～目次～ - TS-APEX

1
～目次～
1．点の移動
･････････････････････ p.2
2．図形の移動
・図形の回転移動
・図形の転がり
・図形の平行移動
3．場合の数
・和の法則
・積の法則
・色塗り
・組み合わせ
・試合数
・いろいろな場合
・いもづる算
4．いろいろな問題
・角度
・糸巻き
・30 度の角をもつ図形
・図形の重なり
・正六角形の分割
・四角数
・三角数
・Ｎ進法
・投影図
・選挙
・階差数列
・フィボナッチ数列
・錐体の体積と表面積
・回転体
・立体の切断
･････････････････････ p.10
･････････････････････ p.24
･････････････････････ p.35
2
点の移動
例題１
右の図のような直角三角形ＡＢＣがあります。点Ｐはこの三角形の辺上を，頂点
Ａを出発し，毎秒 1 ㎝の速さでＢを通ってＣまで動きます。これについて，次の問
いに答えなさい。
（１）点Ｐが動き始めて 10 秒後の三角形ＡＰＣの面積は何㎤ですか。
（２）三角形ＡＰＣの面積が 14.4 ㎠となるのは何秒後と何秒後ですか。
〔解き方〕
（１）出発してから 10 秒間で点Ｐが進んだ距離は，1×10=10(㎝)。
ＡＢの長さが 8 ㎝なので，点Ｐは頂点Ｂと通り過ぎてから 10－8＝2(㎝)
進んでいます。このときの三角形ＡＰＣは右の図のようになるので，
三角形ＡＢＣの面積は，8×6÷2＝24(㎤)
辺ＢＣを底辺としたときの高さは，24×2÷10＝4.8(㎝)
(10－2)×4.8÷2＝19.2(㎤)
答 19.2 ㎝
（２）三角形ＡＰＣの面積は，点Ｐが頂点Ｂと重なったとき面積が最大に
なり，その後頂点Ｃと重なるまで面積は減り続けます。
そのため，三角形ＡＰＣの面積が 1 回目に 7.2 ㎠になるのは点Ｐが辺
ＡＢ上にあるとき(図 1)で，2 回目に 7.2 ㎠になるのは点Ｐが辺ＢＣ上
にあるとき(図 2)です。
＜1 回目＞
図 1 より，ＡＰの長さは，14.4×2÷6＝4.8(㎝)
4.8÷1＝4.8(秒後)
＜2 回目＞
図 2 より，ＰＣの長さは，14.4×2÷4.8＝6(㎝)
このとき点Ｐが進んだ距離は，8＋(10－6)＝12(㎝)
12÷1＝12(秒後)
答 1 回目…4.8 秒後，2 回目…12 秒後
【１】右の図のような直角三角形があります。点Ｐは頂点Ａを出発し，毎秒 2 ㎝
の速さで矢印の方向に直角三角形の辺上を，Ｂを通ってＣまで動きます。こ
れについて，次の問いに答えなさい。
（１）点Ｐが頂点Ｃに着くのは出発してから何秒後ですか。
Ａ
8㎝
Ｂ
Ｃ
10 ㎝
Ａ
8㎝
Ｂ
6㎝
Ｃ
2㎝ Ｐ
Ａ
図1
8㎝
6㎝
Ｐ
Ｂ
Ｃ
Ａ
図2
Ｂ
8㎝
6㎝
Ｃ
Ｐ
Ａ
Ｐ
12 ㎝
答
6㎝
Ｐ
20 ㎝
14 秒後
（２）10 秒後の三角形ＡＢＰの面積は何㎤ですか。
Ｂ
Ｃ
16 ㎝
答
48 ㎠
（３）三角形ＡＢＰの面積が 72 ㎠になるのは，点Ｐが出発してから何秒後ですか。
答
24 秒後
（４）三角形ＡＢＰと三角形ＡＰＣの面積の面積比が 9：7 になるのは，点Ｐが出発してから何秒後ですか。
答
10.5 秒後
3
点の移動
例題２(点の移動とグラフ)
右の図 1 のような長方形ＡＢＣＤの辺上を，点ＰがＢを出発してＡ，Ｄを通っ
てＣまで一定の速さで動きます。グラフは，このときの点Ｐが動き始めてからの
時間と三角形ＰＢＣの面積との関係を表したものです。これについて，次の問い
に答えなさい。
（１）点Ｐの動く速さは毎秒何㎝ですか。
Ａ
Ｄ
4㎝
Ｐ
Ｂ
Ｃ
図1
(㎠)
（２）図 1 の辺ＢＣの長さは何㎝ですか。
20
（３）図 2 の x にあてはまる数を求めなさい。
0
〔解き方〕
（１）グラフより，点Ｐは 2 秒後に頂点Ａに着いています。
よって，4÷2＝2(㎝/秒)
2
(㎠) 頂点Ａ
x
図2
(秒)
頂点Ｄ
20
頂点Ｂ
頂点Ｃ
0
（２）2 秒の三角形ＰＢＣは右の図のような直角三角形になるので，
ＢＣ×4÷2＝20 より，
ＢＣ＝20×2÷4＝10(㎝)
2
x
(秒)
毎秒 2 ㎝
答
Ｄ
Ａ
Ｐ
4㎝
Ｂ
Ｃ
図
10 ㎝
答
（３）グラフより，x 秒後，点Ｐは頂点Ｄに着いているので，
(4＋10)÷2＝7(秒後)
答
【１】右図のような長方形ＡＢＣＤの辺上を，点ＰがＡを出発してＤ，Ｃを通って
Ｂまで一定の速さで動きます。グラフは，このときの点Ｐが動き始めてからの
時間と三角形ＰＡＢの面積との関係を表したものです。これについて，次の問
いに答えなさい。
（１）点Ｐを動く速さは秒速何㎝ですか。
答
毎秒 2 ㎝
（２）グラフのアにあてはまる数を求めなさい。
Ａ
Ｐ
7
Ｄ
4㎝
Ｂ
6㎝
Ｃ
(㎠)
イ
答
8
（３）グラフのイにあてはまる数を求めなさい。
答
12
0
3
ア (秒)
（４）三角形ＰＡＢの面積が 10 ㎠になるのは，点Ｐが出発してから何秒後と何秒後ですか。
答
2.5 秒後と 9.5 秒後
4
点の移動
【２】右のような三角形ＡＢＣの辺上を，点ＰはＢを出発してＡを通り，一
定の速さでＣまで動きます。グラフは，点Ｐが動き始めてからの時間と
三角形ＰＢＣの面積の関係を表したものです。これについて，次の問い
に答えなさい。
（１）点Ｐの動く速さは毎秒何㎝ですか。
答
Ａ
10 ㎝
6㎝
Ｐ
毎秒 2 ㎝
Ｂ
（２）グラフのアにあてはまる数を求めなさい。
Ｃ
8㎝
(㎠)
ア
答
24 ㎠
（３）グラフのイにあてはまる数を求めなさい。
答
0
12
5
イ (秒)
（４）三角形ＰＢＣの面積が 14.4 ㎠になるのは点Ｐが動き始めてから何秒後と何秒後ですか。
答
例題３(2 個の動点)
右の図のような台形ＡＢＣＤの辺上を，点Ｐは毎秒 1 ㎝の速さでＡＤ間
を頂点Ａから，点Ｑは毎秒 3 ㎝の速さでＣＢ間を頂点Ｃから同時に出発し
一往復します。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）出発してから 5 秒後の四角形ＰＱＣＤの面積は何㎠ですか。
16 ㎝
Ａ
3 秒後と 6.8 秒後
Ｄ
Ｐ
10 ㎝
Ｑ
（２）ＰＱとＡＢが平行になるのは，出発してから何秒後と何秒後ですか。
Ｂ
Ｃ
24 ㎝
（３）四角形ＰＱＣＤの面積がはじめて 100 ㎠になるのは，出発してから何秒後ですか。
〔解き方〕
（１）点Ｐは 5 秒間に，1×5＝5(㎝) 進むので，
ＰＤ＝16－5＝11(㎝)
点Ｑは 5 秒間に，3×5＝15(㎝) 進むので，
ＱＣ＝15(㎝)
よって，四角形ＰＱＣＤの面積は，(11＋15)×10÷2＝130(㎠)
Ａ
Ｄ
10 ㎝
答
130 ㎠
（２）点Ｐと点Ｑは同時に向かい合って出発するので，1 回目に『ＰＱとＡＢが
平行になる』のは点Ｐと点Ｑの進んだ距離の和が 24 ㎝になる(点Ｐと点Ｑが
すれちがう)ときです。
よって，24÷(1＋3)＝6(秒後)
点Ｐが頂点Ａを出発してから頂点Ｄまで進むのにかかる時間は，
16÷1＝16(秒) ⇒ 点Ｐが往復するのにかかる時間は，16×2＝32(秒)
点Ｑが頂点Ｃを出発してから頂点Ｂまで進むのにかかる時間は，
24÷3＝8(秒) ⇒ 点Ｑが往復するのにかかる時間は，8×2＝16(秒)
したがって，2 回目に『ＰＱとＡＢが平行になる』のは点Ｐと点Ｑ
の進んだ距離の差が 24 ㎝になる(点Ｑが点Ｐに追いつく)ときです。
よって，24÷(3－1)＝12(秒後)
答
11 ㎝
Ｐ
1 回目…6 秒後，2 回目…12 秒後
Ｂ
Ａ
Ｑ
15 ㎝
Ｐ
Ｃ
Ｄ
10 ㎝
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｑ
Ｐ
Ｄ
10 ㎝
Ｂ
Ｑ
Ｃ
5
点の移動
（３）(ＰＤ＋ＱＣ)×10÷2＝100(㎠) より，
ＰＤとＱＣの長さの和が，100×2÷10＝20(㎝) のときに四角形ＰＱＣＤの面積が 100 ㎠になります。
点Ｐと点Ｑが出発するとき，四角形ＰＱＣＤ(三角形ＡＣＤ)の上底と下底の長さの和は，16＋0＝16(㎝)
Ａ(Ｐ)
16 ㎝
Ａ Ｐ
Ｄ
10 ㎝
10 ㎝
Ｂ
Ｄ
24 ㎝
Ｂ
Ｃ(Ｑ)
Ｃ
Ｑ
その後，ＰＤとＱＣの長さの和は，1 秒間に，3－1＝2(㎝) ずつ増えていくので，
(20－16)÷2＝2(秒後)
答
【１】右のような長方形ＡＢＣＤがあります。点ＰはＡＤ上を毎秒 1 ㎝の速さ
で一往復します。点ＱはＢＣ上を毎秒 2 ㎝の速さで一往復します。いま，
点ＰとＱはＡとＢを同時に出発しました。これについて，次の問いに答え
なさい。
（１）点Ｐ，Ｑが出発してから，3 秒後の四角形ＡＢＱＰの面積は何㎠ですか。
Ｐ
Ａ
2 秒後
Ｄ
10 ㎝
Ｑ
答
45 ㎠
Ｂ
Ｃ
18 ㎝
（２）点Ｐ，Ｑが出発してから，16 秒後の四角形ＡＢＱＰの面積は何㎠ですか。
答
100 ㎠
（３）四角形ＡＢＱＰが長方形になるのは，点Ｐ，Ｑが出発してから何秒後ですか。
答
【２】右のような長方形ＡＢＣＤがあります。点ＰはＡＤ上を毎秒 2 ㎝の速さで
一往復します。点ＱはＢＣ上を毎秒 1 ㎝の速さで一往復します。いま，点Ｐ
は頂点Ａを，点Ｑは頂点Ｂを同時に出発しました。これについて，次の問い
に答えなさい。
（１）点Ｐ，Ｑが出発してから，4 秒後の四角形ＡＢＱＰの面積は何㎠ですか。
Ｐ
Ａ
12 秒後
Ｄ
8㎝
Ｑ
答
48 ㎠
Ｂ
Ｃ
12 ㎝
（２）四角形ＡＢＱＰが長方形になるのは，点Ｐ，Ｑが出発してから何秒後ですか。
答
8 秒後
答
5 秒後
（３）四角形ＡＢＱＰの面積がはじめて 60 ㎠になるのは，点Ｐ，Ｑが出発してから何秒後ですか。
6
点の移動
【１】右の図のような台形ＡＢＣＤがあります。点Ｐが頂点Ａから頂点ＤまでＡ→Ｂ→
Ｃ→Ｄの順に毎秒 1 ㎝の速さで動きます。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）頂点Ａを出発して何秒後に点Ｐは頂点Ｃに着きますか。
Ｃ
5㎝
Ｄ
答
7㎝
11 秒後
4㎝
（２）Ａを出発してから 8 秒後にできる三角形ＡＰＤの面積は何㎠になりますか。
Ｐ
Ａ
答
Ｂ
4㎝
8㎠
（３）四角形ＡＢＣＤの面積が直線ＡＰによって面積の等しい 2 つの図形に分けられるのは，点Ｐが頂点Ａを出発してから何秒
後ですか。
答
5.5 秒後
（４）三角形ＡＰＤの面積が 4 ㎠になるのは，点ＰがＡを出発してから何秒後と何秒後ですか。
答
【２】右の台形ＡＢＣＤの辺上を，点Ｐが頂点Ａを出発して，Ｂ，Ｃを通ってＤまで移
動します。グラフは，このときの三角形ＡＰＤの面積の変化のようすを表していま
す。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）点Ｐの速さは毎秒何㎝ですか。
Ｂ
2 秒後，13.5 秒後
Ｃ
12 ㎝
Ｐ
答
毎秒 1 ㎝
Ｄ
Ａ
(㎠)
（２）ＣＤの長さは何㎝ですか。
84
答
14 ㎝
（３）この台形のまわりの長さは何㎝ですか。
0
答
12
20
34 (秒)
48 ㎝
（４）三角形ＡＰＤの面積が 63 ㎠になるのは，点Ｐが出発してから何秒後と何秒後ですか。
答
9 秒ごと 23.5 秒後
7
点の移動
【３】右のような，たて 6 ㎝，横 9 ㎝の長方形ＡＢＣＤがあります。点Ｐは
辺ＡＤ上を毎秒 1 ㎝の速さで一往復し，点Ｑは辺ＢＣ上を毎秒 2 ㎝の速
さで一往復します。いま，点ＰはＡを，点ＱはＢを同時に出発しました。
これについて，次の問いに答えなさい。
（１）
点Ｐ，
点Ｑが出発してから 4 秒後の四角形ＡＢＱＰの面積を求めなさい。
Ｐ
Ａ
Ｄ
6㎝
Ｑ
Ｂ
答
Ｃ
9㎝
36 ㎠
（２）
点Ｐ，
点Ｑが出発してから 8 秒後の四角形ＡＢＱＰの面積を求めなさい。
答
30 ㎠
（３）四角形ＡＢＱＰが長方形になるのは，点Ｐ，点Ｑが出発してから何秒後ですか。
答 6 秒後
【４】右のような長方形ＡＢＣＤがあります。点Ｐは頂点Ａから毎秒 3 ㎝の速
さでＡＤ上を往復します。点Ｑは頂点Ｃから毎秒 2 ㎝の速さでＢＣ上を往
復します。いま，2 つの点が同時に出発しました。これについて，次の問い
に答えなさい。
（１）四角形ＡＢＱＰがはじめて長方形になるのは出発してから何秒後ですか。
Ａ
Ｄ
Ｐ
10 ㎝
Ｑ
Ｂ
答
Ｃ
18 ㎝
3.6 秒後
（２）四角形ＡＢＱＰが 2 度目に長方形になるのは出発してから何秒後ですか。
10.8 秒後
答
（３）四角形ＡＢＱＰの面積が，長方形ＡＢＣＤの面積の
1
になるのは，出発してから何秒後ですか。
2
答
7.2 秒後
（４）四角形ＡＢＱＰの面積がはじめて 110 ㎠になるのは，出発してから何秒後ですか。
答 4 秒後
8
点の移動
【５】右の図のような長方形ＡＢＣＤがあります。点Ｐは頂点Ａから毎
秒 3 ㎝の速さで，点Ｑは頂点Ｃから毎秒２㎝の速さで，同時に出発
し，矢印の方向に長方形の辺上をまわり続けます。これについて，
次の問いに答えなさい。
（１）点Ｐが点Ｑに初めて追いつくのは，出発してから何秒後ですか。
24 ㎝
Ａ
Ｄ
Ｐ
18 ㎝
Ｑ
答
Ｂ
42 秒後
Ｃ
（２）点ＰとＱを結ぶ直線が，ＡＢとはじめて平行になるのは，出発してから何秒後ですか。
答
12 秒後
答
84 秒後
答
20 秒後
（３）点Ｐが頂点Ａに，点Ｑが頂点Ｃにはじめて同時にもどるのは，出発してから何秒後ですか。
（４）点ＰとＱがはじめて同じ辺の上にくるのは，出発してから何秒後ですか。
【６】右の図のような台形ＡＢＣＤがあります。点ＰはＢを出発し，一定の速
さで辺上をＢ→Ｃ→Ｄ→Ａの順に進みます。グラフは点Ｐが出発してから
の時間と三角形ＡＢＰの面積の関係を表したものです。これについて，次
の問いに答えなさい。
（１）点Ｐの速さは毎秒何㎝ですか。
答
毎秒 2 ㎝
Ａ
Ｄ
8㎝
Ｐ
Ｂ
Ｃ
10 ㎝
（２）辺ＡＤの長さは何㎝ですか。
(㎠)
ア
答
6㎝
24
（３）グラフのア，イにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。
0
5
9
答
イ (秒)
ア…40，イ…12
（４）点Ｐが辺ＣＤ上にあるとき，三角形ＡＢＰの面積が 30 ㎠になるときのＣＰの長さは何㎝ですか。
答
5㎝
9
点の移動
【７】右のような直角三角形ＡＢＣがあります。点Ｐは，Ｂを出発して毎秒 1 ㎝
の速さでＡを通り，Ｃまで動きます。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）点Ｐが出発してから 5 秒後の三角形ＰＢＣの面積を求めなさい。
Ａ
15 ㎝
答
18 ㎤
9㎝
Ｐ
1
（２）三角形ＰＢＣの面積が 2 度目に三角形ＡＢＣの
になるのは，点Ｐが出
2
発してから何秒後ですか。
Ｂ
Ｃ
12 ㎝
19.5 秒後
答
（３）三角形ＰＢＣの面積がはじめて三角形ＡＢＣの
2
になるのは，点Ｐが出発してから何秒後と何秒後ですか。
3
答
【８】右の図のような台形ＡＢＣＤがあり，点Ｐは辺ＡＢ上を，点Ｑは辺ＢＣ上
をそれぞれ一定の速さで動きます。点ＰがＡを，点ＱがＢを同時に出発した
ところ，10 秒後に点ＰはＢに，点ＱはＣに同時に到着しました。これについ
