一 。

.
‘
ω
』
‘
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一
ω
ω
n
ω
Roa@ROBM
、
t
切
@
富
C
D
fA
室内空気分布の数値予測法の実用化に関する研究
M
u
lt) -Mesh法の開発 c k -ç モデルによる ~F等温室内気流の数値解析-
1991年 6月
倉淵隆
論文内容の要旨
室内空気分布の数値予測，去の実用化に関する研究
-
Multi-Meshi
去の開発と k -ε モ デ ル に よ る 非 等 温 室 内 気 流 の 数 値 解 析
ー
倉点)
1 ß~
室内気流 ・ ~I 皮の空間情造は内部の滞在者の温熱気流感:ì!や汚ぬ空気の分布に決定的な
影響を与えるため，その定I
在的予測法の確立は建築環境工学における主要な課題の ー っと
なっている。特に段近では快適性と省エネルギー 1
生を兼ね備えた新しい空調方式の開発や，
空気膜構造物やアトリウムに代表される大空間を対象とした空刺殺計方法の確立などの目
標に対し，室内気流の予測法に寄せられる社会的な要求と期待は大きい。
本論文では，室内気流の数値計算による予測法によって，これら実用上の要求に応える
ため，必要計算分解能が予測対象空間内で大幅に変化する多くの問題に対し，計r1負荷の
軽減と高精度化の両立を目指した新たな計算手法のJ)日発を行うと共に，現状の室内空気分
布数値予測法を，矩体の熱移動現象を包含した総合的室内環境予測法に拡張することを段
終目標として，非等温室内気流計算の際に問題となる基礎方程式，境界条件の適用妥当性
に関するー述の検討を行ったものである。
従来，この尽の問題に対応可能な予測手法としては実物の縮尺絞型を用いた実験法があ
り，実際の多くの問題に適用された実績があるものの ， 実験で必~となる ~(I) 定設備，訓lはE
妓術，測定者の熟練等に高皮なレベノレが要求される場合が普通であって，限られた研究機
関でのみ可能な方法であった。
一 方，近年のコンピュター ・ テクノロジ ー の急速な発達に伴い，大規模 ~f r1が比較的容
易に実行できる環境が整いつつあることを背景とし，数値計算法が佼型実験法を代替する
新たな手法として注目されつつある。我国の建築環境工学における室内空気分布数値予測
設は，野村，松尾，貝塚，坂本，遠藤(日本建築学会論文報告~第 231 ， 232， 238， 1975
年 ) の 研 究 に よ り 実 質 的 に 出 発 し て 以 来 ， その信頼性と適用範聞に l
刻する実験的検紅 ，，
m
分法の改良，境界条例の T
整備等に関する精力的な研究がなされ，数値予測法の可能性は著
しく広がったといえる。
原近の研究の動向としては，高精度の乱流モデルの適用による，より
nの高い計算予 J{IJ
を目指す方向と，実用問題に適した解法や熱に関連する研究部門との述成問題等，応用範
囲 の 拡 張 を 目 指 す 方 向 に 分 岐 し つ つ あ る が， 本 論 文 で は 主 に 後 者 の 立 場 か ら ， 現 状 の 数 値
計 算 技 術 で ど の 程 度 実 用 上 の 問 題 に 迫 り う る の か . その場合の問題点はどこにあり，必要
な改良法はどうあるべきかを係ることに力点を置いた研究を行ったものである。
第 四 編 は ， 非 等 祖 室 内 気 流 の 数 値 計 算 法 に 関 し ， 古L
iJIEモデル，境界条件の妥当性，適用
範囲を既往文献で示されている研究成果を含めて検討し，最終的に実大居室彼型を対象と
本論文は序論に引き続く加編と結論により構成されている。
し た 実 験 と 計 算 に よ り ， 現 状 の 数 値 計 算 法 の 適 用 車E
凶とその可能性を促示することを意図
序論では，本論文の目的と概要が述べられている。
して行われたものであり，以下の 4~ より成る。
編は，室内気iJf
Eで問題となる乱it.
e
現象とそのモデノレ化，計算手法が 概 説されており，
第 1i
準 k-
第 l章 で は ， 平 面 浮 力 噴 流 を 対 象 に A S Mと そ の 一 部 を 加 味 し た Kー εモ デ ル ， 及 び 標
以下の 3~ より成る。
ml立 で は N
a
v
i
o
r-Stokcs 式から検討を開始し ，
B モデルの計;p:を行い，実験結果との比較や計算結果を吟味することによって，そ
の特性を明らかにしている。
百L 流現象を司る械々な方程式 ~F を導 tB
第 2章 で は ， 乱 流 エ ネ ノ レ ギ 一 散 逸 方 程 式 中 の 浮 力 作 用 に 事jし，その員3
，将の顕在化する条
L
. 洞 終 力 が ( 動 く 程 度 に 簡 略 化 し た 流 れ の 状 況 で の 各 項 の ふ る ま い や ，オ ー ダ ー 評 価 等 を
件 を 設 定 し た 実 験 と 計 算 結 果 の 比 較 を 行 い ， 乱 流 エ ネ Jレ ギ ー の 浮 力 に よ る 生 産 が 非 常 に 大
l1的な意味や内容についての考察を行っている。
通して，その物F
m2r
;
iで は 第 ! な で 展 開 し た 方 程 式 を 実 際 の 計 算 に 乗 せ る た め に 必 要 と な る モ デ リ ン グ
の 手 法 や そ の 理 論 的 背 景 を 示 す と 共 に . 現 状 で 有 力 と な っている DSM. ASM. kー ε
モデルの基礎方程式を導く。
きく正の値をとる条件では，浮力生産が計算に顕著な影響を及ぼすことを示すと共に，そ
のメカニズムに関する検討を行っている。
第 3章 で は ， 非 等 温 時 の 壁 面 境 界 条 件 と し て ， ま ず 笠 付 近 の 3
古里の変化に関する煙論的，
実 験 的 考 察 を 行 っ た 後 に . 3l'll類の境界条件を提示している。更に，これらの評価を目的
第 3:~ì では数値解法に|児し，特に問題となることの多い移流 ー 拡散系方程式の近似法に
焦点を絞り，初々のi
差分法の得失を多角的に評価すると共に，数値実験結果を示している 。
と し て 鉛 直 加 熱 平 仮 自 然 対 流 を 対 象 に ， 境 界 条 件 や差分メ
y
シ ュ の 相i
主が主に丸j流 伝 熱 の
予測に与える影響について検討している。
第 4 章では，実大の居室模型を対象とした冷房 ・ 暖房条例A の実験データを 1~1!} した上で，
>
r
;I編では .t! 求 ~ llÎ: 分解能が予測対象空間内で大幅に変化する多くの実用問題に適し
た数値解法
!
'
(
'
;1
(
M
u
l
t
i
M
c
s
h法 ) の 開 発 と そ の 応 用 例 を 示 し て お り ， 以 下 の 5章より成る。
なでは傾斜 l次出しを伴う室内気流に関する数値引~'):と実験との比較を行うと共に
3章までの検討結果を踏まえた-:i'l!の計算を行い，乱流モデルと境界条件の妥当性を主に
実験結果との比較に基づいて行っている。 これらの結果よ り ， 今 回 の 検 討 範 囲 で 枇 焚 さ れ
る境界条件を示し，将来的な数値計算法の可能性を提示している。
計算結果の打切り誤差の推定を通して差分メッシュの局所的分割法の必要性を指倒してお
り，以下の ー 述の研究の導入部分に相当する。
結論では本論文で得られた成果を総括すると共に，今後のr.r題について述べている。
買i2な で は . M
u
lt
i
M
e
s
h法 の 開 発 の 消 緒 と し て ， そ の 概 念 を 示 す と 共 に ， 二 次 元 条 件 の
庖 流 と 乱 流 (k ー ε モ デ ル ) に 適 用 し ， 在 来 の 単 一 メ y シ ュ で 分 割 の 組 い 場 合 と 細 か い 場
合の計算結w:と比較に基づき ， 新 解 法 の 妥 当 性 を 検 証 し て い る 。
第
3I;i:では
l
I
I
II
;
'
iの 二 次 元 f
f
l
M
uI
t
i
M
e
s
h法 を 三 次 元 に 拡 張 し た 場 合 の 問 題 点 を 庖 流 条 件
への適月j
結果から見いだし ，適切な改良法を考案する。その後に三次元乱流条件に適用し
て.1
1
1ー メ ッ シ ュ に よ る 計 算 結 果 及 び 実 験 結 果 と の 比 較 に 基 づ き ， 計 算 結 果 の 妥 当 性 を 検
~iE している。
以下のなではM
u
l
t
i
M
c
s
h法 の 具 体 的 な 応 用 例 を 示 し た も の で あ り ， 第
4章 で は 阪 雑 な l
次
!l1iを取り上げ，新解法による計算を実験結果と比較している。計
出 し 口 を 伴 う 室 内 気 流 出1
算 結 果 がl
次出し口のディテールの相違による室内気流の変化を正しく再現することから
住を考J1t.した l
次出 し 口 の 開 発 に 数 値 計 算 法 が 応 用 で き る 可 能 性 を 示 す も の で
室 内 気 流 の 椛i
ある。
第 5訟 で は ， 在 来 法 で は 対 応 が 困 難 な こ と か ら ， こ れ ま で 数 値 計 算 法 の 本 格 的 な 適 用 が
試みられてこなかった通風の問題を対象としたものである。計算では，
の
まず 窓 な し の 場 合
w物 周 辺 気 流 を 対 象 に 行 い . 計 算 結 果 が 既 往 の 実 験 ， 在 来 法 に よ る 計 算 結 果 と 対 応 す る
こ と を 確 か め た 上 で ， 係 々 な 通 風 条 件 を 想 、 定 し 室 内 外 の 気 流 場 ・圧 力 場 の 構 造 を 一 部 既 往
の実験結果と比較しつつ検討し，乱流モデルの違いを含めて通気抵抗や室内のエネルギー
バランスなど，多角的な考察を行っている。これらの結果より ，通風現象の解明に数値計
算法が千子力な検討手段として適用できる可能性を示している。
目
之欠
(
6
)
3. 5
序論
第 1編
乱流の数値解析法
基礎方程式
・・・・・...........
第 H編
2
エネルギーの伝達過程
3
i
局度の力学
4
変 動 成 分 の 2次 モ ー メ ン ト 方 程 式
・
・
・
・
・
・
(
1
)
(b) の ジ オ メ ト リ ー に 関 す る 計 算 結 果
差分メッシュの局所的分割法の開発
第 1章
・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・
1
緒言
1
6
2
実験条件
・
・・
・ ・・・・
・
・・
・
・
・・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・
・・
・
・
・ 1
1
2. 3
圧力変動一変動量空間微分の相関項
2. 4
鉱散的輸送
2. 5
黄土逸方程式のモデリング
2.
D S Mと A S Mの 基 礎 方 程 式
検討室モデル
(
1
)
実験方法
(
1
)
(
1
)
空間差分分割
差分近似式と解法
・
・
・
・
・
・
・ ・・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 3
4
(
4
)
境界祭件
(
5
)
計算ケース
2. 8
各モデルの特性
・
・
・
・
・ ・・・・・・・・・・
・
・
・ ・・・
・
・・
・
・・
・ ・・・・・・・・・・・・
・
・
・
・4
1
(
6
)
・・・・・・・・・・・・ ・・
・ 4
5
差分法による数値解法
・・・・
・
・
・
・
・
・
偏微分方程式の数値解法
3
. 2 差分近似式の作成法
Tay1
0r
級数による方法
(
1
)
多項式近似による方法
(
3
)
有限休積法
(
1
)
Hybri
d法
(
4
)
Qui
ck法
3. 4
検討ケース B
(
4
)
検討ケース C
(
5
)
検討ケース D
5
・・・・................. 51
代表的差分近似式の特性
・
・
・
・
・
・
・ ・・
・
・
・ ・・
・
・・
・
・ ・・・・・・・・・・ 目
・・
・ 5
6
打切り怠差解析
ソースフリー問題への適用
移動性
保存性
(
5
)
帰 還 感 度 (feedback
緒言
Mu1ti-Meshi
去の基礎概念
110
・・
・
・・
・ ・・・・・・ ・ ・・
・
・ ・・・ ・・ ・
・・
・・
・
・ 111
メ ッ シ ュ ・シ ス テ ム と 変 数 計 算 の 分 担
メッシュ聞の解の結合
(
3
)
解法の特徴
計算結果
・
・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・
・
・・
・
・・
・
・ ・・
・
・
・
・ ・・
・
・
・
・
・ 119
二次元層流
(
1
)
(
1
)
2
. 4
・・・・・・・・・ ・
・・
・
・
・ ・・
・
・
・
・
・・
・・
・
・
・ ・・
・
・・
・
・・
・
・・
・
・
・
・ ・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・ 110
(
1
)
2. 3
sensibi1ity)
・・・・・・・・・ ・・
・
・
・
・ ・・
・
・ ・・
・
・
・ ・・
・
・ ・・
・
・ ・・・・・・・・・・ ・・・・
・
・
・ 109
Mu1ti
-Me
sh法 の 基 礎 彼 念 と 二 次 元 問 題 へ の 適 用
1
(
1
)
(
1
)
(
3
)
まとめ
2. 2
(
1
)
(
4
)
第 2章
2.
1次 精 度 風 上 差 分
(
3
)
(
1) 検 討 ケ ス A
(
3
)
中心差分
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 9
1
実験結果
4
7
移流拡散方程式の代表的な差分近似式
(
1
)
補外法による打切り誤差推定
・
・
・
・
・
・・
・
・
・
・・
・・
・ ・・・・・・・・ ・
・
・ ・・
・
・
・ ・4
6
・
・
・・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・
・
・ ・・・・・
・・
・
・
・
・
(
1
)
3
-・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・ ・・
. 4
6
T
計算結果と実験結果
4
(
1
)
3.
舌L流 モ デ ル
(
3
)
・・・・・・・・・・・・・・・ ・
・
・・
・
・ ・
・
・ ・・
・
・
・ 38
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 8
4
・・・・・・・・・・・・・・ ・
・・
・
・ ・・
・
・ ・・
・
・・
・・
・
・ ・・・・・・
・
・
・
・
・ ・・
・
・ 8
6
計算方法
・
・
・
・
・
・
・・
・
・・
・ ・目・
・
・
・ ・・
・
・ 14
B V M ( kー εモ デ ル ) の 基 礎 方 程 式
・
・
・
・ ・・・・・・・
・
・ ・・・・・・・・・・・ ・
・
・ 83
・
・
・ ・・・・
・
・
・
・・
・ ・・・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・
・
・・
・
・ ・・・・・・・・・・・ 8
4
・
・
・ ・・・・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・
・
・
・ ・・ 1
9
2.7
3. 1
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(
1
)
3
2
. 2 等 方 性 散 逸 の 仮 定 に よ る 散 逸 項 の モ デ ル 化 ・ ・ ・ ・ ・ ・・
・
・
・ ・・
・
・ ・・・・・ 1
3
第 3主
j
'
・・・・・・・・・・・・ 目・
・
・
・ 7
4
傾斜吹出しを伴う室内気流の数値計算と打切り鋲差解析・・・・・・・・・ 8
4
1
1
・・・・・・・・・・・・・・・ ・・
・
・ ・・
・ ・・
・
・
・ ・・・
・
・
・ ・・・・・・
・
・ 11
モデル化の必要性
6
(a) の ジ オ メ ト リ ー に 関 す る 計 算 結 果
・
・
・
・・
・
・ ・・
・
・ ・・
・
・ ・・
・
・・
・
・
・ ・・
・
・・
・
・ ・・・・・
・
・・
・・
・ ・・・
・
・
・
苦Li
荒のモデリング
1
(
1
)
・・・・・・・・・・・・
平均流方程式の導出と変動量の相関項
1
第 2 ~主
2.
・・・・・・・・・・・・・・・...・・・・・・・・・・・ 6
8
3
. 6 差分近似式が流れの計算結果に与える影響
第 1意
1.
係数符号の一致
運 動 方 程 式 の 解 法 . M A C;
去
二次元乱流
まとめ
・・
・
・・
・
・
・
・・
・
・・
・ ・・・
・
・・
・
・ ・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
3
1
Multi-M.sh法 の 三 次 元 へ の 鉱 彊
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・ 1
3
3
緒言
...................................................1
3
3
第 3:
l
主
第川編
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
9
2
非等温室内気流の数値解析
3. 1
3. 2
三 次 元 Multi-M.sh法
・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
3
3
第 1章
浮力噴流の数値解析
1
緒言
(
2
)
メッシュ悶の解の結合
2
乱流モデル
(
3
)
解法の特徴
3
計算対象と計算方法
3. 3
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 田
・ ・・・・・・・・・・ ・ 1
3
9
計算結果
(
1
)
計算対象
(
2
)
計算領域，空間差分分割と設定条件
(
2
)
三次元乱流
(
3
)
差分近似式と解法
(
4
)
境界主主件
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・
・
・
・
・
・ ・・
・
・ ・・1
5
3
1
. 4
第 41
;
< 複雑な吹出し口を伴う室内気流への適用
1
緒言
(
1
)
(
2
)
実験概要
計算概要
(
1
)
(
3
)
(
1
)
平均流
(
2
)
乱流エネルギ
5
・
・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2
05
まとめ
，
，
吹 出 し tYP，
3
・・田・
・
・ ・・
・
・
・ 1
5
5
吹 出 し tYP 1
2. 1
緒言
2. 2
吉L流 モ デ ル
2. 3
実験条件
吹 出 し tYP 2
4. 4
室内風速特性
4. 5
まとめ
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・
・
・ 15
8
・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・
5'
!
l 通風を想定した建物内外気流の同時解析
5. 1
緒言
5. 2
計算法，
ε方 程 式 に お け る 浮 力 生 産 項 の 作 用
第 2章
~十算結果と実験結果の気流パターンに関する比較
(
2
)
・
・
・
・ 1
5
4
・
・
・
・・
・・
・ ・・
・
・
・
・ ・・
・
・
・
・
・ ・・
・
・・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・ 15
5
・
・ ・・・・・・・・ ・・
・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・
・
・・
・
・ ・2
00
計算結果
計算対象
(
3
)
4. 3
第
・
・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・
・
・ .
..
.・
~十算集件の設定
4. 2
・
・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・ 15
4
・・
・
・ ・・・
・
・
・
・
・
・・ い
・ 1
6
4
・・・・
・
・
・ ・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・ ・
・ ・・・・・・・・・・・ ・
・
・・
・ ・・
・
・
・ ・1
6
4
計算条件の概要
・
・
・
・
・
・
・ 目・・・・・
・
・・
・・
・
・
・
・
・・
・
・
・
・
・・
・
・ 1
6
6
(
2
)
実験方法
・
・・
・・
・
・ ・・・・・・
・
・ ・・・・・・・・・・
・
・・
・
・
・目
・ ・・・
・
・
・
・ ・・
・
・
・
・ ・2
10
計算方法
(
1
)
空間差分分割
(
2
)
差分近{以式と解法
(
3
)
境界祭件と計算ケ
計算結果と実験結果
(
1
)
浮力なしの場合
C3， の 影 響
(
1
)
計算対象と差分分割
(
2
)
計算法の詳細
(
3) 法 度 差 分 式 の 影 蜘
5
. 3 空間分布に関する計算結果
・
・
・
・
・・
・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・ ・・・・
・
・
・
・
・ 1
7
2
(
1
)
建物周辺気流の計算結果
(
2
)
通風時の建物内外気流の計算結果
通風量，
室内平均値，
(
1
)
通風
(
2
)
室内空間平均値
(
3
)
エネルギ
5. 5
まとめ
(4
)
エネルギー損失係数の算出
・・・・・・・・ ・・・1
8
6
第 3章
3.
収支とエネルギ
損失係数
・
・
・
・
・
・ ・・・
・
・ ・・・・
・
・
・
・・
・
・ ・・・・・・・・・ ・
・・
・ ・・・・
・
・
・
・
・・
・
・・ 1
9
0
ス
・・・
・
・ ・・・
・
・
・
・ ・・・・・・
・
・ ・・
・
・ ・・・・・・・・・・・・ 2
1
1
計算領域の影響
まとめ
2. 6
・
・ ・・・・・・・・・・・・・ ・・
・
・
・・
・
・ ・・
・
・ ・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・ 2
19
壁面境界条件に関する検討
1
緒言
・
・・
・
・・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2
20
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・
・
・
・
・ ・・・・・・・・ ・・・・
・
・
・ ・・・・
・
・
・2
20
3. 2
壁 付 近 の 諸 量 の 変 化 と k -ε モ デ ル
3. 3
壁関数
(
1
)
・・・・ ・・・・・・・・ 2
06
・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2
08
検討室モデル
2. 5
・・・
・
・ ・・・・・・・・ ・
・・
・・
・・
・・
・・
・2
06
....，.
・
・ ・
・
・
・
・
・ ・・・・・・・.............
..
...................'
207
(
1
)
2. 4
..1
6
3
・・
・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(
2
)
5. 4
・1
9
4
・・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
9
7
三次元層流
まとめ
・
・
・1
9
3
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・目 ・・・・・・・・・
(
1
)
3. 4
4.
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・
・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1
9
3
メッシュ・システムと変数計算の分担
(
1
)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2
2
1
・
・
・ ・・
・
・
・
・・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・田2
24
べき乗法
(
2
)
カルマンの三層モデルによる方法
(
3
)
吉L
流 エ ネ ル ギ ー kの 計 算 値 に よ る 方 法
(
4
)
粘性底庖厚さを考慮する方，去
(
5
)
I
三
事
浮力生産項について
3
. 4 鉛直加熱平板自然対流に対する焼界条件の比絞
(
1
)
空間差分の基準長
(
2
)
計算法の概要
c=
雪量."'"
・
・・
・
・・
・ ・・・ 2
3
4
室内気流・温度の空間椛造は内部の滞在者の混熱気流感:i1や汚後空気の分布に決定的な
影響を与えるため，その定量的予測法の確立は建築環境工学における主要な諜題のーっと
(
3
)
tYPe1， 2 の 比 較
なっている。特に最近では快適性と省エネルギー性を兼ね備えた新しい空調方式の開発や，
(
4
)
tyPe2， 3 の 比 較
空気政府造物や 7 トリウムに代表される大空間を対象とした空調設計方法の確立などの目
3. 5
・・・・・・・・・ ・
・・
・
・
・
・
・・
・・
・ ・
・
・ ・・
・
・
・
・ ・・
・
・ ・・
・
・
・
・
・ ・・
目
・・
・ ・2
4
6
まとめ
1法に寄せられる社会的な要求と期待は大きい。
標に対し，室内気流の予担]
従来，計算法による室内気流の予測に関しては，予測対象空間を均質と見なせるブロ
第 4J
;
i 実大居室模型を対象とした数値解析
4.
