解答 問2

クエット流れ(Couette)について
ニュートンの法則
dv x
（x 方向運動量の y 方向への流束）
：ｘ方向の剪断力
dy
 yx   
クエット流れ(Couette)
・圧力はかけない
・上面を引っ張ることで，板の間の
流体を輸送
u=U
y
 yx
y+y
y
 yx
y  y
図中の τの矢印はベクト
ル（ｙ正方向を正）として
書いておく
y
x
u=0
シェルバランス法：微小領域（shell）でのバランス(保存則)を考える。
系内での蓄積速度＝系への流入速度－系からの流出速度＋系内での生成速度
定常状態では，蓄積＝０
（ただし，⊿ｔ時間での収支を考えると，速度は量となる。
）
y～y+⊿y でのシェルバランス：微分方程式の導出
面積 S，時間⊿t での y=y からの運動量流入： ( S yx ) t
y
（単位面積，単位時間あたりだと  yx となる。なお，τの単位は
y
面積 S，時間⊿t での y=y からの運動量流出： ( S yx )
y  t
( S yx )  ( S yx )
y
⊿y→0 として，
y  y
0
s）
m s
2
t
（同様に，単位面積，単位時間あたりだと  yx
蓄積＝０なので
kg m
⊿y で割って，
y  y
）
( S yx )
y  y
 ( S yx )
y
d
d
d
( S yx ) 
(  S v x )  0
dy
dy
dy
y
0
(1)
さて，クイズの場合を考える。
運動量に関する収支式(1)式は，(a)(b)に関わらず成立する。違いは境界条件のみである。
（←バランス式の中で，運動量の移動方向のみにしか考えていないので）
(a)
(b)
ｙ
U
y= y0
y= 2y0
0
y= -y0
境界条件
(a) y=-y0
ｙ
vx=0 ，y=y0 vx=U
x
y= 0
U
(b)
y=0
vx=0 ，y=2y0 vx=U
(1)の微分式より，dv/dy=const
v=c1y+c2（直線分布）
U
U
( y  y0 ) ，(b)の場合 v 
y
したがって，(a)の場合 v 
2y0
2 y0
（←これは(a)(b)とも同じ速度分布を表す。同じ現象を異なる座標で表現したことに相当する。
）
剪断力は，(a) (b)ともに，  yx   
dv
U
 
となる。
dy
2y 0
（←これは(a)(b)とも同じ剪断力となる。同じ現象を異なる座標で表現したので，当然。
）
ｙによらず一定，負の値（負になるということは,ｙ負方向に運動量が移動したことを表す。）
τ
yx の流束の
y
方向
y
y+の流体が受
ける力
y-の流体が受け
る力
0
x 方向速度 vx は直
線的。dvx/dy>0
vx
0

τ
は y 方向に一定。τ
<0 で
y 負方向に運動量が移動
τ
は負なので，y 負方向にｘ方向運動量は
移動。剪断力で考えると，ある面（破線で
しめす）の下（y-）は，x 方向に引っ張られ
る。ある面の上（y+）は，x 方向負に引っ張
られる（これよりτ
が負に相当）。