て，次の問いに答えなさい。
（１）点Ｐ，Ｑが出発してから 4 秒後の三角形ＰＢＱの面積は何㎠ですか。
9㎝
Ａ
10 ㎝
10 秒後と 18 秒後
Ｄ
Ｐ
8㎝
Ｑ
Ｂ
Ｃ
15 ㎝
答
14.4 ㎤
（２）三角形ＰＢＱがはじめて直角三角形になるのは，出発してから何分後ですか。
答
【９】右の図のような台形ＡＢＣＤがあります。その周上を，点ＰはＡ→Ｂ→
Ｃ→Ｄの順に毎秒 2 ㎝の速さで動き，点ＱはＡ→Ｄ→Ｃの順に毎秒 1 ㎝の
速さで動きます。点Ｐと点Ｑは同時にあを出発します。これについて，次
の問いに答えなさい。
（１）点Ｐと点Ｑが出会うのは，出発してから何秒後ですか。
Ｄ
Ｑ
12 ㎝
Ｂ
答
15 ㎝
Ａ
2･6/7 秒後
15 ㎝
Ｐ
Ｃ
24 ㎝
22 秒後
（２）出発してから 24 秒後の三角形ＡＰＱの面積は何㎠ですか。
答
36 ㎠
10
図形の移動
例題１(図形の回転１)
右のような直角三角形ＡＢＣを，頂点Ｂを中心にして矢印の方向に 90 度
回転させました。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）頂点Ａが動いた，弧ＡＡ’の長さは何㎝ですか。
Ａ’
Ｃ
（２）辺ＡＣが動いたあとの図形(斜線部分)の面積は何㎠ですか。
Ｃ’
8㎝
Ａ
6㎝
Ｂ
10 ㎝
〔解き方〕
図形をある点を中心に回転させることを回転移動といいます。図形が回転移動をするとき，どの頂点も同じ点を中心とし
て同じ角度だけ回転するので，動いたあとの線は中心角が等しいおうぎ形の弧になります。
（１）弧ＡＡ’の長さは，半径 10 ㎝，中心角 90 度のおうぎ形の弧の長さを求めればよいことになるので，
90
10×2×3.14×
＝15.7(㎝)
360
答
（２）右の図の
部分と
部分は合同なので，求める斜線部分の面積
は，(半径 10 ㎝，中心角 90 度おうぎ形の面積)－(半径 6 ㎝，中心角 90 度
のおうぎ形の面積) となります。
90
90
10×10×3.14×
－6×6×3.14×
360
360
90
＝(10×10－6×6)×3.14×
360
90
＝64×3.14×
＝50.24(㎠)
360
Ａ’
Ｃ
Ｃ’
Ａ
Ｂ
50.24 ㎤
答
【１】右の図は，三角形ＡＢＣを頂点Ｂを中心にして，矢印の方向へ 60 度
回転させたものです。円周率を 3.14 として次の問いに答えなさい。
（１）頂点Ａが動いた，弧ＡＡ’の長さは何㎝ですか。
Ａ
12 ㎝
Ａ’
Ｃ
18 ㎝
答
15.7 ㎝
18.84 ㎝
12 ㎝
（２）辺ＡＣが移動したあとの図形(斜線部分)の面積は何㎠ですか。
Ｃ’
Ｂ
答
【２】右の図は，三角形ＡＢＣを頂点Ｂを中心にして，右の方向へ 120 度回
転させたものです。このとき，斜線部分の面積は何㎠ですか。円周率を
3.14 として求めなさい。
94.2 ㎤
Ａ
Ｃ’
12 ㎝
Ａ’
Ｂ
Ｃ
6㎝
答
113.04 ㎤
11
図形の移動
例題２(図形の回転２)
右の図は，たて 6 ㎝，横 8 ㎝，対角線の長さが 10 ㎝の長方形ＡＢＣＤを，
頂点Ａを中心として矢印の向きに 45 度回転したようすを表したものです。
円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）斜線部分のまわりの長さは何㎝ですか。
Ｃ’
Ｄ
Ｃ
Ｂ’
Ｄ’
（２）斜線部分の面積は何㎠ですか。
Ａ
Ｂ
〔解き方〕
45
＝7.85(㎝)
360
斜線部分のまわりの長さは，7.85＋(6＋8)×2＝35.85(㎝)
（１）弧ＣＣ’＝10×2×3.14×
答
35.85 ㎝
Ｃ’
（２）右の図のように，斜線部分の三角形ＡＢＣを三角形ＡＢ’Ｃ’に移すと，
求める斜線部分の面積は，半径 10 ㎝，中心角 45 度のおうぎ形になります。
よって，斜線部分の面積は，
45
10×10×3.14×
＝39.25(㎤)
360
答
Ｄ
Ｂ’
Ｄ’
39.25 ㎤
Ａ
Ｂ
【１】右の図は，長方形ＡＢＣＤを，頂点Ｃを中心として，矢印の方向に 72 度
回転した様子を表したものです。円周率を 3.14 として，次の問いに答えな
さい。
（１）斜線部分のまわりの長さは何㎝ですか。
Ａ’
Ｂ’
Ａ
6㎝
答
Ｃ
Ｄ
10 ㎝
Ｄ’
40.56 ㎝
Ｂ
（２）斜線部分の面積は何㎠ですか。
Ｃ
8㎝
答
【２】右の図のように，正方形ＡＢＣＤを，点Ｂを中心として左方向に 72 度
回転させました。正方形の面積を 50 ㎠のとき，次の問いに答えなさい。
ただし，円周率は 3.14 とします。
（１）右の図の，x の値を求めなさい。
答
（２）斜線部分の面積は何㎠ですか。
10
62.8 ㎝
Ｄ’
Ａ
Ｄ
Ｃ’
x㎝
Ａ’
Ｃ
Ｂ
答
62.8 ㎤
12
図形の移動
例題１(円の転がり１)
半径 2 ㎝の円Ｏが，たて 6 ㎝，横 10 ㎝の長方形の辺上を，すべることな
く転がって 1 周します。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）円の中心が動いたあとの線の長さは何㎝ですか。
Ｏ
6㎝
（２）円が通ったあとの図形の面積は何㎤ですか。
10 ㎝
〔解き方〕
（１）円が直線上や円周上を転がるとき，円は直線や円周(弧)に接しなが
せってん
ら移動します。このときの点を接点といい，円の中心から接点までの
距離は半径になり，円の半径と直線は接点で垂直に交わります。
円は右の図のように動くことから，円の中心が動いた部分は直線と
4 すみの曲線に分けられます。
このとき，曲線部分は半径 2 ㎝，中心角 90 度のおうぎ形 4 つ分な
ので，半径 2 ㎝の円周になります。
直線部分の長さの和は，(6＋10)×2＝32(㎝)
曲線部分の長さの和は，2×2×3.14＝12.56(㎝)
円Ｏの中心が動いた長さの和は，32＋12.56＝44.56(㎝)
答
2㎝
Ｏ
6㎝
10 ㎝
44.56 ㎝
（２）円が通ったあとは，右の図より，たて 4 ㎝，横 10 ㎝の長方形 2 個
と，たて 6 ㎝，横 4 ㎝の長方形 2 個と，半径 4 ㎝，中心角 90 度のお
うぎ形 4 個(半径 4 ㎝の円)を組み合わせた図形になります。
Ｏ
(4×10＋6×4)×2＋4×4×3.14＝178.24(㎠)
答 178.24 ㎠
別解)
円が通ったあとの 4 個のおうぎ形に注目します。
6㎝
この 4 個のおうぎ形の面積はそれぞれ，
中心角(90)
10 ㎝
半径(4 ㎝)×半径(4 ㎝)×3.14×
で求めます。
360
中心角(90)
1
この式の波線部分，半径(4 ㎝)×3.14×
＝弧の長さ×
360
2
1
となり，弧の長さ×
は円の中心が移動した長さになります。
2
よって，4 個のおうぎ形の面積はそれぞれ，転がる円の直径×円の中心が移動した長さ と考えることができます。
同様に長方形の面積も，(4×10＋6×4)×2＝4×(10＋6)×2 となり，やはり 転がる円の直径×円の中心が移動した長さ
と考えることができます。
したがって，円が図形の外側を転がるとき，
円の通った部分の面積は，以下の公式で求めることもできます。
『(転がる円の直径)×(円の中心が通った長さ)＝(円が通った部分の面積)』
ですから，(１)より円の通った部分の面積は，4×44.56＝178.24(㎠)
円が 1 周するときに通る部分の面積をこの公式で求めることができるのは，主に下の①～③の場合で，④のような｢折れ
線の内側｣を通るときは使うことができないので注意しましょう。
①直線上
②折れ線の外側
③弧の外側
④折れ線の内側
㊟
13
図形の移動
✏ 円が多角形の外側を一周するとき，各頂点で円は回転移動をします。そのときにできるおうぎ形の中心角の和は 360 度に
なります。
三角形
正六角形
(多角形)
おうぎ形
【１】1 辺が 8 ㎝の正方形の辺上を，半径 1 ㎝の円がすべることなく転がって 1 周しま
す。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）円の中心が通ったあとの線の長さは何㎝ですか。
8㎝
8㎝
答
38.28 ㎝
（２）円が通ったあとの図形の面積は何㎠ですか。
答
76.56 ㎠
【２】半径 2 ㎝の円が，右のような直角三角形の辺上を，すべることなく転がって 1 周
します。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）円の中心が通ったあとの線の長さは何㎝ですか。
12 ㎝
20 ㎝
答
60.56 ㎝
16 ㎝
（２）円が通ったあとの図形の面積は何㎠ですか。
答
【３】右の図のような，半径が 8 ㎝，中心角が 90 度のおうぎ形の外側を，半
径が 2 ㎝の円が転がって 1 周します。このとき，円が通った部分の面積は
何㎝ですか。ただし，円周率を 3.14 とします。
答
164.48 ㎠
8㎝
242.24 ㎠
14
図形の移動
例題２(円の転がり２)
半径 1 ㎝の円が，たて 6 ㎝，横 10 ㎝の長方形の内側を，辺にそってすべ
ることなく転がって 1 周します。円周率を 3.14 として，次の問いに答えな
さい。
（１）円の中心が動いたあとの線の長さは何㎝ですか。
10 ㎝
6㎝
（２）円が通った部分の面積は何㎠ですか。
〔解き方〕
（１）円の中心が通ったあとは右の図のような長方形になります。
長方形のたての長さは，6－1×2＝4(㎝)
長方形の横の長さは，10－1×2＝8(㎝)
円の中心が動いた長さは，(4＋8)×2＝24(㎝)
10 ㎝
6㎝
答
24 ㎝
10 ㎝
（２）円が通った部分の面積は，全体の長方形から，円が通らなかった部
分(㋐4 つと㋑)の面積をひけばよいので，
全体の長方形の面積は，6×10＝60(㎠)
㋐4 つ分の面積は，2×2－1×1×3.14＝0.86(㎠)
㋑の面積は，(6－2×2)×(10－2×2)＝12(㎠)
円が動いた部分の面積は，60－(0.86＋12)＝47.14(㎠)
答 47.14(㎠)
㋐
6㎝
㋑
【１】1 辺が 8 ㎝の正方形の内側を辺にそって，半径 1 ㎝の円がすべることなく転
がって 1 周します。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）円の中心が通ったあとの線の長さは何㎝ですか。
答
8㎝
24 ㎝
（２）円が通ったあとの図形の面積は何㎠ですか。
8㎝
答
47.14 ㎝
答
87.44 ㎠
【２】半径 2 ㎝の円が，右のような長方形の内側を辺にそって，すべることなく転
がって 1 周します。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）円の中心が通ったあとの線の長さは何㎝ですか。
15 ㎝
答
（２）長方形の内部で，円が通らなかった部分の面積は何㎠ですか。
54 ㎝
20 ㎝
15
図形の移動
例題３(円の転がり３)
右の図のように半径 2 ㎝の円の外側を，半径 2 ㎝の円(ア)が円に接しなが
ら，すべらないように転がします。円の外側を 1 周して元の位置にもどるま
でに，円(ア)は何回転しますか。
㋐
〔解き方〕
円㋐は右の図のように動きます。
円㋐の中心が動いた長さは，半径が 2＋2＝4(㎝)の円になるので，
4×2×3.14＝25.12(㎝)
円㋐の回転数はこの 25.12 ㎝の中に，円㋐の円周がいくつ取れるかを考えます。
したがって，25.12÷(2×2×3.14)＝2(回転)
答
2 回転
【１】右の図のように，半径が 4 ㎝の円の外側を，半径が 2 ㎝の円Ａがすべるこ
となく転がって 1 回転します。
円周率を 3.14 として，
次の問いに答えなさい。
（１）円Ａの中心が動いた線の長さは何㎝ですか。
答
37.68 ㎝
Ａ
4㎝
（２）円Ａが 1 回転して元の位置までもどってくるまでに何回転しますか。
答
3 回転
（３）円Ａが動いた部分の面積は何㎠ですか。
答
【２】右の図のように，半径 3 ㎝の円を 1 列に固定した図形があり，そのまわ
りを半径 3 ㎝の円Ｏが，この図形の外側に接しながらすべることなく 1 周
します。このとき，円Ｏは元の位置にもどってくるまでに何回転しますか。
Ｏ
答
【３】右の図のように，半径 2 ㎝の円板を 3 個固定して，その外側を同じ半
径の円板Ａをすべらないように転がします。円板Ａが 3 個の円のまわり
を 1 周して元の位置にもどるまでに，
円板Ａは何回転しますか。
ただし，
円周率は 3.14 とします。
150.72 ㎠
2･2/3 回転
Ａ
答
3 回転
16
図形の移動
例題４(三角形の転がり)
1 辺の長さが 3 ㎝の正三角形ＡＢＣを，右の図のように直線ℓに
そってアの位置まですべらせることなく転がしました。頂点Ａが
動いたあとの長さは何㎝ですか。ただし，円周率は 3.14 とします。
Ｃ
ア
Ａ
〔解き方〕
正三角形は，頂点Ｂを中心として 120 度回転し，次に頂点Ｃを
中心として 120 度回転してアの位置にきます。このとき，頂点Ａ
は右の図のように動きます。
したがって，頂点Ａの動いたあとの長さは，
120
3×2×3.14×
×2＝12.56(㎝)
360
ℓ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｂ
ア
Ａ
Ｂ
120 度
Ａ
Ｃ
答
ℓ
12.56 ㎝
【１】1 辺の長さが 5 ㎝の正三角形ＡＢＣを，下の図のように直線上をアの位置まですべらせることなく転がしました。頂点Ａ
が動いたあとの長さは何㎝ですか。ただし，円周率は 3.14 とします。
Ａ
ア
Ｂ
Ｃ
答
【２】1 辺の長さが 3 ㎝の正三角形を，右の図のような折れ線上を
㋐の位置から㋑の位置まですべらないように転がしました。円
周率を 3.14 として次の問いに答えなさい。
（１）㋑の位置かで転がしたとき，頂点Ｐの位置にくるのはＡ，Ｂ，
Ｃのどの頂点ですか。
31.4 ㎝
Ａ
㋐
Ｂ
Ｃ
6㎝
3㎝
答
頂点Ｂ
㋑
（２）頂点Ａの動いたあとの線の長さは何㎝ですか。
Ｐ
答
【３】1 辺の長さが 2 ㎝の正三角形を，右の図のような折れ線上を
㋐の位置から㋑の位置まですべらないように転がしました。円
周率を 3.14 として次の問いに答えなさい。
（１）㋑の位置かで転がしたとき，頂点Ｐの位置にくるのはＡ，Ｂ，
Ｃのどの頂点ですか。
Ｐ
37.68 ㎝
㋑
Ａ
4㎝
㋐
答
頂点Ｂ
Ｂ
Ｃ
4㎝
（２）頂点Ａの動いたあとの線の長さは何㎝ですか。
答
9.42 ㎝
17
図形の移動
例題５(長方形の転がり)
長方形ＡＢＣＤを，右の図のように，直線ℓにそっ
て矢印の方向にアの位置まですべらないように転が
しました。円周率を 3.14 として，次の問いに答えな
さい。
（１）頂点Ａが動いたあとの線の長さは何㎝ですか。
Ａ
Ｄ
5㎝
3㎝
4㎝
Ｂ
ア
Ｃ
（２）頂点Ｂが動いたあとの線と直線ℓとで囲まれた図形の面積は何㎠ですか
〔解き方〕
（１）長方形ＡＢＣＤは右の図のように，回転の中心を
頂点Ｃ→頂点Ｄ→頂点Ａ→頂点Ｂの順にとって，そ
