多数目的進化計算における集団サイズの超大規模 化に関する一検討

1
論 文
多数目的進化計算における集団サイズの超大規模
化に関する一検討
A Study on Many-objective Optimization by MOEA using Very Large Polulation
立川 智章
宇宙航空研究開発機構 宇宙科学研究所
Tomoaki Tatsukawa
Institute of Space and Astronautical Science, Japan Aerospace Exploration Agency
[email protected], http://flab.eng.isas.jaxa.jp
渡辺 毅
Takeshi Watanabe
大山 聖
（同
上）
[email protected]
（同
上）
[email protected]
Akira Oyama
keywords: many-objective optimization, large population
Summary
200∼500 ワード以内の英文で summary を書いてください．
1. は じ め に
09] までであり，100, 000 やそれ以上，といった超大規模
集団サイズの最適化に関する研究はこれまで行われてい
近年，進化的多目的最適化 (Evolutionary Multiobjective
ない．
Optimization, EMO) 手法を用いて，目的関数が 4 以上あ
そこで本研究では，大規模集団サイズ最適化を実行す
る多数目的最適化問題を効率的に探索する研究が活発に
るために開発した進化計算手法を用いて集団サイズが収
行われている．例えば元の問題を複数の単一目的最適化
束性，多様性に与える影響について調べることを目的と
問題に分割しそれを同時に最適化する MOEA/D[Zhang
する．
07] や，目的関数空間に設定した複数の参照点を用いて
最適化する NSGA-III[Deb 13] などがあり，テスト問題
2. 多目的進化計算手法
や実問題でその有効性が確かめられている．
目的関数が 4 以上となる多数目的最適化問題を少ない
集団サイズの進化計算で解く場合，一般的に多くの世代
本研究では，大規模集団サイズの最適化を行うことがで
代間は並列計算することができないため，最適化に時間
きる進化計算手法として，NSGA-II を基にした CHEbyshevEpsilon opTimizer AlgoritHm(CHEETAH)[立川 14] を用
いる．NSGA-II で用いられる非優越ソートでは，まず全
個体からランク 1 の個体（非劣解）を見つけ出し，それ
がかかることが課題となっている．最適解を短時間で得
らを除いた全個体から再び非劣解を見つけ出す．この操
ることは設計プロセス全体の時間短縮につながるため，
作は，全個体がなくなるまで繰り返されるため，個体数
産業界からの要望も多い．
を N とすると最大 N 回繰り返しを必要とする．この繰
数 (繰り返し計算) が必要となる．進化計算は同一世代内
の各個体の目的関数評価は並列計算が可能であるが，世
この課題に有効であると考えられる最もシンプルなア
り返し計算は並列化が難しいため，集団サイズが大規模
プローチとして集団サイズの大規模化が挙げられる．一
になると目的関数評価よりも各個体の優劣関係の評価に
般には集団サイズを大きくすると収束性は悪くなるが，
時間がかかってしまうことが問題となっていた．そこで，
同一世代内の多様性が増すことで，少ない世代数で効率
の良い探索ができる可能性がある．しかし一方で，多く
CHEETAH ではパレート支配に基づく非優越ソートの代
わりに並列計算が可能な Chebyshev preference relation
の進化計算手法は各個体の優劣関係の評価が並列計算に
（ここではチェビシェフ選好関係と呼ぶ）を個体の優越関
向いておらず，集団サイズを大きくすると個体の優劣評
係の評価に用いる．
価に時間がかかってしまうことが課題となってくる．多
チェビシェフ選好関係では，Fig. 図 1 に示すように参
くても集団サイズ 5000[Kowatari 13] や 10, 000[Ishibuchi
照点 zref に基づく領域 (Region of Interest, RoI) を考え，
進化計算学会論文誌
2
Vol. 1 No. 1（2010）
越するとし，RoI 内の優越関係の評価指標として用いる．
Fϵsum (z1 ) は，z1 がパレートフロントに近く，z1 周りの
個体の密度が低いほど大きな値となるため，パレート優
劣関係とともに混雑距離も含む評価指標と考えることが
f2
できる．
まとめると，チェビシェフ選好関係では以下の条件の
いずれかを満たす時，z1 は z2 に優越 (z1 ≺ch z2 ) する．
次に，親母集団を Pt ，子母集団を Qt として CHEETAH
f1
図1
のアルゴリズムを以下に示す．
