x )( tx O )(t v

力学Ⅱ
減衰振動
振動現象（さらには波動現象）は力学的な振動だけに限定されない。
電気的な振動（交流，電気信号，電磁波）など力学を超えてあらゆる物理現
象と関係する重要な概念である。 →過渡現象，交流信号理論，制御工学
力学Ⅰで単振動を学んだ。
x
ばねの弾性力のみが働く場合，運動方程式は，
x(t)
O
ma x (t ) = − kx (t )
x
一般解は，
x (t ) = A cos(ωt + α )
t
O
単振動になる。単振動は， ± A を振動し振幅は変化しない。
しかし一般的には単振動と違って，時間がたつと振動は止まってしまう。
弾性力と抵抗力が働く場合の運動
vx (t)
油中
滑らかな水平面上を運動できる，ばね
x
定数 k のばねにつながれた質量 m の粒
子がある。この全体を油の中に入れる。
O
油から受ける抵抗力の係数を c とする。
x(t)
t = 0 に，バネを x 0 = 0.010［m］伸ばして，静かに物体を放した。
Step１ 運動方程式を立て，加速度を求める。
①′②′働く力を見つけて書け。
（弾性力，抵抗力，重力，垂直抗力）
③′ばねが自然長の位置を原点とし，ばねが伸びる向きを x 軸の正とする。
④′合力を成分で表す。 Fx (t ) = − kx(t ) − cv x (t )
⑤′運動方程式を立てる。 ma x (t ) = − kx(t ) − cv x (t )
加速度を求める。 a x (t ) = −
c
k
x(t ) − v x (t )
m
m
Step２+Step３ 加速度から速度と位置（座標）を一気に求める。
加速度を，速度を用いて表す
dv x (t )
k
c
= − x(t ) − v x (t )
dt
m
m
→
d 2 x(t )
dt
2
+
→ 速度を，座標を用いて表す。
⇒
c dx(t ) k
+ x(t ) = 0
m dt
m
45
d 2 x(t )
dt
2
=−
k
c dx(t )
x (t ) −
m
m dt
力学Ⅱ
k
m
ω=
，γ =
c
2m
とおく
ω ［rad/s］：固有角振動数，
dx
d2 x
+ 2γ
+ω 2x = 0
2
dt
dt
γ ［s−1］：減衰率
一般解 （この運動方程式の解き方はいろいろな方法がある →常微分方程式）
この運動方程式の解は，抵抗力が小さい場合と大きい場合で異なる。
（ア）減衰振動（ γ < ω ）
：抵抗力が小さい（ c が小さい）場合
damped oscillation
振幅がだんだん小さくなりながら振動する解（運動）になる。
x(t ) = Ae −γ t cos(ω't + α )
v x (t ) =
ω' = ω 2 − γ 2
dx(t )
= A ⋅ (−γ ) ⋅ e −γ t cos(ω't + α ) + A ⋅ e −γ t ω ′{− sin(ω't + α )}]
dt
= − Ae −γ t [γ cos(ω't + α ) + ω ′ sin(ω't + α )]
a x (t ) =
d 2 x(t )
dt
2
=
− A( −γe −γ t ) ⋅ [γ cos(ω't + α ) + ω ′ sin(ω't + α )]
− Ae −γ t ⋅ [γω'{− sin(ω't + α )} + ω ′{ω' cos(ω't + α )}]
= Ae −γ t ⋅ {(γ 2 − ω ′ 2 ) cos(ω't + α ) + 2γω ′ sin(ω't + α )}
したがって，
d 2 x (t )
dt
2
+ 2γ
dx(t )
+ ω 2 x(t )
dt
= Ae −γ t ⋅ {(γ 2 − ω ′ 2 ) cos(ω't + α ) + 2γω ′ sin(ω't + α )}
+ 2γ [ − Ae −γ t {γ cos(ω't + α ) + ω ′ sin(ω't + α )}]
+ ω 2 { Ae −γ t cos(ω't + α )}
= Ae −γ t ⋅ {(γ 2 − ω ′ 2 − 2γ 2 + ω 2 ) cos(ω't + α )
+ ( 2γω ′ − 2γω ′) sin(ω't + α )}
（ ω ' = ω 2 − γ 2 を使う）
＝0
となり，確かに運動方程式の解となっている。
46
力学Ⅱ
練習
A = 1［cm］， f = 1［Hz］， γ = 0.5［s−1］， α = 0［rad］として，減衰振動の
グラフを書け。
ω = 2πf ， ω ′ = ω 2 − γ 2 = ( 2π [rad/s]) 2 − (0.5 [1/s]) 2 = 6.26 ［rad/s］
f ′ = ω ′ /( 2π ) = 6.26 [rad/s]/ (2π ) = 0.996 [Hz] ≒ 1 [Hz]
x(t ) = 1 ⋅ e −0.5t cos( 2π t ) = e −0.5t cos( 2π t )
e = 2.718281828 L ， e 0 = 1.0
e −0.50 = 0.61
x
1
， e −0.75 = 0.47
， e −0.25 = 0.78
，
， e −1.00 = 0.36
， e −1.25 = 0.29
[cm]
O
t [s]
2
1
-1
（あまり正確ではありません）
（イ）過減衰（ γ > ω ）：抵抗力が大きい（ c が大きい）場合
振動する前に減衰する→振動しない解（運動）になる
x(t ) = Ae
− γ1 t
+ Be
−γ 2 t
減衰を表す指数関数の係数 γ 1 ， γ 2 は γ とは異なる。
（→練習）
γ1＝ γ ＋ γ 2 −ω 2 ， γ 2 ＝ γ − γ 2 − ω 2
水あめのように抵抗力が非常に大きいと，変位 x はなかなかゼロにもど
らない（ γ 2 → 0 ）。
47
力学Ⅱ
（ウ）臨界減衰（ γ = ω ）：抵抗力が（ア）と（イ）の中間
x (t ) = e −γ t ( At + B )
振動しない解（運動）の中で，最も早く変位 x がゼロに近づく。
ドアクローザーなどに応用。
練習(a) A = 6.28［cm/s］， B = 1［cm］， f = 1［Hz］， γ = 6.28［s−1］として，
臨界減衰のグラフを書け。
x(t ) = e −6.28t (6.28t + 1)
(b) A = −0.08［cm］， B = 1.08［cm］， f = 1［Hz］， γ = 12.56［s−1］として
過減衰のグラフを書け。
γ 1 = γ + γ 2 − ω 2 = 12.56 [1/s] + (12.56 [1/s]) 2 − (2π ) 2 = 23.44
［s−1］
γ 2 = γ − γ 2 − ω 2 = 12.56 [1/s] − (12.56 [1/s]) 2 − (2π ) 2 = 1.68
［s−1］
x(t ) = − 0.08 ⋅ e −23.44 t + 1.08 ⋅ e −1.68 t
x
1
[cm]
(a)
(b)
O
2
1
t [s]
-1
（あまり正確ではありません）
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