れぞれ 90 度回転してアの位置まで転がります。
よって，頂点Ａが動いたあとの線の長さは，
1
1
1
5×2×3.14×
＋4×2×3.14×
＋3×2×3.14×
4
4
4
1
＝(5＋4＋3)×2×3.14×
4
1
＝12×2×3.14×
＝18.84(㎝)
4
Ｂ
Ｄ
Ａ
Ｃ
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ｂ
5㎝
3㎝
Ｂ
Ａ
Ｄ
ア
4㎝
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｃ
答
（２）頂点Ｂが通ったあとの線は右の図の太い線のよう
になり，求める面積は右の図の影の部分の面積を求
めることになります。
これは，半径 3 ㎝，中心角 90 度のおうぎ形と，半
径 5 ㎝，中心角 90 度のおうぎ形と，半径 4 ㎝，中
心角 90 度のおうぎ形と，長方形ＡＢＣＤの面積の和
Ｂ
になるので，
1
1
1
3×3×3.14×
＋5×5×3.14×
＋4×4×3.14×
＋3×4
4
4
4
1
＝(9＋25＋16)×3.14×
＋12＝51.25(㎠)
4
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
ア
Ｄ
Ｂ
答
【１】右のような長方形ＡＢＣＤがあります。この長方形
を，直線ℓ上をアの位置まですべることなく転がしま
す。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）長方形ＡＢＣＤがアの位置にきたとき，頂点ＰはＡ，
Ｂ，Ｃ，Ｄのどの頂点と重なりますか。記号で答えな
さい。
Ａ
8㎝
Ｂ
18.84 ㎝
51.25 ㎠
Ｄ
Ｐ
10 ㎝
ア
6㎝
ℓ
Ｃ
答
頂点Ｂ
（２）頂点Ａが動いたあとの線の長さは何㎝ですか。
答
25.12 ㎝
（３）頂点Ｂが動いたあとの線と直線ℓとで囲まれた図形の面積は何㎠ですか。
答
205 ㎠
18
図形の移動
例題６(おうぎ形の転がり)
半径 8 ㎝，中心角 90 度の円を，右の図のアの位置から，
直線ℓにそって，はじめてＯＢが直線ℓ上にくるイの位置まで
すべることなく転がしました。円周率を 3.14 として，次の
問いに答えなさい。
（１）中心Ｏが動いたあとの線の長さは何㎝ですか。
Ａ
Ｂ
ア
イ
Ｏ
Ｂ
Ａ
ℓ
Ｏ
（２）中心Ｏが動いたあとの線と，直線ℓとで囲まれる部分の面積は何㎠ですか。
〔解き方〕
（１）おうぎ形は，はじめはＡを中心にして，ＯＡが直線ℓと垂直にな
るまで 90 度回転します。次に弧ＡＢと直線ℓが接するので，点Ｏ
は直線ℓと平行に弧ＡＢと同じ長さだけ移動し，
ＯＢが直線ℓと垂直
になります。最後にＢを中心にして 90 度回転してイの位置にきま
す。このとき，中心Ｏが動いた線は右の図の太線ようになるので，
その長さは，
1
8×2×3.14×
×2＝25.12(㎝)･･･両側の曲線の長さの和
4
1
8×2×3.14×
＝12.56(㎝)･･･中央の直線の長さ
4
25.12＋12.56＝37.68(㎝)
弧ＡＢの長さ
Ａ
Ｂ
ア
Ｏ
イ
Ａ
Ｂ
37.68 ㎝
答
（２）中心Ｏが動いたあとの線と，直線ℓとで囲まれる部分は右の図の
影の部分になり，この図形は，半径 8 ㎝，中心角 90 度のおうぎ形
2 つと，たての長さが 8 ㎝，横の長さが弧ＡＢの長さである長方形
を組み合わせたものになります。
1
8×8×3.14×
×2＝100.48(㎠)･･･おうぎ形 2 つ
4
8×12.56＝100.48(㎠)･･･長方形
100.48＋100.48＝200.96(㎠)
Ａ
Ｂ
ア
イ
Ｏ
Ａ
Ｂ
ℓ
Ｏ
200.96 ㎠
答
【１】右の図のように，半径 6 ㎝，中心角 60 度のおうぎ形を直線にそ
って，
アの位置からすべらないように転がしてイの位置まで移動さ
せます。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）中心Ｏが動いたあとの線の長さを求めなさい。
ℓ
Ｏ
イ
ア
Ｏ
Ｏ
25.12 ㎝
答
（２）中心Ｏが動いたあとの線と，直線ℓとで囲まれる部分の面積は何㎠ですか。
答
【２】半径 6 ㎝，中心角 120 度のおうぎ形があります。
いま，このおうぎ形を右の図のように，直線上で
すべらないように転がし，1 回転させます。このと
き，中心Ｏが動いたあとの線と直線とで囲まれた
部分の面積は何㎠ですか。ただし，円周率は 3.14
とします。
Ｂ
94.2 ㎠
Ｂ
120°
O
6㎝
Ａ
O
答
Ａ
131.88 ㎠
19
図形の移動
例題７(図形の平行移動)
直線上に 10 ㎝はなれて直角二等辺三角形㋐と正方形㋑があ
ります。㋐を矢印の方向に毎分 1 ㎝の速さで動かします。これ
について，次の問いに答えなさい。
（１）㋐と㋑の重なる部分の形はどのように変化しますか。そ
の図形の名前を順に答えなさい。
10 ㎝
ア
8㎝
（２）動き始めてから 20 秒後に㋐と㋑が重なる部分の面積は
何㎠ですか。
イ
10 ㎝
8㎝
〔解き方〕
図形を一定の方向にまっすぐ移動させることを平行移動といいます。図形を平行移動させると，どの頂点も同じ方向に同
じ距離だけ移動します。
（１）重なる部分の形は下のように変化します。
直角三角形
台形
五角形
長方形
答 直角三角形→台形→五角形→長方形
（２）直角三角形㋐は 20 秒間に，1×20＝20(㎝) 動くので，
Ａ
20 秒後に重なっている部分は右の図のような五角形ＢＨ
ＧＥＤになります。
Ｄ
Ｅ
Ｆ
よって，求める五角形ＢＨＧＥＤの面積は，長方形ＤＢ
10 ㎝
ＨＦの面積から三角形ＥＦＧの面積をひいて求めること
ア
イ
になります。
Ｇ
20－10－8＝2(㎝)･･･ＨＣ
2㎝
10 ㎝
8㎝
8×(8－2)＝48(㎠)･･･長方形ＤＢＨＦ
Ｈ Ｃ
Ｂ
三角形ＡＢＣと三角形ＧＨＣは相似で，相似比は(8 ㎝：2 ㎝＝)4：1 なので，
20 ㎝
10÷4×1＝2.5(㎝)･･･ＧＨ
10－2.5＝7.5(㎝)･･･ＦＧ
また，三角形ＥＦＧと三角形ＣＨＧは相似で，相似比は(7.5 ㎝：2.5 ㎝)＝3：1 なので，
2÷1×3＝6(㎝)･･･ＥＦ
6×7.5÷2＝22.5(㎠)･･･三角形ＥＦＧ
48－22.5＝25.5(㎠)
答 22.5 ㎠
【１】直線上に 8 ㎝はなれて正方形アと直角二等辺三角形イがありま
す。アを矢印の方向に毎秒 2 ㎝の速さで動かすとき，次の問いに
答えなさい。
ア
イ
（１）動き始めてから 6 秒後に，アとイが重なっている部分の面積は
何㎠ですか。
6㎝
8㎝
6㎝
8㎠
答
（２）動き始めてから 8.5 秒後に，アとイが重なっている部分の面積は何㎠ですか。
答
13.5 ㎠
（３）重なっている部分の図形が台形になっているのは何秒間ですか。
答
3 秒間
20
図形の移動
※円周率を 3.14 として計算しなさい。
Ｂ’
【１】右の図は，三角形ＡＢＣを頂点Ｃを中心にして，矢印の方向へ 90 度回転さ
せたものです。このとき辺ＡＢが移動したあとの図形(斜線部分)の面積は何㎠
ですか。
Ａ
Ａ’
4㎝
Ｂ
答
Ｃ
8㎝
37.68 ㎠
【２】右の図は 1 辺の長さが 6 ㎝の正方形ＡＢＣＤを，頂点Ｃを中心として矢印
の方向に 30 度回転させたものです。斜線部分の面積は何㎠になりますか。
Ａ
Ｄ
Ｄ’
Ａ’
Ｃ
Ｂ
答
18.84 ㎠
Ｂ’
【３】右の図のような，たて５㎝，横の８㎝の長方形の外側を半径１㎝
の円Ｐが，
内側を同じ大きさの円Ｑがそれぞれすべることなく転が
りながら１周するとき，次の問いに答えなさい。
（１）円Ｐの中心が動いた線の長さは何㎝ですか。
Ｐ
Ｑ
5㎝
答
（２）円Ｑの中心が動いた線の長さは何㎝ですか。
32.28 ㎝
8㎝
答
18 ㎝
（３）円Ｐが動いたあとの図形の面積は何㎠ですか。
（４）
答
64.56 ㎠
答
35.14 ㎠
円Ｑが動いたあとの図形の面積は何㎠ですか。
21
図形の移動
【４】右の図のように，半径が 10 ㎝の円板Ａが，半径 10 ㎝の円板Ｂの外側をア
の位置からすべることなく転がって 1 周します。これについて，次の問いに答
えなさい。
（１）円板ＡがＢのまわりを１周したとき，Ａの中心が動いた長さは何㎝ですか。
Ａ
Ｂ
答
125.6 ㎝
（２）円板ＡがＢのまわりを１周してできる図形の面積は何㎠ですか。
答
25.12 ㎠
（３）円板ＡがＢのまわりを 1 周したとき，円板ＡにかかれたＡの文字は何回転しますか。
答 2 回転
【５】次の図のように，1 辺の長さが 6 ㎝の正三角形ＡＢＣが直線ℓ上
に置かれています。この三角形を，頂点Ｃを中心にして，矢印の向き
に転がし，1 回転させます。これについて，次の問いに答えなさい。
（１） 図の(
)の中に頂点Ａ，Ｂ，Ｃを書き入れなさい。
答
(
Ｃ
Ａ
(左から)Ａ，Ｃ，Ｂ，Ａ
Ｂ
)
(
)
(
)
(
)
ℓ
（２）頂点Ａが動いたあとの線の長さは何㎝ですか。
答
25.12 ㎝
答
90.96 ㎠
（３）正三角形ＡＢＣの面積が 15.6 ㎠であるとき，三角形ＡＢＣの動いたあとの図形の面積は何㎠ですか。
【６】右の図のように，長方形ＡＢＣＤを直線に
そって矢印の方向にすべらないように，㋐の
位置から㋑の位置まで転がしました。これに
ついて，次の問いに答えなさい。
（１）長方形ＡＢＣＤが㋑の位置にきたとき，頂
点Ｐと重なるのはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄのどの頂点
ですか。記号で答えなさい。
Ａ
5㎝
Ｂ
Ｐ
Ｄ
13 ㎝
㋑
㋐
12 ㎝
Ｃ
答 頂点Ａ
（２）頂点Ｂが動いたあとの線と直線とで囲まれる図形の面積は何㎝ですか。
答
325.33 ㎠
22
図形の移動
【７】下の図は，半径 5 ㎝の半円がアの位置から直線ℓ上を矢印の
方向へすべることなく転がってイの位置にきたものです。この
とき中心Ｏのえがく線と直線ℓによってかこまれた部分の面積
は何㎠ですか。
ℓ
ア
イ
Ｏ
Ｏ
答
117.75 ㎠
【８】右の図のように，直線上に大，小２つの正方形があります。小さい正
方形を矢印の方向に，秒速 1 ㎝で動かします。下のグラフは，2 つの正
方形が重なりはじめてからの時間と重なった部分の図形の面積の関係
を表したものです。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）大小 2 つの正方形の 1 辺の長さはそれぞれ何㎝ですか。
(㎠)
x
答 大･･･6 ㎝，小･･･4 ㎝
（２）グラフの x に当てはまる数を求めなさい。
答
16
0
4
6
(秒)
10
（３）重なりはじめてから 3 秒後に，2 つの正方形が重なっている部分の図形の面積は何㎠ですか。
12 ㎠
答
（４）重なりはじめてから 8 秒後に，2 つの正方形が重なっている部分の図形の面積は何㎠ですか。
答
8㎠
（５）2 つの正方形が重なっている部分の図形の面積が 10 ㎠になるのは，重なりはじめてから何秒後と何秒後ですか。
答
【９】右の図のように，直線上に正方形と直角三角形がありま
す。今，正方形を直線にそって毎秒 2 ㎝の速さで，矢印の
方向に動かします。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）2 つの図形が重なっているのは何秒間ですか。
12 ㎝
9㎝
9㎝
答
2.5 秒後と 7.5 秒後
6㎝
18 ㎝
13.5 秒間
（２）動かし始めて 9 秒後の重なりの部分の面積は何㎠ですか。
答
45 ㎠
23
図形の移動
【10】半径 1 ㎝の円が，図のような正五角形の外側の辺にそってすべること
なく転がりながら 1 周します。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）円の中心が通ったあとの線の長さは何㎝ですか。
8㎝
答
46.28 ㎝
（２）円が通ったあとの図形の面積は何㎠ですか。
92.56 ㎠
答
【11】右の図のように，半径が 4 ㎝の円板Ａが，半径 8 ㎝の円板Ｂの内側をアの位置
から矢印の向きにすべることなく転がりながら 1 周します。これについて，次の
問いに答えなさい。
（１）円板Ａの中心が動いた長さは何㎝ですか。
Ａ
Ｂ
答
25.12 ㎝
（２）円板Ａが動いたあとの図形の面積は何㎠ですか。
答
200.96 ㎠
（３）円板Ａが１周したとき，円板ＡにかかれたＡの文字は何回転しますか。
答
【12】右の図のように，半径 6 ㎝の中心角 90 度のおうぎ形が，折
れ線の上にすべることなく転がって，アの位置からイの位置ま
で移動しました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）おうぎ形の中心Ｏが動いた線の長さは何㎝ですか。
1 回転
ア
6㎝
120°
Ｏ
イ
Ｏ
答
34.54 ㎝
（２）(１)の線と折れ線とで囲まれた図形の面積は何㎠ですか。
答
131.88 ㎠
24
場合の数
例題１(和の法則)
（１）右の図のような，ごばんの目の形をした道があります。Ａ地点からＢ地
点まで，遠回りをしないで行く道順は全部で何通りありますか。
Ｂ地
Ａ地
（２）大小 2 つのサイコロをふります。2 個のさいころの目の和が 4 の倍数になる場合は全部で何通りありますか。
〔解き方〕
Ａ，Ｂ2 つのことがらが同時に起こらないとき，Ａの起り方がＰ通り，Ｂの起り方がＱ通りあるとき，ＡまたはＢが起こる
場合の数は(Ｐ＋Ｑ)通りあります。このことを和の法則といいます。
（１）Ａ地点からＢ地点まで遠回りをしないで行くので，たて方向は必ず上に，
横方向は必ず右に進まなければなりません。このことから，Ａ地点からた
て方向と横方向にのびる道にあるすべての交差点までの道順はどれも 1 通
りしかありません(右図 1)
図 2 で，Ｆの交差点には左のＥの交差点から来る場合と下のＣの交差点
から来る場合があるので，(1＋1＝)2 通りあります。同様に，Ｇの交差点に
は左のＦの交差点から来る場合と下のＤの交差点から来る場合があるので，
(2＋1＝)3 通りあります。
したがって，Ａ地からＢ地まで遠回りをしないで行く道順は全部で 10 通
りあります。
答
1
1
1
1
3
6
10 Ｂ地
Ｆ
2
3
1
Ａ地
(図 1)
1
Ｅ1
Ａ地
10 通り
Ｂ地
Ｇ
4
1
1
1
Ｃ (図 2) Ｄ
（２）2 個のサイコロの目の和は，2 以上 12 以下なので，このとき考えられる 4 の倍数は，4，8，12 なので，目の和が 4 にな
る場合と 8 になる場合と 12 になる場合を考えます。
①目の和が 4 になる場合
(大，小)＝(1，3)，(2，2)，(3，1)の 3 通り
②目の和が 8 になる場合
(大，小)＝(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)の 5 通り
③目の和が 12 になる場合
(大，小)＝(6，6)の 1 通り
よって，2 個のさいころの目の和が 4 の倍数になる場合は，3＋5＋1＝9(通り)