Nondominated solutions with respect to the Chebyshev preference
relation
RoI に含まれるかどうかでそれぞれ異なる評価指標を用
いて優越関係を評価する．RoI は
s(z|zref ) ≤ smin + δ
(1)
を満たす領域として定義される．zref は，非劣解集合に
おける各目的関数の最小値からなる．smin は非劣解集合
における s(z|zref ) の最小値，δ は RoI のサイズを決める
閾値である．δ は，非劣解集合における s(z|zref ) の最大
値 smax を用いて δ = δ ′ (smax − smin ) で定義され，δ ′ を
[0, 1] の範囲で指定する．ここで s(z|zref ) は Chebyshev
achievement function[Ehrgott 05] と呼ばれ，次式で定義
される．
Step 1) Initialize P0
Step 2) for each t=0,...,tmax
Step 3) Make new population Qt from Pt
Step 3.1) Selection by Chebyshev relation
Step 3.2) Crossover
Step 3.3) Mutation
Step 4) Combine Pt and Qt into Rt
Stop 5) Make Pt+1 by Rt
Step 5.1) Survival Selection by Chebyshev relation
Step 1 でまず初期個体をランダムに生成し，親母集団 P0
を初期化する．Step 2 の tmax は世代数である．Step 3 で
は，NSGA-II では非優越ソートによるパレートランクと
混雑距離に基づいてバイナリトーナメント選択が行われ
るが，CHEETAH ではチェビシェフ選好関係に基づいて
s(z|zref ) = max {λi (zi − ziref )}
(2)
バイナリトーナメント選択を行う．交叉および突然変異に
k は目的関数の数，λ = [λ1 , ..., λk ] は重みベクトルであ
る．RoI に含まれない個体は，Chebyshev achievement
function を用いて優越関係が評価され，s(z|zref ) が小さ
な個体が大きな個体に優越する．そのため，RoI の外側
では各目的関数 fi に対して境界個体（fi が最小の個体)
を用いる．Step 4 で親母集団と子母集団を組み合わせて
が保存される．
て親母集団を作る．
i=1,...,k
関しては NSGA-II と同様に SBX と Polynomial mutation
一方，RoI に含まれる個体は，additive ϵ-indicator[Zitzler
03] に基づいた指標で評価される．additive ϵ-indicator は
次式で定義される．
Rt を生成する．Step 5 では Rt から次世代の親母集団
Pt+1 を作る．NSGA-II ではパレート支配に基づいて非
優越ソートを行い，混雑距離を用いて新しい親母集団を
作るが，CHEETAH ではチェビシェフ選好関係に基づい
まず、RoI 内の個体数が親母集団より多い場合，RoI 内
の個体のみを用いて additive ϵ-indicator に基づいてソー
トし，上位個体を次の親母集団とする．RoI 内の個体数
Iϵ (A, B) = inf {∀z ∈ B, ∃z ∈ A
2
1
ϵ∈R
(3)
: zi1 ≤ ϵ + zi2 f or i = 1, ..., k}
Iϵ (A, B) は，集団 A のある個体が集団 B の全個体に優
越するための ϵ の最小値を示す．z1 が z2 にパレート支
配の観点から優越しているとき，必ず Iϵ ({z1 }, {z2 }) <
Iϵ ({z2 }, {z1 }) となるため，Iϵ (A, B) はパレート優越関
が親母集団より少ない場合，RoI 内部の個体は無条件で
残す．この時，additive ϵ-indicator に基づいてソートす
る必要はない．残りは RoI 外の個体を用いて Chebyshev
achievement function に基づいてソートして上位個体を
次の親母集団とする．
3. 計 算 条 件
係を保存する．
additive ϵ-indicator を用いた評価指標 [Zitzler 03] は次
式で定義される．
P は現在の母集団，c は Iϵ の絶対値の最大値で，c =
maxz1 ,z2 ∈P |Iϵ ({z2 }, {z1 })| で定義される．κ はスケーリ
ング係数でありここでは文献 [Balling 03] に基づき κ=0.05
を用いた．Fϵsum (z1 ) > Fϵsum (z2 ) のとき z1 が z2 に優
本研究では，テスト問題として DTLZ1，DTLZ2，DTLZ3，