1
4. 2
緒言
・
・
・
・
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 2
47
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・
・
・ ・・・・・・
・
・
・
・
・
・・
・
・ ・・
・
・・
・・
・
・・
・・
・ 247
たが，個別空調や複雑な大空!日]での空調により実現される局所的な沼熱・空気環境を予測
・
・
・
・
・
・ ・・・・
・
・ ・・
・
・
・
・
・ ・・・・....................248
こ関して
するためには，空間的な分解能や実験的に決められる計算パラメーターの汎用性 l
実大模型実験
(
1
)
実大模型
困難をなしとせず，むしろ流体力学の一般理論によって立つ
(
2
)
測定項目
的適用性の点で原恕的に有利と考えられる。但し，
熱収支に関する実験結果
4. 3計 算 概 要
7
7
イクロ・モデルの方が普遍
イクロ・モデルの適用には通常膨大
な計算を要することと，その適用可能性が必ずしも十分認識されていないために，その応
(
3) 実 験 ケ ー ス
(
4
)
y
ク に 分 割 し て 取 扱 う ， い わ ゆ る ゾ ー ン ・モデル (7タ ロ ・ モ デ ル ) の 迎 用 が 検 討 さ れ て き
・
・
・・
・ ・・・・・
・
・
・ ・・
・
・ ・・
・
・
・ ・・
・
・
・
・
・
・ ・
・
・ ・ ・ ・・・・・ ・ ・2
5
4
用範四が建築環境工学の分野で必ずしも広範に波っていない現状がある。
本 論 文 で は ， これらの事 怖 を考慮しマイクロ ・モ デ ル に 滋 づ く 室 内 気 流 の 数 値 計
p
:予 測
舌L
.
i
飛モデル
珂し ， 必 要 計 算 分 解 1
i
Eが予測対象空間内で大幅に変化する'iffJ
T
J的な ]
l
J
¥Illiに迎合する新
法に l
(
2
)
空間差分分割
たな計算手法の開発を行うと共に ，現状の室内空気分布数値予 d
{
l
]法を ， ~5 体の熱移動現象
(
3
)
差分近{以式と解法
(
1
)
を 包 含 し た 総 合 的 室 内 環 境 予 測l
法に拡張することを最終日僚として，非主事組室内気流計算
の際に問題となる基礎方程式，境界条件の適用妥当性，及び実大3?:を対象とした ~IP によ
(
4) i
章界集 {
牛
(
5
)
kく 0の場合の対応
(
6
)
計算ケス
4. 4
~十算結果
る実験結果の再現性に関する一連の検討を行ったものである。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・
・
・ ・・
・
・
・
・・
・
・・
・
・目
・
・ ・2
57
これまで，計算法に依らない室内空気分布の予測手法としては，実物の縮尺模型を用い
(
1
)
熱流境界条件による計算結果
た実験法があり ， 実 際 の 多 く の 問 題 に 適 用 さ れ た 実 績 が あ る も の の ， 実 験 で 必 要 と な る 測
(
2
)
温度境界条件の影響
{
I
J定 者 の 熟 練 等 に 高 度 な レ ベ ル が 要 求 さ れ る 場 合 が 普 通 で あ っ て ， 限
定設備 ， 測定技術， d
(
3
)
差分メッシュの影響
4. 5
まとめ
ら れ た 研 究 機 関 で の み 可 能 な 方 法 で あ っ た 。 一 方 ， 近 年 の コ ン ピ ュ タ ー ・テ ク ノ ロ ジ ー の
・・
・
・
・
・ ・・
・
・
・
・
・
・ ・・
・
・
・
・
・
・
目・
・・
・ ・・・
・
・ ・・・・・・・・・・・ ・
・
・
・ ・・2
71
急速な発達に伴い ，大規模計算が比較的容易に実行できる環境が堅いつつあることを背長
とし，数値計算法が模型実験法を代替する新たな手法として注目されつつある。
我国の建築環境工学における室内空気分布数値予測法は，野村，必尼，貝塚，坂本，遠
結
論
・
・
・・
・
・
・
・ ・・・
・
・ ・・・・
・
・
・
・
・
・
・・
・
・
・ ・・・
・
・・
・
・ ・・
・
・
・
・
・ ・・・・
・
・
・
・ ・・
・
・
・
・
・
・ ・2
72
藤 (1975a， b， c
) の研究報告より ， 古L
i
mモ デ ル と 差 分 解 法 を 組 み 合 わ せ る 方 法 が 提 示 さ れ，
以後の研究の実質的な出発点を示した意味でその功績は大きい。
・
・・
・
・ ・・・
・
・ ・・
・
・
・・
・
・
・
・
・
・ ・・・
・
・
・
・
・・
・
・
・ ・・2
7
4
0余 年 は ， そ の 信 頼 性 と 適 用 範 囲 に 関 す る 実 験 的 検 証 ， 差 分 法 の 改 良 ， 境 界 条
その後の 1
参考文献
・
・
・ ・・・
・
・・
・
・・
・ ・・
・
・・
・
・ ・・
・
・
・
・
・ ・・・
・
・・
・ ・・・・
・
・
・ ・・
・
・
・
・
・
・
・ ・・
・
・ 2
7
6
こ関する精力的な研究がなされ，数値予測法の可能性は著しく広がったと考え
件の笠備等 l
あとがき
・
・・
・・
・
・・
・
・・
・
・
・・
・・
・
・ ・・
・
・
・・
・ ・・・
・
・
・
・ ・・・・・・・
・
・
・
・ ・・
・
・ ・・・
・
・・
・ 284
られる。
本論文に 関連する既発表文献
流モデルの適用によ
最 近 の 研 究 の 動 向 と し て は ， 当 面 の 実 用 性 は 別 と し て ， 高利皮の古L
る，より質の高い計算予測を目指す方向と ， 実用問題に適した解法や熱に関連する研究部
門との達成問題等，応用範囲の拡張を目指す方向に分岐しつつある。両者のアプローチが
室内空気分布の予測法の発達に必須である こ とはいうまでもないが，計算流体力学の研究
者は筆者を含めて，ともすれば前者の方向に傾斜しがちであることと，専門の研究者以外
の 人 々 が 計 算 予 測 法 に 抱 く 過 大 な 期 待 が あ い ま っ て ， 第 一線 の 研 究 者 と 他 の 部 門 の 研 究 者
ー
や実務技術者との問に認識のずれが生じつつある点は否めない。本論文はこれらの事情を
'ff-法が有力な検討手段として適用できる可能性を示している 。
鑑み，現状で確立している数値計算技術でどの夜度実用上の問題に迫りうるのか，その滋
合の問題点はどこにあり，必要な改良法はどうあるべきかを探ることに力点を置いた研究
第 聞 編 は ， 非 等 温 室 内 気 流 の 数 値 計 算 法 に 関 し ， 古L
i
mモ デ ル ， 境 界 条 件 の 妥 当 性 ， 適 用
巨大居室模型を対象と
範囲を既往文献で示されている研究成果を含めて検討し，最終的に2
を行ったものである。
した実験と計算により，現状の数値計算法の適用範囲とその可能性を提示することを意図
し て 行 わ れ た も の で あ り ， 以 下 の 4:41より成る。
本論文は以下に引き続く 聞編と結論により構成されている 。
W
;1編 は ， ミ 室 内 気 流 で 問 題 と な る 乱 流 現 象 と そ の モ デ ル 化 . 計 算 手 法 が 概 説 さ れ て お り ，
以 下 の 3I;tより成る。
N
'
;l訟 で は Navior- Stokcs式 か ら 検 討 を 開 始 し ， 乱 i
流現象を司る様々な方程式砕を導出
し，洞察力が{動く程度に簡略化した流れの状況での各項のふるまいや，オーダー評価等を
通して，その物理的な意味や内容についての考察を行っている。
の特性を明らかにしている。
第 2章 で は ， 乱 流 エ ネ Jレ ギ 一 散 逸 方 程 式 中 の 浮 力 作 用 に 対 し ， そ の 影 響 の 顕 在 化 す る 条
件を設定した実験と計算結果の比較を行い，乱流エネルギーの浮力による生産が非常 l
こ大
第 2 l;tでは第 In で 展 開 し た 方 程 式 を 実 際 の 計 算 に 乗 せ る た め に 必 要 と な る モ デ リ ン グ
J論 的 背 i
去 を 示 す と 共 に ， 現 状 で 有 力 と な っ て い る DSM. ASM. k ー
の手法やその1'
ε
モデルのU
l
i
撞方程式を塁手〈。
第
手 力 噴 流 を 対 象 に A S Mと そ の 一 部 を 加 味 し た k ー εモ デ ル ， 及 び 標
第 i主主では，平面 I
準 k- εモ デ ル の 計 算 を 行 い ， 実 験 結 果 と の 比 較 や 計 算 結 果 を 吟 味 す る こ と に よ っ て ， そ
きく正の値をとる条件では，浮力生産が計算に顕著な影響を及ぼすことを示すと共に， そ
のメカニズムに関する検討を行っている。
第 3章 で は ， 非 等 混 時 の 壁 面 境 界 条 件 と し て ， ま ず 笠 付 近 の 緒 置 の 変 化 に 関 す る 理 論 的 ，
3-4lでは数値解法に関 L
. 特に問題となることの多い移流ー拡散系方程式の近似法に
焦点を絞り ， 組 々 の 差 分 法 の 得 失 を 多 角 的 に 評 価 す る と 共 に ， 数 値 実験結果を示している。
実験的考察を行ったi
去に. 3種 類 の 筑 界 条 件 を 徒 示 し て い る 。 更 に ， こ れ ら の i
W価 を 目 的
と し て 鉛 直 加 熱 平 板 自 然 対 流 を 対 象 に ， 境 界 条 件 や 差分メ
y
シュの相違が主に対流伝熱の
予測に与える影響について検討している。
茸i1編 で は ， 要 求 引
n分 解 能 が 予 測 対 象 空 間 内 で 大 幅 に 変 化 す る 多 く の 実 用 問 題 に 適 し
た 数 値 解 法 (Multi-Mcsh法 ) の 開 発 と そ の 応 用 例 を 示 し て お り ， 以 下 の 5主主より成る 。
第 11
';1.では傾斜 l
次L
Uし を 伴 う 室 内 気 流 に 関 す る 数 値 計 算 と 実 験 と の 比 較 を 行 う と 共 に ，
計 算 結 果 の 打 切 り 誤 差 の 推 定 を 通 し て 差 分 メ ッ ゾ ュ の 局 所 的 分 富J
I法 の 必 要 性 を 指 摘 し て お
第 4章 で は ， 実 大 の 居 室 侠 型 を 対 象 と し た 冷 房 ・暖 房 条 例 の 実 験 デ ー タ を 取 得 し た 上 で，
3f，'iまでの検討結果を踏まえた一連の計算を行い，乱流モデルと境界条件の妥当性を主に
実験結果との比較に法ついて行っている。これらの結果より，今回の検討範囲で惟奨され
る 境 界 条 件 を 示 し ， 将 来 的 な 数 値 計 算 法 の 可 能 性 を 提 示している。
り， 以 下 の ー 述 の 研 究 の 導 入 部 分 に 相 当 す る 。
第 21
;1では . Mul
ti
-Mesh法 の 開 発 の 端 緒 と し て ， そ の 概 念 を 示 す と 共 に ， 二 次 元 条 件 の
周流と古 L~t (kー
εモデル)に適用し，在来の1:11ーメッ
Y
結論では本論文でi
専られた成果を総括すると共に ， 今後の諜題について述べている。
ュで分割の組い場合と細かい場
合 の 計 p結 果 と 比 較 に 基 づ き ， 新 解 法 の 妥 当 性 を 検 証 し て い る 。
第 3平 で は
j
町 立 の 二 次 元 用 Mulli-Mesh法 を 三 次 元 に j
副長した場合の問題点を脳流条件
への迎用結果から見いだ し，適切な改良法を考案する 。 そ の 後 に 三 次 元 乱 流 条 件に適用し
l
1ーメ
て. l
y
シュによる計 算 結 果 及 び 実 験 結 果 と の 比 較 に 基 づ き ， 計 算 結 果 の 妥 当 性 を 検
証している。
以下の ，
.
1Lで は M
ulti-Mesh法 の 具 体 的 な 応 用 例 を 示 し た も の で あ り ， 第 4章 で は 複 雑 な l
次
山し口を伴う室内気流問題を取り上げ，新解法による計算を実験結果と比較している。計
算結果がl
次出し口のディテールの相違による室内気流の変化を正しく再現することから，
室内気流の柿造を考慮した吹出し口の開発に数値計算法が応用できる可能性を示すもので
ある。
第 5i
-;tでは，在来法では対応が困難なことから，これまで数値計算法の本格的な適用が
試みられてこなかった通風の問題を対象としたものである。計算では，まず窓なし の場合
の他物周辺気流を対象に行い，計算結果が既往の実験，在来法による計算結果と対応する
こ と を 確 か め た よ で ， 被 々 な 通 風 条 件 を 想 定 し 室 内 外 の 気 流 湯 ・圧 力 場 の 構 造 を 一 部 既 往
の実験結巣と比較しつつ検討し，乱流モデノレの違いを含めて通気抵抗や室内のエネルギー
バ ラ ン ス な ど， 多角的な考察を行っている。これらの給果より ， 通 風 現 象 の 解 明 に 数 値計
3
2
第 l編
乱流の数値解析法
- 4-
第 1章
基礎方程式
平均流方程式の導出と変動量の相関項
室内における風速，温度，汚染 rtit~ 度等の詳細な分布を予測するためには，流{本のì:l! 311J
を支配する最も基礎的な方程式から出発する必要がある 。 本訟では，流れの数値計算法に
関連する様々な蕊礎方程式を導くことにする。
ま ず ， 流 体 の 連 続 式 と 運 動 盤 保 存 方 程 式 (Navier-Stokes方 程 式 ) は 以 下 の よ う に 記 述
される。
~.....___
一
こ
ここ i
，
.
.
.
.
.
.
.
8 u u;
1 8......p
+ 一一一一一 = - ~一一一 +
8x;
よ
:
:
; 8x
u， :速 度 ベ ク ト ル の
p
x，
:
:
'
!
-(
2 S
:
;
-l+x
， 8工;
)
θt
"
一8X; -
2
1
(
.
.
.
.
.
_
_
_
.
8 u~
)
δρUj
1
1
(
~
8p
8t
1/
l方 向 成 分
:圧力
i方 向 に 作 用 す る 外 力
Lノ
:動粘性係数
ρ
:流体の密度
:瞬時{直を表す
S ;j
:瞬時歪速度を表す。
~
118u， 8 u，
¥
8x，)
S ij = 一 l
一一一 十一一 ー l
2¥8x;
三 次 元 非 等 温 気 流 の 未 知 数 は 風 速 ベ ク ト ル 3成分 ， 圧力 ， 密度と潟皮の官 16個 と な る が，
式1
. 1. 2に エ ネ ル ギ 一 方 程 式 と 状 態 方 程 式 を 加 え る こ と に よ り ， 方程式数は未知 l
数と
一致し，原理的には解を求めることが可能である。
!
r
Jの 対 象 を 室 内 気 流 で 問 題 と な る 常 温 付 近 の 低 迷 気 流 に 限 定 す れ ば ， 密 度 変 化
なお，予 d
は潟皮変化による体積膨張のみを考座すればよい湯合が多い。この条件では，流体温度を
基準絶対温皮 1
'0 と そ れ か ら の 偏 差
て は 吉 =ρo + 五百
M
に分解し .
T=1'o+M
と表せば ， 密 度 に つ い
と表すことができる。ここに ， ρo は 基 準 絶 対 泡 皮 1
'0に対応する 一
定 の 密 度 を 表 す 。 密 度 の 偏 差 Aρ は， 以下のように温度偏差と結び付けられる。
ホ車では 日
!n
z
e(
19
5
9
) .モーニン，ヤグロム(19
7
5
) 。ロ yタ(19
7
5
) .T
c
n
n
c
k
e
s
.L
u
o
l
e
y(
19
7
2
) 谷(19
8
0
) の文献を
書考とした.
)
3
1
(
t
:
P
=一βρ oM
回繰り返すものとすれば，演1'):の総数は 6.8xl0"xl0'xl0'=6.8xl0'・となる。現状の
スーパーコンビュータでの演1'):速度は 1GFLOPS=1000MFLOPSの オ ー ダ ー の 処 理 速 度 を 持 っ
ているので ， 単 位演1'):当たりの計算時間を1.0Xl0 ・秒とすれば，全体の
ここに， β は 体 積 膨 張 率 と 呼 ば れ ， 流 体 が 気 体 の 場 合 は β =I/To となる。
a1'):時間は . 6.8
9
0日. 2年強となる。
x1
0
'秒 =19000時 間 =7
圧 力 に つ い て も 同 級 に し て 益 準 圧 力 と 偏 差 に 分 解 し . p= PO
+，
:
/p
とすると，密度と
極 め て 簡 単 な 円 管 ダ ク ト 内 の 気 流 を 解 く の に こ の よ う な 時 間 を 要 す る と す れ ば ， 被 割tな
は児なり法部圧力は鉛直方向の位置によって変化し，下式となる。
室 内 気 流 を 式 1. 6~ 8 を直 t~ 近似して数値解を求めることは，当分の IUJ *色型的であると
)
4
1
(
Po= ρog，
x，
+ coπst
考えられる。従って，格子点数が少なくてすむように，何らかの対策が進められてよいわ
けである。このような 事 情 か ら， 式 1. 6~ 8の 従 属 変 数 を 粗 視 化 す る 工 夫 が こ れ ま で 進
なお，添え字
l
， i方向の重力加速度を表す。
についての縮約は取らず
められてきている。
g は
以 上 よ り ， 式 1. 2の右辺第 l項を l次の正確度で分解すれば，
第一の方法は流れの各点で，その近傍の情報を集約し，個々の乱れの変動よりも緩やか
~
I e
Jp
~
I e
JPo
に変動する空間的に組視化された変数のみを相手にしようとする考え方がある。この場合，
~
1 e
J，
:
/p
Aρ e
JPo
--p eJx，=一一
ρo e
Jx， 一
ρo一
e
Jx， 一
ρ 一
ax，
目
mi
l
l平 均 操 作 が 施 す こ と に よ り ， 格 子 寸 法 以 下 で は 棉 子 よ り 小 さ い ス ケ
基礎方程式に空間 1
02
!
.
¥
J
短するためのモ
ール (subgri
d scaI
e
) の変動が，格子寸法以上の変動に与える影響を l
a
)
5
1
(
I ，
:
/p
~
:
，
.
:
= - g，
一一一 一 ァ 一 一β g，
/
:
'
θ
Po dX，
デルが導入さ れる 。 逆 に い え ば， 格 子 寸 法 以 上 の 変 動は， 計 算 で 分 解 さ れ る た め に ， 例 え
ば時間平均虫のみが予測対象となる場合でも，実現象と問機，非定常計算結束を数値積分
する必要がある。
式 1
. 5を式 1. 2に代入し ， 更 に 流 体 の 圧 縮 性 を 無 視 す れ ば， 外 力 と し て 重 力 のみが
加わる場合の基礎方程式はエネルギ一方程式を含めて以下のように簡略化される 。
れた特徴を持っている。従って ，長期的には場の 方法による計算法や実験法に代わりうる
θ x，
.
a
eU;
ax，
ρo e
Jx，
e
J
e¥
)
e
JO
法に現れる諸係数の見積りや，基本的乱流現象の解明など， 阪られた範囲向けられること
なくない。しか し
， 短 期 的 に は や は り 計 釦規模が不
立と + 互主主 =ー土 ~ + ーと (2ν じ) ー β g ， Iヲ
at
可能性があり ， 実 際 他 の 方 法 で は 捉 え ら れ な い 複 雑 な 現 象 の 解 明 に 成 功 し た 報 告 事 例 が 少
7
1
(
~
(
)
6
1
au，
e
Jx，
以 上 の 計 算 法 (L E S :Largc Eddy Simulalionと 総 称 さ れ る ) が， 経済↑止に欠けること
はやむを得ないが，後述する場の方法に比べ，モデル の物理的妥当性や普通性の点では優
y
クとな って，当面の目標は ， 場 の方
l:.l'!の研究分野での L E Sの 応 用 は ， 持 田 (1988a) な ど に 詳 述 さ れ て
になろう。なお，正l
いるので そちらを参照されたい。
{ e
J
一
一eJx，一
e
Jt
e
Jx，
¥
-eJx，
J
(1
.8
)
第 二 の 方 法 は ， 基 礎 方 程 式 に ア ン サ ン プ ル平均をと っ た 平 均 流 の 方 程 式 か ら 出 発 し ， そ
ここに，
t
;
p→ '
P. M→
eな る 記号 の 舎 き 鍛 え を 行 い . a は温度拡散率を表す。
これらの方程式では，状態方程式が省略されているが，密度を未知変数から￨徐いている
ので ， 先と同械閉じた系をtr.成する。但し ， 解 析 的 に 一 般 解 を 求 め る こ と は で き な い の で ，
数値的な近似解を求めることを考えてみる。
の方程式 を直後に，できるだけ忠実に解こうとする考え方であり，
場の方法の韮礎となる平均流の方程式は以下のように導かれる。
まず式1. 6~ 8中の変数が平均値と平均値回りの変動成分から成るものとし，
u，
= U，
+ u，
P
J
ir
l
1の た め ， 半 径 L.軸 上 速 度 Uの円管長さ 20Lを 対 象 と す る 。 常 用 的 な 範 囲 の R e数
(
1.9
)
e=θ +0
(
1
.1
0
)
生底屑厚さの 1
/
1
0にあたる 2.1x 1
0 ・L で 一 様
L U/ ν= 5x 1
0‘で 計 算 す る も の と し ， 粘 1
差分メ
y
等とする。
シュを組むとする。
っ
そうすると，流れの場の中に含まれる格子点数は 2
0
π / (2.1xl0- '=6.8xl0" とな
この方法は場の方法
(fi
eld model) あ る い は 微 分 法 (
d
ifferenlial melhod) と総称される。
切らかに，
平均値 を オ ー パ ー パ ー で 表 せ ば l
る。個々の絡子点の数値計算を行うのに要する演算回数 1
02固とし ， このような演算を 1
02
6
-7-
)
1)
2
11
11
((
，= u，
0 = u，
U
ヲ"C'
式 1. 1
7の 左 辺 は 平 均 流 の 運 動 エ ネ ル ギ
の時間変化と平均流による愉送を表し，三つ
の 成 分 か ら な る 右 辺 第 l項 は ， そ れ ぞ れ 圧 力 に よ る 仕 事， 粘性応力によるエネルギー輸送，
レイノルズ応力による給送を意味する。
と な る 。 ま た ， 以 下 の よ う に 変 動 成 分 の 積 の 平 均 が O とならないことを考慮し，
右辺第 I項 に ガ ウ ス の 発 散 定 理 を 適 用 す る と 境 界 を 除 い て O と な る の で ， こ れ ら は 正 味
これらを
ー
一
一
一
一
一
一
ー
一
一
一
一
一
一
一
ー
ー
ー
ーー
ー
ー
=U，
U; +
U，
U; +
U，
U; +
U;u，
=U，
U; +
u，
U;
mいて式 1.
る
。
こ関速する成分を表し，買12攻i
から順番
一方 ， 右 辺 の 残 り の 項 は 運 動 エ ネ ル ギ ー の 増 減 l
6-8を変形すれば，平均流の方程式を得る。
に
，
手力による仕事，粘性応
レイノルズ応力による仕事(後に別の解釈が与えられる) .i
力による 散逸(常に負)を意味する。
_
)
4
1
1
(
8U;
)
3
1
1
(
u，
U;
ヲ"'C'つR て
フ
の運動エネルギーの地減には寄与せず，空間的なエネノレギ一分配に関速する項と解釈され
θX;
1
8 0 . 80U;
8 r 8 0 τ一
-¥
一
一
一8t
8x; 一
8x; \~
8x;
ν~ ， }
)
5
。
右 辺 第 2項の符号については，若干考察を進める必要がある。
1
(
θU， θU，
U;
1 8P
8
一一一 + 一一一一 =一 一一一一一 + 一一一 (Zν S ，; ー百五~) 一 β9 ， 0
81
θX;
ρ
8x， 8x;
=O. 8U，/δ X2>0な
図 1-1に示すように工 ，
X2平 面 で の 二 次 元 流 を 仮 定 し . U2
る 純 せ ん 断 流 れ に 対 象 を 限 定 す る 。 こ の 場 合， 平均流の歪テンソノレで O とならない成分は
(
1
.1
6
)
5
'
2=S2
' =1/Z(8U，
/8x2
) >0 である。
X 2の 低 い 位 置 か ら 高 い 位 置 に 速 度 変 動 に よ る 移 動 が 生 じ た 場 合 ( 別l
ち U2
>0)• x，
方向の速度については ， 平均速度が低い部分から高い部分への移動となるので，平均的に
118υ
8U
<0 と な る 確 率 が 高 い と 考 え ら れ る 。 従 っ て
は u，
Z¥8X;
θ工
湯合も同様である。
'こに S，; = 一|一一:..é... + 一一~I は平均流の歪速度を表す。
以上の条件では，
平均m
Eの 方 程 式 中 の 式 1. 15は特にレイノルズの方程式と呼ばれる。
. 7 と比較すると t
これを式 1
レ イ ノ ル ズ 応 力 に よ る 仕 事 は 負 と な る が ， 乱流の多くの条件では，
レ
- UiUj な る 項 が 平 均 操 作 の 過 程 で 新 た に 追 加 さ れ た こ
結 局 ， 右 辺 第 2. 4写l
はいずれも ， 運 動 エ ネ ル ギ ー の 散 逸 成 分 と 解 釈 さ れ る が ， 両 者 の
去を
オーダー比較を行うために，変動速度と空間微分中の平均速度の J
カテンソルと呼ばれる。
U，
.0 等は ， 元々の U
:• fj
に比べ空間変化が遥かに緩慢となるので，
従って ， h
L
jの 方 法 で は 未 知 の 相 関 項 で あ る - U 1 Uj ，一 θu;をいかに
l
i
Jl
JI1iの中心となる。
兄積もることにする。この場合，
νSijSij'-""_ν
と仮定すれば . U ， U;S ， ;~v3/ 1
粗いメッゾュを用いてもその空間分布は表現可能なことが期待される。
2
Oとなり，移動方向が逆の
イノルズ応力は平均流からエネルギーを奪う傾向にあることが知られている。
流 に よ る 見 か け の 応 カ を 表 す こ と に な る こ と か ら ， レイノルズ応
とになるが，この項は古L
平均化された
U1U 2 く
して 見 積 も る か が
v .空 間 微 分 を I で
v2/12 となり，変動速度 1
mの桐￨児が高い
=ν v2/ 12(vl/ν)と評価される。
こ れ よ り 両 者 の 比 は 乱 れ の R e数 vl/ν となるが，
この値はお R e数i!rf.れを対象とす
る場合は非常に大きいと惟定さ れるの で ， 平均流の 運動エネ ノレギーの散j.ffi成分ではレイノ
生応力による散逸は1!l
1
視 できる。
ノレズ応力による 仕 事 がよ;r越し， 占
キ1
次に ， 式 1
. 7の両辺に
エネルギーの伝達過程
u，を 儲 け ， 平 均 操 作 の 後 に 式 1. 1
7を 差 し 引 く と 乱 流 エ ネ ル
ギーの方程式が得られる。
レイノルズ応力の作用は，エネルギーが伝述する過程の中で考察することが有用である 。
，
平均流のエネルギ一方程式は式 1
. 1
5の両辺に U を儲け，式 1
. 1
4を併用することにより ，
以下のように点される。
8 1I一一一-¥
8 II一 一 一 ¥
8 1 Iu，
u， p ¥ _ - - 1
'
:
_u;
u;1
1+ 一一一
l ~ u;u ;U;1 - 一一
一
u ;1 一一ー + ~ー I - Zν u ; S;; 1
8 tI
¥
Z
‘
8x;¥
Z......-.1
8
x一
;L1
..
