるので、この微小電荷 dq を無限遠から運んでくる際に要する仕事 dW は
dW = dq · φ(a0 )
で得られる。したがって、最後に a0 を 0 から a まで積分することで求める静電エネルギー（の総量）を得ることがで
きる。中心軸単位長さ当たりにするためにはこれを l で割ればよい。以上から、中心軸単位長さ当たりの静電エネル
ギーは
1
l
∫
a
0
1
dW =
l
∫
a
φ(a0 )dq
( 0)
∫
a
πρ2 a 0 3
da0
=−
a log
ε0 0
a
([
( 0 )]a ∫ a 0 3 )
4
πρ2
a0
a
a
=−
log
−
da0
ε0
4
a
4
0
0
0
πρ2 a4
=
16ε0
となる。
別解 1 ：電荷密度 ρ(r) が連続的に分布している場合の静電エネルギーの式
1
U=
2
∫
ρ(r)φ(r)dV
を用いて求めることもできる。
∫
U
1 a ρ 2
=
ρ
(a − r2 ) · 2πrdr
l
2 0 4ε0
[
]a
πρ2 a2 2 r4
=
r −
4ε0 2
4 0
=
πρ2 a4
16ε0
別解 2 ：場が存在すると、場がエネルギーを持つと考えることもできる。（この概念はそのうち講義で学ぶと思いま
す。
）静電場 E(r) が存在するとき、この静電場が持つエネルギーは
∫
1
ε0 |E(r)|2 dV
2
で与えられるので、これを用いて静電エネルギーを求めることもできる。
問3
点 A(a, 0, 0) 及び点 B(−a, 0, 0) にそれぞれ +q, −q の点電荷が置かれていて、電気双極子モーメント p とみなせる
時、距離 r に位置する点 P(x, y, z) における電位 φ(x, y, z) を p = |p| を用いて表せ。また電位を求めた後に、電場
E(x, y, z) も p 及び r を用いて表せ。
解答
点 P での電位は
1
φ(x, y, z) =
4πε0
{
q
q
−
((x − a)2 + y 2 + z 2 )1/2
((x + a)2 + y 2 + z 2 )1/2
2
}
となる。ここで a が点 P までの距離に比べて十分小さいことから、a2 の項を落とす近似を用いると、
(
)−1/2
2ax
((x ∓ a)2 + y 2 + z 2 )−1/2 ∼
= (x2 + y 2 + z 2 )−1/2 1 ∓ 2
x + y2 + z2
)
(
ax
∼
= (x2 + y 2 + z 2 )−1/2 1 ± 2
x + y2 + z2
となり、r =
√
x2 + y 2 + z 2 とすると、
q
2ax
4πε0 (x2 + y 2 + z 2 )3/2
p x
=
4πε0 r3
φ(r) ∼
=
となる（p = (2qa, 0, 0) なので p = 2qa である）。E(x, y, z) = −∇φ(x, y, z) なので、

 2
(3x − r2 )/r5
p 
3xy/r5 
E(x, y, z) =
4πε0
3xz/r5
(
)
1
3(p · r)
=−
p
−
r
4πε0 r3
r2
を得る。
問4
電気双極子モーメント p を電場 E の中に置いたとき、p はどのような力を受けるか。また、p の静電エネルギーを求
めよ。
解答
r ± d にそれぞれ位置する 1 対の点電荷 ±q によって電気双極子 p が作られるとみなす（複号同順、以下も同じく同
順）。電場 E(r) から点電荷 ±q が受ける力 F ± は F ± = ±qE(r ± d) である。p = 2qd なので、電気双極子が受け
る力 F は
(
)
F = F + + F − = q E(r + d) − E(r − d) = 2q(d · ∇)E(r) = (p · ∇)E(r)
である。また、力のモーメント N は
(
)
N = d × (F + − F − ) = qd × E(r + d) + E(r − d) = 2qd × E(r) = p × E(r)
となる。さらに、電場 E(r) によって生じる電位を φ(r) とすると、E(r) = −∇φ(r) により、電気双極子の静電エネ
ルギー U は
(
)
U = q φ(r + d) − φ(r − d) = 2q(d · ∇)φ(r) = −p · E
となる。
3