DTLZ4 を用いた．目的関数を 4,6,8，設計変数をそれぞれ
36,38,40 とし，集団サイズを Table 表 1 に示すように 100
から 1, 000, 000 まで変化させた．一般には総評価回数を
固定することが多いが，本研究では世代数を 100 で固定
とし，限られた世代数で進化がどれだけ進むかを調べた．
多数目的進化計算における集団サイズの超大規模化に関する一検討
算を行った．評価指標としては，真のパレート面への近さ
（収束性）の指標として Generational Distance(GD)，真の
パレート面に対する分布（多様性）の指標として Inverted
Generational Distance(IGD) を用いた．交叉，突然変異は
それぞれ SBX，Polynomial mutation を用いた．その他
の設計パラメータを Table 表 2 に示す．
ここでは，収束性の評価方法に Generational Distance，
多様性の評価に Inverted Generational Distance を考え，
目的関数空間における真のパレートフロント上にランダ
ムに生成したデータセットを用いて計算する．データセッ
Computational Time [sec / generation]
集団サイズが 104 以上は，京コンピュータを使い並列計
3
450
400
350
300
250
200
150
1000
トのサンプル数を Table. 表 3 に示す．
102
1
10
103
1
10
104
96
10
4000
図 2 Average time of computing one generation (DTLZ1, Population
size is 106 )
表 1 Computational cases
Population size
# of cores
# of trials
2000
# of cores
105
400
2
106
4000
2
軸は各世代の母集団の非劣解から求めた GD であり，GD
の値が小さいほど真のパレート面に近いことを示す．図
よりいずれの問題でも集団サイズが小さい場合，目的関
表 2 Parameter settings
Crossover rate
Mutation rate
Crossover index
Mutation index
RoI size
1
1/(# of variables)
30
20
0.95
表 3 Reference data set for GD, IGD
# of objectives
4
6
8
# of data set
104
106
106
数の数が増えると収束性が悪化していることがわかる．
このことは，少ない集団サイズを用いる場合，目的関数
が多くなるとより多くの世代数が必要であることを意味
すると考えられる．一方，集団サイズが大きくなるにつ
れて収束性は大幅に良くなるが，集団サイズ 10,000 以上
ではその影響は小さい．DTLZ2，DTLZ4 に関しては約
10 世代を過ぎると収束が早まるが，集団サイズが 10,000
以上では世代数が 50 を越えると一定になっており，十分
収束していると考えられる．集団サイズが小さい (100，
1,000) 場合，100 世代で一定に収束しておらず，より多
くの世代が必要である．Fig. 図 15 に DTLZ2(目的関数
6) における 100 世代以降の GD の変化を示す．図より集
団サイズが小さい場合は収束するためにより多くの世代
が必要である．また，集団サイズが小さいと局所解に収
束するが，集団サイズを大きくするとよりグローバルな
4. 結果および考察
解がえられるようになる．
変化を示す．いずれのケースでも集団サイズを 106 ，テ
DTLZ1，DTLZ3 に関しては，いずれの集団サイズでも
100 世代ではまだ一定値に収束しておらず，より多くの
世代が必要であることがわかる．Fig. 図 16 に DTLZ3(目
的関数 6) における 100 世代以降の GD の変化を示す．図
スト問題を DTLZ1(目的関数 4，設計変数 36) とし，全
より集団サイズがよらず収束するためにはより多くの世
体の計算規模を固定した．1000 並列の結果を基にストロ
代が必要である．また，最終的に得られる GD には集団
ングスケーリングを求めると，2000 並列で 0.83，4000
サイズには DTLZ2 ほど大きな違いがないことがわかる．
並列で 0.61 となる．並列数を上げることにより通信等の
オーバーヘッドが相対的に大きくなっていると考えられ
DTLZ2，DTLZ4 は単峰性のテスト問題であるが DTLZ1，
DTLZ3 は多くの局所解が存在する多峰性のテスト問題
るものの，計算時間を大幅に短縮することができること
であり，この特徴が収束性に影響を与えていると考えら
がわかる．
れる．
まず，CHEETAH の並列化効率について調べる．Fig.