答 9 通り
【１】右の図のような，ごばんの目の形をした道があります。Ａ地点から
Ｂ地点まで，遠回りをしないで行く道順は全部で何通りありますか。
答
15 通り
Ｂ地
Ａ地
【２】大小 2 個のサイコロをふります。2 個のさいころの目の和が 5 の倍数になる場合は全部で何通りありますか。
答
【３】右の図のような，ごばんの目の形をした道があります。Ａ地点から
Ｂ地点まで，遠回りをしないで行く道順は全部で何通りありますか。
答
14 通り
Ｂ地
Ａ地
7 通り
25
場合の数
例題２(積の法則)
（１）右の図は，Ａ町，Ｂ町，Ｃ町を結ぶ道をかいたものです。これについ
て，次の問いに答えなさい。
① Ａ町からＣ町まで行く道順は全部で何通りありますか。
②
Ａ町
Ｂ町
Ｃ町
Ａ町とＣ町の間を往復するとき，行きに通った道は帰りには通らないことにすると，道順は全部で何通りありますか。
（２）Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの 5 人が横一列に並びます。これについて，次の問いに答えなさい。
① 5 人の並び方は全部で何通りありますか。
②
ＡとＣが両はしになるような並び方は全部で何通りありますか。
〔解き方〕
Ａの起り方がＰ通りあり，このＰ通りそれぞれについてＢの起り方がＱ通りあるとき，ＡとＢが起こる場合は(Ｐ×Ｑ)通り
あります。これを積の法則といいます。
（１）
① Ａ町からＢ町まで行く道は 2 通りあり，Ｂ町からＣ町まで行く道は 3 通りあるので，Ａ町からＢ町まで行く 2 通りの道そ
れぞれについてＢ町からＣ町まで行く道は 3 通りずつあります。したがって，Ａ町からＣ町まで行く道順は，
2×3＝6(通り)
答 6 通り
②
Ｃ町からＢ町まで帰る道は，行きに通った道は帰りには通らないので，(3－1＝)2 通りあります。同様に，Ｂ町からＡ町
まで帰る道は(2－1＝)1 通りあるので，
Ａ→Ｂ
Ｂ→Ｃ
Ｃ→Ｂ
Ｂ→Ａ
2
×
3
×
2
×
1
＝ 12(通り)
答 12 通り
（２）
① 左はしから順に並ぶことにすると，1 番目は 5 人のうち誰でもよいので 5 通りあり，2 番目は 1 番目に並んだ人以外の 4
人のうち誰でもよいので 4 通りあります。同様に考えて，3 番目は 3 通り，4 番目は 2 通り，5 番目は 1 通りとなるので，
積の法則より，
5×4×3×2×1＝120(通り)
答 120 通り
② ＡとＣが両はし(1 番目と 5 番目)になるのでＡとＣの並び方は，2×1＝2(通り)
2 番目，3 番目，4 番目に並ぶ，Ｂ，Ｄ，Ｅの 3 人の並び方は，3×2×1＝6(通り)
積の法則より，ＡとＣが両はしになるような並び方は， 2×6＝12(通り)
答 12 通り
【１】右の図は，Ａ町，Ｂ町，Ｃ町を結ぶ道をかいたものです。これについて，
次の問いに答えなさい。
（１）Ａ町からＣ町まで行く道順は全部で何通りありますか。
Ａ町
Ｂ町
Ｃ町
答
12 通り
（２）Ａ町とＣ町の間を往復します。このとき，行きに通った道を帰りには通らないことにすると道順は全部で何通りあります
か。
答
72 通り
【２】Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの 4 人が一列に並びます。Ａを先頭にして並ぶとき，並び方は全部で何通りありますか。
答
6 通り
26
場合の数
例題３(色塗り)
右の図のように，長方形を㋐，㋑，㋒，㋓，㋔の 5 つに分け，これらを赤，青，黄，
緑，紫の 5 色の色えんぴつを使ってぬり分けます。これについて，次の問いに答えなさ
い。
（１）5 色全部を使ってぬり分ける方法は何通りありますか。
㋐
㋑
㋒
㋓
㋔
（２）5 色のうち 4 色を使ってぬり分ける方法は何通りありますか。
（３）5 色のうち 3 色を使ってぬり分ける方法は何通りありますか。
〔解き方〕
（１）㋐，㋑，㋒，㋓，㋔の順にぬっていくと考えると，㋐に
は 5 通り，㋑には㋐で使わなかった残りの 4 通り，㋒には
㋐と㋑で使わなかった残りの 3 通り，
㋓には残りの 2 通り，
㋔には残りの 1 通りのぬり方があるので，
5×4×3×2×1＝120(通り)
㋐
5 通り
㋑
4 通り
㋒
3 通り
㋓
2 通り
㋔
1 通り
答
120 通り
（２）
『ぬり分ける』ので，となり合う場所には同じ色をぬることはできません。ですから，5 つの場所を 4 色でぬり分けるに
は，同じ色をぬる場所が 2 か所あり，この 2 か所は必ずとなり合わない場所にならなければなりません。したがって同じ色
をぬるのは，㋑と㋓，または，㋒と㋔になるので，それぞれの場合について考えていきます。
○ ㋑と㋓に同じ色をぬる場合
㋐
㋑･㋓
㋒
㋔
㋐には 5 通り，㋑(㋓も同じ)には 4 通り，㋒には 3 通り，㋔には
2 通りのぬり方があるので，
5 通り
4 通り
3 通り
2 通り
5×4×3×2＝120(通り)
○ ㋒と㋔に同じ色をぬる場合
㋐には 5 通り，㋑には 4 通り，㋒(㋔も同じ)には 3 通り，㋓には 2 通りのぬり方があるので，
5×4×3×2＝120(通り)
したがって，4 色を使ってぬり分ける方法は，120×2＝240(通り)
答 240 通り
（３）5 色のうち 3 色を使ってぬり分けるには，㋑と㋓を同じ色に，㋒と㋔を同じ色にしなければなりません。
し たがって，㋐には 5 通り，㋑(㋓も同じ)には 4 通り，㋒(㋔も同じ)には
㋐
㋑･㋓
3 通りのぬり方があるので，
5 通り
4 通り
5×4×3＝60(通り)
㋒･㋔
3 通り
答
【１】赤，青，白，黄の 4 色があります。これらの色を使って，右の図のような旗のＡ，Ｂ，Ｃ
の部分をぬり分けようと思います。使わない色があってもよいものとするとき，次の問いに
答えなさい。
（１）Ａ，Ｂ，Ｃの色がすべて異なるようにぬり分ける方法は全部で何通りありますか。
答
Ａ
Ｂ
60 通り
Ｃ
24 通り
（２）2 色を使ってぬり分ける方法は全部で何通りありますか。
答
12 通り
答
48 通り
【２】緑，黒，白，黄の 4 色があります。このうちの 3 色を使って，右の図のような長方形を，
4 つの部分をぬり分けたいと思います。このとき，となり合う部分には同じ色をぬらない
ことにすると，全部で何通りのぬり分け方がありますか。
27
場合の数
【１】大小 2 個のサイコロがあります。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）2 個のサイコロの目の和が 10 以上となるのは全部で何通りありますか。
答
6 通り
答
6 通り
（２）2 個のサイコロの目の積が 6 の倍数になるのは全部で何通りありますか。
【２】右の図のような，ごばんの目の形をした道があります。これについて，
次の問いに答えなさい。
（１）Ａ地からＢ地まで遠回りをしないで行く道順は全部で何通りありますか。
答
Ｂ地
Ｃ地
56 通り
（２）Ａ地からＣ地を必ず通ってＢ地まで遠回りをしないで行く道順は全部
で何通りありますか。
Ａ地
答
30 通り
【３】右の図のような，ごばんの目の形をした道があります。これについて，
Ａ地
次の問いに答えなさい。
（１）Ａ地からＢ地まで遠回りをしないで行く道順は全部で何通りありますか。
×
答
61 通り
（２）途中の×印が道路工事のため通れないとき，Ａ地からＢ地まで遠回りを
しないで行く道順は全部で何通りありますか。
Ｂ地
答
39 通り
答
12 通り
答
48 通り
【４】男子 3 人と女子 2 人の 5 人がリレーをするために並びます。これについて，次の問いに答えなさい
（１）男子と女子が交互になるように並ぶとき，リレーの順番は全部で何通りありますか。
（２）女子 2 人が連続して並ぶとき，リレーの順番は何通りありますか。
【５】右の図のような長方形を，赤，青，黄，緑の 4 色のうち何色かを使ってぬり分ける方法
は全部で何通りありますか。ただし，となり合う部分に同じ色は使わないものとします。
答
108 通り
28
場合の数
例題１(組み合わせ１)
かごの中に，みかんが 3 個，リンゴが 2 個，柿が 1 個あります。この中から，3 個のくだものを選ぶとき，全部で何通り
ありますか。
いくつかのものの中から順序を考えないで選び出すとき，その選び出した場合の数を組み合わせといいます。
〔解き方〕
選ぶ順番をみかん→リンゴ→柿と決めて，樹形図をかいて考えます。
みかん
よって，選び出す場合は，5＋1＝6(通り)
みかん
リンゴ
みかん
答
6 通り
リンゴ
柿
リンゴ
リンゴ
リンゴ
柿
柿
【１】えんぴつが 2 本，赤ペンが 2 本，ボールペンが 1 本あります。この 5 本の中から 3 本を選ぶとき，選び方は全部で何通
りありますか。
答
5 通り
【２】同じ大きさの赤玉 4 個，白玉 2 個，青玉 2 個を 1 つの箱に入れ，この箱の中から 3 個の玉を取り出します。取り出す球
の色の組み合わせは何通りありますか。
答
8 通り
例題２(組み合わせ２)
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆの 6 人がいます。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）この 6 人の中から，日直を 2 人選ぶ方法は何通りありますか。
（２）この 6 人の中から，掃除当番を 3 人選ぶ方法は何通りありますか。
〔解き方〕
（１）まず 1 人目の日直は 6 人の中から選ぶので 6 通りあり，2 人目の日直は残り 5 人の中から選ぶので 5 通りあります。
積の法則より，6×5＝30(通り)
考えられますが，この中には，(Ａ，Ｂ)，(Ｂ，Ａ)のように選ばれる人が同じであるものが 2 通りずつあるので，
日直を 2 人選ぶ方法は，30÷2＝15(通り)
答 15 通り
（２）1 人目の掃除当番は 6 通り，2 人目の掃除当番は 5 通り，3 人目の掃除当番は 4 通りあるので，
積の法則より，6×5×4＝120(通り)
考えられますが，この中には，(Ａ，Ｂ，Ｃ)，(Ａ，Ｃ，Ｂ)，(Ｂ，Ａ，Ｃ)，(Ｂ，Ｃ，Ａ)，(Ｃ，Ａ，Ｂ)，(Ｃ，Ｂ，Ａ)のよ
うに選ばれる人が同じであるものが 6 通りずつあるので，
掃除当番を 3 人選ぶ方法は，120÷6＝20(通り)
答 20 通り
ここで，選び方が同じである 6 通りについて注目すると，Ａ，Ｂ，Ｃの並べ方は積の法則より，3×2×1＝6(通り) と計
算で求めることができるので，6 人の中から 3 人を選ぶ組み合わせは，6 人の中から 3 人を並べる場合を，選んだ 3 人の並
べる場合でわれればよいことになります。
異なるＮ個のものから，
Ｎ ( Ｎ－1)
2 1
Ｎ ( Ｎ－1)  ( Ｎ－2)
3 個を選ぶ組み合わせ＝
3  2 1
2 個を選ぶ組み合わせ＝
29
場合の数
【１】１，２，３，４，５ と書かれた 5 枚のカードがあります。この中から 2 枚のカードを選ぶとき，選び方は全部で何通り
ありますか。
10 通り
答
りっこうほ
【２】クラスの代表 2 人を選ぶ選挙に，8 人が立候補しています。当選する 2 人の組み合わせは全部で何通りありますか。
答
28 通り
答
35 通り
【３】7 種類のくだものが 1 個ずつあります。この中から 3 個を選ぶとき，選び方は全部で何通りありますか。
【４】10 色の色鉛筆が 1 本ずつあります。この中から 3 色を選ぶとき，選び方は全部で何通りありますか。
120 通り
答
例題３(組み合わせ３)
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの男子生徒 5 人と，Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓの女子生徒 4 人がいます。この 9 人の中から 4 人を選ぶとき，次
の問いに答えなさい。
（１）男子の中から 4 人を選ぶとき，選び方は全部で何通りありますか。
（２）男子の中から 2 人，女子の中から 2 人を選ぶとき，選び方は全部で何通りありますか。
〔解き方〕
（１）5 人の中から 4 人を選ぶと 1 人だけ残ります。つまり，｢5 人の中から 4 人を選ぶこ｣とは，｢5 人の中から選ばれない残り
の 1 人を選ぶ｣ことと同じです。
よって，4 人の選び方は 5 通りあります。
別解)
例題２の考え方を使うと，
54 32
＝5(通り)
4  3  2 1
答
5 通り
54
＝10( 通り)
（２）男子の選び方は，
2 1
43
＝6(通り)
女子の選び方は，
2 1
積の法則より，10×6＝60(通り)
答
60 通り
【１】Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの男子 4 人，Ｐ，Ｑ，Ｒの女子 3 人がいます。この 7 人の中から 4 人の掃除当番を選ぶとき，次の問い
に答えなさい。
（１）男子 2 人，女子 2 人を選ぶとき，選び方は全部で何通りありますか。
答
18 通り
答
12 通り
（２）男子 2 人，女子 3 人を選ぶとき選び方は全部で何通りありますか。
30
場合の数
【２】男子 6 人，女子 4 人がいます。この中から，男子 2 人，女子 2 人のリレー選手を選びます。選び方は全部で何通りあり
ますか。
90 通り
答
【３】男子 6 人，女子が 3 人います。この中から，男子 3 人と女子 2 人のクラス委員を選びます。選び方は全部で何通りあり
ますか。
60 通り
答
例題４(試合数)
サッカーの大会に 8 チームが参加しました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）リーグ戦をするとき，全部で何試合しますか。
（２）トーナメント戦をするとき，全部で何試合しますか。
スポーツなどで，多くに人やチームが参加して優勝を決めるような場合，一般的な試合の方法として リーグ戦(総当た
り戦)とトーナメント戦(勝ちぬき戦)があります。
リーグ戦(総当たり戦)･･･1 つのチームが他の全てのチームと 1 試合ずつ試合をして，勝
敗数や勝率などで優勝を決める方式。右のような勝敗表を使う
ことがあります。
Ｎチームで試合をするとき，試合数＝Ｎ×(Ｎ－1)÷2
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
Ａ
○
△
Ｂ ×
×
Ｃ
○
Ｄ △
トーナメント戦(勝ちぬき戦)･･･試合をして勝ったチームだけが残り，
最後に 1 チーム(優
勝チーム)が残るまで試合を続ける方式。
Ｎチームで試合をするとき，試合数＝Ｎ－1
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
（１）8 チームから 2 チームを選ぶ組み合わせを考えればよいので，
87
＝28( 試合)
2 1
答
28 試合