'¥ Z ρ 01 '_"J
-
fAjuu) + 百七 (tu ， u 川 = 百七十ル U ， S ，;一 日~U ， )
+ u，
u;S;
，一β g，
0 U，
-2νS，
;S，
- 8-
(
1
.1
7
)
U i U;Sij
118u， 8u
Z¥8x; 8x
一β g，
Du‘-Zν
こ'に S i
j = 一￨ーーム+ーーニ￨ は変動の歪速度を表す。
-9-
S ijS i;
(
1
.1
8
)
X2
平上司 i
l
r
iの 運 動 エ ネ ル ギ 一 方 程 式 と 問 機 ， 左 辺 は 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 時 間 変 化 ， 平 均 流 に よ
る 輸 送 で あ り ， 右 辺 第 1項の空間分配項は，乱流変動による輸送，圧力変動による仕事，
粘性応、力による愉送を表す。
n
u
﹀
u
nU
く
2
と表す。
u
く
nU
u
2
n
u
(=-u，u;5，
;
)
﹀
この項を以後 Pk
u
s
t
r
e
s
sp
r
o
d
u
c
t
i
o
n
) と呼ばれる。なお，
一生産写i(
4 lil--
・
レ イ /)レズ応力によ って平均流
が 失 っ た エ ネ ル ギ ー は 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 生 産 に 転 換 さ れ る の で ， 応 力 に よ る 乱 流 エネルギ
Illi--v
. 1
7の右辺第 2項 と 大 き さ は 同 じ で 符 号 が 逆 で あ る こ と か ら ， 正の君子
右 辺 第 2lJlは式 1
与となり古 L
i
l
r
iエネルギーを増加させる作用がある。即ち，
右辺貫i3写i
も広義の生産項となり浮力による生産項 (
b
u
o
y
a
n
c
yp
r
o
d
u
c
t
i
o
n
) と呼ばれる
が，応力生産写i と J~ なり流れの状況によって正負の値をとる。
例えば
工1
i=3を 鉛 直 下 向 き の 座 標 と す れ ば ， 唯一 日とならない浮力生産項は
一β 930U3 とな る が， 図 1- 2 に示すように X3方 向 に 平 均 温 度 が 低 下 す る ( 即 ち
8 0 / θ X3 く
o)条件を考える。
1
1
1の上問1
から下部に向かつて速皮変動による移動が生じた場合(即ち
この場合 X3申
1
13>0) . 平 均 的 に は 高 温 領 域 か ら 低 温 領 域 へ の 移 動 と な る の で 0>0となる E
在率が高く，
従 っ て ー β 930U3 く
図 1- 1 応 力 生 産 項 の 符 号
Oと な っ て 負 の 寄 与 と な る 。 即 ち ， 温 度 成 層 状 態 で は 乱 流 エ ネ ル ギ
ー が 浮 力 生 産 羽 に よ って 減 衰 す る の で ， 浮 力 の な い 場 合 よ り 乱 流 エ ネ ル ギ ー が 小 さ く な る
ことが予測される 。 なお，
冨 ーβ 9，1
1，
θ) と表す。
この項を以後 Gk (
3θ
8X3
式 1. 1
8の 右 辺 第 4項を考察するため，定常の等温， 一 線 な 純 せ ん 断 流 ( 壁 乱 流 が こ れ
一一一ーく 0
8は近似的に以下のように書ける。
に 近 い ) を 想 定 す れ ば ， 式 1. 1
X3
となる
o SijSij のオーダーは
S ‘jSij に乱れの R e数 vl/ν を 燭 け た も の に 栂 当 す る
た め ， 変 動 歪速度は平均流歪速度よりも著しく大きいことになる。
ー
1
0-
図 1- 2 浮 力 生 産 項 の 符 号
-1
1-
n
u
(
1
.2
0
)
AU
1j S i
;
>
vI5 ， ; 5 ， ;~2 ν5
n
u
レイノルズ応力は先に述べた事情から ，平均流の歪と密伎に関連しているので，
- uεUj.
.
.
.
. V lSi
; と見積 も れ ば， 式 1. 1
9のオーダー評価は，
q
u
霊力方向
で ， 右 辺 は 応 力 生 産 項 と 同 じ オ ー ダ ー となることが知られている。
>
式 1. 1
9は 応 力 生 産 項 が ， そ の 大 き さ に 見 合 っ た 散 逸 作 用 と パ ラ ン ス す る こ と を 意 味 し
ており ， そ の 芯 昧 で 右 辺 を 乱 流 エ ネ ル ギ 一 散 逸 項 と 呼 ぶ が，純 せ ん 断 流 以 外 の 多 く の 条 件
u
l
i
l
i
t
'
v
Si
j
1
リ
)
9
=2νs
1
(
，
-11 11;5;
;
式 1. 1
9左 辺 の オ ー ダ ー は 先 の 記 号 を 使 用 す れ ば ， V3/ l となるが
S;j の空間 微分 の
代表スケーノレは当然のことながら l と は 異 な る 。 そ こ で ， 新 た に 変 動 速 度 の 長 さ ス ケ ー ル
を 表 す 記 号 λTaylorの micro-scaleを導入し
ν
Z言τ
z
τν v
2/
λ2
T
Jす る 条 件 で は ， 鉛 直 方 向 の 速 度
浮力の作J
更 に ， 演 算 子 r 0 lを 作 用 さ せ る と 渦 皮 方 程 式 が得られるが，
e
の運動エヰノレギー +古L
流エネルギーを正味のエヰノレギーとすれば，
平均iIo
-
エネルギー の
守
(2
ωI
8x;8X ;
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
θ---.._ω
8ω
;
U
θt
8x;
一一一一 + 一一ームー- = ω ，5，・+ ν一一一」ニムー
i""""_"-""_
l よりも小さいスケール :
λ での現象である。
5
2
1
(
減衰に ~1 JJ\:するのは乱流エネルギ ーの散 逸羽であり，これは応力生産の行われる長さスケ
即ち，
厄
温度相関が，別途乱流エネルギーの地}J[]減
少に寄与する。
ーノレ
θ E 7 θ l下
， l.
.
_
_
_
_
_
'，
a
C
;
;
;
一一一￨一一ー 十一 U j U j I十 e;j U ; ωa 一 νeijl
l
.
'
一一8t = 一 一
8x
，
¥po Z-'-'}
-.
，
.
，
. --"'
8
x;
-一一一
を年う作用があり ， これは応力生産写iとして乱流エネルギーの増加に転換される。
， -.
，
5
i
L
i
I
o
tエネ Jレ ギ ー の 散 逸 機 椛 は 平 均 流 の 構 造 と の 関 連 が 低 く ， こ の こ と が モ デ ル 化
に当たっての:ffi2!!な指針を与える。
式1
. 25 の右辺第 l 項は渦 l支の生産に関連する項で，渦の I'II~N (vortex strctching) 項と
呼ばれる。例え 1
1x，方向に 1
m速 さ れ る 流 れ ( 縮 m
Eなど)では 511
3
)
レイノルズ応力には平均流の歪に￨刻述して ， 平 同 流 の 運 動 エ ネ ル ギ ー
等混時の Navier-Stokcs式 1. 7の 移 流 項 ( 左 辺 第 2項 ) と 粘 性 応 力 攻 ( 右 辺 第 2項)
を変形すれば以下となる。
4
2
1
(
以上まとめれば，
)
1
2
1
(
v3/ 1 ~
式 1
. 1
9のオーダーを次のように表す。
件から S22 ， S 33 く
渦度の力学
I
曽加する反面，
ω2
Oとなる必要がある。この場合，
>0となるが， 述 統 条
Z
7は渦の 1
'
1
'~聞の作用によって
，ω3 I
ま減少することになる。
乱流エネルギーの式 1
. 1
8に現れた乱 m
eエネルギーの散逸項について考察を:iitめるため，
渦皮方程式に触れる必~がある。但し，目標とする変動綱強度方程式は乱杭エネルギ一散
Lumley (1972) に譲り，検討の対象を等温条例に限定する。
，
;
.
まず， I
瞬 時 の 渦 皮 は 単 位 交 代 テ ン ソ ル (e
対 し て ー 1， 他 は
123.231
.312に対して 1， 132.2
1
3
.3
2
1に
式 1. 9と同級，渦度を平均値と変動成分に分けて表した後，
w
.= Q，+ω.
平 均 操 作 を 施 せ ば ， レイノノレズ方程式に対応する平均渦度方程式が求められる。
o)を用いて次のように定義される。
θ t θ X
j
aX
j
-
I -
2
• J
- -1
~
• }
Xj
Xj
•
)
ω
=ε
.
.盆
ー
一
一ー
ー
ー
.‘'開 8
x
;
8 Q，
τ+
Q;
S
;
;+ν
一一一一
a a
θQ
8 Q，
U;
8品 刊
一 一 + 一 一 一 一 = 一 一- - ニ + 石 三
(
)
2
2
1
(
8 uた
7
2
1
，
へ
)
6
2
1
(
逸 方 程 式 の モ デ ル 化 の 過 程 で 直 接 参 照 さ れ る こ と は な い の で ， 式 の 導 出 の 詳 細 は Ten
nek
e
s
また，平均流の運動エネルギ一方程式に対応する平均渦強度の方程式は以下となる。
~
~
また，瞬 H
与の変形歪速度 Si; に 対 応 す る 回 転 歪 テ ン ソ ル ハ ， を 式 1. 2
3に よ っ て 定 義
すれば，
j
L
b
z
Q
a
)
+百
七(
i
ω
U
3
)=
-E
3
7
1
Q石 市 ー ν
百
七(
i
Q，
Q
，
]
)
)
3
2
1
(
(
1
.2
8
)
これらから ， 目 標 と す る 変 動 渦 強 度 の 方 程 式 は 式 1 . 2
9の形で表されることになる。
簡単な計算から以下の関係等が導かれる。
3
1
-1
2-
Uλ
，
一一
一 一 一一
+一
ωEωjSii + ωEωjSij
-
万五~
ν 一一一一一一一ー
θX; 8 X j
て いることが分かるが，各項の検討に入る前に変動渦強度の物理的意味を考えてみる 。
u，
ω， の オ ー ダ ー は v2/ [
従 って
)
0
3
1
(
)
1
，
θx s X j
と な る こ と か ら ， 式 1. 2
9の 右 辺 第
2mの 生 産 成
巴
また，叫ん =ω
v2 v
v3 入 3
一一一一一一 = 一
一
一 ー一
一
[ [2
入3 [3
，
au，
/ax，=
δ /ax ， 応可~ ) なる関係から右辺ヨl3 項は，
(
より
)
一一一
V V2
V3 入3
Q;ω;
S " ~ 一一一一= 一一一一
d ι [[ 2 λ 3 [3
1
τ
E言τの オ ー ダ ー は 式 1. 21
ど
7
3
. 3
1の 右 辺 の オ ー ダ ー は v2/[2 と な る が
式 1
v2/
3
1
(
a2(U ，U ，)
γ .γ;; - 一一一一一一一一一一
u ;
:
;
:
)
6
3
1
(
，
一一一- a Q
-u，
ω，ー
一
一
一
ー へ
a
x
，
v
一一一
U 3ω p
分の オ ー ダ ー は 以 下 と な る 。
，
s"S" 一
一一一一
X2方 向 微 分 に 相 当 す る こ と が 分 か る 。
E， 変 形 歪 ， 回 転 f
f
iの 変 動 成 分 は 定 義 よ り 次 の 関 係 が 得 ら れ る 。
まず，渦H
一一一一
-
式 1
. 3
5を レ イ ノ ル ズ 方 程 式 1
. 1
5と 比 較 す る と ， 右 辺 第 2， 3写i
はレイノノレズ応力の
(
1
.2
9
)
式 1. 2
9の右辺は乱流ヱヰルギ一方程式と問機，輸送項と生産羽，散:ii!l項から椛成され
ωiωι= 2γ"γυ
ap
。dx
)
一一一 θ Q，
一 一一
ωEコ「一一 + Q，ω15i
j
au， au，
u， au，
u，
ax
1
一一一
一
一
一
一
ー す 一一一一ー一一 十 一一一一一一二 =ーー一一一一一一一 + U2ω 3
θI
，
δ X2
ρ
I
..... ~ .......;，j
5
3
1
(
合(
t
w，
w
，
)+百
七(
t
w，
w
，
u，
)= 一副H7E7ー ν 百七日~)]
λ2 と な る の で 次 の よ う に 評 価 で き る 。
と な る 。 ま た ωzωs のオ
γ"γ
)
2
3
1
(
S け S;j 与
リ
夕、ーは i=j の 場 合 に は 明 ら か に
v2/
λ2 と な る が
i
"
*j で
ωEω2 が 単 独 で 現 れ た 場 合 は ， 平 均 台t
lの 歪 i
こ関述してこれより小さいとされており，
T
e
n
n
e
k
e
s， Lum1cy (1972)
に従いその愉正係数を λ/[
と見積もれば，方辺 m~ 写i のオー
ダーは，
.3
0に 代 入 し 両 辺 に ν を掛ければ，
これを，式 1
白
(
となって，乱流エネルギ一散逸項の定義に一致する。
V 3λ2
一一一 λ v2 V
ωs
ω ，品川内 一
一一一一一ー= 一一ー
一
一
ー .- "'
[ λ 2 [ 入 3 [2
)6
3
1
)
3
3
1
(
νωs
ωE 全毛 Z
ν S ij S け
と な る 。 ま た ， 第 5写I
のオーダーは，
以上の点を踏まえて，式 1
.2
8の 各 生 産 ， 散 逸 項 の オ - jーを調べてみる。
一一
一一一一一一一
ωzωjSij
3
)
9
3
1
(
従 っ て ， 変 動 渦 強 度 の 方 程 式 に 2 vを 掛 け た も の は ， 乱 流 エ ネ ル ギ ー 散 逸 の 方 程 式 と み
なすことが可能である。
.
.
.
_
工UE
となる。
そのための準備として，式 1
.2
4に直媛平均操作を行えば，
う子一万七(
去十 川 ;
E
E
7
)+い
2
いま，
，
(
u Qけ 百 二)一 …
7
3
7
(
1
.3
4
)
XIX2平 面 で の 二 次 元 流 で u
，>>U2 な る 先 の 図 1- 1の 条 件 を 忽 定 L， i
5
L
i
.
n
t
圧
，
移i
f
i
E写i
や 輸 送 項 に つ い て も 同 織 の オ ー ダ ー 評 価 を 行 う と ， いずれも v3/ λ3・ λ / [ 以 下
. 2
9の 生 産 項 は 右 辺 第 6項 を 別 と し て 左 か ら l
順番に大きくなり ， W
.5l
J
'
i
となり，結局式 1
が高 Re数 の 条 件 で は 卓 越 す る こ と が 分 か る 。
逆にいえば，
この条件で第
5項 と 措 抗 し 得 る の は オ ー ダ ー 評 価 の で き な い 第 6項 の み と
なるので，近似的には式 1
. 1
9と 同 様 以 下 の 関 係 式 が 成 立 す る は ず で あ る 。
力，粘性応力を無視し，境界層近似を施せば，式 1
. 3
4の u に 関 す る 方 程 式 は 以 下 の よ う
に簡略化される。
(
1
.40)
-1
4-
-1
5-
⑤ 項 の 解 釈 を 行 う 前 に ， 次 1，.1.のモデル化を.意識して ， ① の 一 部 で あ る 粘 性 応 力 に よ る 空 間
上式の左辺は式 1
. 2
5の 右 辺 第 l項との関連から，変動渦の('jI張による生産項と解釈さ
分配項と④の散逸項を以下のように変形する。
0の 両 辺 に 2ν を 掛 け れ
れ ， こ れ が 右 辺 の 散 逸 項 と パ ラ ン ス す る こ と を 意 味 す る 。 式 1. 4
ば，先の t
.
i
l論 か ら 乱 流 ヱ ネ ル ギ ー 散 逸 の 生 産 項 と 散 逸 すiに 相 当 す る こ と に な り ， そ の オ ー
.2
1を
ダーは式 1
mいて ， V4/[2. [/λ
2ν ゴー
[U ， s，，+ 京工~]
-2
1S i/互主+S ，，~と|
X，
"
"
'
， -.
."
-- 1 θ X
Jδx，
1
1/
と推定される。
-
出立王手)
2
ν 医 吾l
)
2
4
1
(
=ν
1
. 4
I
変 動 成 分 の 2次 モ ー メ ン ト 方 程 式
式 1
.4
2を 用 い て 式 1.4
1を書き換えれば以下となる。
乱 流 に お け る エ ネ ル ギ ー 伝 達 過 程 に 関 す る 検 討 結 果 を 踏 ま え て ， 変 動 成 分 の 2次モーメ
ント方 t
E式 に 巧 祭 を j
j
f
jめる。
レイノノレズ応力の方程式は，式 1
. 7の 添 え 字 Jを I と し た 後 に Ujを 白 け た 式
まず，
(Uj
=0 に往芯D と ， 同 じ 式 の 添 え 字
θuε Uj
---θ[
i， jを入れ換えた式の手口に平均傑作を行うこと
jUI
-a UiU
a
x，
立
1U，Ujτ+よρo(O'"U'+O'i/U，)ー ν立とと￨
0 x， J
一 τ
によって以下となる。
ox，
L
T
U ;U 1
，
-
，
=
G
"
β [g Uje+ gjU e]
1/
U .
A
.I
，
￨一一一- aUj • 一一一- au 1
一 IU'U，;
;
一 + U;UIて一一 l
②
一β[g，
す7
万+ gjU，
e]
③
2
ν
④
ox，
1
戸
E
1
a，
，
I①
，
OX I
日
-34
-￨
τU，
U，+子
(
0
'
"U，
+0
'
"u)
，-2 (~ + 石τ~)
L
μo
L ij
②③⑥
l
-[E7E7
2
L
旦
a
x
;+「 a
x
;1
①
ν
x θx
⑤ ( 1 .4
3
)
下3
5+
工芸l
こ の 変 形 に よ っ て ， ① 写i
の 分 子 拡 散 写i
はレイノルズ応力の粘 1
1拡 散 と な り ， 物 F
l
l的 意 味
が明確となるが，④1Jiは本来のレイノノレズ応力散逸項とは異なり，その一部を表すことに
plau， aUj
l
。
l
a
x，+言言:
J
⑤ (
1
.4
1
)
ρ
な る 。 式 1. 4
3の 表 記 法 に 対 応 す る 乱 流 エ ネ ル ギ 一 方 程 式 は 以 下 と な る 。
θh
ak
，
_
---U-白
式 1.4
1の 納 役 (i= j) を と っ て 1
/
2倍 す れ ば ， 乱 流 エ ネ Jレギーの方程式 1.1
8になる
a1
ことは直ちに分かる。従って右辺各項の物理的解釈も先との ~j佳から，
ax，
θ 1
1一一一一一，
p
ak
① :5
i
L
i
f
o
i変 動 ， 圧 力 変 動 ， 粘 性 応 力 に よ る 空 間 分 配 項
② ・応 力 生 産 項
③:散逸項
=P
k
②
一β giUiθ
=G
③
k
医芸]
⑤ ?
一ν
民
k=j而 と し た 。
7
1
-1
6-
@
)
P
K=jPH， G =jGけ と
ここに
なる点に注窓。
①
一一一一 θUi
- UiU;て 一一
(j X j
③ :i
手力生産lJl
となる o な お ， ② ， ③ 項 を そ れ ぞ れ p" ，G
Ijとおけば
1
，
l
2
"U，
U，
U，
十五IUt
一ν a x，
J
ax
(
1
.H)
式 1
. 4
3の納役をとる段階で⑤項は消えるため，この項は乱il.Eエ ネ ル ギ ー の 大 き さ に は
i
mエ ネ ル ギ ー の 各 方
直 銭 的 影 響 を 及 ぼ さ な い が ， 異 な る 方 向 の 法 線 応 力 ( 言 い 替 え れ ば 古L
向成分)の分配に関わることが予測される。
考妓を:i.lliめるために，定 ~f;・ ， 等温，高レイノルズ数における二次元純せん断流を:tf!)Ë L
U，
=U"X2) • U2
=U3
=0とすれば， U;8/8x;=O， 8/8x，
=8/θX3
=0なる J
;
)
:!
f
，
l
倍
θU.
:
. >0
8x.
近似が適用できる。この条件での乱流エネルギ一方程式は，
巴
PO ζ
J
ζ8X2
，
I8u; θ~ I
)
θ工 2 L 2 ζ
5
4
1
(
0=
_ ~Il
一一
p一 U?I
十 τ
8U，
一 一ーー一一一 1
:
:
-U;
U，U，r一
一
1一一一一 今
一一ーーー 一
νl一一一一一一一一一 l
-lθx，8x，
J
立旦土<0
8x，
となり，法線応力の各方向成分(の 1
/
2
f
音)は ，
l
o-一一
- 3￨
lE
7Ez
ー
8X2L2 ，
，
一訂
l
-ι
圃.
ー.
.
71 phI
。 ‘ー-
8U 一 ν明
石 1+一一
一一一
『一一一一一一一
8X2
x，
4
p >0 の 場 合
l8x，8x，I ρo8x，
)
6
4
1
(
。 一一
，J-一 一
l 一
，，
工
0= 一一 乙 1ょっ"_L主主 ￨
θx>
l2- ι ー 2 ' ρ。l
18u28u21
8x 8
， P
巴
8U2
ρ。 i
JX2
4
1
(
)
7
ー
0
n
u
l
+
ー
一一
0=
-一
~I~
王手U ?
θx2l2-ι
18u38u31 . P 8U3
l8x，8x，
J ρ 8X3
。
-1
ノ l一
一
一
一
一
一
ー
ー
ー
一
一
一
一
一
一
一 I←
-一
一
ー
ー
ー
8u. く
8xγ
O
(
1
.4
8
)
となる。
一
θ
一U， >0
8x，
. 4
5を 式 1. 46-48と比較すると，舌L
i
mエ ネ ル ギ ー の 生 産 は 全 て U，2 の 生 産 に'l'Iや
式 1
され. U22 ， U 32 に は 応 力 生 産 が な い こ と が 分 か る 。
と こ ろ が 百 三 ，E
手 は 実 験 事 実 に よ れ ば i ! ; 2 よ り は 小 さ い も の の ， 同 程 度 の 値 (1
/
2程
度 ) を と る こ と が 知 ら れ て い る 。 式 1. 46-48の 散 逸 項 は 常 に 負 で あ り ， 分 配 写i
は空 間 の
4
‘
ー
ー
。
園 田. .
pく
一 部 で 正 と な れ ば { 也 の 部 分 で は 負 に な ら な け れ ば な ら な い た め ， 圧 力 一 速 度 変 動 の 相 関 写i
Oの 場 合
が生産項の役割を果たすと考える以外，実験事実を説明できない。
従って，
p (守口一
一一一一=
PO 8x;
この場合は
=0より
-~"
pδU2
Po8X:
_
~
> 0・
p 8U3
Po8x: > 0 と な る は ず で ， 更 に 連 続 条 例
p 8u，
一一一一-， く Oとなるべきである。
PO 8x，
図 1- 3
圧力
速度相関項の符号
x，方 向 の
変 動 が 最 大 と な る 。 図 1- 3に 示 す よ う に ， 空 間l
のある 一 点 で 瞬 間 的 に 圧 力 が 上 昇 し た
別 の 観 点 か ら考えれば
， 一 般に上述の条件ではi!;2>百三 ，百三 と な る の で
(p>O ) と 仮 定 す れ ば ， そ の 点 周 辺 の i
車 皮 変 動 の 方 向 は x，方向が点を侠んで内向き(悶]ち
θ u，
/ 8 x，
<O ， 主 流 方 向 の 圧 縮 を 意 味 す る ) の 場 合 が ， 外 向 き ( 即 ち 8u，
/iJx，
>0)
ー
1
8-
ー
1
9-
x，
の場合より確率的に多く現れると考えられる。
・θU3/8x3>O と な る 確 率 が 高 く ， 上 述 の 圧 力 一
従 っ て ， 述 続 条 件 よ り 8U2/8x2
速度変動相関J]1の符号と一致した結果を得る。
8否"
8万"U，
一
一
一
一 十 一一一ー一一 =
8t
8X;
2 I
8 I
τ
8e
一一
一一
・
θxd
.
