1．Stream line、Streak line 、Path line の定義を述べ、可視化の方法を

１．Stream line、Streak line 、Path line の定義を述べ、可視化の方法を具体的に述べよ
（1）定義
Stream line とは「空間に多数のトレーサーを投入し、ある瞬間の各トレーサーの速度ベクトルを可視化する。
その接線を連ねた線」（50 文字）
Path
line とは「ある地点から一個のトレーサーと投入する。このトレーサーの各時刻の位置を観測し、その位
置を連ねた軌跡」（50 文字）
Streak line とは「ある地点から連続して多数のトレーサーを投入する。ある時刻にそれぞれのトレーサーが存在
する位置を連ねた線」（52 文字）
（2）野外のどんな場所で、どんな道具を使って、どのような方法で可視化できるのかを具体的に述べよ
Stream line
使用する道具・・色の違ったピンポン玉をたくさん用意する。連写の出来るカメラ、ビデオカメラを用意す
る。
可視化をする場所・・投入したピンポン玉が回収できる程度の大きさの水路。橋の上から写真が撮れる場所
可視化の方法・・橋の上からたくさんのピンポン玉が水面一面に広がるように投げ入れる。流下の様子をカメ
ラ、ビデオカメラで撮影する。連写した二枚の写真からそれぞれのピンポン玉の移動の方向、
距離を描く。これが速度ベクトルであるので、接線を連ねて流線を描く。
ビデオカメラの場合にはコマ送りで移動方向、距離を確認する。
ピンポン玉でなくても浮くものなら何でもトレーサーになるが、画像の中でそれそれの違いが識別できること
Path line
使用する道具・・一個のトレーサー
連写できるカメラ、ビデオカメラ
可視化をする場所・・トレーサーの移動が見渡せる場所（橋、少し高い場所）がある河川
可視化の方法・・橋の上から一個のトレーサーを投入する。流下の様子をカメラ、ビデオを固定して連写ある
いは連続して撮影する。撮影した複数枚の写真から各時刻のトレーサーの位置をそれぞれ紙
に写し、それを連ねて軌跡を描く。ビデオカメラの場合にはコマ送り
（カメラにはトレーサーの位置が特定できるように岸も含めて撮影する）
Streak line
使用する道具・・色の違った多数のトレーサー
連写できるカメラ、ビデオカメラ
可視化をする場所・・トレーサーの移動が見渡せる場所（橋、少し高い場所）がある河川
可視化の方法・・河川の一箇所から多数のトレーサーを一定時間間隔で順次投入する。投入するトレーサーの
順番の色をビデオ、カメラで撮影する。トレーサーを投入し終わったら全体の流下の様子を
カメラで撮影する。撮影した写真から投入順にトレーサーの存在する位置を連ねる。
2．複素速度ポテンシャルＷ（ｚ）が次式で表される。
流線の形と流れの方向を図示せよ。また、速度成分 u、v を求め、それが連続の式を満たすことを確か
めよ。 （計算の経過を必ず記述すること）
1） Ｗ（ｚ）＝4ｚ3
ｚ＝ｘ
＋
ｙi
W (z) = 4r 3 (cos 3θ + i sin 3θ) = φ + iψ
流れ関数ψ = 4r 3 sin 3θ
ψ = C は流線を表す。 C = 0 も一つの流線である
sin 3θ = 0 ,3θ = 0, π
π
θ = 0, 3
π/3
dW
= u − iv なので
dz
dW
= 12z 2 = 12( x + iy) 2 = 12( x 2 − y 2 ) + 24ixy
dz
u = 12( x 2 − y 2 ) v = −24 xy
この速度成分の正負から流線の流れの向きは図のようになる
∂u ∂v ∂
∂
+
=
12( x 2 − y 2 ) + (−24 yx) = 24 x − 24 x = 0
∂x ∂y ∂x
∂y
{
}
連続の式を満たす
2） Ｗ（ｚ）＝3ｚ2
ｚ＝ｘ
＋
ｙi
W (z) = 3r 2 (cos 2θ + i sin 2θ) = φ + iψ
流れ関数ψ = 3r 2 sin 2θ
ψ = C は流線を表す。 C = 0 も一つの流線である
sin 2θ = 0 ,2θ = 0, π
π
θ = 0, 2
dW
= u − iv なので
dz
dW
= 6z = 6( x + iy) = 6 x + 6iy
dz
u = 6x v = −6 y
この速度成分の正負から流線の流れの向きは図のようになる
∂u ∂v ∂
∂
+
=
(6x ) + (−6 y) = 6 − 6 = 0
∂y
∂x ∂y ∂x
連続の式を満たす
3．次の流速成分があらわす流線の形と流れの方向を図示せよ。
1)
u = −8y 、 v = 2 x
π/2
但し流線は座標（2, 2）の点を通過するとして、積分定数を定めよ
2)
u=−
y
2x
、 v = 2
2
x +y
x + y2
2
dx
dy
1) =
− 8y 2x
2xdx = −8ydy
左辺はｘだけの関数、 右辺はyだけの関数なので、ｘ、ｙでそれぞれ積分する
x 2 = −4 y 2 + C x 2 + 4 y 2 = C
2 2 + 4x 2 2 = 20
座標（2,2）を通るので、 x 2 + 4 y 2 = 20
x2
( 20 ) 2
+
4y 2
x2
y2
=
1
+
=1
( 20 ) 2
(2 5 ) 2 ( 5 ) 2
√5
2√5
 2x
 2
2
dx
dy
dy  x + y
=
=
2) −y
2x
dx  − y
 2
2
2
2
2
2
x +y
x +y
x +y