図 2 に 1 世代あたりの計算時間のコア数 (並列数) による
テスト問題を用いた収束性について議論する．DTLZ1，
DTLZ2，DTLZ3，DTLZ4 の計算結果をそれぞれ Fig. 図
3∼Fig. 図 5，Fig. 図 6∼Fig. 図 8，Fig. 図 9∼Fig. 図
11，Fig. 図 12∼Fig. 図 14 に示す．図の横軸は世代，縦
次に多様性について議論する．DTLZ1，DTLZ2，DTLZ3，
DTLZ4 の計算結果をそれぞれ Fig. 図 17∼Fig. 図 19，
Fig. 図 20∼Fig. 図 22，Fig. 図 23∼Fig. 図 25，Fig. 図
26∼Fig. 図 28 に示す．図の横軸は世代，縦軸は各世代
進化計算学会論文誌
4
の母集団の非劣解から求めた IGD であり，IGD の値が小
Vol. 1 No. 1（2010）
これらの知見は，CHEETAH を用いて DTLZ テスト問
さいほど真のパレート面に広く分布していることを示す．
題の一部から得られた結果である．他の手法，他のテス
図よりいずれの問題でも集団サイズによらず，目的関数
ト問題でも集団サイズの影響を幅広く調べる必要がある．
の数が増えると多様性が悪化していることがわかる．GD
今後は，GD，IGD 以外の指標も検討し，これらの知見
と同様に，DTLZ1，DTLZ3 と DTLZ2，DTLZ4 で傾向
の一般性について調べていく予定である．
が大きく異なる．DTLZ1，DTLZ3 では集団サイズを大
きくすることで多様性が良くなるが，集団サイズ 10,000
以上ではその影響はわずかであり，100 世代ではまだ一
定値に収束していないことがわかる．DTLZ1，DTLZ3
謝
辞
本論文の結果は、理化学研究所スーパコンピュータ「京」
を利用して得られたものです（課題番号 :hp140231）
では多くの局所解のため，集団サイズを大きくするだけ
♢ 参 考 文 献 ♢
では大域的パレート面の探索するために必要な集団サイ
ズが増加していない可能性が考えられる．Fig. 図 29 に
DTLZ3(目的関数 6) における 100 世代以降の GD の変化
を示す．図より集団サイズがよらず収束するためにはよ
り多くの世代が必要であり，最終的に得られる IGD も同
じであることがわかる．
DTLZ2，DTLZ4 に関しては，集団サイズ 10,000 以上
においても集団サイズの影響が大きく，集団サイズを大
きくすることで多様性を改善されている．約 10 世代を
過ぎると収束が早まり，いずれの集団サイズでも世代数
が 50 を越えると一定になっており，十分収束していると
考えられる．Fig. 図 30 に DTLZ2(目的関数 6) における
100 世代以降の GD の変化を示す．図より最終的に得ら
れる多様性は大きな集団サイズの方がよい．このことは，
これらのテスト問題では集団サイズの大きさが目的関数
空間内の多様性に有利に働いていることを意味すると考
えられる．
5. ま
と
め
本研究では大規模集団サイズ最適化を実行するために
NSGA-II を基に開発した CHEETAH を用いて集団サイ
ズが収束性、多様性に与える影響について調べた．
テスト問題として DTLZ1，DTLZ2，DTLZ3，DTLZ4
を用いた．その結果，いずれの問題でも集団サイズによ
[Balling 03] Balling, R.: The maximin fitness function: multiobjective city and regional planning, in EMO (2003)
[Deb 13] Deb, K. and Jain, H.: An Evolutionary Many-Objective Optimization Algorithm Using Reference-point Based Non-dominated
Sorting Approach, Part I: Solving Problems with Box Constraints,
IEEE Transactions on Evolutionary Computation, Vol. 18, No. 4, pp.