（２）8 チームのうち，優勝した 1 チーム以外はどれかの試合で負けたことになるので，負けたチーム数と試合数が等しくなり
ます。
よって，8－1＝7(試合)
答 7 試合
【１】野球大会に 12 チームが参加しました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）リーグ戦をするとき，全部で何試合しますか。
答
66 試合
答
11 試合
答
15 試合
（２）トーナメント戦をするとき，全部で何試合しますか。
【２】サッカーの大会に 6 チームが参加しました。リーグ戦をするとき，全部で何試合しますか。
31
場合の数
例題５
０，１，２，３，４の 5 枚のカードがあります。この中から 3 枚のカードをならべて 3 けたの整数を作るとき，次の問
いに答えなさい。
〔解き方〕
3 枚のカードの数の和が 3 の倍数になる組み合わせを考えると，(0，1，2)，(0，2，4)，(1，2，3)，(2，3，4) の 4 通りが考
えられます。
(0，1，2)，(0，2，4)の場合は，百の位に 0 を並べることはできないので，百の位に並べるカードは 2 通りになります。十の
位に並べるカードは 2 通り，一の位に並べるカードは 1 通りあるので，
2×2×1＝4(通り)
(1，2，3)，(2，3，4)の場合は，百の位に並べるカードは 3 通り，十の位に並べるカードは 2 通り，一の位に並べるカードは
1 通りあるので，
3×2×1＝6(通り)
したがって，3 の倍数になる 3 けたの整数は，全部で，(4＋6)×2＝20(通り)
答 20 通り
参考
2 の倍数：一の位が 0，2，4，6，8 の数。
3 の倍数：それぞれの位の数の和が 3 の倍数になる数。
4 の倍数：下 2 けたが 00 か 4 の倍数になる数。
5 の倍数：一の位の数が 0 か 5 の数。
6 の倍数：3 の倍数のうち，一の位が偶数である数。
8 の倍数：下 3 けたが 000 か 8 の倍数になる数。
9 の倍数：それぞれの位の数の和が 9 の倍数になる数。
【１】5 枚のカード１，２，３，４，５から 3 枚のカードをぬき出して並べてできる 3 けたの整数を作ります。これについて，
次の問いに答えなさい。
（１）3 けたの整数は全部で何通りできますか。
答
60 通り
答
24 通り
答
24 通り
（２）偶数は全部で何通りできますか。
（３）3 の倍数は全部で何通りできますか。
【２】０，３，６，９の 4 枚のカードの中から 3 枚を取り出して 3 けたの整数を作ります。これについて，次の問いに答えな
さい
（１）偶数は何通りできますか。
答
10 通り
答
10 通り
（２）9 の倍数は全部で何通りできますか。
32
場合の数
例題６
（１）10 円玉が 2 枚，50 円玉が 2 枚，100 円玉が 1 枚あります。これらの全部または一部を使ってちょうど支払うことの
できる金額は全部で何通りありますか。
（２）10 円，50 円，100 円，500 円の硬貨がそれぞれ 5 枚ずつあります。これらの硬貨を使って 2550 円を支払う方法は，
全部で何通りありますか。ただし，1 枚も使わない硬貨があってもよいものとします。
〔解き方〕
（１）50 円玉，100 円玉できはらうことのできる金額は，50 円，100 円，150 円，200 円の 4 通りあります。この 4 通りそれ
ぞれに 10 円玉を 0 枚，1 枚，2 枚の 3 通り使う場合があるので，
4×3＝12(通り)
ただし，10 円玉だけで支払うことのできる金額が 10 円と 20 円の 2 通りあるので，全部で，
12＋2＝14(通り)
答 14 通り
（２）2550 円になる硬貨の組み合わせをできるだけ大きい金額の硬貨で考え，その後は両替をしながら表にまとめていきます。
それぞれの硬貨は 5 枚ずつしかないので，下の表より，支払う方法は 8 通りあります。
500 円玉
5枚
5
4
4
4
4
4
4
100 円玉
0
0
5
5
4
4
3
3
50 円玉
1枚
0
1
0
3
2
5
4
10 円玉
0
5
0
5
0
5
0
5
答
8 通り
【１】10 円玉が 2 枚，50 円玉が 1 枚，100 円玉が 2 枚あります。これらの硬貨を全部または一部を使ってちょうど支払うこと
のできる金額は全部で何通りありますか。
答
17 通り
【２】10 円玉，50 円玉，100 円玉がそれぞれたくさんあります。これら 3 種類の硬貨を使って少なくても 1 枚は使って 400 円
を支払う方法は全部で何通りありますか。
答
9 通り
【３】100 円玉が 3 枚，50 円玉が 2 枚，10 円玉が 3 枚あります。これらの全部または一部を使って支払うことのできる金額は
全部で何通りありますか。
答
35 通り
33
場合の数
例題７(いもづる算)
1 個 180 円のリンゴと 1 個 120 円のみかんがあります。この 2 種類のくだものを，代金の合計がちょうど 1500 円になる
ように買いたいと思います。2 種類のくだものの買い方は全部で何通りありますか。
〔解き方〕
同じ金額でのりんごとみかんの個数の比は，1 個あたりの金額の比と逆比の関係になるので，
1
1
リンゴ：みかん＝
：
＝2：3 となるので，リンゴ 2 個とみかん 3 個の金額は等しいことが分かります。
180
120
次に，1500 円になるような買い方を考え，リンゴを 2 個減らしてもかわりにみかんを 3 個増やせば(逆にリンゴを 2 個増や
してもかわりにみかんを 3 個減らせば)金額は変わらないので，表にまとめて買い方を考えます。
1500÷(180＋120)＝5(個) より，リンゴとみかんを 5 個ずつ買うと代金の合計は 1500 円になります。
リンゴとみかんをそれぞれ 5 個ずつ買ったところを基準にして，
下の表のようにまとめると，2 種類のくだものの買い方は，
全部で 4 通りあることが分かります。
－2 個
－2 個
＋2 個
リンゴ(個)
1
3
5
7
みかん(個)
11
8
5
2
＋3 個
＋3 個
－3 個
答
4 通り
【１】1 本 60 円のエンピツと 1 本 100 円のボールペンをそれぞれ何本か買い，代金の合計がちょうど 1000 円になりました。
鉛筆とボールペンの買い方は全部で何通り考えられますか。ただし，エンピツもボールペンも少なくても 1 本は買うものと
します。
答
3 通り
【２】1 個 150 円のリンゴと 1 個 225 円のなしが売られています。これらのくだものをそれぞれ何個か買ったところ，代金の
合計が 1800 円になりました。全部で何通りの買い方が考えられますか。ただし，どちらのくだものも少なくても 1 個は買
ったものとします。
答
3 通り
【３】50 円切手と 80 円切手をそれぞれ何枚か買ったところ，代金の合計が 1500 円になりました。50 円切手と 80 円切手の買
い方は，全部で何通りありますか。ただし，買わない切手があってもよいものとします。
答
4 通り
34
場合の数
【１】Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの 4 人の男子と，Ｐ，Ｑの 2 人の女子がいます。この 6 人の中から男子から 2 人，女子から 1 人をえら
ぶとき，選び方は全部で何通りありますか。
答
12 通り
答
15 試合
【２】バレーボールの試合に 16 チームが参加しました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）トーナメント戦で試合をするとき，全部で何試合ありますか。
【２】リーグ戦で試合をするとき，全部で何試合しますか。
120 試合
答
【２】右の図のように，円周上に 6 個の点が並んでいます。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）6 個の点のうち，3 点を頂点とする三角形は全部で何個できますか。
答
20 個
答
15 個
（２）6 個の点のうち，4 点を頂点とする四角形は全部で何個できますか。
【３】10 円玉，50 円玉，100 円玉がそれぞれたくさんあります。この中から何枚かを取り出して，200 円になるようにすると
き，取り出し方は全部で何通りありますか。
答
9 通り
【４】おかしが 150 個あります。これを，8 個入りの箱Ａと 6 個入りの箱Ｂの 2 種類の箱にちょうど入るようにしたいと思いま
す。入れ方は全部で何通りありますか。ただし，どの箱も少なくとも 1 箱は使うものとします。
答
6 通り
【５】白玉 5 個，黒玉 2 個の合わせて 7 個の玉があります。この 7 個の玉を１列に並べるとき，次の問いに答えなさい。
（１）並べ方は全部で何通りありますか。
答
21 通り
答
15 通り
（２）黒玉 2 個を連続しないように並べるとき，並べ方は全部で何通りありますか。
35
いろいろな問題
例題(角度)
次の図の，角 x の大きさはそれぞれ何度ですか。ただし，同じ印は同じ角の大きさを表しています。
（１）
（２）
50°
○
○
36°
×
×
x
x
×
○
○
〔解き方〕
（１）三角形ＡＢＣに注目して，
180－50＝130(度)･･･◯＋○＋×＋×＝(○＋×)×2
130÷2＝65(度)･･･○＋×
三角形ＤＢＣに注目して，
180－65＝115(度)
×
Ａ
50°
Ｄ
答
115 度
Ｂ
×
×
x
○
○
角の和は
65 度
（２）三角形ＡＢＣの外角より，
××－○○＝(×－○)×2＝36(度)
三角形ＤＢＣの外角より，
×－○＝x(度)
よって，36÷2＝18(度)
Ｃ
Ａ
Ｄ
36°
答
18 度
×
○
○
Ｂ
x
×
Ｃ
【１】次のア～エの角の大きさはそれぞれ何度ですか。ただし，同じ印は同じ角の大きさを表しています。
（１）
（２）
x
80°
○
○
×
×
x
○
○
答
125°
×
×
130 度
（３）
答
70 度
（４）
×
×
48°
x
80°
○
○
○
答
40 度
×
○
x
×
答
66 度
36
いろいろな問題
例題１(移動範囲)
右の図のように，牧草地にヤギがつながれています。つなは，長さが 6ｍで，1 辺
が 4ｍの正方形の建物の 1 つの頂点に固定してあります。ヤギが草を食べることので
きる牧草地の面積は何㎡ですか。ただし，円周率は 3.14 とします。
4ｍ
ヤギ
〔解き方〕
ひもやロープなどでつながれたものが動くことのできる範囲を考える問題では，中心と半径を手稲に考え，きちんと作図を
し，どのような図形の組み合わせになっているのかを考えることが重要になります。
はんい
ヤギの動くことのできる範囲は，はじめはＡを中心とした半径 6ｍ，中
心角 270 度のおうぎ形をえがいて動きますが，やがて，つなが建物の辺上
にくると，建物の頂点Ｂ，Ｃにつながひっかかってしまうので，Ｂ，Ｃを
中心として半径が建物の辺の長さだけ短い(6－4＝)2ｍとする中心角 90 度
のおうぎ形をえがいて，右の図のようになります。
270
90
6×6×3.14×
＋2×2×3.14×
×2＝91.06(㎡)
360
360
答
2ｍ
つなが建物にひっ
かかります
Ｂ
2ｍ
Ａ
270°
Ｃ
6ｍ
91.06 ㎡
【１】1 辺が 9 ㎝の正三角形のプラスチック板の頂点 A に，長さ 24 ㎝
の糸を右の図のように結びつけ，糸の先たんＰを矢印の方向に，糸
がゆるまないようにして巻きつけていきます。円周率を 3.14 とし
て，次の問いに答えなさい。
（１）糸を最後まで巻きつけたとき，先たんＰの動いた長さは何㎝にな
りますか。
Ｐ
24 ㎝
Ａ 9㎝
答
94.2 ㎝
（２）(１)のとき，糸が通る部分の面積は何㎠になりますか。
答
【２】右の図のような，長方形の形をした犬小屋に犬がロープでつながれて
います。小屋の外で犬が自由に動ける部分の面積は何㎡ですか。ただし，
円周率は 3.14 とします。
876.06 ㎠
犬
5ｍ
1ｍ
2ｍ
小屋
4ｍ
答
103.62 ㎡
37
いろいろな問題
例題２(30 度の角をもつ三角形の利用)
右の図 1 のように，同じ三角定規 2 枚を並べると正
三角形を作ることができます。このことを利用して，次
の問いに答えなさい。
（１）図 2 の二等辺三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。
図2
図1
Ｂ
14 ㎝
30°
Ａ
14 ㎝
（２）図 3 の四角形ＡＢＣＤは対角線の長さが 16 ㎝の長方形です。
この長方形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
図3
Ａ
Ｃ
Ｄ
15°
Ｃ
Ｂ
〔解き方〕
30 度，60 度の角をもつ直角三角形は，合同菜直角三角形を 2 つ組み合わせると正三角形になるこ
とから，60 度をはさむ 2 辺の長さの比が 2：1 になります。(右図)
（１）右の図の影の部分の直角三角形ＡＢＨが 30 度，60 度
をもつ直角三角形になるので，
ＢＨの長さは，14÷2＝7(㎝)
二等辺三角形ＡＢＣの面積は，
14×7÷2＝49(㎠)
答 49 ㎠
30°
②
Ｂ
14 ㎝
60°
①
Ａ
14 ㎝
Ｃ
Ｈ
（２）長方形の対角線は，その真ん中の点で交わりますから，
Ａ
ＥＤ＝ＥＣ＝16÷2＝8(㎝)
角ＤＥＣの大きさは，15×2＝30(度)
右の図のように，頂点ＣからＥＤに垂直に線をひくと，30 度，
15°
60 度の直角三角形ができますから，
Ｂ
ＣＦ＝8÷2＝4(㎝)
長方形ＡＢＣＤは，底辺 8 ㎝，高さ 4 ㎝の三角形が 4 つ組み合わさった図形となりますから，
8×4÷2×4＝64(㎠)
Ｅ
Ｄ
8㎝
Ｆ
30°
8㎝
Ｃ
答
【１】右の図のように，半径が 6 ㎝の円Ｏの周りを 12 等分する点をＡ～Ｌとする正十二角形
を作ります。今，点Ａから直線ＯＬに垂直な直線ＡＰをひきました。これについて，次の
問いに答えなさい。
（１）ＡＰの長さを求めなさい。
3㎝
Ｌ
Ｐ
Ｃ
Ｄ
答
Ａ
Ｂ
Ｋ
Ｊ
Ｏ
Ｅ
（２）正十二角形の面積は何㎠ですか。
64 ㎠
Ｉ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
答
108 ㎠
答
38.1 ㎠
【８】右の図の斜線部分の面積は何㎠ですか。ただし，円周率は 3.14 とします。
15°
12 ㎝
38
いろいろな問題
例題３(図形の重なり)
右の図は，
1 辺 5 ㎝の正方形ＡＢＣＤの中に 2 本の直線ＡＦとＥＧをひいたもので，
斜線部分㋐と㋑の面積は等しくなっています。x の長さは何㎝ですか。
5㎝
Ａ
Ｄ
4㎝
Ｇ
㋐
㋑
Ｅ
Ｂ
x㎝
Ｆ 2㎝ Ｃ
〔解き方〕
きょうゆう
右の図で，㋐と㋑の面積が等しいですから，㋒の四角形を 共 有 させると，
直角三角形ＡＢＦ(㋐と㋒)の面積と台形ＥＢＣＧ(㋑と㋒)の面積も等しくなり
ます。
よって，台形ＥＢＣＧ(直角三角形ＡＢＦ)の面積は，5×(5－2)÷2＝7.5(㎠)
x＝7.5×2÷5－(5－4)＝2(㎝)
5㎝
Ａ