- 一-一
8x
，I
ー づ
x， 方 向 の 変 動 速 度 は 圧 力 に 逆 ら っ て 仕 事 を す る の で 辺 動 エ ネ ル ギ ー を 損 失 し ， 他
即ち
菌加する結果として，主流方向の変動速度の持
の 方 向 で は 加 速 を 受 けるのでエネノレギーが t
つ エ ネ ル ギ ー が 主 流 と 直 交 方 向 に 移 さ れ る。
結局，庄力一速度変動の相￨児項には ， レイノノレズ応力の方向別の差をな らす作用があ る
との物理的解釈が可能である。
同械にして乱流による温皮フラ
y クス
u，
e の 方 程 式 は ， 式 1. 8に Ui を 儲 け た 方 程 式
と， 式 1
. 7に O を t
l
tけた方程式の手口に平均検作を絡すことにより以下 のよ うに表される 。
8u，
O
ax，
ρo
一一一- 8
θ 一一- 8U，
1
一￨
1u，
u，
;
:
;
ー +θ u，
:
:
ー￨
dX，
②
8e θ0
一…-一
一
8x，
8x，
③
右辺各項の物理的解釈は以下となる。
① :t
L流 変 動 ， 分 子 拡 散 に よ る 空 間 分 配 項
③ .散逸項
d I
ー一一一一
p .~ _
.
8
θ
nθ u，I
"
セ
ーIu，u，
θ +一一 (
o"θ)- au，
"
"
:
:
一一 一 νθ 一一一￨
L
一一~ 8e
-z
u
，
e8x，
② ・平 均 混 皮 勾 配 に よ る 生 産 項
θ u，
θU;
一
一
θt
8X; 一
ax
.1 L
①
dX，
I
θx，
1
①
②
一β [J， 万吉
③
18u，aθ ￨
一(
a+ν)
1一一二一一一￨
L8x，
θx，
1
④
⑤
)
9
4
。θ X，
ρ
1
(
+ __!:__~θ
右 辺 各 写l
の 物 理 的 解 釈 は レ イ /)レズ応力の方程式と同械，
①
5
;L
i
f
r
t変 動 ， 圧 力 変 動 ， 分 子 拡 散 に よ る 空 間 分 配 項
② :平 均 温 度 ， 平 均速 度 勾 配 に よ る 生 産 項
③ :浮力生産lJi
④:散逸項
⑤
圧力
組皮変動による分配項
となる。
浮 力 生 産 成 分 ③ 項 に 現 れ た θ2 につ い て は ， 別 途 方 程 式 を 立 て る 必 要 が あ り ， そ の 結 果
は次の通り。
-2
0-
-2
1-
(
1
.5
0
)
2
. 2 等方性散逸の仮定による散逸項のモデル化
第 2章 舌L
流のモデリング
Ui
θ の 方 程 式 は そ の 散 逸 成 分 と し て 以 下 の 2 つが現れる。
U.Uj
2. 1 モ デ ル 化 の 必 要 性
7
J変 動 と 変 動 制 の 空 間 微
，
t
p IdI
Ii θ l
l
;1
3次 モ ー メ ン ト 項 ゃ L ト 一 一+一 一 ￨ な ど の 圧
PoLdx; dXi I
I
l
π
l
J
i
， -Zl/
2次 モ ー メ ン ト 項 の 支 配 方 程 式 を 導 出
dlli dll;
I
ずなどの変動成分の空間微分どうしの
打"刻写l
が現れる。これら未知の相関項に関する方程式をたてると更に新たな相関項が現れ
ることになって方程式系を閉じることができない。
一般にお次のモーメント項は低次のモーメント項 l
こ比べて，物 F
J1的解釈や実験的犯援が
広I
JI1tとなるので，
の
1
自 当 な 所 で 方 程 式 の 展 開を打ち切り，
1
見知の量を用いて半実験(J'
J
.に 未 知
m
l
児lJ'iの近似を行い，方程式系を閉じる必裂が生じる。
戸，E
1
，
ν)
dx dx I
1， 2で 述 べ た よ う に ， 散 逸 項 を 構 成 す る の 変 動 量 の 空 間1
ス ケ ー ル λは ， 平 均 流 の 長 さ
スケール I に比べて非常に小さいので，大きなスケーノレの連動の持つ ~p~; 方的な傾向は小
さいことが J
t
r
!i寺される。従って，高レイノルズ数の条件では散逸の等方性が仮定できる。
*
式 2， 1， 2で i j とし
Xi軸を 180。 回 転 さ せ る 場 合 を 考 え る 。 等 方 近 似 が 成 立 す
宝 探 の 回 転 に よ っ て 似 を 変 え る こ と は な い が ， こ の 場 合 lli も 符 号 を 変 え る こ と
れば，この l
に な る の で ， 矛 盾 の な い 値 は O となる。即ち，
)
=ei; =0 (i*j)
3
2
(
工学的な応月]に i
l
l点 を お い て 考 え れ ば ， な る べ く 簡 単 で 解 き 易 く ， で き る だ け 応 用 範 囲
が!よく，かつ精度のよいモデル方程式が求められることになるが，現状でこれらの W! t，~ に
，
=e
i
8
(
UiUjU 1 ゃ い t
θ といった
=eり
ν
とい
)
2
2
すると
匹E
l
(
った変動 f
i
lの 2次 モ ー メ ン ト 写i
が現れる。そこで，
E
7
Z
7ゃ lliO
)
1
2
!
'
iで 示 し た よ う に ， 場 の 方 法 の 出 発 点 と な る 平 均 流 の 方 程 式 に は
'
I
I
jf
応えうるモデルとして，最も 1
j
'巧なレベノレのものは D S M (DiffcrentiaJ Second Moment
cJosure) と 総 称 さ れ る 2次 モ ー メ ン ト で 近 似 を 打 ち 切 る タ イ プ ， 更 に A S M (AJgebraic
簡略版がある。
本 論 文 で は こ の 内 級 も 簡 単 な s V Mの 代 表 モ デ ル で あ る k-ε モ デ ル を 主 に 使 間 す る こ
と に な る が ， こ れ ら は 一 昨 の モ デ ル と し て 捉 え る こ と が で き ， 例 え ば s V Mで 用 い ら れ る
~ f 釘定数は DSM で用いられるものの組み合わせで表現できる 。
次 に ， 式 2， 1で
•
i=j と お き ( 締 役 は と ら な い ) ，座標判l
を9
0。 回 転 さ せ る こ と を 考
える。この場合も相s
i
l1Jiの値は等方性の要請から一定値となる必裂があるので，
3方 向 成
分全てが同ーの値をとると結論できる。 R~ ち ，
(
DSMの 説 明 を 行 い ， 順 次 簡 略 化 モ デ ル に つ い て 概 説 す る 。
=e" = 0
)
5
2
そこで，本訟では全般的なモデリングの方針を説明した後，開発の経t:
iは 逆 で あ る が ま
ず
医 芸l
(a+ν)
)
4
2
(
Sccond Momcnt cJosure) ， s V M (Boussincsq's eddy Viscosity ModeJ) と い っ た そ の
eI1 - e22 = e33
式 2， 5 の総干日は式 1， 4 4 の ⑥ 項 の 2{;音となって，
(
)
6
2
戸互
1
， ，
ν
dx dx
l
!
し
，
と 舎 け ， 上 式 の 右 辺 は 前 章 で 述 べ た よ う に 本 来 の 乱 流 エ ネ ル ギ 一 散 逸 の 一 宮1を表す o I
ν Sij Sリ を 変 形 す る と 以 下 の よ う に 表 さ れ る ( 一 部 添 え 字 の 変 更 を 行 う ) 。
全散逸を表すZ
本語ではロッタ(19
7
5
) .L
a
u
n
d
e
r097Sa) ，L
a
u
n
d
e
r，
R
e
e
c
e
.
R
o
d
i(
1975b) .G
i
b
s
o
n
.
L
a
u
n
d
e
r(
19
7
6
) ，R
o
d
i(
1
9回) ，
s
s
a
i
n，
R
o
d
i(
19
8
2
) L
a
u
n
d
c
r(
19
8
7
) ，削岡山を書考とした.
出
-2
2-
-2
3-
一~~
2ν 士三τ = とほと+互旦~)(立と +θ~ \
2¥8x; 8x，
)
¥8x; 8x，
)
θど Uj U j
ム p = - Po一一一一一 一ρ。β
(
9，
8)
8x 8x; ~ U ~ 8x;
，
匂
一 ν (θU ; 8u; ， 8u，8u‘'" 8u，
θu，
¥
， ， 8x; 8x;
-一一 ー ---- ~， 一一
2 ¥8x 8x
)
2
1
2
(
ソ
，
l
2
ここに ，ム = 8 /8x 8x;
θx; 8工 ; }
(
)
7
2
=ν 戸亙
1+νI~~土
l
θx，θx，l
18x，8x; 1
，
，
，
I82U;U; ，n 82U u; ， 82u u; 1
!
l(
P+p)
=一ρ。￨一一一一ーム +2一一一一一+一一一一一一￨ーρ。β
L8x 8x; '-8x;8x; .8x 8x;]
，
(
9，
0+9;e)
の@項は . ~~}jj生散逸の場合の全散逸または，全般 i邑の内の等方成分と解釈できる。
)
1
転で符号を変える 。 従 っ て 第 2項は等方位散逸の条件では O となるため，結局式 1. 4 4
3
x，軸の 180。の座標の回
2
(
式 2. 7の右辺第 1l
}
'
i
は
式 1
. 4 4の④項に一致し，第 2項は
ラプラゾアン演算子を表す。式 2. 1
2を平均値と変動量に分
離すれば，
式 2. 1
3に平均燥作を施せば，
いずれにしても，全散逸中の主要成分であることは問迷いなく，モデル化の段階では乱
)
(
9
2
=0
となり，式 2. 1
4を式 2. け か ら を 差 し 引 く こ と に よ り ， 圧 力 変 動 を 表 す ポ ア ソ ン 式 を 得
る
。
)
82(
u，
u;一五百7
)
， n82U ， u; ，~ 8 . ~ .l
=- Pol1
~.. ~..'
" +2~ ，
:
.
.
， +β一一一 (
9，
θ)I
L
8x，
8x;
-8x，
8x;"-8x，
'
J
'
'
J
5
1
2
(
!
lp
3
(
9，
0)
)
)
(
8
2
け
2
2
B
E =382E
ei8
8 U，
U ， 8 u，
u，I
=- PolI
一一一二ーム +一一ーム ム ￨ーρ。β一一一
L8x;8x; 8x;8x;)
θ工
2
!
lP
4
1
2
(
杭エネルギーの全散逸を近似が]に表すとみなし，記号 εで表す。結局散逸成分のモデルは
以下となる。
圧 力 変 動 一 変 動 量 空 間 微 分の相関項
式 2. 1
5から変動圧力の方程式を求めるには，若干の準備が必妥となる。
圧 力 変 動 と 変 動 成 分 の 空 間 微 分 の 相 関 項 は 1. 4で述べたように，変動量の 2次モーメ
ントの非等方性を級制させる作用を持っと推定される。
V に関する体積分を，境界 F に関する面積分に置き換えるには，次の Greenの定
まず
理を用いる。
但し，圧力変動そのものが実測に直接かからない盟であるので，なんらかの方法で他の
t
V
(
変数に也き換えて，モデノレ化の指針を得る必要がある。
ム 山 ム v)
d V(
計)
L(
V。
=
γ ad(
p)-p.9rad(v))dF(
京)
レイノノレズ応力の方程式に現れる相関項を以下のように 2 つに分解して検討する。
=n;
，= o;
，+o
;，
(
21
0
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
_
.
.
.
.
.
.
.
_
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
目
，
両辺に微分江iiJ子 8/8x を作用させると，
-2
4-
う
tJ:;J t"""
γ=1
王7-7
1 (ベクトルのノルム)とし. v
=
l
/
γ
この時，
x=(
0
.
0
.0
)
とおく。
座 標 原 点 と す れ ば， γ
=(
工 ，
2+ X2
2+ X3
2
)'
/
2 となるため，
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ι
82u
;
+ν
一一一一一一 一β 9，θ
- 8xj
8xj
，
x， :積分変数 . d F 外向き法線方向を持つ面安主主 . v :任意関数である。
1
2
(
，
ここ l
こ
今
，
Navier-Slokes方 程 式 1. 7を式 2. 1
1の形に書き，
8u
8 u u;
1 8p
一一一 + 一一一一一一 = 一 一一一一一
8l
8x;
ρo 8Xi
)
6
1
2
(
まず，
，
，
82v/8X ，
2 =(
x 2
+X2
2+X32
)-5
ノ2
(
2x 2
+X22+X32)等 を考慮して ，
2-2x，
!
lv=(
x，
2+ x22+ x32)-5/2(
2
x，
2
+2x22+ Z X3
2+2x2
2+2x32)=0 となる。
-2
5-
こ こ で ， 図 2. 1を参照し ， V の 点 ? を 中 心 と す る 半 径 γ1の球面を K とし ， K と
F な る 表 面 に 閉 ま れ た V の 一 部 で あ る 体 積 要 紫 V，
について式 2. 1
6を積分する。
f
j
ム
士
p)dV(
京)=
f
J
士
f
J
士
gγ
+
士
ad(p)- p.gγ ad( ))dF(京)
士
grad(p)-p.grad( )
)d K(
'
X
7
) (2.17)
2
7=(0，
0，0)とすれば ， 9γ adl土 I=gγ ad(x，
2+X22+X3
)
ー'/2 であるが
再び
lγ l
2x，
五;
lrJ=-z-(工戸 +X22+工32)-3/2=-X，γ-3 より ，
{
) 11¥
一
士
(
主)dS
K=
以上より
士
f
J
gγ
より
I lx，
¥
11¥
。 γ adl す!=-~ l~~J
士)
d
k
=
4
5
9rad(
となる。
士
ad(p)
-p.gγ ad( ))dK(訂 ) に 関 し
γ1→
Oなる極限移
A_ _2
ザ 崎
行 を 行 え ば 第 l羽は 4
nγ2/r に比例するので 0，第 2
恥ーラト p=-4πpとなるの
で，次のようになる。
f
J
+
v
引 1
¥{
片
f
)=
，
t P)dV(
訂
'.
，
.
，
¥'
p
4
何
引
叩
州川
π
パ
(
リ
)
土)d州F(町訂引)ト一→ω
grad(p)-p' glσd(
引仰3
¥γj
(
2
.1
8
)
式 2. 18で V を 大 き く し て い く と 表 面 積 分 の 寄 与 は 消 失 す る た め 結 局 以 下 と な る 。
1
9
1
2
(
f
j
士
p(玄)=す
日
，
t P)dV
図 2ー 1 ポ ア ソ ン 方 程 式 の 積 分
式 2. 1
9に式 2. 1
5を 代 入 す れ ば 変 動 圧 力 方 程 式 が f
.fJられる。
7
+437
7
β
+百
J
J
3
2
1
7
:
;
ア)
七
P(言)=す
，
出型
(g O)
(
2
.2
0
)
結 局 ， 式 2. 1
0の 一 部 は 式 2. 2
1のように表すことができる。
-2
6-
-2
7
π
リ
pθU;
= 一ρo
ー一一一一ーー =
8X;
2
(
<
t;
;
・3
速度変動空間微分の相関項は 3つ の 成 分 か ら な り ， 式 2. 2
1
の左から 1阪に，変動 i
車反問の相互作用 ，平 均 速 度 の 歪 と 変 動 速 度 の 相 互 作 用 ， 浮 力 と 変 動
速度の相互作汀!となる。
以上の成分が l
列車の考察から，いずれも乱流の非等方性を緩相する方向に働くとし，
φij.¥
=πIB
ρo 8X;
式 2. 2
1に対応する厳密式は，同搬な手 l
順で以下のように表される。
，に￨児する値を意味する。
但し ，右 日 ' は X
1より ，圧 力 変 動
式 2. 2
)
3
，
φ ij 2
クス方程式の圧力一組度変動相関項にも適用する。
)
2
φ" ・
1
P 8
θ
y
2
2
(
二f
l
J
宗宗)
7
7
7
+
2促 去)
3
7
7
+
β 得手)3
7
7
1告3
1
同級のモデノレを以下の温度フラ
が レ イ /)レズ応力その ものの非等方性の緩和作用，
φ j;.2
が応力生産lJiの緩制作Jlj，
P 80
7
1
:"
=p
o8x;
古f
J
院 去r
子
会刊係 先)
'
3
3
7
φ"・3 が浮力生産写l
の緩和作用と解釈する 。
φIB・
2
，
φi6 I
<
t¥8，3
そ れ ぞ れ の 加 と ， そ れ ら が 等 方 性 乱 流 の 場 合 に 取 る べ き 値 は 表 2- 1のようにまとめ られ
る
。
(2.20
各項の意味は，
φ"・ 変 動 速 度 ， 変 動 温 度 の 相 互 作 用 ， φ‘8・2
平均速度勾配の相互作fI1，
i
L
i
t
tの場合の値
レ イ /)レズ応力，生庄lJiと等方性 i
表 2- 1
l
J
i
等方性乱流の場合
レイノルズ応力
U i Uj
i
5
';;k
応力生産項
Pji
浮力生 Q
E項
G;;
2
J
P 8
θ
2
J
i
5
';
;P
2
J
i
5
';
;Gk
一一
恥
次の
φ"・
1
I~ι
ー一一~ 8U;
+C2.U
，
θて ァ C
lXI
骨 "・
2
+C38β 9;02
骨 ，
3
'
i
なお，
φ i8，
2 項に式
1. 49
③lJiの内の平均温度勾配による生産を合めないのは，式 2.
2
4の厳密式中に平均沼皮勾配に I
児述する項が含まれないためである 。
p l8u;
8u;
1
2
. 4 拡 散 的 輸送
= 一一一，-一一一一 1
--_
--1
ρ。
I8x; ，8x;J
=-c，
:(
日
j
s，k
)
a
(
Pt
i
5
'
，
)
川
(
GIl
;;p
t
i
5
';
;Gk
)
φiil2 +
φ;il3 +
-2
8-
2次 モ ー メ ン ト 方 程 式 の 中 で モ デ ル 化 を 要 す る 他 の 項 と し て は ， 変 動 量 の 3次モーメン
φij，I + <
tji.l
φ
トによる空間分配項がある。これらは通常'は乱流拡散項と解釈され，
，
2
ji
，
φ ii 3
平均 値の さ~rMl 勾配に
よって近似(勾配拡散近似)されることになる。なお BVM系のモデルでは 2次モーメン
トそのものに勾配拡散近似が用いられる。
)
2
2
2
(
3
R
一 (各項 ー各 項が等方性乱流でとるべき他)
n
Jる。
2
cι
，
.
E
.
.石 市
"
(
π
p
o8x;
7
1
:¥8 -
f
Jにまとめられると仮定し，乱れの時間スケ 一 寸 を 用 い れ ば
に実験定数をかけた J
モデル式を
変 動 温 度， 浮力の相互作用となる 。こ れ ら は ， 等 方 性
乱流の 場合は全て O となることから，そのモデル式は以下となる。
)
5
2
2
Launder (1975a) に従いこれらの 3成分が，
φ i8，
3
変
動
.
i
!
J
l
皮 ，変動ね皮，
まず平均1i1φ の変動分を φ としたときに
u‘
φ は第 l次近似として φ の空間に I
掬す
1
官 微分の線形結合で表されると仮定すれば，
る1
ー
2
9-
X，
8φ
一一
8X I
，
)
6
(
2
2
u，
φ =-K"一
一一--;-
この場合 2階テンソ JレK パま，空間の拡散性状を表し ，要 紫 の 次 元 は ( 速 度 ) x (長さ)
である。なお ，分子拡散における対応する拡散テンソルは K
Jf.~ I
こ書け，
，
;
=o;Kなる等方テンソノレの
ε
スカラー Kは 流 体 が 気 体 の 場 合， 音速に平均自由行路を掛けたものに相当する。
t
t;で，乱流拡散テンソノレの要素としては，変動速度スケールに乱れの
このことからの煩f
長さスケールを掛けたものにとることは自然であろう。
1975) は，速度スケーノレを一定で乱流エネルギーの平方根
モーニン，ヤグロム (
(5) に等しいとおき ， 拡 散 の 非 等 方 1
生を 長さス ケー Jレム
7
)
=CヘIII
で表す以 下 の 方 法 を 促 案 し た。
2
2
(
K"
2
.l
川
一方
， D
aly，I
larlow (
1970) により提案された
工2
GGDH (Generalized Gradient
lypothe
si
s:一般化勾配鉱散仮説)と呼ばれるモデルでは ， 時間スケー Jレ I
?を
D
iffusion I
ε
(a) K"
一定とおく 方法であり，以下ではこのモデルの物理的解釈を試みる。
. 2
6を行列型で示せば以下となる。
まず，式 2
X，
θφ
て
一一 >0
d X，
δφ
u，
φ
K " K'2
U2φ
=-I
K2
' K2
2
U3φ
θφ
X2
θ
2 K33JI8φ
K3' K3
(
2
.2
8
)
K" (i=1
.2，3
) のみが姿紫として協に現れる。
A--tElfli--
勺ζ
n
u
く
u
nU
く
8;，>0 なる条件で
φ
φ
n
u
δ
>
φ
u
は
，
3
EZ7を 除 い て 空 間 勾 配 が Oとおき
u，
φ は x，方向の φ の 空 間 微 分 と 結 ば れ て い る が ， U ，
>Oの H寺は φ が小な る
u，
く日の時は，
φ>0と な る 。 従 っ て U ，
φ く Oとなるので K，
， >Oとなるはずである。
このとき
j
ゥ
ム
/
/
/
/
/
/
K" は x，方 向 の 変 動 速 度 が 大 き い ほ ど ， ま た 移 動 距 離 が 大 き い ほ ど 大 き な 値 を 取 る と 考
/
/
えられるので，変動速度，移動距離をそれぞれ花王，主~で見積もることが可能
(b) K2'
と仮定する。従って ，
図 2-2
GGDHの 物 理 的 解 釈
1
3
-3
0-
>0，u，
>O
/
/
領 域 か ら 大 な る 領 域 へ の 移 動 を 意 味 す る た め ， 平 均 的 に は φ<0となり ， 逆に
ε
>0
d X，
I
f
f
J
8X3
図 2-2(
a
)に示すように，
8U
っ
てアニ
X2
まT
こ
は
，
k 一一一-8u，u，
= ー し一s.u，
u厄一一τ一 一 -
ε
(
U iU jU l
1
5
3
2
(
)
9
2
2
一一一一一
dx
.
となる 。 但 し ， 上 の 式 は t と l の添え 字 入れ換えによ って左 辺 は 影 将 を 受 け な い が ， 右
順番に入れ換えたlJiの追加によ って解
辺 は本質的に形を 変 える 。 この矛盾は速度 3成分を l
)
0
3
2
(
K I1 = C.!!_~
P
i
f
iされるが，①写i
の圧 力成 分 で あ る 一一 (
o;
，
u，+o"u;) は
， 同 じ 添 え 字入 れ 替 え によ っ
ρ。
E
て形 を変える 。 従 って式 2. 3
5は圧 力項を 含 め た 拡 散 項 の近 似 式 と も解釈 で きる 。
と表される 。 ここに C は実験定数である 。
同様 に 式 1. 4
9① 項 中 の 3重相関について適用すれば，
以 上 の 考 え 方 を 一 般化すると
<
T は， 脱 化 し た x，方向の乱流フラ
U2
y
クス
4L
、，
に
，
U 2
U ) U2
u，と完全 t
l
JI
則となる U2の 平 均 速 度 一三三? を か け た も の に 等 し い と お く こ と が で き る 。
)
く Oの場 合 は，ゆ >0， U2
>0となって ， 結局 U2φ > 0となるだろう。
に u，
e
(
一
一一
一一
~ I
?一一一-8 Uiθ
u，
u，
D - -C."
:
"
:
"u，
u.=
:
:
=
一
一
一
2-2(
b
)に示すように ， 8 U2/ 8x，>Oとおいてみると，
u，
>Oでは同じく骨くOとなるが，この時同時に U2くOとなる点に注意すべきである 。 同級
6
3
2
U2φ に つ いては 3φ/θX2=0 であるか ら U2に よ る 直 接 輸 送 を 考 え る こ と は
I
Xに
できない。 そこで，仮に図
d X匙
となる。この場合も i ， 1 の 添 え 字 入 れ 答 え で 右 辺 の 形 は 変 わ る が ， 圧 力 成 分
。
_
_
!