577 – 601 (2013)
[Ehrgott 05] Ehrgott, M.: Multicriteria Optimization. Second edition,
Springer, Berlin (2005)
[Ishibuchi 09] Ishibuchi, H., Sakane, Y., Tsukamoto, N., and Nojima, Y.: Evolutionary many-objective optimization by NSGA-II and
MOEA/D with large populations, in 2009 IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics, pp. 1758–1763, IEEE
(2009)
[Kowatari 13] Kowatari, N., Oyama, A., Aguirre, H., and Tanaka, K.:
A Study on Population Size and Neighborhood Recombination in
Evolutionary Many-Objective Continuous Optimization, 第 4 回進
化計算学会研究会 (2013)
[Zhang 07] Zhang, Q. and Li, H.: MOEA/D: A multiobjective evolutionary algorithm based on decomposition, IEEE Transactions on
Evolutionary Computation, Vol. 11, No. 6, pp. 712–731 (2007)
[Zitzler 03] Zitzler, E., Thiele, L., Laumanns, M., Fonseca, C. M., and
Fonseca., da V. G.: Performance assessment of multiobjective optimizers: Ananalysis and review, IEEE Transaction on Evolutionary
Computation, Vol. 7, No. 2, pp. 117–132 (2003)
[立川 14] 立川 智章, 渡辺 毅, Lopez, A., 大山 聖, 藤井 孝藏：超大
規模集団サイズの進化計算を用いた多数目的最適化, 第 27 回計
算力学講演会 (2014)
〔担当委員：XX XX〕
2010 年 8 月 1 日 受理
らず，目的関数の数が増えると収束性・多様性ともに悪化
することがわかった．収束性に関しては、集団サイズが
10,000 以上では差はわずかになってしまうものの，集団
サイズを大規模化することで収束性の改善につながるこ
とがわかった．CHEETAH を用いる場合，102 ∼103 オー
ダーの母集団では目的関数が大きくなると探索効率が悪
化してしまうことから，104 オーダー以上の母集団が必
要であると言える．
多様性に関しては，DTLZ2，DTLZ4 では集団サイズ
10,000 以上においても集団サイズの影響が大きく，集団
サイズを大きくすることで多様性を改善できることがわ
かった．一方，DTLZ1，DTLZ3 では集団サイズを大き
くすることで多様性が良くなるが，集団サイズ 10,000 以
上ではその影響はわずかであり，一定値に収束させるた
めには 100 世代以上必要となることがわかった．
著
者
紹
介
立川 智章（一般会員）
2004 年東京工業大学大学院理工学研究科機械宇宙システ
ム専攻修士課程修了．2004∼2010 年 日本 SGI(株)．2012
年東京大学大学院工学系研究科航空宇宙工学専攻博士課程
修了．2012 年より宇宙航空研究開発機構宇宙科学研究所招
聘研究員．博士（工学）．進化的計算，データマイニング，
多目的設計探査などの研究に従事．日本機械学会，IEEE
各会員．
渡辺
毅（一般会員）
2004 年京都大学大学院文学研究科行動文化学専攻修士課
程修了．2009 年岡山大学大学院自然科学研究科博士後期課
程修了．博士（工学）．2009 年∼2015 年博士研究員（北
海道大学，広島大学）．2015 年より宇宙航空研究開発機構
宇宙科学研究所招聘研究員．応用数学，流体力学，多目的
設計探査等の研究に従事．日本流体力学会，進化計算学会
会員．
多数目的進化計算における集団サイズの超大規模化に関する一検討
5
pop=100
1000
Generational Distance
Generational Distance
pop=10,000
500
pop=100
2.00
pop=1,000
pop=100,000
pop=1,000,000
200
100
50
pop=1,000
pop=10,000
1.00
pop=100,000
pop=1,000,000
0.50
0.20
0.10
0.05
20
0
20
図3
40
60
Generation
80
100
0
図7
GD (DTLZ1, 4 Objectives)
40
60
Generation
80
100
GD (DTLZ2, 6 Objectives)
pop=100
1000
2.0
500
Generational Distance