4㎝
Ｇ
㋐
Ｅ
x㎝
㋑
㋒
Ｂ
2㎝
答
Ｄ
Ｆ 2㎝ Ｃ
【１】右の図で，斜線部分①と②の面積の差は何㎠ですか。
①
8㎝
5㎝
答
②
16 ㎠
4㎝
6㎝
【２】右の図は，長方形とおうぎ形の一部を重ねてかいたものです。円周率を 3.14 として，
次の問いに答えなさい。
（１）斜線部分の㋐の面積が㋑の面積より 26 ㎠大きいとき，x の長さは何㎝ですか。
10 ㎝
㋐
x
答
34 ㎝
㋑
（２）斜線部分のまわりの長さが 87.4 ㎝のとき，x の長さは何㎝ですか。
20 ㎝
答
【３】右の図のように直角三角形と半円があります。
と
28 ㎝
の部分
の部分の面積の合計は 136.97 ㎠です。
の部
26 ㎝
15 ㎝
分の面積は何㎠ですか。ただし，円周率は 3.14 とします。
答
103.65 ㎠
39
いろいろな問題
例題４(正六角形の分割)
右の図の正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積は 72 ㎠で，点Ｍは辺ＥＦの真ん中の点です。
これについて，次の問いに答えなさい。
（１）三角形ＡＭＦの面積は何㎠ですか。
Ａ
Ｂ
Ｆ
Ｍ
（２）四角形ＣＤＥＭの面積は何㎠ですか。
Ｃ
Ｅ
Ｄ
〔解き方〕
正六角形は下の図 1 のような 6 個の合同な正三角形に，図 2 のような 6 個の合同な二等辺三角形に，図 3 のような 24 個の
合同な正三角形に，図 4 のような 24 個の二等辺三角形などに分けることができます。
図1
図2
図3
図4
Ａ
1
（１）三角形ＡＭＦの面積は三角形ＡＥＦの面積の
で，三角形ＡＥＦの面積は正六角
2
1
1
1
形ＡＢＣＤＥＦの
なので，三角形ＡＭＦの面積は，72×
×
＝6(㎠)
6
6
2
答 6㎠
①
Ｍ
①
Ｃ
（２）
右の図のように，
補助線ＣＤにより四角形ＡＤＥＭを 2 つの三角形に分けて考えます。
1
三角形ＣＤＥの面積は正六角形ＡＢＣＤＥＦの
なので，三角形ＣＤＥの面積は，
6
1
72×
＝12(㎠)
6
1
三角形ＭＣＥの面積は三角形ＦＣＥの面積の
で，三角形ＦＣＥの面積は正六角形
2
1
1
 2  1
ＡＢＣＤＥＦの 
なので，三角形ＭＣＥの面積は，72×
×
＝12(㎠)
＝
3
2
6
3


Ｅ
Ｄ
Ａ
Ｆ
Ｂ
①
Ｍ
①
四角形ＣＤＥＭの面積は，12＋12＝24(㎠)
答
Ｆ
Ｂ
Ｃ
24 ㎠
Ｅ
Ｄ
【１】次の図は，面積が 36 ㎠の正六角形ＡＢＣＤＥＦです。斜線部分の面積はそれぞれ何㎠ですか。
（１）
（２）(点Ｐは辺ＥＦの真ん中の点)
（３）(点Ｐ，点Ｑ，点Ｒはそれぞれ辺の
Ａ
真ん中の点)
Ａ
Ａ
Ｂ
Ｆ
Ｐ
Ｂ
Ｆ
Ｂ
Ｍ
Ｃ
Ｆ
Ｐ
Ｒ
Ｅ
Ｃ
Ｅ
Ｃ
Ｄ
Ｄ
Ｅ
Ｑ
Ｄ
答
24 ㎠
答
9㎠
答
13.5 ㎠
40
いろいろな問題
例題１(四角数)
右の図のように，整数を並べていきます。左から a 番目，上から b 番目
の位置にある整数を(a，b)と表すことにします。これについて，次の問い
に答えなさい。
（１）(1，10)にある整数を求めなさい。
（２）82 の位置を答えなさい。
1
2
5
10
17
・
4
3
6
11
18
・
9
8
7
12
・
・
16
15
14
13
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
･･･
･･･
（３）(4，12)にある整数を求めなさい。
〔解き方〕
表にかかれている数をよく見てみると，数は矢印の方向で順に大きく
なっており，左から 1 番目の数は各行数を 2 回かけ合わせた答え(これを
へいほうすう
平方数といいます)になっています。(右図)
（１）10×10＝100
100
答
（２）見当をつけて考えます。
平方数のうち，82 に一番近い数は 9×9＝81 なので，(1，9)＝81
よって，82 は左から 10 番目，上から 1 段目の数と決まります。
答
（1×1）→ 1
2
5
10
17
・
（2×2）→ 4
3
6
11
18
・
（3×3）→ 9
8
7
12
・
・
（4×4）→16
15
14
13
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
(10，1)
（３）(4，12)の数は，(1，12)の数字よりも 4－1＝3 小さい数ですから，
(1，12)＝12×12＝144
(4，12)＝144－3＝141
答
【１】右の表のように数を並べていくとき，次の問いに答えなさい。
（１）第 8 行，第 1 列の数を求めなさい。
列
①
②
③
④
①
1
4
9
16
②
2
3
8
15
③
5
6
7
14
④
10
11
12
13
行
答
50
（２）第 6 行，第 8 列の数字を求めなさい。
答
141
59
【２】右の図のように，1 辺が 1 ㎝の正三角形のカードをすき間なく並べるとき，
次の問いに答えなさい。
（１）8 段目に並ぶカードは何枚になりますか。
1 段目
2 段目
15 枚
3 段目
･･･
答
（２）このカードを 13 段目まで並べるとき，カードは全部で何枚必要になりま
すか。
答
169 枚
41
いろいろな問題
例題２(三角数)
右の図は，1 段目に①，2 段目に②，③，3 段目に④，⑤，⑥，･････というように
あるきまりにしたがって数をならべたものです。これについて，次の問いに答えなさ
い。
（１）10 段目の右はしの数を求めなさい。
① ･･･････1 段目
②③････････2 段目
④⑤⑥･･･････3 段目
⑦⑧⑨⑩･･････4 段目
⑪⑫⑬⑭⑮･････5 段目
・・・・・・
･･･
･･･
（２）15 段目の真ん中の数を求めなさい。
（３）9 段目の数の和を求めなさい。
（４）103 は何段目の左から数えて何個目の数字ですか。
〔解き方〕
（１）各段の右はしの数は，1 から順に段数をたしたものになっています。(右図)
よって，10 段目の右はしの数は，
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝(1＋10)×10÷2＝55
答 55
･･･
（２）15 段目には，数が 15 個並んでいるので，その真ん中の数は左から，
(15＋1)÷2＝8(番目)になります。
よって，15 段目の真ん中にある数は 14 段目の右はしの数字より 8 大き
い数になるので，
14 段目の右はしの数は，(1＋14)×14÷2＝105
15 段目の真ん中の数は，105＋8＝113
①･････････1
②③････････1＋2＝3
④⑤⑥･･･････1＋2＋3＝6
⑦⑧⑨⑩･･････1＋2＋3＋4＝10
⑪⑫⑬⑭⑮･････1＋2＋3＋4＋5＝15
答
113
答
369
（３）8 段目の右はしの数字は，(1＋8)×8÷2＝36
9 段目の左はしの数は，36＋1＝37
9 段目の右はしの数字は，(1＋9)×9÷2＝45
9 段目に数は 9 個ならんでいるので，9 段目の数字の和は，(37＋45)×9÷2＝369
（４）見当をつけて考えます。
13 段目の右はしの数字は，(1＋13)×13÷2＝91
14 段目の右はしの数字は，(1＋14)×14÷2＝105
よって，103 は 14 段目にあることがわかります。
105－103＝2 より，103 は右はしより 2 つ左にあるので，
左から，14－2＝12(個目)
14 段目，12 個目
答
答
34
･･･
第１行
1
3
6
･･･
第２行
2
5
9
･･･
第３行
4
8
･･
･･･
第４行
7
‥
‥
･･･
･･･
（２）第 3 行，第 6 列のます目に入っている数を求めなさい。
第
３
列
･･･
55
第
２
列
･･･
答
第
１
列
･･･
【１】ます目に右の図のような規則で 1，2，3，4，･････と整数を入れていきま
す。たとえば，第 3 行第 2 列に入っている数字は 8 です。これについて，次
の問いに答えなさい。
（１）第 1 行，第 10 列のます目に入っている数を求めなさい。
･･･
（３）｢100｣は第何行，第何列のます目に入っていますか。
答
第 6 行，第 9 列
42
いろいろな問題
【２】右のように，あるきまりにしたがって整数を 1 から順に並べ
ました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）7 段目の 1 列目の数を求めなさい。
答
28
（２）34 は何段目の何列目の数ですか。
1列
2列
3列
4列
5列
･･･
1段
1
2
4
7
11
･･･
2段
3
5
8
12
･･･
3段
6
9
13
･･･
4段
10
14
･･･
5段
15
･･･
･･･
答
6 段目の 3 列目
（３）2 段目の 9 列目の数を求めなさい。
答
例題３(Ｎ進法１)
右の図１は，ある工場で使っているガスの量をはかるメー
ターです。このメーターは 1 ㎥のガスを使うごとに㋐の針が
1 目もり進み，㋐の針が 1 まわりするごとに㋑の針が１目も
り進み，さらに㋑の針が１まわりするごとに㋒の針が 1 目も
り進みます。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）㋐の目盛りが何まわりすると㋒の針が 1 目もり進みま
すか。
図1
0
1
3
図2
（２）図 1 の目もりは，ガスを何㎥使ったとこを表していま
すか。
0
1
3
1
3
2
㋒
2
㋑
2
㋐
0
0
0
1
3
（３）3 つの目もりが 0 を指している状態から 50 ㎥のガス
を使うと，針はそれぞれのメーターのどの位置を指しま
すか。図 2 にかき入れなさい。
0
2
㋒
1
3
2
㋑
47
1
3
2
㋐
〔解き方〕
私たちが日々の生活で使っている整数(小数)は，10 集まると 1 つ上の位になる｢10 進法｣という位取りの仕組みで作られて
います。さらに時間などでは，1 秒が 60 集まると 1 分になり，1 分が 60 集まると 1 時間になるというように，60 集まるごと
に 1 つ上の位(単位)になりますから，時間(秒・分・時間)は 60 進法という位取りであると考えられます。このように，Ｎ個集ま
るごとに 1 つ上の位に進む位取りをＮ進法といいます。
（１）㋐，㋑，㋒のメーターにはそれぞれ 1，2，3，0 の 4 つの目もりがついているので，㋐の針が 1 まわりするとイの針が 1
目もり進み，㋑の針が 1 まわりすると㋒の針が 1 目もり動きますから，アの針は 4 まわりします。
答 4 まわり
（２）アの針が 4 目もり進む(ガスを 4 ㎥使う)と㋑の針が 1 目もり進み，㋑の針が 4 目もり進むとウの針が 1 目もり進むことか
ら，メーターは｢4 進法｣になっています。つまり，㋐の 1 目もりは 1 ㎥を，イの 1 目もりは 4 ㎥を，ウの 1 目もりは(4×4
＝)16 ㎥を表しますから，図 1 の目もりは，
16×1＋4×2＋3＝27(㎥)
答 27 ㎥
（３）16×㋒＋4×㋑＋㋐＝50(㎥) より，
0
0
0
50÷4＝12 あまり 2
→アの針は 12 回まわり，2 の目もりを指しますから，㋐＝2
12÷4＝3 あまり 0
1 3
1 3
1
3
→㋑の針は 3 回まわり(㋒の針は 3 の目もりを指します)，0 の
目もりを指しますから，㋒＝3，㋑＝0
2
2
2
㋒
㋑
㋐
43
いろいろな問題
【１】下の図のように，○と●を並べて整数を表します。これについて，次の問いに答えなさい。
○○○○●＝1
○○○●○＝2
○○●●○＝6
○●○○●＝9
（１）次の①～⑤が表している整数をそれぞれ求めなさい。
① ○○○●●
② ○○●●●
③ ○●●●○
3
答
答
7
④
答
（２）次の①～⑤の整数を，○と●を使って表しなさい。
① 5
② 15
③ 20
答
○○●○●
答
○●●●●
14
⑤
25
●○●○○
26
答
⑤
答
●●○●○
19
答
④
答
●○○●●
30
●●○○●
答
●●●●○
【２】整数を，下の図のように表すことにします。これについて，次の問いに答えなさい。
2＝
1＝
3＝
4＝
9＝
（１）次の①～④の図は，それぞれどんな整数を表しますか。
①
②
③
答
5
答
（２）次の①～④の整数を，図に示しなさい。
① 7
② 19
答
④
15
答
③
50
答
22
34
答
④
答
80
答
【３】下の図は，入り口から 100 円玉を 1 枚入れると，Ａの針が目もり 1 つ進むしくみになっています。また，Ａの針が 1 回
転すると，Ｂの針が 1 目もり進み，Ｂの針が 1 回転すると，Ｃの針が 1 目もり進みます。たとえば，図 1 は，100 円玉を 4
枚入れたことを示しています。これについて，次の問いに答えなさい。
入り口
入り口
入り口
図１
図２
図３
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｂ
Ａ
（１）図 2 では，100 円玉を何個入れたことを示していますか。
答
23 個
(2) 100 円玉を 20 枚入れると，Ａ，Ｂ，Ｃの針はどのようになりますか。図 3 に示しなさい。
入り口
図３
答
Ｃ
Ｂ
Ａ
44
いろいろな問題
例題４(Ｎ進法２)
ある病院のベッドには，1，2，3，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，16，･･･，のように，数字の 4 が入っている
数をとばして小さい順に番号がつけられています。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）297 番のベッドははじめから何個目のベッドですか。
（２）この病院のはじめから 138 個目のベッドの番号を求めなさい。
〔解き方〕
（１）この病院のベッドの番号は，0 から 9 までの数字のうち｢4｣を使わないので，数字が 9 個並ぶと位が上がりますから 9 進
法として考えます。
この病院のベッドの番号を 9 進法に対応させて考えます。使 ベッドの番号 0 1 2 3 5 6 7 8 9
われている数字を小さい順に対応させると右のようになりま
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
すから，この病院の 297 は 9 進法で表すと 286 になります。こ
9 進法
0 1 2 3 4 5 6 7 8
れを 10 進法に表すと，
9×9×2＋9×8＋6＝240 個目
答 240 個目
（２）10 進法の 138 を 9 進法で表し，さらにベッドの番号で表しますから，
138 を 9 進法で表すと，
138÷9＝15 あまり 3 →9 進法で表したときの位置の位の数字は 3
15÷9＝1 あまり 6 →9 進法で表したときの十の位の数は 6，百の位の数は 1
より，163 となります。これをベッドの番号で表すと 173 番となります。
答 173 番
【１】1，2，3，5，6，7，8，10，11，12，13，15，16，･･････，のように，4 と 9 の数字をまったく使わずに整数を順に並