.
'
_o"θ は， 同じ入れ替えによって影響されないため， 一 般 に は こ の I
g
l泌 を 解 消 す る 目
ρ
的で以下のように I項追加し ， 圧 力 攻 を 含 め た 近 似 式 と し て 使 用 さ れ る 。
，
U 2
-， U IU 2
hφ = u，
<
t 一=ニヶ
(
2
.3
1
)
，
U 2
さて，
k一一一- 8θ2
CU
"
:
"
"
:
_U ，
UT一一一一
R2
ε . ‘ 8x
.
)
‘
(
θ2 _ 一
u，
8
3
2
一一一~
)
2
3
2
(
一一一一 θφ
=- _k
C"
:
"
:
"U，
U2一一一
ε h δ x，
白
また，式 1. 5
0の①項の 3霊相関項は，
式 2. 3
1と式 2. 2
9を述立させると以下を得る。
一一2φ
)
一
ー
一
一T
(
事
7
3
2
- I~ 一一一- 8u 白 θ
k 一一一-8u，
ρ
u，u，D = -C."
:
"
:
"u‘
，
u.
良一一-.
一一C
.
"
:
"
:
"
u，u.一一-一
e
8工k
.
，
.e ‘晶
8x
.
一一一一~
従 って
，
GGDIIの簡略判としては， t
L流 拡 散 テ ン ソ ル と し て 分 子 鉱 散 と 同 械 の 等 方 テ ン
;
，=o，
;
K を用 い る こ と が 考 え ら れ る 。 両 辺 の 締 役 を と れ ば ， K" =3Kとなるが ，
ソ
ノ
レK
τ
h2
)
3
3
2
(
K2
1= c l ul
1
42
式2
川 酬 を と る と ， K，
，=2C
となり，
E
C' ニ
'
:
:
_o‘
ー
ε
と表 さ れ る 。 こ の 方 法 と
GGDHを 用 い た 場 合 の 乱 流 エ ネ ル ギ 一 方 程 式 1
.4
4の 圧 力 を 含
む拡散項に適用すれば以下のように表される。
以上の
GGDIIを式 1
.4
3① 項 中 の 変 動 速 度 の 3童相関項に対し適用すれば，
_3
2_
)
ε
(
)
4
3
2
(
K;i =K ，; =C!.
三五百7
K"=
9
3
2
1
02
結 局 ，古 L
i
f
o
E拡散テンソノレは以下の械にレイノノレズ応力テンソルと相似形で表される 。
_3
3_
p
~ ， k2 a
k
，，，+ '
-u，= c
一一
ー
一一一一
ρo
ε a
x，
1-ー一一一一
τu uu
乙
(等方拡散)
E(
/
C) =AκS
E(
κ ) =Koε 2/3κ -5/3
(
"~lC m
)
3
4
2
)
nU
4
2
(
(G G D H)
応く/
C
.
式 2. 4
3の 後 半 は コ ロ モ ゴ ル フ の 5
/3
乗スベクトノレ法目1
1そ の も の で あ り ， エ ネ ル ギ 一 散
逸領域が乱iJ.
tエ ネ ノ レ ギ ー の レ ベ ル に 与 え る 影 響 は 小 さ い と し て 熊 視 し て い る 。 式 2. 4
3よ
l
;L
i
J
.
t
エ ネ ル ギ - kは以下となる。
り
， i
2. 5 散 逸 方 程 式 の モ デ リ ン グ
θ1，a
U，
~って
δθ a
e は未決定のまま
2
a
x，θx， 及 び の 散 逸 項 ε.=2a一一一一一ー
θx，δx，
e
k の散逸.ITIε=ν 一一一 一一-
-
a
+2νω ，ωjS i;
4の 導 出 過 程 で は ， 式 2. 4
3の 交 点 (
/
C. ) で パ ワ ー ス ベ ク ト ル が 同 じ 値 を と る こ と
式 2. 4
を 用 い て い る 。 格 子 乱 流 で は k が 流 れ の 下 流 に 向 か つ て 単 調 に 減 少 す る が ， こ れ は εによ
(
三 P，
)
)
(
三一 6，
)
る 高 波 数 領 域 の 選 択 的 散 逃 に よ る も の と し ， 低波数におけるパワースベクトノレの形状を不
1
4
2
(
θ
ω ，a
ωs
-， … 一 一
aX; ax;
の 勺
，
-
変とおくのは合理的な仮定であろう。
即 ち ， 高 波 数 領 域 に お け る パ ワ ー の 減 衰 は 式 2. 4
3の εの み に よ っ て 生 じ . (ほ波数領域
におけるパワーは
左 辺 に つ い て は モ デ ル 化 を 要 せ ず ， 右 辺 第 l写i
の拡散項について，前節のモデルを使用
す る と す れ ば ， モ デ ル 化 を 要 す る の は 右 辺 第 2項 の 生 産 項 と 第 3項 の 消 散 項 で あ る 。
こ れ ら の 写i
は 変 動 速 度 の 歪 ス ケ ー ル λに関連しているが，
(
a r---
1
4
4
2
a
Jκm
A
2
ν を 儲 け た 以 下 の 式 を 近 似 前 の ε方程式とする。
θe
εU;
I -， 1
一 一 + 一 一 一 = -~ I l/úJ， ωι Uj-V 一一 (ν úJ， UJ，)I
θ1
ax ; θ x;
L
-~.~.-，
aX; ~'~" J
r
∞
+I Koe2ノ3;C-5ノ3dκ
K
S一
S
みを残し，
1. 29の 移 流 ， 拡 散 及 び 主 要 な 生 産 写i
の
+
一
+
I
.I1されている 。 I
j
i
j平 の 議 論 か ら 変 動 渦 強 度 方 程 式
r
/c.
I
∞
k = I E(/C)d応 =I A厄 Sd/C
J
u
J
u
εそ の も の は レ イ ノ ル ズ 数 が
/C.が 低 波 数 側 に ず れ て い く ( 長 さ ス ケ ー ル が 下 流 に 向 か つ て
1
(
'
1加 す る )
ことによって説明されるとする。
以 上 よ り ， 式 2. 4
4では εの み が x に 関 連 す る 変 数 と な り ， こ れ を 直 俊 式 2. 42'
こ代入
して変形すれば，以下の式を得る。
大きい条例では，例えば式 1
. 1
9の よ う に 大 ス ケ ー ル の 変 動 に よ っ て 受 動 的 に 自 己 を 調 節
れ る 。 モ デ Jレ 化 の 指 針 を 得 る た め ， 乱 れ の 波 数 領 域 に お け る 相 似 性 の 仮 定 か ら 得 ら れ る ε
U 3 E - 3 5+5E2
ax
2(5+1) k
一
)
5
4
2
(
す る 機 怖 と の 解 釈 が 成 立 す る こ と か ら ， モ デ ル 方 程 式 に は λや ν を 含 め な い こ と が 考 え ら
一 -
方程式散逸項の大局的なモデル化について触れる。
式 2. 4
5は εの 移 流 に よ る 輸 送 項 は 散 逸 項 と パ ラ ン ス す る こ と を 意 味 し て お り ， 右 辺 の
.
検討の対象には風洞絡子乱流を取り上げる。この経の流れでは乱流エネルギ一方程式 1
4
4の空間]分配Jj'j，応力生
m項 は 無 視 で き ， 主 流 方 向 の 移 流 に よ る 愉 送 項 と 散 逸 写iが パ ラ ン
オーダーは
v./[2 となる。
一 方 . 1. 3の 議 論 か ら 式 2. 4
1の 散 逸 項 の オ ー ダ ー は
v./[2・[/λ
41 の生産項は平均台ft の ffi と直接関連のないことに注意すれば ，
スすることになる。
にあっても
となるが，式 2
Oと な る 必 要 は な い 。 従 っ て ， 式 2
. 45の 散 逸 項 は 乱 部tエ ネ ル ギ ー の 応 力 生 産
eε) のモデル式と解釈される。
が な い 条 件 に お け る 式 2. 41
の(
P，-
U
!
.
.
!
!
.
.
.
-=a
x
(
2
.4
2
)
目
応力 ~m のない今回の条例ニ
次 に 乱 流 エ 不 Jレ ギ ー の 応 力 生 産 が あ る 条 件 の 流 れ で は . 必 ず 散 逸 を 伴 う の で 生
m.ITI単独
.4
5
の効果を分離して議論することはできない。そこで段も簡単なモデルとしては，式 2
~
.
c，
こ
， u
主流速度
x 主流方向の座標を意味する。
し
(
Pεー
)
6
4
2
乱流エネルギーは段々な波数(または長さスケーノレ)の変動の持つエネルギーの総和で
からの類推から以下のようにおくことが考えられる。
= cf(PK-E)
あり ， そ の パ ワ ー ス ベ ク ト ル と し て は ， 図 2- 3に 示 す 以 下 の モ デ ル の 成 立 を 仮 定 す る 。
-3
4-
-3
5-
この方法の明白な欠点は式 1
. 1
9の 壁 乱 流 等 に お け る エ ネ ル ギ 一 平 衡 の 成 立 す る 流 れ へ
の適用の場合に生じる。
笠乱流では平均流による輸送写i
は無視できるため，舌L
流変動による空間分配項と生E
E，
生項のみが重要となり. (生l[項) ー (消散項) = 0の 場 合 は ， 空 間 分 配 項 = 0が 必 要
散i
となる。
従 って ， 変 数 が 空 間 で 一 定 値 を と る こ と が 要 請 さ れ ， 実 際 乱 流 エ ネ ル ギ ー は 境 界 府 中 で
一定となることが知られている。
Log[E]
しかし，
εは 第 四 編 で 述 べ る よ う に ， 堅 か ら の 距 離 が 小 さ く な る に つ れ て 漸 近 的 に 無 限
大 と な る 。 従 っ て ， 正 し い ε の 分 布 を 与 え る た め に は Pk
-
C
=0の場合に
ι
P - cι<0となる必要がある。
そこで，式 2. 4
6で Pk と εに異なる重み付けを行う Davidov (1961) 以 来 の 現 象 論 的 モ
デルが一般に用いられることになる。
E(
κ)=AKS
，
，
，
，
，
，
，
，
但し. C"
E (K)=Koc吾κま
ー
-
)
7
4
2
(
， 、 ， 、2
P，- c，=c，
εニ Pk
‘ l
主
風洞下流方向
c
"
二
千ー
日住
<C2，であり ， 両実験定数はこのモデノレが実験結果とよく合うように訓躍さ
れる。
政後に，
εeに つ い て も ， 向 織 の モ デ ル 化 さ れ た 輸 送 方 程 式 を 用 い る 手 法 は あ る が
Laundcr (1975a) は， 分子運動による m
l
l皮 変 動 強 度 の 散 逸 は ， 速度変動による散逸(珂]ち
ε) との関:iTが強いことを仮定し，以下の式を用いることを提案している。
/
l θ2
R k
(
)
8
4
2
eR =
ー
一一
一
一ε
ここに. Rは実験定数である。
Log[ι]
図 2-3 エ ネ ル ギ ー ス ベ ク ト ル の 仮 定
7
3
-3
6-
2. 6
D S Mと A S Mの 基 礎 方 程 式
まず，
レ イ ノ ル ズ 応 力 の モ デ ル 方 程 式 2. 4
9で定常状態を仮定し， 右 辺 第 l項 の 空 間 分
配1
買を左辺に移行し，新たに以下の記号で舎くことにする 。
以 上 の モ デ Jレ化により，一応変動置の 2次 モ ー メ ン ト 方 程 式 は 閉 じ た 系 と な る 。 D S M
du，u‘U，
d I ~ . kー
一
一-du，u，I
一
一
一
去
一
ー
ー
よ +一
丁
一
一I
-Cs'一
-u，u起
一ム二[
(
jX，
d x，
I
ε
d X.
(
，
一
一
一
一
、
T，;lu，u;}=
)
3
5
2
の基礎方程式は以下となる。
. レイノノレズ応力
一
一
，
，一 ー
一 一一
一一
du，
u;
du，
u;U，
dx
θ1
-
du，
u; I
，k
円
1
0
e-
ι
I
山 尾
この時，式 2. 5
3の 縮 約 を と れ ば ， 式 2. 4
9を参照して明らかに，
θx. 1
l
Z
)
4
5
2
3
8・;kJ
(
_ ef-一一一一
-C17
7
11
4，
u，
d
dx
T，
， (u，
u;l= Z(
Pk+G.-e)
¥
+(1ーら )
Pリ +3C282PK+(
l
ー ら)
となって
(
)
9
4
2
-383E
Tjiの 対 角 成 分 の ト レ ー ス は 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 生 産 ， 散 逸 成 分 の 総 合 計 と な る 。
4の 右 辺 は 各 項 の 絶 対 値 に 比 べ て 十 分 小 さ い こ と ( 即 ち 局 所 的 な エ ネ ル
ここで，式 2. 5
ギ 一 平 衡 状 態 か ら 大 き な 逸 脱 は な い こ と ) ， レイノノレズ応力の愉送は，応力の大きさに案
分されることを仮定し，
クス
刊
(
y
θ u，
O
du，
θ U;
θ I_ k一 一- du，
8 ~ k- -d u
万 l
-一一一一ー 十 一一一一一ー一一 =一 一一ーー￨ーし 8- 1
一一一一 ーし 8一- U ，
庄一一一一一一￨
θt
dx;
θx，
l - ε L/U起一一dx
匙........" e .
.
.u
.
.
.
.
s
z
ax昆 ￨
)
5
5
2
-乱
i
.
nt
温度フラ
H
T;;広li;l= 一τ
:
.
.
!
.
.
.
(
P
.
+
G
k
e
)
匂
-C18
1 uzO
一一
R
，-
2
=てー
dU - UiU
d
θ
ー(
j-C2.)u，
θ
t:
:
;
一
一 一(
ト C3.)β 9，8
aXI
C
lX f
(
2
.5
0
)
式 2. 5
5を仮定すれば，
レ イ /}レズ応力は乱流エネルギーの生産， 散 逸 成 分 を 既 知 と し
て，以下のような代数的関係式で表される。
，，
1
刊
l U
C
仇一
九
一
蹴十
一 一
釧 M
山
畑
•
一
で表されるとする。
寸
，
_ e 1 - - - ヌl _
引
礼
JI
u品
，
レ一?‘リ"
u;
レ
j
ム(
但P.
刊
+Gk一
寸
e
)
戸=一 C
ιiτ
k
→
;
，十 383GK-38a，
E
ω ; P k+(
1-C3
)G
(
1
)
6
5
2
)
(
5
2
+(
1一山
，
.
之
上式を更に変形すれば，次のようになる。
.t
L
i
i
l
tエ ネ ル ギ ー 散 逸
，
θe
deU
d I _ k一一ー一- de I
一一一 十 一一一一一 = 一 一一一
一 lーし z一-u u起
一一一 ￨
，
. レイノルズ応力 (ASM)
θ x ; θ x，
L ~'e -'--dx.1
θt
2
.
.
(
c"
)
2
5
2
.
.
.
.
+c "言Pkー C2
' k+ C3ε 言G
恥
但し，分子拡散による空間分配項は省略した。
￨自
r;
4
d"P1
.
+
(
1- C r
G
，
;
40'， ;
G
.1
1
‘，
(
l-C2) p，
u，
u;=k1
l
ニd
，
;
3.
.+
.
式の平均流による輸送と乱流変動による空間分配項を生産，散逸項によって代数的に表す
A S Mが Rodi (1980) によって提案された。
3
8~
2
.5
7
)
• I (
次 に ， 乱 流 温 度 7 ラ ッ ク ス の 移 流 ， 拡 散 成 分 を 表 す 式 2. 5
8について考える。
D S Mは 以 上 の 11(回のモデル方程式から成るが，その簡略版として 2次 モ ー メ ン ト 方 程
~
3)
，~，
-k-e
C e+
Pk+G
~
3
9~
T
，
日:
8
)=
， ，
θu θU
一ーァ一一
-温度 変 動 強 度
I
，
1
)
3
6
2
(
怠
)
8
5
2
(
+ 3 l n h- -3
1
i
e
θ _ k- -e
Ju，
θ￨
一一一￨ーし 8 -U l Uk
ーし ，
，
u
厄一一一一￨
ax，L - ε
e
Jx
eu
.
-.
e
Jx厄 ￨
r_
，
θ万吉
θ万
吉U
e
J
k一 一- e
J万
吉
一一
一
一
ー 十 一一士一一一一 = 一 一一一一￨ーし B 2 -U IU .
l
t一
一一一ー￨
.-θ
1
e
Jx
e
Jxd -.
Ce e
Jxた I
U工2
+P. -e，
- 0
この場 合 は
， 式 2. 5
1の生 産，散逸lJlが:iili皮変動と温度変動に関する成分か らな ってい
-乱 流エネノレギ一散逸
一 一x; 一
一a し一
ー-.一
L
e.
白
紙
る た め に ， 式 2. 5
4の よ う な 簡 単 な 関 係 は 成 立 し な い 。
δe
e
J
e
J
l
一一一 θ
θ
I 1 万吉 1
(
P，+Gk
-e). 温 度 変 動 強 度 の 生 産 [
=-2
u，θ
逸[
e
，
=R 一k一 ε￨
，~= ¥
-.
-Jにより
¥P
_，
.
--.
_ 一一一￨
e
Jx，J • 散
1
k - -e
Je 1
.JI__.
'
e
Jx
J
_
工，
2
(
寸 G，
+C1zfhー C2
zf + C
)
4
6
，
θeU;
e
Jl
そこ で ， 式 2. 5
4か ら の 類 推 で . Gibson. Launder (1976) は 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 生 陸
以 下 の近似式の成立を仮定した。
T ， 伝言) = ー主主~ T(
J
kff
2
，
，
!
k
f
f
>
)
9
5
2
(
=旦~
( Pk+Gk ー ε)+ 主主
(P. ー ε
2k'-"-'-'
2
万吉 ・
B V M (kー εモ デ ル 〉 の 基 礎 方 程 式
7
A S Mの 更 な る 簡 略 化 の 方 法 と し て は ， 変 動 量 の 2次 モ ー メ ン ト :
r
日の結 合 を 切 る こ と に
よって，
レイ
j)
レズ応ブ].乱 ~UP，，，支
7 ラックスを防に計算可能な ßVM がある。ここでは，
s V Mを A S Mの簡略モデノレとして捉え，その説明を試みる。
JU
/，皮フラ
これより，乱I
y
ク ス の 代 数 表 示 は 以下 となる 。
ま ず ， 式 2. 5
7. 6
1に お い て ， エ ネ ル ギ 一 平 衡 ( Pk
+Gk-e=O. P，
一 ε，=0) を 仮 定
す れば，以下となる。
主主
P
k+G
-e
)+旦三
P.-e，
)
2k (
.
-.
-，
.
-，
2
θ2(
=
日7=383h+ 去[(1 ー C2)( P';- ~D" P k) + (日)( G ・ ;-~DiiG ，) ]
.- 一一=e
JU， 一一一- ae
→
- U i U f-:
一一 一(l-C3，
)β 0，
02
-C"τ u，
θ ー(1一 C2，)u，θ一一一
e
JX，
θx，
T
(
2
.6
0
)
更に変形すれば，次のようになる。
I
l r-一一- e
Je
-_e
JU，
_21
u，θ =っァ一一 I
- u，u，て一一 一 (
I-C2
，)u，
θτ一 -ー(1一 C3B)β 0，
0
し
，
"el
，
dX
dX
1
I
(
2
.6
6
)
これらは ， レイノルズ応力と古L
流温度フラ
- 乱 流 温 度 フ ラ ッ ク ス (AS M)
u，
θ=
1
<ι
aXl
CJX
v
ー
J
クス方程式中の移流，拡散成分を無視した
ことに相当し，初 J
t
lの A S Mとして Hossain. Rodi (1977) が 用 い た も の で あ る 。
)
1
6
2
(
￨ 一一一- e
Je
一一~ e
JU，
一_1
u，
て で一 一(I-C28)u，
θて?ムー(l-C3，)
β9，θ21
卜 u，
L
y
次に ， レイノルズ応力，古L
流視度フラ
y
ク ス に お け る 浮 力 の 直 後 的 現3
*
J
曹は小さいとして，
両方程式中で浮力の関述した項を全て無視する。
C"e+云 (
P，+G，-e)
+ー云=ァ (
P.-e，)
t
2θ2
但し. k. ε方 程 式 中 で は 浮 力 の 作 用 は 一 応 生 産 項 の 中 で 評 価 さ れ る の で ，
n接 的 な 影
響は保持される。
残る k • 万吉 .
e は，以下の微分方程式を解いて求める。
UiUj
<
e
Jl
?U;
e
Jl
一
一
一 十 一一一一一一 = 一
e
Jx
δt
，
し
， e¥
j
(
)
2
6
2
-4
0-
J
I
--.
k r一一一一 θθ
一一~ e
JU，
1
u，θ = τιー I-u，u，=
一 一(I-C2
，
)U ，
θーアーム￨
C"eL
d X，
d X，
J
e
J l _ k一一一- e
J1
<I
￨ーし s -U I Uk一一一一￨
e
Jx d
e-'
--e
Jx
.1
+Pk+Gk-e
2.
I-C， kl_
2. _ ¥
= τD"k +ー コ ー よ ー I
P，
;-τD" Pkl
.4
1-
)
7
6
2
(
一一一一
- 舌L
流エネルギー
(
2
.68)
次 に ， 問 題 をl:J1純化するために 二 次 元 条 件 と し
， 式 2. 67を舎き下してみると，
)
9
6
2
(
凪
ロ
ロa
)
AU
7
2
(
2.
j-C?k l
2 ¥
=:
:
Ck
+一一一二一
1
P22一二 Pkl
3，
C， e ¥ ι
j
，
，•
j-Cった I 一一τ au
っ 一一τ au 一一一_(θu
a
U
¥
2
= -:::-=--I- u， 一一一ニ -u子一一一 - u，
1_
-'+:
:
=
1
1
C， e ¥ ，
ax， . aX2 -'u2
-'¥θ工
a
X2J
一一一
2~
(aU; aU，¥
-u;u;=-:
:
Co"k+ νtト一一土 +一一一￨
3
ζ
'
¥8x， ax;
J
z
、2
(
，
U U2
)
7
2
一一一
. レイノノレズ応力<B V M )
)
9
7
2
(
h一E
ι
ζ
九一
+
川
一
一一τ
テ ンソ Jレの 近 似 式 が 得ら れる 。
h=C
D7
は層流における動粘!生係数と同等の作用を 与 え る こ と か ら <
{
f
!L
. 空間的
な分布 は 許 容 さ れ る ) .渦動粘性係数とよばれる 。 右辺~';l項は両辺の納約を取 っ た際の
となる 。
矛盾を回避するための追加項であるが，元々の式 2
.6
5と比較 す ると， 法
予 測 対 象 とす るがEれ に 卓 越 風 向 の 存 在 を 仮 定 し ， 適 当 な 座 線 変 換 に よ って X ，軸をその方
向に
X2を 直 交 }j何]に 一 致 さ せ た と す る 。 こ の 条 件 で は 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 応 力 生 庄 は
1.
4で 述 べ た よ う に PII に 集 中 す る の で . PII=2P，. P22=Oとなり，これらを代入すれば，
乱流温度フラ
2 一ー
~(
_ 'l， n ¥
+ j -C
￨一一 p，l
C， ε¥ 3'I
.L
1
-.
.
.¥
，
-ax，
υ
1¥
θX2J
J
(
2
.8
0
)
k 1 一一τ 3
θ 一一一- aθ
I--_au。 一一=
-aυ勺¥1
= 一一一一 ￨
- uf 一 一一 - U IU2一一一一(l一 C2B)
lu，
D一一よ + U2θ一一一二 1
C"eL -. aX2 .
.ax，
)
4
7
2
(
j-C2 k ( 一一τ aU
¥
2 一一τ au，
，
U2 = ー一一一一一
I
- u， 一一一
ー -u♂一一一一 l
C， e ¥
ax，
aX2J
一一一一
U
C"eL .
.
. aX， .
-.aX2
)
3"
クスに つ いても 二 次 元 条 件 を 仮 定 し ， 式 2. 6
8;
を容き下せば，
3
7
2
(
ι
y
I~
1ーτ ae
δθ
l
一一-:au 一一一 ♂
1
= 一一一一 ト U，
ζ 一
一一一 - U IU2一一一一一 (
ト C2，)1U，
0"
:
ー ム +1
12θ 一一ーム 11
)
2
7
2
(
τヲ
~ I，
ν = :::C /~
w応 力 の Z十却の
際 に は 主 要 項 が 省 略 さ れ て い る た め ， 法 線 応 力 の Wfn
百度は高くない 。
-'
'
'
¥
θx， .