Generational Distance
20
200
100
pop=100
pop=1,000
50
pop=10,000
pop=1,000
pop=10,000
pop=100,000
1.0
pop=1,000,000
0.5
0.2
pop=100,000
pop=1,000,000
0.1
20
0
20
図4
40
60
Generation
80
100
0
20
図8
GD (DTLZ1, 6 Objectives)
40
60
Generation
pop=100
pop=1,000
2000
500
Generational Distance
Generational Distance
100
GD (DTLZ2, 8 Objectives)
1000
pop=10,000
pop=100,000
1000
200
100
pop=100
pop=1,000
50
pop=10,000
pop=1,000,000
500
200
100
pop=100,000
pop=1,000,000
20
0
20
図5
40
60
Generation
80
100
0
20
図9
GD (DTLZ1, 8 Objectives)
40
60
Generation
pop=1,000
2000
Generational Distance
pop=10,000
pop=100,000
pop=10,000
pop=100,000
1000
pop=1,000,000
0.50
100
pop=100
pop=1,000
1.00
80
GD (DTLZ3, 4 Objectives)
pop=100
2.00
Generational Distance
80
0.20
0.10
0.05
pop=1,000,000
500
200
100
0
20
図6
40
60
Generation
GD (DTLZ2, 4 Objectives)
80
100
0
20
40
60
Generation
図 10 GD (DTLZ3, 6 Objectives)
80
100
進化計算学会論文誌
6
Vol. 1 No. 1（2010）
pop=100
pop=1,000
pop=10,000
pop=100,000
pop=1,000,000
2.00
Generational Distance
Generational Distance
2000
1000
500
pop=100
200
pop=1,000
pop=10,000
1.00
0.50
0.20
0.10
pop=100,000
100
0.05
pop=1,000,000
0
20
40
60
Generation
80
100
1
図 11 GD (DTLZ3, 8 Objectives)
図 15 GD (DTLZ2, 6 Objectives)
pop=10,000
1.00
Generational Distance
Generational Distance
pop=100
pop=1,000
pop=10,000
pop=100,000
pop=1,000,000
1e+03
pop=1,000
pop=100,000
1e+02
pop=1,000,000
0.50
1e+01
0.20
0.10
1e+00
0.05
1e−01
0
20
40
60
Generation
80
100
1
図 12 GD (DTLZ4, 4 Objectives)
100
Genenation
Inverted Generational Distance
pop=100
pop=1,000
pop=10,000
1.00
10000
図 16 GD (DTLZ3, 6 Objectives)
pop=100
2.00
Generational Distance
10000
pop=100
2.00
pop=100,000
pop=1,000,000
0.50
0.20
0.10
0.05
500
pop=1,000
pop=10,000
pop=100,000
200
pop=1,000,000
100
50
20
10
0
20
40
60
Generation
80
100
0
図 13 GD (DTLZ4, 6 Objectives)
Inverted Generational Distance
pop=1,000
pop=10,000
pop=100,000
1.0
pop=1,000,000
0.5
0.2
20
40
60
Generation
図 14 GD (DTLZ4, 8 Objectives)
80
100
40
60
Generation
80
100
IGD (DTLZ1, 4 Objectives)
500
200
100
50
pop=100
pop=1,000
20
pop=10,000
pop=100,000
10
pop=1,000,000
0.1
0
20
図 17
pop=100
2.0
Generational Distance
100
Genenation
0
20
図 18
40
60
Generation
80
IGD (DTLZ1, 6 Objectives)
100
7
pop=100
2000
500
Inverted Generational Distance
Inverted Generational Distance