べていきます。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）左から 20 番目の整数を求めなさい。
答
25
（２）100 は左から何番目の整数ですか。
答
64 番目
【２】1，2，3，･････の順に数が書かれたカードを小さい順に床の上へ並べました。このカードの中から 4 と 8 の数字が書か
れていないカードだけを小さい順に集めることにします。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）ちょうど 110 枚目に取ったカードに書かれている数を求めなさい。
答
167
答
342
（２）最後に取ったカードに書かれている数は 627 でした。このとき集めたカードは何枚ですか。
45
いろいろな問題
例題(投影図)
1 辺が 1 ㎝の立方体を積んで立体をつくります。㋐の立体を真上，正面，右側からそれぞれ見ると㋑のようになります。
真上，正面，右側からそれぞれ見たとき，㋒のようになる立体について，次の問いに答えなさい。
㋐
㋑
真上から
正面から
真上から見た図
右側から
見た図
正面から見た図
右側から
（１）体積は何㎤ですか。
㋒
真上から見た図
（２）表面積は何㎠ですか。
正面から
見た図
右側から
見た図
〔解き方〕
立体図形を表す方法として，見取り図や展開図のほかに，立体を正面，真上，真横から見た図をによる表し方があります。
とうえいず
このような図を投影図といいます。
（１）投影図で表されている立体を見取り図に表すと右のようになります。
1 辺が 1 ㎝の立方体は，4＋3＋2×2＋1×2＝13(個) 使われていますから，
1×1×1×18＝13(㎤)
答 13 ㎤
（２）投影図を利用します。
真上から見た図を利用して，1×1×6×2＝12(㎠)
正面から見た図を利用して，1×1×10×2＝20(㎠)
右側から見た図を利用して，1×1×6×2＝12(㎠)
投影図はかかれていない内側の面の面積は，1×1×2＝2(㎠)
表面積は，12＋20＋12＋2＝46(㎠)
答
46 個
(
【１】右の図は，直方体を切った立体を真正面と真上から見た図です。この立体の体積
と表面積をそれぞれ求めなさい。
真
正 3㎝
面
5㎝
)
(
真
上 2㎝
)
答
【２】右の図は，1 辺の長さが 2 ㎝の立方体の積み木を重ねてできた立体を，正面，
真上，右横から見た図を表しています。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）積み重ねられている積木派の数は何個ですか。
答
（２）この立体の表面積は何㎠ですか。
4㎝
体積：12 ㎤，表面積：36 ㎠
13 個
正
面
か
ら
見
た
図
右
横
か
ら
見
た
図
真
上
か
ら
見
た
図
答
192 ㎠
46
いろいろな問題
例題１(選挙)
りっこうほ
47 人の学級で，3 人の代表者を選ぶのに 5 人の生徒が立候補しました。47 人が，1 人 1 票で，1 人 1 名を書いて投票する
むこうひょう
とき，無効票はないものとして，最低何票とれば必ず当選しますか。
〔解き方〕
必ず当選するためには，次点(4 位)より 1 票でも多くとればよいので，
47÷4＝11 あまり 3
11＋1＝12(票)
(＊最も接戦になるときの得票数は，12 票，12 票，12 票，11 票，0 票となり，11 票では必ず当選するとは限りません。)
答
12 票
当選確実となるための得票数＝投票数÷(当選者数＋１)の商＋１
【１】40 人の学級から委員を 2 人選びます。Ａ，Ｂ，Ｃの 3 人が立候補しました。Ａが必ず当選するためには最低何票とれば
よいですか。
答
14 票
【２】ある学校で生徒会の委員を 2 名選ぶことになり，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの 5 人が立候補しました。全校生徒は 250 人で，1
人 1 名を記入して投票します。得票数の多い順に 2 名が当選することにします。このとき，必ず，当選するには何票以上取
らなければなりませんか。
答
例題２(選挙)
283 人の生徒が 1 人 1 票の投票をして，生徒会役員 2 人を選
ぶことになりました。立候補者はＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆの 6
人で，開票の途中報告が右のように出ました。これについて，
次の問いに答えなさい。
（１）この時点で，落選が確実な人を全て答えなさい。
84 票以上
立候補者
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
得票数
48
34
53
31
57
42
（２）Ａが当選確実になるには，あと何票とらなければなりませんか。
〔解き方〕
（１）現在の開票数は，48＋34＋53＋31＋57＋42＝265(票)
残りの票数は，283－265＝18(票)
この残り 18 票を全て集めても 2 位の 53 票にとどかない人が，落選が確実になりますから，Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｆのうちの誰か
になります。
Ａ･･･48＋18＝66(票)＞53 票，Ｂ･･･34＋18＝52(票)＜53 票，Ｄ･･･31＋18＝49(票)＜53 票，Ｆ･･･42＋18＝60(票)＞53 票
したがって，落選が確実な人はＢ，Ｄとなります。
答 Ｂ，Ｄ
（２）この時点では当選確実といえる人はいませんから，Ａ，Ｃ，Ｄの上位 3 人のうち，当選確実(2 位以上)になるための得票
数は，
(48＋53＋57＋18)÷(2＋1)＝58 あまり 2
58＋1＝59(票)
したがって，59－48＝11(票)
答 11 票
47
いろいろな問題
【１】ある学校で生徒会の委員を 2 名選ぶことになり，Ａ，Ｂ，Ｃ，
Ｄ，Ｅの 5 人が立候補しました。全校生徒数は 460 人で，1 人
1 名を記入して投票し，得票数の多い順に 2 名が当選すること
にします。下の表は，開票率 80％の結果を表したものです。こ
れについて，次の問いに答えなさい。
（１）まだ当選も落選も決まっていない候補は誰ですか。すべて答
えなさい。
立候補者
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
得票数
76
33
130
88
41
答
Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｅ
（２）Ａが当選するには，あと何票以上取らなければなりませんか。
53 票以上
答
【２】ある小学校の 6 年生 128 人の中から学年委員 3 名を選ぶため
に，全員が 1 人 1 名を記入して投票しました。右の表は，6 名
の候補者Ａ～Ｆの得票数の中間発表です。これについて，次の
問いに答えなさい。
（１）当選も落選もまだ決まっていない候補者は誰ですか。すべて
答えなさい。
候補者
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
計
得票数
32
27
22
20
7
6
114
答
Ｂ，Ｃ，Ｄ
（２）Ｄが当選するには，あと何票以上取らなければなりませんか。
答
【３】ある小学校で 6 年生の中から代表委員を 2 人選ぶことになり，Ａ，Ｂ，
Ｃ，Ｄ，Ｅの 5 人が立候補しました。この小学校の生徒数は 50 人で，
それぞれが必ず 1 人ずつ選んで 1 票ずつ投票しました。45 票まで開票
したとき，5 人の得票数は右のようになりました。これについて，次の
問いに答えなさい。
（１）当選も落選も決まっていない候補者は何人いますか。
候補者
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
計
得票数
15
11
10
5
4
45
9票
答
2人
答
4票
（２）Ｃは，最低あと何票取れば当選が確実になりますか。
48
いろいろな問題
例題(階差数列)
円周上に 2 点を通る直線を 1 本引くと，円は 2 か所の部分に分けることができ
ます。また，2 本の直線で円を分けると，最も多くて 4 か所の部分に分けることが
できます。このように，円に直線を引いてできるだけ多くの部分に分けていきます。
これについて，次の問いに答えなさい。
（１）3 本の直線を引くと，何か所の部分に分けることができますか。
①
①
②
④
②
③
（２）4 本の直線を引くと，何か所の部分に分けることができますか。
（３）分かれた部分の数が 40 か所をはじめてこえるのは，直線を何本引いたときですか。
〔解き方〕
（１）実際にかいてみると，右の図 1 より，7 か所。
答
7 か所
(図 1)
（２）実際にかいてみると，右の図 2 より，11 か所。
答
③
（３）問題文にかいてある，直線を 1 本ひいたときから，(２)の直線を 4 本ひいたときまでの直線
の本数と別れた部分を表にまとめると下のようになります。
0
1
2
3
4
･････
別れた部分(か所)
1
2
4
7
11
･････
＋1
＋2
＋3
⑥
①
11 か所
直線(本)
⑦
②
(図 2)
⑤
⑤
④
⑨
⑥
⑩
＋4
①
⑦
③
すると上の表より，分かれた部分は差が 1 ずつ大きくなる(はじめの数 1 に，{1，2，3，4，･････}
⑪
② ④ ⑧
を順にたした数の列)階差数列になっています。
したがって，1＋(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＝1＋(1＋8)×8÷2＝37 より，
8 本の直線をひくと，分かれた部分は 37 か所になります。
1＋(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝1＋(1＋9)×9÷2＝46 より，
9 本の直線をひくと，分かれた部分は 46 か所となるので，分かれた部分が 40 か所をこえるのは直線を 9 本ひいたときにな
ります。
答 9本
【１】あるきまりにしたがって，下のように数が並んでいます。これについて，次の問いに答えなさい。
3，4，6，9，13，18，･････
（１）左から数えて 10 番目の数を求めなさい。
答
48
（２）108 は左から数えて何番目の数ですか。
答
14 番目
【２】次のきまりで平面上に直線をひきます。
・どの 2 本の直線も必ず交わる。
・その 3 本の直線を同じ点で交わらない。
このきまりで右のように 4 本の直線をひくと，交わった点は 6 個になります。
20 本の直線をひくと，交わった点は何個になりますか。また，交わった点が 55 個
になるのは何本の直線をひいたときですか。
答
190 本，11 本
49
いろいろな問題
例題(フィボナッチ数列)
ある階段をのぼるのに，1 度に 1 段または 2 段のぼることができます。たとえば，3 段の階段をのぼる方法は，1 段→1 段
→1 段，1 段→2 段，2 段→1 段の 3 通りあります。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）この階段を 4 段のぼる方法は全部で何通りありますか。
（２）この階段を 11 段のぼる方法は全部で何通りありますか。
〔解き方〕
（１）階段は 1 段または 2 段でのぼるので，4 段のぼる方法は 2 段目から 2 段のぼりをする場合と，3 段目から 1 段のぼりをす
る場合があります。
＜2 段目から 2 段のぼりをする場合＞
2 段目までのぼる方法は，{2 段}，{1 段→1 段}の 2 通りあるので，{2 段→2 段}と{1 段→1 段→2 段}の 2 通り
＜3 段目から 1 段のぼりをする場合＞
3 段目までのぼる方法は，{1 段→1 段→1 段}，{1 段→2 段}，{2 段→1 段}の 3 通りあるので，{1 段→1 段→1 段→1 段}，{1
段→2 段→1 段}，{2 段→1 段→1 段}の 3 通り
したがって，4 段のぼる方法は，2＋3＝5(通り)
答 5 通り
（２）(１)より，N 段のぼる方法は，(N－2)段目から 2 段のぼりをする場合と，(N－1)段目から 1 段のぼりをする場合の 2 種類
があるので，N 段のぼる方法＝(N－2)段のぼる方法＋(N－1)段のぼる方法 で求めることができますから，下のように 11
段まで表をかいて調べると，144 通りあります。
段数(段)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
のぼる方法(通り)
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
144 段
答
ぶんれつ
【１】2 つの細胞ＢとＴがあって，Ｂは 1 秒ごとに 1 回分裂し，Ｂ1 個とＴ1 個になり，Ｔは 1 秒ごとに分裂し，Ｂ2 個になる
ことがわかっています。最初，Ｂ1 個からスタートするとして，6 秒後にＢは何個になりますか。
答
【２】1 辺の長さが 1 ㎝の正方形Ａがあります。右の図のように，Ａと 1 辺を接する
正方形[1]をＡの右へかいて長方形を作り，次に，その下へ 1 辺を接する正方形[2]
をかいて長方形を作ります。さらに，その右へ正方形[3]をかいて長方形を作りま
す。この操作をくり返し行うとき，次の問いに答えなさい。
（１）正方形[6]の 1 辺の長さは何㎝ですか。
答
[2]
43 個
Ａ
[1]
[3]
13 ㎝
（２）正方形[8]をかいて作った長方形の面積は何㎠ですか。
答
1870 ㎠
50
いろいろな問題
右の図のように，，1 つの多角形の面を底面とし，いくつかの三角形を側面とする立体を
頂点
角すいといいます。角柱の場合と同様に底面の形が三角形であれば三角すい，四角形なら
ば四角すい，･･･つまり，底面がＮ角形のときをＮ角すいといいます。Ｎ角すいの体積は次
の公式で求めることができます。
Ｎ角すいの体積＝底面積×高さ×
側面
高さ
１
３
底面
＜参考＞
下の図のような四角すいを 3 つ組み合わせると，立方体になります。
例題１(角すい)
右の図は，底面が 1 辺 12 ㎝の正方形で高さが 8 ㎝の四角すいです。こ
れについて，次の問いに答えなさい。
（１）この立体の体積は何㎤ですか。
10 ㎝
8㎝
（２）この立体の表面積は何㎠ですか。
12 ㎝
〔解き方〕
（１）12×12×8×
1
＝384(㎤)
3
答
384 ㎤
答
384 ㎠
（２）12×12＝144(㎠)･･･底面積
12×10÷2×4＝240(㎠)･･･側面積
144＋240＝384(㎠)
【１】右の立体の体積は何㎤ですか。
6㎝
6㎝
答
36 ㎤
6㎝
【２】右の立体の表面積は何㎠ですか。
16 ㎝
答 420 ㎠
10 ㎝
10 ㎝
51
いろいろな問題
頂点Ｐ
右の図のような立体を円すいといいます。また，頂点Ｐと底面の円周とを結ぶ直線を