-aX2JJ
ζ
(
2
.8
1
)
ι
更に，エネルギ一平衡条件 (
P匙 =e)を用い，
となる 。 先 と 問 機
ω
=l-C
C，
x，
車I
Dを 卓 越 風 向 と す れ ば .
U，
>>U2，a/ax2
>>8/8x，
となる 。
また !
L2D の 近 { 以 精 度 が 平 均 温 度 分 布 の 決 定 に 支 配 的 で あ る こ と か ら ， 式 2
. 8
1の 主 要
2
一一一ー なる記号の書換えを行えば，
項 のみを残すと ，
(
)
5
7
2
E
7=
k(
3
+
j
ω
)
U7=唯一ト)
訂 2
-4((トト)先 +
(
t十)先)
(
)
6
7
2
こ れ に ， 式 2. 7
6を代入すれば，
(
)
7
7
2
=一
21 一 ω 1~2 a0
Cv k2ae
一一一一一一一一一 = 一 一一一一一一一一一一
3 C" e aX2
C"ωe aX2
)
ι
(
!L，(j
2
8
2
←ー τマ
とな って レ イ ノ ル ズ 応 力 聞 の リ ン ケ ー ジ は 解 消 さ れ る 。
au，
/θX2を 含 む 項 が 卓 越 す る の で 式 2.
.7
7では
なお式 2
となる 。 これを 一 般 化 す る と B V Mに お け る 乱 流 温 度 フ ラ ッ ク ス の 近 似 式 が 得 ら れ る 。
)
(
8
7
2
ω
a
D
k2au，
X2
一 一 一
'ε
ω
2一
3
一
一
~
ー，
C
， =
U U2
7
8と し て 良 い 。
- 乱 流 温 度 ブ ラ ッ ク ス (BV M)
一
- = ν t ae
u
，(j
ー
一一一
. σ，
= C"ω
σ，
a
x，
(
2
.83)
ー
設 に 支 配 的 な レ イ /) レ ズ 応 力 の 成 分 は 主 流 方 向 と 主 流 方 向 に 直 交 す る 方 向 の
平 均 流 の 椛i
変1
J
)
}
J
.
i
!
E皮 聞 の 4
日以j
で あ り ， 法 線 応 力 の 寄 与 は 小 さ い 場 合 が 多 い 。 そ こ で ， 式 2. 7
8の 表 現
式 2. 83は ， 先 と 同 線 主 流 と 法 線 方 向 の 乱 流 温 度 フ ラ
を 優 先 し ， 座 係 変 検 に 関 し て 普 遍 な 一 般 化 を 行 う と . BV Mで 用 い ら れ る レ イ ノ ル ズ 応 力
-4
2-
-4
3-
y クスの近似精度は
t
主総方向に比
ベて低いと1ft:定される。
以上より，
2. 8 各 モ デ ル の 特 性
流温度フラ
レイノルズ応力，百L
y
クスを防な形で記述できたが， 9
jる k ， ε
方程式は，近似I
R皮 の パ ラ ン ス か ら 考 え て GGDIlを用いず，等方拡散場を仮定し，以下
とする。
-乱
DSMは
， レイノルズ方腹式について 6個，乱流温度フ ラックスについて 3個 ， 及 び 調
1
4個 の 実 験 定 数 か ら 成
1個のモデル方程式，
度変動強度，乱流エネノレギ一散逸方程式の計 1
る非常に複雑な非線形偏微分方程式より構成される。
m
Eエネルギー
DSM では，解くべき方程式の数がかなり多いこと，角平のÏJ.在や -~8: 性なとの数学的性
06
)
4
2
(
8k
{
}I
.
1U;
{
} Iν，8k I
一一一 + 一一一ーム = 一 一一一ー
￨一
_
_
:
_
一
一
一
一I
+Pk+Gk-e
81
θ工，
θx;L
σ
.
{
}
x; j 民 民
質は不明であること，解があるにしてもそれが物恕的に実現しうるものであるとの保証が
下手法がそ
な い こ と (例 え ば 負 の 乱 流 エ ネ ル ギ 一 等 ) ， 既 往 の 移 流 ー拡 散 方 程 式 の数 値 計 3
のまま適用できないこと，等の問題点があって現状では必ずしも適用例は多くはなく，適
.舌L
流エネノレギー散逸
も実用計算を想定したものは未だ現れていない。
用伊l
θe
8eU;
8 I
ν ，8e I
e
e2
一一一 + 一一一ι = 一 一一一一￨一二一一一一 I
+C"-::-Pk一 C2，←ー +C3，
一'
-G，
θtθX;
8x;
Lσ，8x;
J
(
2.8
5
)
従 っ て ， 現 在 DSMは テ ス ト 段 階 に あ る と い え る が ， こ れ ら の 問 答 は 相 当 程 度 計 算 技 術
の範暗に属する問題であるので，
これらがクリアできれば実用問題への迎用も将来的に可
能となることが期待される。
σ.
=ω/C，， σε=ω/C，である。
ここに，
一方 ASMは変動彊の 2次 モ ー メ ン ト を 代 数 表 示 す る こ と に よ って，向車くべき方程式数
k- ε モ デ ル の 計 算 定 数 は DSMの 計 算 定 数 と 関 i
i
l
iが深いが，
k - ε モデノレを !:Il~ で用
の圧縮を計ったものであるが，
々の DSMに比べてかなり
いた楊合に基礎的な実験データをよく説明する値が選ばれている。
0SM と同様乱流の非 主
事方性が表現可能である。また，元
H P負 荷 が 小 さ い こ と が 期 待 さ れ る が ， 式 2. 5
7， 6
1の 解 を 求
めることは必ずしも容易ではなく，負のエネノレギ一発生等の!懸念、は DSMと同械である 。
ε方 程 式 中 の C2，は風洞格子百L
流 の 場 合 の 式 2. 4
5が用 いられ ， kの減衰ヰ1の出]
1定 結 果
，
CDは
ヱ ヰ ル ギ 一 平 衡 の 成 立 す る 乱 杭 境 界 屈 で は ， 式 2. 8
4が CD=(
百万三/k)
2と問
時 化 さ れ ， 実 験 結 果 u，U 2 /kD.
3より決定される。
.8
5を適用すれば， C"
同じく乱流境界胞に式 2
=C2，一 一σt芸，
'
"
し
D
匁
は
次 モ ー メ ン ト の 近 似 に 採 用 し た こ と に相当するが，
線方向聞のレイノノレズ応力や t
i'<線方向のフラ
σεが 決 ま れ ば C
" は決定される。
1に近い値と仮定され，計算による最適化によって調整された。
ま た ， 建 築 に 限 ら ず 工 学 分 野 全 般 で 幅 広 い 実 験 的 検 証 がi
l
iめ ら れ て お り ， ま た 安 定 性 が
よく，計算霊の少ない 優 れ た 解 法 が い く つ か 提 案 さ れ て い る 。 従 っ て ， k- ε モデノレは実
用 問 題 に は 今 後 と も 幅 広 く 使 用 さ れ ることになろう 。
kー ε モ デ ル の 計 算 定 数
C"
C2，
L
a
u
n
d
c
re
la
1
.
0
.
0
9
1
.44
1
.9
2
b
a
s
c
do
nD
S
M
O
.1
0
8
-4
4-
σz
σ8
1
.0
1
.3
0.5
0
.
9
0
.
8
5
1
.3
5
ロ
包
m
j
さに支配的影響を与え
効果を別として ASMとほぼ同ーの解を与えることが知られている。
下段に示す。
CD
2
. 7で述べた よ う に 主 流 と 法 線 ， t~
y クス等，平均流の
i
[.t流や境界屑流れ等では，墜
る変動相関成分の近似精度はかなり高く ， 例 え ば 等 湿 の 平 面 l
L
a
u
n
d
e
r， S
p
a
1
d
i
n
g(
1
9
7
4
)，R
o
d
i(
1
9
8
0
) による C3，を除く推奨値を表 2. I上段に，
l
l
o
s
s
a
i
n， R
o
d
i(
1
9
8
2
) の採用した DSMの 計 算 定 数 を 用 い て ， 対 応 す る 値 を 求 め た 結 果 を
表 2. 1
l
f
寺される 。
今後 ， 一 層 の 計 算 の 安 定 化 方 法 ， 高 速 解 法 の 開 発 な ど が m
k- ε モデルは 2. 4で 述 べ た 勾 配 拡 散 輸 送 モ デ ル 中 で 最 も 簡 単 な 等 方 拡 散 モ デ ル を 2
・ 応:カル7
〆ζ
ン定数 -0.4となるので，
σ .σ
ε
9
9
0
) ， 加 藤 ， 村 上 ら (1
9
9
1
) に よ り ， 室 内 気 流 予 測 に ASM
現 状 で は 村 上 ， 加 藤 ら (1
の適用が若手された段階にあり，ほぼ予想どおりの成果を上げつつあるといえる。
から卜 8-2
.
0の範囲とされる。
O
.6
1
-4
5-
本 論 文 で は F D Mを 解 法 と し て 用 い る が ，
第 3章
差分法による数値解法
FDM に よ る 流 れ の 数 値 解 法 と い っ て も 極 め
J1
て広範である。そこで，次節以降ではこれまで筆者が籾しんでおり，また本論文中のH
F DM で し ば し ば 問 題 と な る 移 流 : r n の 差 分 近 似 手 法 を 中 心 と し た
に実際に用いた解法と，
解説を行う。他の方法については前ページ脚注の文献等を参照されたい。
3
偏微分方程式の数値解法
11ま で に 示 し た 方 程 式 の 解 は 解 析 的 に 求 め る こ と は で き な い の で ， 数 値
前，
近似解を)jとめることになる。
m1法 に よ る
3
. 2 差分近似式の作成法
m
Eれ の 計 算 法 は 大 き く 分 け て 有 限 EE業 法 (FEM:Finite
i
n
it
eD
ifferemce Method) 1
こ分類される。
Elcment Mcthod) と 有 限 差 分 法 (FDM :F
差分近似式の作成法の代表的な方法としては， T
aylor級 数 に よ る 方 法 . 多 項 式 近 似 に よ
る 方 法 ， 有 限 体 積 法 ( コ ン ト ロ ー ル ・ボ リ ュ ー ム 法 ) 等 が あ る 。
FEM では，計算対象傾 i或を三角要素，四角要素等によって分割し，個々の'J}l ~U差点 Wl
以 下 の 二 次 元 ラ プ ラ ス 方 程 式 を 伊l
に差分方程式の作成法を示す。
をつなぐ近似￨刻数によって決定される要紫マトリクスを寄せ集め，全体 7 トリクスを作成
a2φ δ 2 φ A
aX2
ay2 ~
--
_
.
.
3
(
--
~~長のさ~1 1iJ配位が柔軟に行えるため，複雑な形状への迎合性や，計算 node 点の絞[支の制
)
-
し，そのマトリクスの解から各要素接点、の値を求めるものである。
御などが容易に行える長所がある反面，キングサイズの 7 トリクスを解かなければならな
いこと，~誹;のさ~rI日配置に規則性がないために高速計算機の性能を引き出しにくい工事の欠
点を併せ持っている。
Taylor級 数 に よ る 方 法
図 3ー Iに 示 す 二 次 元 セ ル の 中 央 格 子 点 で の 解 を 求 め る も の と す る 。 x方 向 ， y方 向 の
辿築の分野では平岡 (
1982， 1
9
8
3， 1
9
84) ， 石 田 (1982， 1
9
8
3， 1
9
84) ， 内 海 ら (19
8
2，
1
9
8
3， 1
9
84) ， 松 本 ら ( 19
84 ) に よ り 一 時 盛 ん に 研 究 が な さ れ て い た が ， そ の 後 数 年 間 の
中断の後，級近になって
(
1
)
m中 ら (1990) ， 斉 藤 ， 大 柿 ら
の分害I
J
'
を， そ れ ぞ れ !
1x， !
1y と お き ， 格 子 点 の 位 置 を φ" ，と表す。
・
. j φi-1. jを (
i，
j)点 回 り に T
aylor級 数 展 開 す れ ば ，
このとき ， φi+1
(
1
9
9
0
a
.b
) に よ る G S M A C法 の
適用例がJliぴ発表されている。
現 状 で 境 界 迎 合 性 の 縁 も 優 れ た 解 法 で あ る こ と か ら ， 計 算 法 の 高 速 化 等， 今 後 の 発 展 が
φ
φ
θφ
1 a2
1 a3
1 a4φ
φa什 ，
， =φi.j + -~- L:. x + ー一一一一一~
L:. x 2 + 一一ー一一一:'- L:. x 3 + 一一一一一:;-!1
.，.，. ax- 2! ax2-- 3! ax3-- 4! ax4
内
内
x
4
+ O( L:. 工
内
内
2
幽iIií等の ÎSl:~な境界への適合は困難であり，予測領
)
3
(
3
mWI 正しい持子配置をJllいるため ，
φ
φ
φ
3⑤
1 a2
1 a3
1 a4
←一一;
x + 一一一ー-7 L:. x ー
:
L
:
.x3
+一一一一'
:
;
L
:
.x4
+O(L
:
.工 5
)
ax--'2! ax2-- 3! ax3-- .~! ax4
φ;
-，¥ =φi.j - -~- L:.
~'.'
)
3
(
F D Mは 越 本 的 に は ， 計 算 予 測 空 間 を 規 則 的 な 直 交 格 子 で 分 割 し ， 各 計 算 絡 子 点 で の 微
分を隣接する絡子点I
:JJの差分に置き換えて近似し ， 数 値 解 を i
'
!
}るものである。
2
J
t
l
l
l
寺される。
域の引J):分解能を部分的に調整することは難しい。その反田規J
I
I的 な 格 子 構 造 は ， 計 算 機
n
I
H
荷造や繰り返しi)il と の 相 性 が よ く ， 高 速 計 算 機 の 性 f
i
tが 容 易 に 引 き 出 せ る 。
の配;Y
こ の 高 速 性 能 に よ っ て ， こ れ ま で 一 般 に 計 算 負 荷 の 大 き い 乱 流 計 算 法 の 多 く は F D MIこ
よって開発がj[められてきたが，実用的に使える見通しが立ちつつある現状では，規則的
i1による適用範囲の制約が問題となり始めている。村上，加藤，石 田 (
1
9
8
8
a
.b，
な佑子配i
F D Mの 高 速 解 法 と し て の 長 所 を 損 な う こ と な く ，
(式
3.2)+(式 3
.
3) を L:. x
2
で 割って変形すれば ，
以下の式を {~}る。
yド 一 般 曲 線 座 係 系 に よ る 複 雑 な 建 築 空 間 へ の 適 合
F EM の 有
する境界適合性の特徴を取り入れようとする試みである。また，原子力の分野では越塚
(1990) に よ り ， ス タ ガ ー ド ・グ リ ッ ド を 用 い た 類 似 の 提 案 が な さ れ て お り ，
ax2
φ;+，1 j
-Zφi， j
+φiー¥， j
1 a4φ
- 一ー一一_-4 L
:
.x2
L
:
.x2
1
2aム
+O(L
:
.x3)
これらによ
って 膜 精 道L 大 空 間 辿 築 に 見 ら れ る 不 繋 形 な 空 間 へ の 気 流 計 算 法 の 適 用 が 期 待 さ れ て い る 。
木古E
では ローチェ (
1
9
7
8
) ，P
e
y
r
e.
tT
a
y
l
o
r(
1
9
8
3
) ，A
n
d
e
r
s
o
n
，
T
a
n
n
e
h
i
l，1 P
l
e
t
c
h
e
r(
19
8
4
)を書考とした.なお，差分法で陥解
法を 1
ω
H
する場合については， P
a
l
a
n
k
a
r(
19
8
0
) ，有限袈紫法については矢川(19
8
3
).s
a
k
e
r(
19
8
3
)を書照されたい.
-4
6-
.，
a2φ '
)
絡子の生成と気流予測は，
て， L
:
.x5 に 比 例 す る 主 要 な 誤 差 を 含 む こ と を 意 味 す る 。
(
7)
レ・グリ
τL
:
.x5 となっ
5!aム
4
3
1
9
8
9， 1990b) に よ る ノ ー
1 a5φ
ムX5
) は ， 省 略 し た 項 の 中 で 最 低 次 の も の が 一一ーー
. 2 の O(
ここに式 3
式 3. 4 は 右 辺 第 l項 が 左 辺 に 対 LL
:
.x2 に 比 例 す る 主 要 誤 差 を 含 む 近 似 表 現 に な っ て い
る 。 こ の こ と を 右 辺 第 l項 は 左 辺 偏 微 分 の 2次 精 度 の 差 分 近 似 式 と い う 。
yに つ い て も 同 械 の Taylor展 開 に よ っ て y方 向 偏 微 分 を 差 分 表 示 し ， 足 し あ わ せ る と ，
-4
7-
φ
82
φ
82
L
'
;
:
:
:
6
.y
φi
+I・;-2φi.;
+φ i
-1. ; φ a
・i+I- 2φ 1
.j
+φ..
一一一十 一一一 一
ax2'8y2
+ "*'i. j+1
6
.x
2
I'
*
'
i
. ;-1
2)
2
+O(
.
6
.X ，
D
.y
(
)
5
3
となってラプラス方程式の 2次ね皮差分近似式が得られる。
φ1. j+1
3φlθ2φ
=φ ‘庁 一 ー ムy+一一一一一26
.y斗
内
8y-- 2!υy
(
2
) 多項式近似による方法
.，を座標原点とする局所座標系を考え
図 3- 2に示 す よ う に ， φ.
x申I
U方 向 の φ の空
間変化を 2次多項式によってあてはめることを考える。
φ
'
.，
φa什
=式 3
.3
(
φ (X)= OO+ O，
X+ 02X2
e
一
一
一φi-1. j
)
6
3
;
ー
ー
ー
ー
ー
ー
ー
ー
_.
6
.x.
ー
ー
ー
ー
ー
ー
ー
3
φi+1
.; .
φt.J ，φi
-1. jを 用 い て 式 3
. 6にあてはめ，係数を求めると，
=式 3
.2
6
.y
J
Q式 3
. 1に入れて微分を実行すれば，
一方 ， 式 3. 6を 直 t
02φ
で ァ-
図 3-1
=
ax
82
ax
で了一言
ι
Taylor級 数 に よ る 方 法
-.
(
nd
y
+
ム
y
︽
内向一
一
2
﹀
一2
UτU
VJ
A
+
RUτU
一
一
φ
φ一Y
φi，;-1
φ iT1
.j
一φi-!. j
φ.+1
.;
-2φi.;
+φ i-1. j
.
.
.
.
，
=
2
ム
工
.a
-3
u
26
.X 2
a1
)
7
3
Gロ
=φi.
j •
u
".'
φι+・， ;
-2φ i
.;
+φiー1. j
6
.X2
(
OO+ O，
X + 02工三 )=202
ι
(
3
.8
)
となり . y方向も同憾の操作を行えば以下となる。
)
3
(
9
一
，
2一
﹄勾ζ
φ一
+一
・
一VJ
﹃
m一
ム
-一
+-
3
a一
φ一
2-
+
E一
2一
h
匂
φ一
+一
一x
，
ー--宇'戸
一
m
wA
2
-
/ JJJ￨
I
φ
a
l，
θ2φ θ 2
φ
一
一8x2 8y2
3-
i 1
.;
+-
φ+
φ一
φ盆;+I
f
結局，式 3
. 5と同じ結果が得られる。
(
3
) 有限休積法
多くの教科容では有￨現体航法と積分法を区別しているが，ここでは両者を一括使用して
差分式を求め る方法を考える 。 まず先と同様の局所座標系を用い， 二 次 元 ラ プ ラス方程式
! φ(y)= bo+ b，
y+ b2y2
UF
AO
/
2
du
z
1
。
ベτ
U
)φ一y
d
内
/
u'
a
+
4UτU
-4
9-
φ一Y
2-2
-
/IIII1、 /
，
，
r
a
E
E
E
E
E
E
E
E
'
I
E
E
E
a
a
+
-
[x
du d u
yy
=+
dν
x---u
卜
︽ 一 一司
﹀一:
Rdtu
山
包
ノ
ill-
φ 一工
ベ τU
U
Il
一
l一a
j
j
L
P2
引一y
+
4U
コ
-U
向一 X
b一2
山古
ノノ、
rill--J
222-2
，
-4
8-
raEE'laEEJ
多項式近似による方法
//ノ
図 3- 2
+一+一
，
EEEEll
，
iJ
φi， ;-1
θ一
3h
2[
2
+
司
咽
ト
一
一
ー
一
ー
一
li-pa:
a a[
a ν
1
.
.，を取り四むセル(コントローノレボリューム:有限体駁等 ， 械 々 に 呼 ば
を，図 3- 3の φ
れる)について積分する。
(
3
.1
0
)
式 3. 1
0の 変 形 を 進 め る に は ， 有 限 体 積 表 面 で 表 面 と 法 線 方 向 微 分 の 分 布 に 関 す る 仮 定
が必要となるが，
ここでは表面で一様分布とすれば，
(
[~~ L
X
2
/
(
~~ L
xJ
y+[
(与
)
山2
/
(
~~)叩J
ノ
ム
と な る 。 直 感 的 な 把 握 を 容 易 に す る た め ， 式 3. 1
1を 熱 伝 導 方 程 式 と 読 み j
換えれば，
これ
.
.，を取り囲む有限{本智iの
はφ
ー
I
'
:
.x
(x=- 2
か ら 入 る 熱 7 '7.，クス)
+ (工 = + 与 か ら 出 る 熱 フ ラ バ ス )
.I
'
:
.y
τか ら 入 る 熱 ブ ラ ッ ク ス ) + (y=+
zか ら 出 る 熱 フ ラ
ムy . -- _
.
.
φ
ー (y
=一一
什
1
y クス)
..ltる熱量にー lを か け た 結 果 を 与 え る こ と に な る 。
となって ， 正 味 有 限 体 積 中 に f
ムy/2
i
〆
ー
ム x/2
:I
'
:
.x/2
φ;+1. ;
¥
3
(
φ
'
.，
)
2
1
3
r
mで 直 線 分 布 を 仮
[ φH4;φ3 ー φ;~~ H.; ] I':. y+ [ φ 3 J;φ 3 ー φ ， ;73 ・~ ]
I
'
:
.X
:
/
、
・
u
φi-1・
1の空間微分を差分に置き換えるため，伊￨えば φi，jIφ ;
+I
・j
式 3. 1
定 す れ ば，
となり ， 更 に 変 形すれば以下となる。
-l
'
:
.y/2
[φ+1 -h
+φ ド '
.
;
_
i
_
]
I
'
:
.XUl
'
:
.y
[
φi
，;
+
1-2
φ ，i2
j
+φ1
1
. jA
Y+
1
AXムy
r
.
.-+L
1
'
:
.y
1
'
:
.x"
φi，j-l
)
2
1
3
(
図 3- 3 有限体積法(コントロールボリューム;去〕
結局以下の式が得られる。
，
+企ν/2r+dxノ2
一一一一一
I
'
:
.xl
'
:
.y
I
I
I
J
I
I
I
r
a2φ a2φ1dxdy=
一一τ +一一τ I
Lax2 ay2J
-6)'ノ21 -d
.xノ2
A工 2
目
)
3
1
3
(
φi什 ;
-2
φ
i
.i
+φi
-1; .
φ i. HI-Z
φi
.