多数目的進化計算における集団サイズの超大規模化に関する一検討
pop=1,000
pop=10,000
1000
200
100
50
pop=100
pop=1,000
20
pop=10,000
pop=100,000
10
pop=100,000
pop=1,000,000
500
200
100
50
pop=1,000,000
0
20
40
60
Generation
80
100
0
pop=100
2.00
pop=10,000
100
pop=1,000
pop=10,000
1000
pop=100,000
0.50
80
pop=100
2000
pop=1,000
1.00
40
60
Generation
図 23 IGD (DTLZ3, 4 Objectives)
Inverted Generational Distance
Inverted Generational Distance
図 19 IGD (DTLZ1, 8 Objectives)
20
pop=1,000,000
0.20
0.10
0.05
0.02
pop=100,000
pop=1,000,000
500
200
100
50
0.01
0
20
40
60
Generation
80
100
0
図 20 IGD (DTLZ2, 4 Objectives)
pop=100
pop=10,000
100
1000
pop=100,000
1.00
80
2000
pop=1,000
2.00
40
60
Generation
図 24 IGD (DTLZ3, 6 Objectives)
Inverted Generational Distance
Inverted Generational Distance
5.00
20
pop=1,000,000
0.50
0.20
0.10
0.05
500
200
pop=100
100
pop=1,000
pop=10,000
50
pop=100,000
pop=1,000,000
0.02
0
20
40
60
Generation
80
100
0
図 21 IGD (DTLZ2, 6 Objectives)
10.00
Inverted Generational Distance
Inverted Generational Distance
pop=1,000
pop=10,000
pop=100,000
1.0
40
60
Generation
80
100
図 25 IGD (DTLZ3, 8 Objectives)
pop=100
2.0
20
pop=1,000,000
0.5
0.2
pop=100
pop=1,000
5.00
pop=10,000
2.00
pop=100,000
1.00
pop=1,000,000
0.50
0.20
0.10
0.05
0.02
0.1 0
20
40
60
Generation
80
図 22 IGD (DTLZ2, 8 Objectives)
100
0
20
40
60
Generation
80
図 26 IGD (DTLZ4, 4 Objectives)
100
進化計算学会論文誌
8
大山
Inverted Generational Distance
pop=1,000
pop=10,000
1.00
教授．博士（工学）．空気力学，宇宙工学，多目的設計探
査などの研究に従事．進化計算学会，日本航空宇宙学会，
日本機械学会，IEEE，AIAA 各会員．日本航空宇宙学会奨
励賞，日本機械学会設計工学・システム部門フロンティア
業績賞などを受賞．
pop=100,000
pop=1,000,000
0.50
0.20
0.10
0.05
0
20
40
60
Generation
80
100
図 27 IGD (DTLZ4, 6 Objectives)
Inverted Generational Distance
pop=100
2.0
pop=1,000
pop=10,000
pop=100,000
1.0
pop=1,000,000
0.5
0.2
0
20
40
60
Generation
80
100
図 28 IGD (DTLZ4, 8 Objectives)
Inverted Generational Distance
pop=100
pop=1,000
pop=10,000
pop=100,000
pop=1,000,000
1e+03
5e+02
1e+02
5e+01
1e+01
5e+00
1e+00
5e−01
1
100
Genenation
10000
図 29 IGD (DTLZ3, 6 Objectives)
pop=100
pop=1,000
pop=10,000
pop=100,000
pop=1,000,000
Inverted Generational Distance
2.00
1.00
0.50
0.20
0.10
0.05
0.02
1
100
Genenation
10000
図 30 IGD (DTLZ2, 6 Objectives)
聖（一般会員）
2000 年東北大学大学院工学研究科航空宇宙工学専攻博士
課程修了．NASA グレン研究所 NRC 特別研究員などを経
て，2010 年より宇宙航空研究開発機構宇宙科学研究所准
pop=100
2.00
Vol. 1 No. 1（2010）