ぼせん
母線といいます。円錐の体積は，角すいと同様に，次の式で求めることができます。
円すいの体積＝底面積×高さ×
１
３
側面
次に，円すいの表面積について考えます。
母線の長さ一定なので，円すいの展開図は，右の図のような母線の長さを半径とする
おうぎ形と円を組み合わせた図形になります。このとき，側面のおうぎ形の弧の長さと
底面の円周の長さは等しくなります。このことを式でまとめていくと，
＜側面＞
高さ
母線
Ｏ
底面
頂点Ｐ
＜底面＞
母線
360
中心角
＝ 底面の半径×2×
360
360
母線×中心角 ＝ 底面の半径×360°
母線×2×
側面
という関係が成り立ちます。
さらにこのことから，円すいの側面積は，
中心角
母線×母線×円周率×
←順番を入れ替えて
360
中心角
中心角
360
＝母線×母線×
×円周率 ←母線×
＝底面の半径×
より
360
360
360
360
360
＝母線×底面の半径×
×円周率 ←
を約分すると 1 なので省略します
360
360
＝母線×底面の半径×円周率 で求めることができます。
母線×中心角＝底面の半径×３６０度
中心角
底面の
半径
底面
Ｏ
側面積＝母線×底面の半径×円周率
例題２(角すい)
右の図は，底面の半径が 6 ㎝，高さが 8 ㎝の円すいです。円周率を 3.14
として，次の問いに答えなさい。
（１）この立体の体積は何㎤ですか。
8㎝
10 ㎝
（２）この立体の表面積は何㎠ですか。
6㎝
〔解き方〕
（１）6×6×3.14×8×
1
＝301.44(㎤)
3
答
301.44 ㎤
答
301.44 ㎠
（２）底面積は，6×6×3.14＝113.04(㎠)
側面積は，10×6×3.14＝188.4(㎠)
表面積は，113.04＋188.4＝301.44(㎠)
【１】右の円すいの体積は何㎤ですか。ただし，円周率は 3.14 とします。
8㎝
答
75.36 ㎤
3㎝
52
いろいろな問題
【２】右の円すいの表面積は何㎠ですか。ただし，円周率は 3.14 とします。
10 ㎝
答
4㎝
175.84 ㎠
【３】右の図は，ある円すいの展開図を表しています。円周率を 3.14 として，
次の問いに答えなさい。
（１）この円すいの母線の長さは何㎝ですか。
8㎝
120°
答
12 ㎝
（２）この円すいの表面積は何㎠ですか。
答
200.96 ㎠
【４】右の図のような円すいがあります。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）この円すいを展開図にしたとき，側面のおうぎ形の中心角は何度になりますか。
6㎝
答
180°
3㎝
（２）円すいの表面積は何㎠ですか。
答
【５】底面の半径が 4 ㎝である円すいを，頂点Ｏを固定して転がすと，もとの位置
にもどるのにちょうど 4 回転しました(図 1)。
この円すいの展開図が図 2 です。
円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）曲線ＡＢの長さは何㎝ですか。
(図 1)
25.12 ㎝
(図 2)
答
84.78 ㎠
Ｏ
4㎝
Ａ
（２）ＯＡの長さは何㎝ですか。
Ｂ
答
16 ㎝
Ｏ
53
いろいろな問題
例題３(回転体)
じく
右の図のような図形があります。いま，辺ＡＣを軸に１回転させて立体をつくりました。
円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）この立体の体積は何㎤ですか。
Ａ
5㎝
3㎝
Ｅ
Ｂ
（２）この立体の表面積は何㎠ですか。
4㎝
Ｃ
〔解き方〕
平面図形を，その平面上の直線(軸)のまわりに回転させることによってできる立体を
回転体といいます。右の図１のように，長方形を回転させると円柱に，図 2 のように直
角三角形を回転させると円すいになります。
回転体を作図するときは，回転の軸を中心に線対称な図形をかき対応する頂点を曲線
で結ぶことによって作図することができます。
Ｄ
4㎝
図1
図2
（１）ＡＣを軸に回転させると，円すいと円柱を組み合わせた立体になります。
1
円すいの体積は，4×4×3.14×3×
＝50.24(㎤)
3
円柱の体積は，4×4×3.14×4＝200.96(㎤)
立体の体積は，50.24＋200.96＝251.2(㎤)
答 251.2 ㎤
（２）円すいの側面積は，5×4×3.14＝62.8(㎠)
円柱の側面積は，4×4×2×3.14＝100.48(㎠)
底面積は，4×4×3.14＝50.24(㎠)
表面積は，62.8＋100.48＋50.24＝213.52(㎠)
答 213.52 ㎠
Ａ
5㎝
3㎝
Ｅ
Ｂ
4㎝
Ｃ
【１】右の図の斜線をつけた図形は，1 辺が 10 ㎝の正方形から 1 辺 5 ㎝の正方
形を切り取った残りです。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）辺ＡＢを軸として 1 回転してできる立体の体積は何㎤ですか。
Ｄ
Ａ 5㎝
5㎝ Ｃ
10 ㎝
5㎝
Ｂ
答
Ｄ
10 ㎝
1962.5 ㎤
（２）辺ＣＤを軸として 1 回転してできる立体の体積は何㎤ですか。
答
【２】右の図のような四角形ＡＢＣＤを，ＣＤを軸として回転させたときにできる立体
について，次の問いに答えなさい。ただし，円周率は 3.14 とします。
（１）この立体の体積は何㎤ですか。
Ａ
5㎝
6㎝
答
（２）この立体の表面積は何㎠ですか。
2747.5 ㎤
Ｄ
131.88 ㎤
2㎝
Ｂ
3㎝
Ｃ
答
188.4 ㎠
54
いろいろな問題
例題１(立体の切断１)
下の立方体で，Ｐ，Ｑ，Ｒはそれぞれ真ん中の点です。次の(１)～(３)の 3 点を通る平面で切るとき，その切り口の形を
答えなさい。
（１）3 点(Ａ，Ｃ，Ｆ)
（２）3 点(Ａ，Ｐ，Ｇ)
（３）3 点(Ｐ，Ｑ，Ｒ)
Ｒ
Ｐ
Ｄ
Ｄ
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
Ｐ
Ａ
Ｈ
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ｈ
Ｇ
Ｆ
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ｂ
Ｈ
Ｇ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｆ
Ｑ
〔解き方〕
直方体や立方体を 1 つの平面で切ったとき，切り方によって切り口の図形はいろいろと考えられますが，基本となる事柄は
以下の 3 つの点です。
⒈
平面と平面が交わる線は直線(交線)になり，１本しかない。
Ｄ
→ このことから，立方体の面は 6 つあるので，切り口の図形は六角形以下
になります。
⒉
切り口の線は立体の面上にでき，立体の中にできることはない。
Ｒ
Ｂ
Ａ
→ このことから，右の図のようにＢＡ，ＣＰ，ＦＱを延長すると，3 本の
直線は点Ｒで交わり，切り口の線はＰＱになります。
⒊
Ｃ
Ｐ
Ｈ
Ｑ
Ｇ
平行な２つの面上の切り口の線どうしは平行になる。
Ｅ
→ このことから，立方体のように平行な面がある立体を平面で切ると，平
行な面にある切り口の図形の辺は必ず，平行になります。
Ｆ
Ｄ
（１）ＡＣ，ＣＦ，ＦＡはどれも立方体の表面上の辺なので，切り口の形は，正方形の
対角線を一辺とする正三角形になります。(右図１)
答
Ａ
Ｂ
Ｈ
正三角形
Ｅ
（２）ＡＰとＰＧは切り口の線になりますが，ＡＧは立方体の中を通るので切り口には
なりません。したがって，次の手順で切り口の線をひくことになります。
① ＧからＡＰと平行な直線をひき，ＥＦとの交点をＬとします。
② ＡとＬを結びます。
よって，切り口の形は 4 本の辺の長さが等しいひし形になります。(右図 2)
Ｃ
(図１)
Ｄ
Ａ
Ｇ
Ｆ
Ｐ
Ｃ
Ｂ
Ｈ
答
Ｅ
（３）ＰＲは切り口の線になりますが，ＰＱとＲＱは立方体の中を通るので切り口には
なりません。したがって，次の手順で切り口の線をひくことになります。
① ＢＡとＲＰを延長してその交点をＸとし，ＸとＱを結びます。
② ＸＱとＡＥとの交点をＬとし，ＬＰ，ＬＱを切り口の線とします。
Ｘ
③ ＱからＰＲと平行な直線をひき，ＦＧとの交点をＭとします。
④ ＢＣとＰＲを延長してその交点をＹとし，ＹからＭまで直線をひきます。
⑤ ＹＭとＣＧとの交点をＮとし，ＲＮ，ＭＮを切り口の線とします。
よって，切り口の線は正六角形になります。(右図 3)
正六角形
Ｌ
(図 2)
Ｄ
Ｆ
Ｙ
Ｒ
Ｃ
Ｐ
Ｂ
Ａ
Ｌ
Ｅ
答
Ｇ
ひし形
Ｎ
Ｈ
Ｇ
Ｍ
Ｑ
(図 3)
Ｆ
55
いろいろな問題
【１】立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨを，次の①～⑥の 3 点を通る平面で切ったとき，切り口の形を答えなさい。ただし，Ｐ，Ｑ，
Ｒはそれぞれの辺の中心です。
（１）3 点Ｐ，Ｑ，Ｆ
（２）3 点Ｃ，Ｄ，Ｅ
（３）3 点Ｃ，Ｅ，Ｐ
Ｄ
Ｑ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｈ
Ｅ
Ｈ
（４）3 点Ｐ，Ｑ，Ｅ
Ｑ
Ａ
答
Ｄ
Ｃ
Ｈ
Ａ
Ｅ
答
答
Ａ
ひし形
Ｈ
Ｇ
Ｒ
Ｅ
Ｆ
答
Ｃ
Ｂ
Ｇ
台形
Ｐ
Ｄ
Ｑ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
Ｆ
長方形
Ｃ
Ｈ
Ｇ
Ｇ
（６）3 点Ｐ，Ｑ，Ｒ
Ｐ
Ｑ
Ｂ
Ｐ
Ｅ
（５）3 点Ｐ，Ｑ，Ｆ
Ｐ
Ｂ
Ｈ
Ｆ
二等辺三角形
Ｃ
Ａ
Ｇ
Ｅ
Ｆ
Ｄ
Ｄ
Ｂ
Ｇ
答
Ｃ
Ｐ
Ｆ
五角形
答
六角形
【２】上の【１】の(４)，(６)の切り口の線を，下の展開図に書き入れなさい。
（４）
（６）
Ｃ
Ｄ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ａ
Ｂ
Ｄ
【３】3 点Ａ，Ｃ，Ｐを通る平面で 1 辺 6 ㎝の立方体を切断したとき，頂点Ｂを含む
立体の体積は何㎤になりますか。
Ａ
Ｂ
Ｈ
答
【４】右の図 1 のような 1 辺が 12 ㎝の立方体があります。辺ＤＣ，辺ＡＤ
の真ん中の点をそれぞれＰ，Ｑとし，3 つの点Ｐ，Ｑ，Ｈを通る平面で
この立方体を切り分けました。このとき，頂点Ｄを含む立体の展開図は
図 2 のようになりました。切り口の面積は何㎤ですか。
18 ㎤
Ｄ
Ｅ
Ｐ
Ｑ
Ａ
答
54 ㎠
Ｐ
Ｇ
Ｆ
Ｃ
Ｂ
Ｈ
Ｅ
Ｃ
(図 1)
Ｇ
Ｆ
(図 2)
56
いろいろな問題
例題２(立体の切断２)
1 辺が 6 ㎝の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。点Ｐ，Ｑはそれぞれの辺の真ん
中の点です。この立方体を，3 つの点Ｄ，Ｐ，Ｑを通る平面で，2 つの立体に切り分け
ました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）切り口の平面が辺ＡＥと交わる点をＲとするとき，ＥＲの長さは何㎝ですか。
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｐ
Ｈ
Ｇ
（２）切り口の平面が辺ＦＧと交わる点をＳとするとき，ＦＳの長さは何㎝ですか。
Ｅ
〔解き方〕
（１）ＤＰは切り口になりますが，ＤＱ，ＰＱは立方体の中を通るので切り口にはなりません。
『平行な２つの面上の切り口の線どうしは平行になる。』ことを利用すると，ＱからＰＤ
に平行な直線をかき，辺ＡＥとの交点をＲとすることができます。このとき，三角形ＤＣ
Ｐと三角形ＱＥＲは相似になりますから，
相似比は，ＤＣ：ＱＥ＝6 ㎝：3 ㎝＝②：①
よって，ＥＲの長さは，3÷②×①＝1.5(㎝)
6㎝
Ｄ
Ｃ
3㎝
Ａ
Ｂ
Ｐ
Ｈ
Ｇ
Ｒ
1.5 ㎝
答
Ｆ
Ｑ
Ｅ
Ｆ
3㎝ Ｑ
（２）ＤＲは切り口になるので，ＰからＤＲに平行な直線をかき，ＦＧとの交点をＳとするこ
とができます。このとき，三角形ＤＡＲと三角形ＳＧＰは相似になりますから，
6㎝
相似比は，ＡＲ：ＧＰ＝(6－1.5)㎝：3 ㎝＝３：２
よって，ＳＧの長さは，6÷３×２＝4(㎝)
Ａ
ＦＳの長さは，6－4＝2(㎝)
4.5 ㎝
Ｄ
Ｃ
Ｐ
Ｂ
3㎝
Ｈ
Ｇ
Ｒ
答
2㎝
例題３(立体の切断３)
1 辺が 6 ㎝の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。点Ｐは辺ＡＥのＥから 4 ㎝のと
ころにあります。この立方体を 3 点Ｐ，Ｆ，Ｃを通る平面で 2 つの立体に切り分けた
とき，点Ａを含む立体の体積は何㎤ですか。
Ｅ
Ｆ
Ｑ
Ｄ
Ｓ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｐ
Ｈ
4㎝
Ｇ
Ｅ
〔解き方〕
切り口は，右の図 3 のような台形ＰＦＣＳになり
ます。
ＰＳはＣＦに平行なので，
ＡＰ＝ＡＳ＝6－4＝2(㎝)
図 2 のように辺を延長させて三角すいＯ－ＢＦＣ
を考えると，三角形ＯＡＰと三角形ＯＢＦは相似な
ので，
相似比は，ＡＰ：ＢＦ＝2 ㎝：6 ㎝＝①：③
ＯＡの長さは，6÷(③－①)×①＝3(㎝)
よって，求める立体の体積は，
1
1
6×6÷2×(6＋3)×
－2×2÷2×3×
＝52(㎤)
3
3
Ｄ
Ｆ
Ｄ
Ｃ
Ｏ
Ｂ
Ａ
Ｅ
Ｂ
Ａ
Ｐ
Ｐ
4㎝
Ｃ
Ｓ
Ｓ
Ｈ
(図 1)
Ｇ
Ｆ
4㎝
Ｅ
Ｈ
(図 2)
Ｇ
Ｆ
答
52 ㎤
57
立体図形
【１】1 辺が 12 ㎝の立方体を，3 点Ｄ，Ｐ，Ｑを通る平面で切り分けます。ＡＰ＝8 ㎝，
ＣＱ=6 ㎝とするとき，次の問いに答えなさい。
（１）切り口の平面がＥＦと交わる点をＲとするとき，ＥＲの長さは何㎝ですか。
12 ㎝
Ｄ
Ｃ
6㎝
Ａ
Ｂ
Ｑ
8㎝
Ｈ
答
Ｇ
Ｐ
8㎝
Ｅ
Ｆ
（２）切り口の平面が辺ＦＧと交わる点をＳとするとき，ＦＳの長さは何㎝ですか。
答
3㎝
（３）頂点Ｈを含む立体の体積は何㎤ですか。
724 ㎤
答
【２】右の図は，1 辺が 8 ㎝の立方体です。点Ｐ，Ｑ，Ｒはそれぞれ辺ＡＤ，ＣＤ，ＥＦの
中点です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）3 点Ａ，Ｑ，Ｒでこの立方体を切断したとき，切り口の形は何になりますか。
答
Ｒ
Ｄ
Ｃ
Ｐ
Ａ
ひし形
Ｂ
Ｈ
（２）3 点Ｐ，Ｑ，Ｒでこの立方体を切断したとき，切り口の形は何になりますか。
Ｅ
Ｇ
Ｆ
Ｑ
答 正六角形
（３）3 点Ｅ，Ｐ，Ｑでこの立方体を切断したとき，頂点Ｂを含む立体の体積は何㎤ですか。
答
【３】右の図のような直方体を，３点Ｐ，Ａ，Ｈを通る平面で 2 つに
切り分けます。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）切り口の線と辺ＦＧとの交点をＱとするとき，ＦＱの長さは何㎝
ですか。
Ａ
362･2/3 ㎤
9㎝
Ｄ
6㎝
Ｃ
Ｂ
6㎝
2㎝
Ｐ
答
（２）小さい方の立体の体積は何㎤ですか。
Ｅ
Ｈ
6㎝
Ｆ
Ｇ
答
114 ㎤