;+φi. ;
-1
1
'
:
.y2
3で は ， ラ プ ラ ス 方 程 式 の 有 限 体 積 中 の 積 分 平 均 値 を 右 辺 で 近 似 す る こ と に な り ，
式 3. 1
じ結果を与えることが分かる 。
若 干 意 味 が 異 な る も の の ， 前 と 陪l
上 記 差 分 近 似 式 の 作 成 法 の 内 で は ， 有 限 体 積 法 が 最 も よ い 方 法 で あると 断 定 で き る ほ ど
の際だっ た 特 徴 は な い が ， 段 も 欠 点 の 少 な い 方 法 と 判 断 で き る 。
-5
0-
-5
1-
今，も句
'''J'
aa
3
か ら み て 什I
Uの正の方向に流出するフラ
y
)
6
式 3. 1
6を 差 分 近 似 式 に 移 行 す る た め に は ， 有 限 体 宥i界面における φ 及び
φ
3
(
ζ
J
しているが
1
︽
UコU
φ一x φ 一
日Y
一一
4U=σ
φφ
rr
E
UV
FIll--1111L
一
工 一y
一
ム
一
ム
F
I
l
a
a
a
E
'
a
1﹂
//
一一
aa
内
可lE'11141IBilli--J
PIP
φ一x φ一Y
3zd Uτσ
で
--
=
i
+
;m
VJ
一
&
積が工
↑
+
n
Eの而で I
孟も重要な特性としては， 1次 霊 の 数 値 レ ベ ル で の 保 存 で あ る 。 有 限 体
室内s<tz
1
立法では，式 3. 1
1で l
切かなように，有限体部の界面において，流入，流出するフラ y ク
'
iもるため，その方法に統一性を持たせれば(例えば， φ(， ，φ i+1. j では有限体
スを見 t
φφ
UV
て
ハ}
動量保存など，低次の保存性を持つ解を得ることが可能となる。
一X
有限体積法は微分的な i
l
i統 体 力 学 の 法 U
I
Iと い う よ り は ， む し ろ お 分 的 な ( 或 い は 巨 視 的
な)物理法日1に よ っ て い る の で ， 例 え ば 微 分 不 能 点 を 含 む 問 題 に 対 し で も ， 述 続 条 件 や 運
δφ
EE7に女、jす
クスと
る仮定が必要であり，
φi+1
. ，からみて x仙のD.の方向から流入するフラックスが大きさが等しいことを意味する)
この仮定の方法によって様々な差分式のバリエーションが現れるこ
とになる。
数値レベルでガウスの発散定理が成立することとなって，物理的に異常な解となる危険性
が少なくなる。この特性がないと ，例えば 室内での汚ぬ質拡散問題を取り扱った t~ 合，流
出口の i
r
l
tli!平均濃度が i
即時一械拡散濃度にならないなどの不都合が生じる可能性がある 。
6の x方 向 成 分 を 対 象 に ， 室 内 気 流 の 数 値 計 算 で し ば し ば 用 い ら れ る 差 分
以 下 ， 式 3. 1
式を示す。
(
1
) 中心差分
3. 3 移 流 t
広散方程式の代表 的 な 差 分 近 似 式
図 3- 4 (a) に示すように φa ー 1~φ ， ， φ~φi +1の各区間で直線分布を仮定する。
u， rを 一 定 と す れ ば， 以下となる。
室内気 i~t の計算に閃 ili する方程式は ，
前立で述べた k ー ε 型 fiL i
l
tモデノレをJTj¥、る限りに
D
.X"
3
(
)
4
1
，
)
I
2D
.x
3φ
auφ
a { θφ l
一一一 = 一一一ームー + 一一一一 I
r一一一ー 1+ S.
θt
θx;
ax;¥
' aX;}
7
1
3
(
φ;+!ー φi- 1 φ ; +，
φ
+φ，
;-1
-uームムーーム
.
!
.+r ・-2
，
-，
-
おいては，全て移流拡散方程式の形にまとめることができる。
(
2
)
1次 精 度 風 上 差 分
)
I
J直 線 分 布 と す る が， 移 流 項 に l
期する有限
拡散項については中心差分近似と同様，区間}
例 え ば 乱 流 ヱ ネ ル ギ -kの 方 程 式 は ， 式 3
.1
4で 以 下 と お い た 場 合 に 相 当 す る 。
体t'i界面の φ の 値 に つ い て は ， 図 3 - 4 (b)に 示 す よ う に ， そ の 点 の 風 向 の 上 流 側 の 値 と
する。
，
φ = k . r = と土. S
.= p + Gk -
σ
E
;
例 む い =与 の 界 面 に 関 し
厄
u>0の 時 は 九ノ2= <
1
>
，
. U く Oの 附
φl
!
.x
/
2=φ 1+Iとおく。
2次 元 条 件 を 想 定 し ， 式 3
.1
4を φ
.
.，回りの有限体絞で積分した後 ， D
.xD
.yで割れば，
φ2一φ;- 1 φ ; + 1-2
φ，
+φf
-uー」一_
_
'
_
' +r ι ，
-"
(u~ 0)
叶
ムxど
!
'
.
x
φi+I
ーφ z φ ，
.
， -2
φ，
+φi-I
!
'
.
x
!
'
.
Xど
-U--L
ニ一一.
!
.+r
~ff [
(
3
.1
5
)
となるが，当面右辺>1';1項 に 注 目 す る 。 先 と 岡 織 有 限 体 積 の 表 面 で フ ラ
いことを仮定すれば，次のようになる。
-5
2-
y
クスの分布がな
ι
内
ι
(u<0 )
(
3， 1
8
)
(
1
3
ムx
t
:
.x
2
Hybrid法
ut
:
.x
.
2
Spalding (
1972) により開発された，セノレベクレー数 Pe=一下ー の値によ って差分を
以下のように切り儲える方法である。
'
'
1
'
- !
判
・
2
t
:
.
工
E一
1-
U
(u~
.門
巴
ι
ー
・
咽
ー
0)
(
)
AU
2
3
一φi+l一φt
一一
t
:
.x
-2φ ，
+φ;1
ム工 2
(uく 日 )
園
ー
ー
φi-2
2以 上 で は 拡 散 項 を 無 視
した風上差分とする。
Qui
ck法
Leonard (
1980) に よ り 開 発 さ れ た 2次初度風上差分である。
図 3-4(
c
)に 示 す よ う に ， 例 え ば
t
:
.x
x=-一 一 地 点 の φ
2
Hybri
d
法
0 0;
(
4
)
中心差分，
心
一2
即 ち セ ル ベ ク レ ー 数 の 絶 対 値 が 2以下の場合は中心差分とし，
φE
φi1
a
)
図 3- 4 (
φ
φ一
x
一一
A
φ一
IPel ミ Z
ι
3
(
φ;+'ー φ;_ 1 φ 2
-uー」斗
ーーム-'- +r
)
9
1
I
PeI<2
旬 ・・.
については ， u>0の場合.
φ，，<
Tε刊 に 加 え て φi-¥を用いた放物線分布 ， u<0の場合， φZせ を 加 え た 放 物 線 分 布
を仮定し，以下とする。
U￨
Iφi+1
一φi-1φ ，
+
1-3φ
，
+3φi1一φ，
2
¥
φ，
+1
-2φ ‘
，
+φ.
;
1
ー
・
"
1
+r
目
， (U 註
t
:
.x ¥
2
8
J
t
:
.x2
o)
図 3- 4 (
b
)
(
3
.2
2
)
，
，
4
，
d'
，
，
，
，
，
，
，
これらと中心差分を比較すると，拡散項は不変であるが移流項には，放物線内t
l
iによる
z
e
e
--下
>0)
φi+l
ybri
d法
次精度風上差分， H
ω一
(U
4P
φs
φi-1
)
1
2
3
(
U Iφι
+1
一φi[ φ'
+
2
-3φ ，
+1+3φEーφ，
-1¥
φ，
+1-2φ ，
+φi1
￨
ー
1 +r
ムx ¥
2
8
J
t
:
.x2
・- ・
・
-
φi-2
t
:
.x
J
J
J
'
2
ノ
，
修正が追加された形をとる。
ー
ー
φi
2
φi-J
図 3- 4 (
c
)
-5
4-
φa
Qui
ck
;
去
-5
5-
φiTl
3
4
4
代表的差分近似式の特性
デ + ガ伴
子 三 )到
+ O(
げ
(
3
.2
8
)
)
育i
j節 で 述 べ た 差 分 式 の 特 性 を い く つ か の 観 点 か ら 評 価 を 試 みる 。
即ち， I
lybri
d法で高いセノレベクレー数の問題を解くと，物理 J
広散係数は無視されて，数
(
1
)
打切り思差解析
値拡散のみによる方程式を解いていることになる。
3. 2 (
1
)の Taylor級 数 に よ る 差 分 式 の 作 成 法 を 逆 に 用 い て ， 各 差 分 式 の 誤 差 を 評 価 し て
みる 。 まず，
l
r
.l心差分式について ， 式 3. 2， 3を代入すれば，
(
2
)
ソースフリー問題への適用
4の 特 別 の 湯 合 と し て Patankar (1980) に従い，以下の式を考えてみる。
式 3. 1
①
i
+l
-CTi-1φ.+1-2φ ，
+φ ，
_，
8U φθ I ~ 8φ l
+ r
.
.
.
.
:
.
.
.
'
2
.
.
'
- 1
= 一 一一一一 + ー
一一 I
r
c
:
=
-I+0 (
，
t X 2)
，
tX 2
8x
θx¥
.8x}
-U一一一一一一一ーム
2
，
tx
)
9
2
3
(
守 +記 長)
0= -
(
3
.2
3
)
とな って
，
2次 f
，
'
j
皮の差分式となる。 Hybrid法 で セ ル ペ ク レ ー 数 の 絶 対 値 が 2以 下 の 場 合
2，φi2に関する Taylor級数を用いれば，
も同級である o Quick法 の 場 合 は ， 以 下 の φi+
今，図 3- 5に 示 す よ う に
x軸の分害J
Iム xが一定の条件で， φ =1，φ3 = 0とし，
両者の中間点、である φ2の 他 を 差 分 計 算 で 求 め る こ と を 考 え る 。 こ の 条 件 の 厳 密 解 は 以 下 と
φ
8(
T
4 82( t 内
8 83
) 6 θ a φ E
内
φi+
2=φ ，
+2一
一.
:
:
.
.
，
tx+一一一一一ム
+一一一一一一ム工
，
tx5)
8x-- 21 8x2 - χ2
318x3- -3+ 418x'ム x'+0(
-
なる 。
x5)
(
3
.2
5
)
(
)
(
3
3
3
I
lybrid法
1l
)
(
Quick法
4
3
3
- qL
e-e
+ 一+
ロ
(Peく2
)
(
2
.
玉Pe)
p 一P
3一
3一
8
4一
!
'
i1-
φ
m
一
一2
(
[
r
+l
.
!
:
'
.
子
)
剖+
。
げ
+ 88X
)
2
3
3
e
p
一2
l
+
l一
2
2
φ
一
一
φ2 = 1
)
7
2
3
(
一
乎
一 次精度風上差分
2+ Pe
(
E
も =1 - ~
となって I次 制 度 差 分 式 で あ る こ と が 分 か る が， 誤 差 の 主 要 項 を 調 べ て み る と 以下のよう
に裂けることが分かる。
中心差分
)
3
3
P
l
一2
sx
+
)
S
2
3
(
与
ヂ +去[
r
会卜
。
φ
1n
寺ね皮風上差分式も同様に分析すれば，
U，
tx
，re=一下一
一方 ， 各 差 分 式 に よ る 仰 は 以 下 の 通 り 。
一
z
l
一
一2
式 3. 2
3右辺と同じ結果を得る。即ち， Q
ui
ck法 は 中 心 差 分 と 同 慌 2次精度差分式である。
exp(2Pe)-exp(Pe)
exp(2Pe)ー l
)
φ2 -
0
3
3
(
φ ， - 2 =φa ー 2 一一- t，
φ
4 θ 2 φ 883
1
6 8'φ
x+ 一一一一一 ム工 2 _ ~":::""'-:" t， 工 3 + 一一一一~-， ，
t x'+ 0(
t
，
21 θ工 2-- 31 8工 3--.4! 8λ
)
(
4
2
3
3φ
I
UI
，
tx
2 ー だ けi
自J
I
日した問
即ち ， l次 ね l
文 風 上 差 分 を 用 い る と ， 拡 散 係数が ミ方位式より 一
1
1
JJtで解いているのと同じことになって，その意味では非常にまずい。
題 を 2次 *，
風上差分によって導入された疑似的な拡散は，一般に数値拡散ないし人工鉱散，運動方
程式を対象とした協合は数値(人工)粘性などと呼ばれる。
I
lybri
d法 で セ ル ベ ク レ ー 数 の 絶 対 値 が 2以上の場合を分析すると以下となる。
こ れ ら を ま と め た 結 果 を 図 3- 6に示す。
まず Pe=Oの 条 件 で は ， 純 拡 散 問 題 と な る の で い ず れ も o
.5と厳密解と 一 致 す る 解 を 得
る
。 一 方 ， Pe→ ∞ で は ， ∞
(中心差分) ， 2
.
0 (Quick法)，l.O(I
lybrid法 ， 1次 粉 皮
風上差分)となって差分近似法によって解は異なる。 I
lybrid法と l次 1
1
1皮 風上 差 分 の 結 果
は厳密解に一致するが ， Q
ui
c
k法 ， 中 心 差 分 で は 問 題 の 性 賃 上 Oく φ2 く !と な る べ き で あ
るが，いずれもこの範囲を逸脱し，特に中心差分の結果は受け入れがたい。
- 5&-
-5
7-
中心差分の式 3. 1
7を 変 形 す れ ば 式 3. 3
5と な る が ， 左 辺 の 移 流 墳 は φぃ φ3 が固定さ
れているので φ の 空 間 勾 配 は 不 変 で あ る 。 従 っ て P e数の増加によ っ て 左 辺 の 絶 対 値 は 単
φ1=1
調に増加し ，こ れ と バ ラ ン ス す る た め φ2は lを越えて地加することになる。
φ。ーφ，
Pe'
:
=
了よ
(
=?
)
5
3
3
. φ2
= φ 3-2φ2+φ1
また. Qui
c
k法 の 式 3. 2
1を 変 形 す る と 式 3. 3
6となるが，左辺には φ2が 含 ま れ て い る
時
，
ため，この項が φ の空間勾配を抑える{動きをする結果， φ2は最大 2となる (φ2=2の l
空間微分が調皮 0となる) 。
ソースフリーの問題
=0
τ
/⑪。ーφ， φ完
ー3
φ フ+3φ1ーφn
'
PeI
一二
68
B
U￨ = φ3
-2φ2+φ1
ii1iでは空間のある地点で発生した奴勤の影響は，風下側へのみ対流で述ばれ
純粋対流出i
1な 性 質 を ほ と ん ど の Z
二分式が持た
この U'i'!を移動性と呼ぶ。この 一 見間 1
4か ら拡 散 項 ， ソ ー ス 項 を l
徐いたものである。
な い 。 検 討 す る 方 程 式 は 式 3.1
φ2
。
uick法 ( 式 3
.
3
4
)
)
BUφ
7
3
3φ
3
(
中心差分(式 3
.3
1
)
B1
1
.5
d
(
3
) 移動性
るべきであり，
2
.0
ーム -
)
図 3- 5
φ3
(
圃圃惨ー
6
3
3
圃
圃
'
ー
Bx
式 3. 3
7の右辺に中心差分を用いれば， φaに関する差分式は以下となる。
)
3
(
。
向3
A φ .
.
φi
1一φi
1
--_
'，
-+--td
Z
t
;
x
匂
1
.0
ここに .
1i辺は時間微分写i
の差分表現でありム φa は l
時1
m，t 1n
nのf自分を表す。
一次補度風上差分〈式 3.32)
，
今， 時 刻 1=0以 前 で は 全 空 間 で φ=0であったとし . 1=0で φ =e なる
m動 が 与 え ら
れたとする。これは，一次元のパイプ流中の一点から汚染質をパルス放出した条件に相当
0
.
5
し，汚染質は流れに乗って下流側に速ばれ，上流への影響はないはずである。
式 3. 38を
Pe
1
0
図 3- 6 各 差 分 式 に よ る 結 果 と 厳 密 解 の 比 較
mいて
1点 周 辺 の
φ の変化をみると，以下のようになる。
.
.e-O
t
.φ;-1 - 一
Ut
.l
一
一 くO
t
.x 2
auφ
a
x
3φ
a
l
avφ
a
y
)
2
4
3
(
Aφ'-1
一t
.1 一 一
-2
t
.x
i- 1点 ( 上 i
f
t
t点〉
(
3
.3
9
)
一
→
.
式 3. 4
1を全空間で部分すれば，
t
.φ o
VJ
du
x
d
M一
N
v
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E，，d
r
a
E
E
E
E
E
E
fill--JX
EAU
-φ
VJVV
J
du
)
3
4
3
(
一
z
fITj
K
せず不 合理 で ある 。 また，夜勤とは無関係であるべき上流点で φ は負の変化が生じること
J
J
VF
M
肢 動 の 生 じ た 点 の 下 流では φ が 増 加 し て 合 理 的 で あ る が ， 発 生 点 で は 一 向 に 侠 1
1
1は減少
M
一
K
VJ
v
(
3
.4
1
)
--一一
x
d
︽口二U
t
.x 2
d
φ一
t
i+1[
.
'
¥
. (下流点〉
Ut
.l
Aφε+1 = +一一一一ーー >日
.
.Q-e
一一
-2
t
.x
p'a
E'aEE'aEE﹄目目目目目目，，
r'
目 J
aIta--'4﹄目目l
(
3
.4
0
)
Aφ1+1
一t
.1
ν
l
Id
fJlJfL
点(発生点)
ムφ . . 0 - 0
一t
一一
.l
-2t
.x
になってこの点も不合理である。
中心.&分は結局移動性がないことが分かるが，この伊!で見られるように振幅 2
t
.x の数値
的j
反動や上流側にアンダーシュートを生じる傾向が強いため拡散性の弱い問題への適用は
となって場全体の φ の地分は境界における移流フラ
y
クスの合計に等しく，これを 1次
:
!
i
t
の保存という。また，式 3. 4
1の両辺に 2φ を儲けた後に全空間で積分すれば，
一 般に囚艇である 。
同械の計算を{也の差分式にも適用した結果を表 3- 1にまとめて示す。
表 3-1
Aφi1 -上流点
中心差分
t
.φi1 -発生点
。
-Ut
.1
ー くO
t
.x 2
。
I次ね皮風上差分(I!y
b
ri
d
)
2
<
T[
x
y
(
)
4
4
3
X
但し ， 発 生 点 で は 減 少 と な る の で 中 心 差 分 よ り は 問 題 が 少 な い 差 分 式 と も 評 価 で き ょ う 。
JU
Q
u
i
c
k法 の 励 合 は 上 流 点 で 減 少 と な る の で 中 心 差 分 と 同 級 に ア ン ダ ー シ ュ ー ト の 生 じ る 可
i
:
i
lt
:
生がある。
2
E
s
IiJで増加となって合理的である。
り，発生点で減少，下Iif
t
J芳+芳]
dd
-
x
1次精度風上差分のみであ
φ
t
.x 8
v
表 に よ れ ば ， 上 流 側 で φ が不変(移動性を有する)なのは，
Ut
.1
一
7一
;
'
_
>
O
h
t
.x 8
VJ
一一
U
一
A
一一
I3
ε くO
fBE
T -d
t
.x
限 引ω
=J
J
up
t
.x 8
t
.x 2
-Ut
.le<O -U
t
.lEくO
t
.x
Jt2~ aaUx~ … -llV4-
=-
d
，
φ
u
Ut
.1
一
3一
E くO
Ut
.l
ー >0
=
一
Aφi1 -下流点
raEふYE1d
日u
i
c
k
左
:
i
Jt2~ ~~ dxdy=J
J
守山
各差分式における移動性の検討
となって ， これを 2次畳の保存という。
但 L，迷統条件の成立を仮定し ，以 下の関係式を用いた。
au
_
_
a
u_
_
.
.
a
au
au
a
x _a
X .aX _
.-a
X -aX -LaX
au
auφ
=2φ ーて一一 一φ τ一
一
φ 2 θ φ2
φ
__1
φ
一一一一一 =
u一一一 +φ2一一ー =2φU一一一 +φ2-=:-=-=2φ￨一一一一
φ
aUI
.
__au
1
+φ2
aXJ
-a
X
ー 内
(
4
)
dx
保存性
4のタイプの移流拡散方程式には解析が]には積分的な保存条件が成立しており，
式 3. 1
この条例が数他レベルで成立する場合を保存性のある差分式と呼ぶ。
4で二次元条件で，拡散項，ソース項を無視した以下の方程
検 討 す べ き 方 程 式 を 式 3. 1
式とする。
-6
0-
ど
dX
まず ， 1次;
虫の保存が検討している全ての差分式で成立することを示そう。
図 3- 7に示す記号を用い，式 3. 4
3右辺のガウスの発散定 型適用 j
j
i
jの式を差分表現で
書いた後に変形すれば，
_6
1-
J守
dxdy -
J
J守
I(Uφ)，+言。，ー(uφ)・ー言.; (
V
φ)
1
. i+2
"一(
Vφ)，ド言 ￨
=一手F
l
=
F
H(
同)→
iミ
:
:
:
I 4
~-
サム 下
;
V3
+
Ax
J
!
!
.x
!
!
.
y
ム
i
.
}
Y浮[
(
V
ー (uφ) ー
2
φ )， イ ー (
同
;
i
]
ム工
)
;
.
(
3.4
5
)
となって，有限体積の表面で一 貫 性 の あ る 差 分 式 を 用 い れ ば ， 式 3. 4
5の内点の フラック
スは互い に相殺し，境界値を残して O となる 。従って ， 今 回 検 討 し て い る 全 て の 差 分 近 似
(
Vφ).
，
式は I次塁の保存性を有する 。
同級 の 手 続 き を 式 3. 44について行 えば，
+-
-3-
円
i
g
一
--
﹁一
一
1
一一
一
- L
一φ
=
1
1
4Mj
l
V
4
d
x
d
y
i
;
.
I (Uφ )，+士， ー (uφ)，
=-2芋
手￨
φs i
A
I
D
.X
=-zp [
(Uφ iaJjー (
同
I
!
!
.
X
!
!
.
Y
J
i
.，
]
!
!
.
Y-2
浮 φ'.，[(Vφ)i dー (Vφ ) ，
i]!!.x
)ー
<
.
(
3
.4
6
)
3
te
φ
→，(
φi J
i+
1
7
12)
-u-÷2F-1 fφt '
)
}
]6Y
{
V，
-2
浮 [φ ， .
， +t(φi j79+1)-v g÷(φt j-f φ ~)}] 6X
l
u，
+去 ;-Ui-~.
X
図 3-7 差 分 式 の 保 存 性
;
i
l
とな る。 式 3. 4
6の φ の内押に中心差分を用いる場合は，以下のように更に変形される 。
一
同φi.{
;
U
l
(
V
φ)
i iJ一(
V
φ)
<
.
+φ
;
.，
!
!
.y
c
:
.y
t
-
一
一ー
-
一
一
-
ll111E'fili
VE-
1
2
一
r
-
yb-
FL
41/
一
;
一
一
叶
-
一
一一
一
ム V
1一
2
φ
1，
rv
，
砂
一
5
2
1 φ
EU
一
¥/φ
一
-
r
1-
-
一
﹃
hv
一
J--
eg - -
一
。
二
一
l
l
，a-Ill111I
J
﹁ φ
-U
一-
-
I
y
一 ，h、
十円
一φ
e
i
j-1
U，
せ1.i
U，
ー
ム
.
21
' .
=-6xムYL
:
L
:φ'
.，
2
1
1
^
.
!
!
.x
j
V
+
j •
H
1- V
一浮[
u
;
+t
.，
φ ルi
+1. j
-Ui-1
-ι
1
.i
一
刻v sdφ
j
I
φ
'
.，
]
!
!
.x
什
，
1
ー V
;
.伊
￨
1
J
，
φ
'
.]
6Y
)
7
4
3
(
φ
i
.j
ー
す
i
.j
^
.
!
!
.Y
式 3. 4
7の右辺第 l写i
は述続条件が成立していれば 0，第 2， 3項は J
克界値を残して O
となる。結局中心差分は 2次 f
置を保存する。
次に U.V
>0 とおき，
l次精度風上差分を迎用した場合は，
安定条件として Lc.LDく Oを f
!
}る
。
0を 中 心 差 分 近 似 し た 場 合 の Lc• LD を 求 め る と 以 下 と な る 。
式 3， 5
]
}
d
y
-2
浮 [φa g(U +÷ 3
φ
-2
浮
[
φ
;{
V" ;
伊
;-U ー
すg
φ・
-l.i
i，
= a~ ， [ t!x (斗 ~+iJ)， U 去一生乎斗 U，
+i)
]
Lc
j-V;， j伊
，
ー}
]dX
p
(
[
v
";
伊 ， φ 3 U，
，
;刊
)
2
5
3
=-2
浮
ー1.
j
φ ;
]ムy
(
3
;
]
d
y
;
，
i
J
)
"
ー
4
[
U→sφ ，
φ j
Uj-士，
φ
)
8
=-2
浮
LD
θ
l
(
1φi -t l ー φ
~
， φ. ー φ~ 1 1
3
5
3
(
)
+
r，
i
「ε+す
となって， 一 般に O とならない。従って 1次 1
1
j皮 風 上 差 分 は 2次 量 を 保 存 し な い 。
dx2
同級にして. Q
Ui
c
k法. I
lybri
d法も 2次 f
立を保存しない差分式である。
なお，実際のプ'
1式 は 鉱 散 項 が 存 在 す る の で . 2次 f
11
i
tの 保 存 は 必 ず し も 重 要 で は な い 場
合が多いが，予測史、j象となる f
置が正負いつれの仰をもとりうる場合 . 2次量保存if_分式を
用いると JJ;( I~l 的に解が発散する心配がないので ，
|
一一一 1
.