 = 2x
 −y


2 xdx = − ydy
両辺はそれぞれxだけ、ｙだけの関数であるので積分すると
1
y2
x 2 = − y 2 + C x 2 +
=C
2
2
√2C
√C
−y
dx
dy
2x
=
2
dx = 2
dy・・・①
2
−y
2x
x +y
x + y2
x 2 + y2
x 2 + y2
1
+ C と計算している学生がいるが、上記式は変数分離に
ln x 2 + y 2 = − ln x 2 + y 2 2
書き換えられていない
(
)
(
)
左辺はｘ、ｙの関数、右辺もｘ、ｙの関数なので
左辺をｘで積分し、右辺をｙで積分することは出来ない
もし①の積分で左辺を積分するときにｙは定数、右辺を積分するときにｘを定数
として奇妙な積分が出来るなら
dx dy
= ・・②
y
x
x
の積分で左辺を積分するときｙは定数としてｘで積分すると + c
y
y
同様に右辺をｙで積分すると + c
x
2
x y
x − y2
従って − = C =C
y x
xy
②式は
xdx = ydy x 2 − y 2 = C で結果は異なる
4．流線の方程式をベクトルの外積を利用して導け
線ベクトルｄＳ=（dx、dy、dz）
i j k
dy dz
dx dz
dx dy
dsxv = dx dy dz =i
−j
+k
vw
u w
u v
u v w 流速ベクトルＶ=（u、v、w)
=0
より
i(wdy − vdz ) = 0 j(wdx − udz ) = 0 k (vdx − udy = 0)
dy dz
wdy − vdz = 0 =
v
w
dx dz
wdx − udz = 0 =
u
w
dx dy
vdx − udy = 0 =
u
v
dx dy dz
より =
=
u
v
w
単位ベクトル i、j、k
dS
Ｖ
5．Euler の運動方程式での加速度を導き、それぞれの項の意味を説明せよ
1）A 点の速度を V とすると B 点、C 点の速度を表示せよ
2）加速度を求め、それぞれの項の意味を説明せよ
C
Δｔ
B
A
Δｘ
∂V
∆x
∂x
∂V
∂V
Vc = V +
∆x +
∆t
∂x
∂t
VB = V +
∂V
∂V 

∆x +
∆t  − V
V +
∆V
∂t
∂t 

lim
= lim
∆t → 0 ∆t
∆t → 0
∆t
∆x
lim
= V とすると
∆t →0 ∆t
∆V ∂V
∂V
となる
α = lim
=
+V
∆t →0 ∆t
∂t
∂x
∂V
はA点からC点まで流れる∆t時間の間の速度変化から生じる加速度・・時間加速度
∂t
∂V
第二項V
はA点からC点まで流れる距離∆xの間に変化する速度変化から生じる
∂X
加速度・・移流加速度
第一項
6．流れ関数Ψが次式で与えられている。速度成分を求め、それが連続の式を満たすことを確かめよ。
1)Ψ＝ｘｙ
2) Ψ＝ｘ2＋ｙ2
∂ψ ∂ 2
∂ψ ∂
=
=
( xy) = x
u =
(x + y 2 ) = 2y
∂y ∂y
∂y ∂y
∂ψ
∂
∂ψ
∂
= − ( x 2 + y 2 ) = −2 x
v=−
= − ( xy) = − y v = −
∂x
∂x
∂x
∂x
連続の式
連続の式
u=
∂u ∂v
∂u ∂v
= 0 に代入する
+
= 0 に代入する +
∂x ∂y
∂x ∂y
∂
∂
∂
∂
( x ) + (− y) = 1 − 1 = 0 (2 y) + (−2 x ) = 0 − 0 = 0
∂x
∂y
∂x
∂y
連続の式を満たす
連続の式を満たす
７．N-S の方程式の応用
平行平板の間の流れの流速分布を求め、概略を図示せよ。ただし、圧力勾配
平行平板の間の流れなので
＊ z = 0、h でu = 0
∂u
∂u
＊v = w = 0 、 = 0 、 = 0
∂t
∂x
ｘ軸方向のN - S方程式は
ν
∂p
は存在する
∂x
ｚ
ｈ
∂ u 1 ∂p
−
= 0 ①
∂z 2 ρ ∂x
2
µ
= ν なので①を書き直すと
ρ
∂ 2 u 1 ∂p
②
=
∂z 2 µ ∂x
式②をｚについて二回積分する
u=
1 ∂p 1 2
z + c1 z + c 2
µ ∂x 2
境界条件z = 0でu = 0より c 2 = 0
z = h でu = 0 より
1 ∂p 1 2
h + c1 h
µ ∂x 2
1 ∂p 1
c1 = −
h
µ ∂x 2
1 ∂p 1
u=
z(z − h )
µ ∂x 2
1 ∂p 2
u max = −
h
8 ∂x
µ：粘性係数 ρ：密度 ν：動粘性係数
0=
∂p
≤0
∂x
ｘ