パワーポイント12

数理統計学
西 山
前回のポイント＜定理８＞
1.
データ（サンプル）の合計値
正規分布をあてはめる
 ルートNをかけて標準偏差を求める

2.
データ（サンプル）の平均値（合計も）
正規分布を当てはめる（定理１０）
 定理８がポイント

定理８「ばらつきルートNの法則」
データの特徴は、平均がμ、標準偏差がσ
N個のサンプルをとると
教科書では省略
合計値
期待値  N  
標準偏差  N  
平均値
期待値  
標準偏差 

N
正規分布を当てはめる！ ＜＜ 中心極限定理（データは30～100個以上が目安）
クイズ
1.
2.
正しいサイコロを１００回振るときに出る目の数
の平均値はどのくらいになりますか？1シグマで
予想してください。
日本人の身長分布はN(170,100)とする。無作
為に10人をとって平均身長を求める。10人の平
均は何センチ位になりますか。１シグマで予想し
てください。
実験結果（1万回）
10回の平均値、ほか40回、100回
不偏性
> sd(jikken10)
[1] 0.5417527
> sd(jikken40)
[1] 0.2716625
> sd(jikken100)
[1] 0.1702467
解答 ― （１）のみ
目の出方
平
均
の
出
方
母集団はサイコロ
EX   3.5
V X   2.92
E X   3.5
2.92
V X  
 0.0292
100
1.71
SDX  
 0.17
100
練習問題【１】
日本人の体重分布には正規分布N(55,225)が
当てはまっているとする。11人のサンプルをとる
として・・・
1. サンプル平均の値が60Kg以上になるのは、
どの位の確率ですか？
2. サンプル平均の値が50Kg台になるのは、
どの位の確率ですか？
解答（１）のみ； （２）はどこかで出題
母集団の特徴： 平均＝55Kg、標準偏差＝15Kg
11個のサンプル平均
（µ）
（σ）
EX     55Kg

15
SD X  
N

11
 4.52 Kg
 X  55 60  55 
P X  60  P

  PZ  1.11
4.52 
 4.52
練習問題【２】＜合計の問題＞
旅客機利用客の体重は、全体として平均55Kg、標準
偏差10Kgで正規分布していると言われる。では、定
員400人が満席の時の旅客総ウェイトの最大値をいく
らと見込むとよいか？
合計値と平均値
は本質的に同じ問
題
総ウェイト＝ 400 
（400人の平均体重 )
定理８―母集団の確認から
  55
  10
2
2
正規分布の
3シグマの法則
400人がサンプル
E  X   55
100
V X  
 0.25
400
10
SD X  
 0.5
400
平均56.5Kgを超
えないはず！
合計は
２２６００Kg
合計にも＜ルートＮ法則＞
1人ずつを見ると、平均55Kg、標準偏差10Kg
400人の合計は？
平均値＝400  55  22000
標準偏差  400 10  200
正規分布を当てはめて、最大２２０００＋３×２００、２２６００Kgまで
10年間、毎日飛んでみた
>
JIKKEN
<-
REPLICATE(3650,SUM(RNORM(400,MEAN=55,SD=10)))
小文字で
> mean(jikken); sd(jikken)
[1] 22003.49
[1] 200.3838
> max(jikken)
[1] 22613.95
400人合計（Kg）
練習問題【３】二値変数の合計
値
－１０
＋１０
確率
０．５
０．５
1000
100回後の標準偏差？
100日目
－1000
実験結果（1万回）
100回後の合計
ほぼ正規分布
> mean(jikken4)
[1] -0.04
> sd(jikken4)
[1] 100.0514
【解答】
どんなデータか？
値
－１０
＋１０
 0
  10
確率
０．５
０．５
結果の出方？
正規分布
E 合計  0
SD合計  100 10  100
【クイズ】
2号館に設置されているエレベーターの定員は11名であ
り、最大積載量は750Kgと明示されている。定員一杯の
とき、平均68.2Kgだと「乗れない！」ということになる。そ
んなことがあるのか？統計上の観点にたって、考えると
ころを自由に述べなさい。 但し、上のエレベータに乗る
かもしれない人たち（＝母集団）の体重分布は、
N(55,225)としておく。
簡単のため11人満員の時の状況だけを考える
【解答】
合計値の分析＝平均値の分析
11人の総体重＝11人 11人の平均体重
E X   55
11人の平均体重は最大の
ときで
225
V X  
 20.45
55  3  411
.52  68.56
SDX   20.45  4.52
3シグマで最大値を予測しておけばよい。ないし、4シグマ。