'
1r
，
+ 一一一一一一一一「
一一一一一一一 ι1
-a
φ，
!dX¥
"'2 dx
" -2 dx }
J
これらから ， 中 心 差 分 近 似 を 用 い た 場 合 ， 鉱 散 項 は 常 に 安 定 条 件 を 満 た す が ， 移 i
l
r
EJ
}
'
l
は
流れの状況によって安定にも不安定にもなりうることが分かる。
望ましい性質といえる。
また . 1次精 度 風 土 差 分 の 湯 合 の 移 流 項 に つ い て は U> Oの条例で，
(
5
) 帰 還 感 度 (feedback s
ensibiIi
t
y
)
Lconard (1980) に よ っ て 提 唱 さ れ た 安 定 性 分 析 訟 で あ り . (
3
)の移動性と灯I
似した方法
である 。
工c =
ここでは . I
時間依存型のソース項付き一次元移流鉱散方程式を検討する。
(
)
3
5
3
auφ
Ui
+す
= 一 一一一一 く O
a Iθφ1
A工
)
9
4
3
(
3φ
φUi+i)]
，
U十
古φ( a~ ， [
一一一 = 一 一一一一一 + 一一一 1
r
=
:
:
:
I So
δ1
8x
8x¥ δxJ+
となって.l!!l条件安定である。同じく U >Oの条件で Quick法 の場合は ，
式 3， 49を行限{本税法を用いて φ" ，を求める離散式にすれば，
(
_8φ1
f 3φ¥
(
Uφ )
，
，
'~)， +i -¥'~)， - i
+i-(Uφ)
-i ¥
Lc
【
θφa
θt
dx
+
t
J
.y
+ SO
i
= 剖羽生ヂー φγφi ~)l
(
3， 5
0
)
ui++-Ui-+
Uト ÷+2UH÷
2dx
8dx
)
・
4
5
3
(
1N FLUX)c .第 2項を (
となり，右辺Jr;I写i
を(
1N FLUX)
Dとおく。今 φ
i
+
1 φ
;
1
を 一 定 と し ， φE
が εな る 摂 動 を 受 け た と す る 。 こ の 場 合 に ε > 0で. (
lNFLUX)> 0となる
と， 左
辺
1
I
，
'
i1
問 項 は 正 と な る の で 再 び φaが 地 加 す る 悪 循 環 が 生 じ ， 計 算 が 発 散 す る 可 能 性 が
強い。そこで. (
1NFLUX)を φEで 微 分 し た 結 果 を 以 下 と す る 時 ，
となり ， こ れ と式 3， 5
3を比較すると中心差分に安定項を追加した形となっている。
~
_
.
_
-6
4-
(
θ(1N FLUXI
o
8φE
)
5
3
θ(1N F
LUX)"-.L 一
Zc一
- ~~-8φ
ムD -
結局 ，移流項に ついては，中心~分.
Q
ui
d法. 1次 ね l
lybri
文風上差分の 1
聞に数倒
c
k法. I
I
的安定度が高いこととなる。
-6
5-
明らか である 。
(
6
) 係数符号の一致
U>Oの条件での Q
u
i
c
k法 の 結 果 は 以 下 と な る 。
P
a
t
a
n
k
a
r (1980) によって提唱された"物理的に ~Iõ 現実的な解 (physica11y u
n
r
c
a
1i
s
t
i
cs
ol
u
t
i
o
n
) を得な いた め の 規 則 " で あ り ， 差 分 式 を 式 3.5
5のJf;に f
聖母して適用され
る。
(
)
6
5
3
。
‘
φ =L
:a
n"
_i
nφ •
+
s，
p 3 U i
J
n
+=
ー .0
;
+
1
=一一一一
一
一+ー
ム
ー
ムx ' 8
6x
8
'TO
U
i
+1-Ui-+
にl
均する係数である。この時
I
a
;， On が全て正の値を
っ た影轡は隣 l1U也}~.\の値の地加となるべきであることを表現したものである。この制約は，
辿i
b
t条 件 が 満 た さ れ て い る 場 合 に ， 式 3. 5
5がガウス ・ザイデノレ法によって解が得られる
(
a，
=a'
-2
+a
，
，+a，
+
，
+
取ることをいう。移流拡散作用はいわば近 t~ 作用であることから，ある点の値が大きくな
ムx
Q
u
i
c
k法 の 場 合 も 中 心 差 分 と 同 じ く 係 数 は 負 の 値 を と り 得 る こ と が 分 か る 。
結局. 1次 l
'
，
j
!
支風上差分， I
ly
b
ri
d
法は 6 xの 大 き さ に 無 関 係 l
こ常に"物理的に非現実的
な解"は避けられることになる 。
6について検討する。
た め の 十 分 条 件 と も な っ て い る 。 こ こ で は ， 式 3. 5
斗子 +
j
t
V
3
5)
)
6
5
3
(
0=
6u，
1+u，
+
t
)nU
6
3
anは φaに隣接する φ
但し
u，
1
a'
-2
=一一 o
oー
一 .a，
_
，
=
以上見てきたように，今回検討した移流項の差分式は
I
*~i1Jt. 移動 11.
1
!
i
l7
.
f
ι
!
安定性
;
i
i
足する方法ではなく，現在l'..¥l案されている R
a
it
h
b
y(
1
9
7
6
) のs
k
c
wu
p
w
i
n
d
の面で全てを i
法
， K
a
w
a
m
u
r
a，K
u
w
a
h
a
r
a(
1
9
84)による 3次ね皮風上差分<$， I也の~分式についても間以の
ことがいえる 。
中心差分を用いて式 3
. 5
6を a，
φ =0;_1φi-I+Oi+lφi-+!の形に変形すれば，
目
理忽的にはセノレベクレー数の絶対値が 2以 下 の 条 件 で 中 心 差 分 を 用 い る の が よ い こ と に
U_
，去 r
U，
+す r
U，
+
1-u，
1
-1=一一一+
一一
Q
;
+
I=一一
一一
一
一 ，o
;=a
;
I+Oo+l
+
Z
6x'-'"
2一+一
6x'~'
~，-"~.."
6x
匂
)
(
7
5
3
となるが
•
aj_1 ・a.
+1が貨とならないための条件は，
なるが，このためには ~Iõ f
;
'
i
。に細かい差分メ
y
シュが要求されることになって実JlJ予測への
適用は困難である。
結局，対象とする問題，方程式のタイプによって 優先す べき特性を逃び， 対応する差分
法を用いることになろう。
今回検討した中では Q
u
i
c
k法 は ア ン ダ ー シュ ートは避け られず. 2次 の 保 存 性 が な い も の
ly
b
ri
d法は日セノレ ベクレー数の:
r
n
Jmでは
の
， '~J 心差分法なみにお精度であること。また， I
)
3
(
I?e 豆
8
5
円
三 1=
数 値 拡 散 の 混 入 は 避 け が た い が ， そ の 大 き さ は I次 制 度 風 上 差 分 よ り 小 さ い こ と ， 流れと
直交方向は中心差分と一致すること. 1次 精 度 風 上 差 分 な み の 安 定 性 ， 移 動 性 を 行 す る こ
とが特徴である。
と な る こ と が 分 か る 。 逆 に い え ば ， こ の 条 件 を 満 た す 程 度 に 小 さ い 6x を 用 い な け れ ば 中
一 方. U>0と お い た 場 合 の 1次精度風土差分では，
a
，
_
，=u， _1 + 長
場合が多い。なお ， これらの適用結果については後に例示する。
u，
+
!
;
--U，
ーよ
0.+1 = 長 • a，
=a，
，_+a，
+
，
+
ム
2
(
3川
となって，無条件に制約を満たす。
I?e1
>
2 の場合の I
ly
b
r
id
法では，式 3
.5
9で r= 0とおいた場合に相当し，この場合も
I?e1~2 の場合も式 3 . 5
7， 5
8より制約条件を満たすことは
無条件に制約を満たす。なお
u
i
c
k法， 安定皮を優先した選択としてはlIy
b
r
i
d法と
従って，精度に娠った選択としては Q
a
t
a
n
k
a
r(
1
9
8
0
) らの開発した S I M P L E系 の 解 析 コ ー ド で は 後 者 が 使 用 さ れ る
なり， P
心差分では係数符号は正とならない。
3. 5
運動方程式の解法， M AC法
層 流 及 び k- εモ デ ノレにおける乱流を対象とした運動方程式は，等温条件では以下の形
となる。
V
)
6
(
3
う
子=f
与f
L
+百
七[
v
.
(
先+
合]
)
p
V
u
p
u
こ の 方 程 式 は 式 3. 1
4の 移 流 拡 散 方 程 式 の カ テ ゴ リ ー に 属 す る が ， ソ ー ス 中 の 圧 力 の 取
奴いが他のスカラー方程式と異なる点である。圧力は述続方程式と速成して求める必;:aが
あ る た め 圧 力写lのみを陽に表し，他の項をひとまとめにして以下の嫌に書く。
θ X，
3
(
aP
θt
一一-=
一一
一
一
一 +F，
)
2
6
θU，
(
a
)ノーマルグリッド
7を 作 用 し 変 形 す る と 圧 力 を 求 め る 円 ソ ン 式 と な る 。
上式に元
(
1
3
6
3
à~ ， (去)=寸(先)
+
7
2
7
V
V
u
u
品
•p
ここで式 3. 6
3の 右 辺 第 l項 は 迷続条件より 0 と な る が ， 数 値 解 法 で は 逆 l
こ述続条件が
満たされるように圧力と速度を求める方針が取られる。
こ こ で 問 題 と な る の は 速 度 成 分 と 圧 力 成 分 の 配 世 で あ っ て ， こ れ ま で 図 3- 8に示す方
(
b
)A L Eメッシュ，
Hirt
.Amsden，Cook (1974)
法などが健案されており，現状では直交座標系を用いる場合は (
c
)I
こ示 す ス タ ガ ー ド ・メッ
シ ュ 配 置 が 政 良 と さ れ て い る が そ の 理 由を示そう 。
まず (
a
)の 方 法 の
1，
J点 で の 述 続 条 件 は
X ， Y 方向の差分分割問隔をいずれも占とお
けば，
V i，i+l-Vi，j
- ^
)
I
UJ
4
6
3
(
1
ll+1
. ;-tli-I.j
UJ
と な る が ， 式 3. 6
4に 現 れ る 速 度 成 分 に 関 す る 運 動 方 程 式 の l
時間項を単純前進差分，圧))
項を中心差分近似した場合は，例えば以下となる。
u
)
5
6
3
(
ZS
+
2-
F
e
-
+
，
nμ
P一
フ
ヱ
一
一
n
o
s
-
+司
n
r
一
S一
+-
一
t
f一八-
n tE
U
A
Y
+一
n
u一
こ こ に 省 自 添 え 字 は 時 間 ス テ yプを表す。式 n+1ステ ッ プ の 速 度 成 分 に 関 し て 式 3.
6
4の 成 立 を 仮 定 し ， 式 3. 6
5等 を 変 形 し て 式 3. 6
4に代入し整理すると，
u
(
c
)スタガードメッシュ，
Harlow，Welch (1965)
図 3-8 圧力 ・速 度 成 分 の 配 置
(
P
i
+
2
.;-2p.
，;+ P'-2.;)
2
48
ι
(
p.
，;
+
2-2p，
.，
+ p.
，;
2
)
482
_1_{~? H6i-u? ー 1 ・ハ v7 什 l-v7.;1
¥ .I
Fi
+1
. ;-Fj
I， jL
t
:
.1 ¥
28
2 8 ). ¥
28
_
qii+I-G
，
_
)
i
. j-
，
28
}
)
6
6
(
3
と な る 。 式 3. 6
3との対応は明白であろう。
ν
a
)に 示 す よ う に と び と び に な っ て い る 点 で あ
こ こ で 問 題 な の は 圧 力 の 参 照 点 が 図 3- 9(
って ， 例 え ば Pi， j ， PO+l. j の 圧 力 は 互 い に 3
2な る 圧 力 の グ ル ー プ に 属 し ， 相 互 に 影 響を
与 え な い 2つ の 圧 力 解 ( チ ェ ッ カ ー ボ ー ド ・ シ ン ド ロ ー ム と 呼 ば れ る ) が 得 られ る こ と に
なる。
b
)の 場 合 も 同 械 の 計 算 を 行 え (f. 参 照 さ れ る 圧 力 は 図 3- 9 (
b
)と な る こ と が
図 3- 8 (
分かり，圧力仮動が避けられない。
さて
U.
V.
(
a
)ノ ー マ ル グ リ ッ ド
P が 全 て 異 な る 位 置 で 定 義 さ れ る ス タ ガ ー ド ・メ
y
シュに関し
1.
J
点でのi!l!統式は ，
3-14t-÷
B
， UB 2+す- Vi. ;す
ー
+
8
=0
)
7
6
3
(
1
L
E4
•
•
.
p
と な り ， 式 3. 6
5に対応する運動方程式は，
n+I
•
•
n
(
4E7
二一 = - P H 1 F P=2+Fa寸
1
j
- Ui
+b
-.j
8
6
3
1
Li
+，
b
3
(
b
)A L Eメ yシュ . H
i
rt
.Amsden.Cook (1914)
となるので， この場合のポアソン方程式は以下となる。
，
(
Pi+.
I;-2p，
.;+p，
I
.
;
)• (
p ・HI-2pi， j
+Pi，;-1)
82
1 !u?
+去 ;
- u?
ー
す
t
:
.1 ¥
8
一
8
-
2
;
1
8
} ¥
8
8
)
(
3
.6
9
)
ス タ ガ ー ド ・メ y シ ュ の 場 合 は ， 参 照 圧 力 点 が 図 3- 9(
c
)の よ う に 隙 間 の な い 十 字 配 置
b
)， (
c
)の よ う な 問 題 は 生 じ る こ と な く ， 単 一 の 圧 力 解 が 得 ら れ る こ と が
となるために. (
重要な特徴である。この長所により，流体計
系等を使
•
l
v?
，H去-v7，j
-t ，!FH去 j-Fiー
去; Gi，i
+去-Gi
.，
去
mする槻合を￨徐き，スタガード
nで 差 分 解 法 を 用 い る 場 合 は ， 一 般 曲 線 座 標
・メ ッ ゾ ユ が 広 く 使 用 さ れ ， 本 論 文 で も こ の 方 法
を用いている。
•
.
p•
•
(
c
)ス タ ガ ー ド メ ッ シ ュ . Harlow.Welch (1965)
図 3- 9 圧 力 ・速 度 成 分 の 配 置
-7
0-
-7
1-
な お ， 圧 力 の 計 算 に 式 3. 6
9を そ の ま ま 用 い ， そ の 結 果 を 式 3. 6
8
'こ代入して圧力を吏
r
i
g
i
n
a
lの M A C法と呼ばれ， I
la
r
l
o
w， W
e
l
c
h (1965) によって
新する数値アルゴリズムはo
これが，上記アルゴリズムで実際に解かれる方程式であるが，これは明らかに次の式の
差分近似形となっている。
開発された原型である。
)
k四日の速度成分による:i!l!続条 1
'からの逸脱を以下とする。
まず，茸1
5
7
3
(
そ の 後 M A C法 に は い く つ か の 変 革E
が現れているが，圧力と速度を同時に緩和する
号 =t:. I[Ò~'( 先)-327 す(先 n
V
i
c
c
e
l
l
i (1971) による A s M A C法 を 本 論 文 で は 採 用 し て お り ， 以 下 簡 単 に 説 明 す る 。
5が ω に つ い て 収 束 す れ ば 左 辺 は O と な る こ と か ら ， 右 辺 の 招 弧 内 も ま た O とな
式 3. 7
4の ポ ア ソ ン 式 と 完 全 に 一 致 す る こ と か ら ， 目 的 は 達 成 さ れ た こ と に
る が ， こ れ は 式 3. 6
l
i
+
.
k
.
-I
v
;
.;
J
.
_
_+
ー
B
ι ι
)
O
aUi+.
J
，
.j_tlUi_b
.，怠 U し
(
D，
.
;
7
3
島
B
l
c
pで 行 う ヤ コ ビ 法 的 解 法
なる。但し，このアルゴリズムは圧力場，速度場の修正を別の s
であることと，
ωの 制 約 が 強 い こ と か ら 収 束 は 遅 い こ と が 知 ら れ て い る 。
そこで S OR 法 的 な 修 正 に よ る 加 速 が 計 ら れ る こ と に な る 。
Dく 0の 場 合 は 質 強 が 行 限 体 績 に 滞 留 す る こ と を Q
¥U
_
'
!
;す る た め ， 圧 力 を 噌 加 さ せ て 調 笠
修正されたアルゴリズムでは，
する必裂がありこれを以下のように書く。
位
島
1
) i， j点 に つ い て 式 3. 7
0より逸脱を求める。
(
= Pi，i一ω
)
1
7
3
'P.
，
肘
Di
.i
2
)こ れ を 式 3. 7
1に代入して圧力修正を行う。
4個
3
)P.
';の変 化 に よ っ て 影 響 す る 速 度 成 分
(三次元では 6個)を直ちに修正する。
これより K ト l回 目 の 圧 力 場 を 求 め ら れ る の で ， 計 J
i結 果 を 式 3. 68に代入してiA反の
)に戻る。
4)次のポイントに移動し ， 1
更新を行い，l
'
fら れ た 速 度 場 を 式 3. 70に 代 入 す る 手 順 を 繰 り 返 す ア ル ゴ リ ズ ム を 考 え る 。
この圧力の物 I~l 的怠昧を理解するにはまず，式 3.
6
8の 運 動 方 程 式 を 第 k回 目 の 緩 拘 結
ことを繰り返す。
果と解釈し，
このアルコリズムは実際には以下の式を解いていることになり，収束結果は先のアルゴ
n+¥
k
n
リズムと同ーとなるはずである。
it
k
n.
y ..
，
.
1
，
t
:
.1
.
_t
ln
←ー乙とよ +F ，
.
.
L，
i
"
i
)
2
7
3
(
去 j- U 去，
U i+
I
[
，
.
1.
，
-F
.
.
J
，
.
，
.
J
，.;
I.
_+
:
.11 ζ _ <
一ωt
(
j
F
変形して，
i_1 2+ R/
)， 什
.
tP
k
.
十
一
<I
￨
V'
i
，j
τ ￨
(
j
同
l
I
な お ， 安 定 性 解 析 の 結 果 よ り ωの 値 と し て は ， 以 下 と す べ き こ と が 知 ら れ て い る 。
l
，
-2'p.
十I
，;
Pi. j_
(
j
L
(
j
(
j
3
(
I
1
~ P.+ 1. j-2 pi.j+
2
'
P
;
.;='P;.;+ωt
:
.
i
，
<
)
7
7
等 と し ， 式 3. 7
1の 右 辺 に 代 入 し
， 更に変形すれば以下となる。
Gi. i
占-G;.，
占￨
+
， v7 去
-u7
Iu
+
.
!
.. j
u7
7+~
k
-.i
ー
す
+
I
一ω￨
j
)
6
7
Pi
+l
・
;
)+F寸.;
D
.1+叫す.，
j_
(
1
J
.
1
.i
.
.. ，
P
.I
.
3
危
)
3
7
3
(
ムt 彪
U"
I去
↓・=コ
ー (11Pi.j_
良 川1
制
.
.
.
l
tp j+ 削
昆
f
:
1
.
+k+l/)i-¥ j ， a.
-2
pi. ;
-2
.
.
.
..
.
-•
Pi
..
i
.
Pi
+，
i
+¥
1
.j
_k
.
.
.j _
I.
Lω
，，
^
=l!.
P
D
.1
+
，;
P
i
.j
+
ð~'
(
j2
2'•
(
j2
~l
I
;- F，
+
.
J
，.
.
J
，
.
; G;.H1F，
1
.-G" ー土
I 1ζζ
+ ---"'~I
"2
ω=β 一 二 一
4t
:
.t
， β 豆2
1
一ωム
o
'
L
一ωI--L
i-b
-1
ι=1
v7 白 Hτ~ - v7.
白__+
o
'
j
(
j
)
4
7
3
(
去
Il7+士 j-U1ー
L
(
j
別に見なる大きさの
これらは， X ， Y方 向 の 差 分 分 割 が 同 ー の 場 合 の 条 件 で あ り ， 万戸l
分割を用いる場合の制約条件は I
li
o
ok(1972) に より与えられている。
r
l， C
各 方 向 に 任 意 分 割 す る 場 合 ( い わ ゆ る 異 形 メ ッシュ)のアノレコリズムも木質的な相違は
なく ，I
li
r
lら の ア ル ゴ リ ズ ム を 変 形 し た 形 で 野 村 ， 松 尾 ， 加 秘 (1980) が導いている。
但し，
この場合は安定性の分析ができないので実地の計}):を通して安定性を舷かめる方
l
Jの場合の制約条件を踏襲して余り問題がないことが経験的
策がとられてきており，等分 t
に知られている 。
なお，具体的な児形メ y シュへの適用法や計算法の詳細は， Kurabuchi， Fang，Grot
(1990) などに詳述されているのでそちらを参照されたい。
「一一
3. 6
差分近似式が流れの計算結果に与える影響
v
巳比三一一→l
ー1-
3. ~で比較した差分近似式を実際に運動方程式に適用し，差分式が計算結果に与える
影 響 に つ い て 検 討 す る 。 解 く べ き 方 程 式 は 以 下 に 示 す 二 次元庖流の運動方程式である。
9
)
8
7
3
(
許=
t
l
i
t
守
子7
3+
古[去 2
(
号
)
+
去
(
号+~~)]
Z=一等2
5
1一
芸+
E
l
z
[去(去+
7
7
)+
去(引l
吸込み口
f
1C
>
計 算 対 象 は 図 3-1
0に示すように ， 正 方 形 空 間 と し 吹 出 し ・ 吸 込 み 口 の 配 置 ， 大 き さ に
) (b)の 2通りを検討した。
ついては (a，
「一一
な お ， 式 3. 7
8
'
I
Jの R e数 と し て は ， 吹 出 し 口 幅 を 代 表 長 さ と し て お り ， 吹 出 し ， 吸 込
み法 t
早速度は
(
1
)
m1境界面で与え，
1
1<線速度は壁境界面を含めて no-slip条件とした。
吹出しロ
10
(a)
一
一
一l
C
> i
1
(a)
の ジオメ トリ ー に関する計算結果
w
1
8
'分 割 (
1
次 し2分割) ， 3
6
'分割(吹出し 4分割)の等分割差分メ
R e=2
0， 1
0
0を検討した 。
y
シュを用い，
。
差分近似i'
tは移流1Jiに中心差分 ， Quick法
， I
lybri
d
i
法を用い，他の空間微分項には中心差
分を用いた。
時間i
写lは 1
1
1純前:iffi差分とし，
A s M A C法による圧力 ・速度同時緩和法を解法に用いた。
0， 1
8
'分割の場合の計算結果を示す。
図 3 -11に R c=2
れの儀相は ，差 分 式 の
図によれば左側の渦の強さに若干の途いはあるものの全般的ながi
相違による影響をほとんど受けていない。
R e=2
0の条例ではセノレレイノノレズ数
吸込みロ<コ
'
1
(b)
Uo
-7の最大が 10となることから ， Hybridi告は空間
の 大 部 分 で 中 心 A分に移行していること ，物 理 粘 性 作 用 の 強 い こ と か ら 変 散 の 空 間 勾 配 が
図 3ー 1
0 2次 元 層 流 の 計 算 対 象
小さいため， Q
ui
ck
訟の放物線修正部分の影響が小さいことが原因と推定される。
5
7
-7
4
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G，
C
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6
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4
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mトミミ辺-~
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1
0
O
u
i
c
k法
中心差分
O
ui
ck
;
去
中心差分
T
i
J
1
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D
l
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ド
C
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1
1
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_____
6
.
(
1
0
~
事
:
，
00
0.00
図 3-11
H
y
b
r
i
d法
R e=20， 18x1
8分 割 の 計 算 結 果
-7
6-
l
O
'
:l
.
.
l
'
O
6
.
(
1
0
(
a
)の ジ オ メ ト リ ー
図 3-12 (
a
)の ジ オ メ ト リ ー
H
y
b
r
i
d法
Re=100.18xI8分 割 の 計 算 結 果
-7
7
図 3-1
2
1
こ R e=1
0
0， 1
8
'分 割 の 羽 合 の 計 算 結 果 を 示 す 。 差 分 式 に よ っ て 計 算 結 果 は 著
しく異なることが分かる。
中心差分では流出口付近に，流紛i
が波打ついわゆる wiggli
n
gが 認 め ら れ ， 主 流 左 側 の 渦
3に示す 3
6
'分苦J
Iの場合と全く
の形状や強度は図 3-1
5
2なる。
1
)の渦は比較的変化が少ない。また， I
ly
bri
d法 で は 流 出 口 付 近 の 流 線 が 広
但し，主流右目¥
がり，主流左側渦の形状，強度が細かい分割の場合と異なること，主流右側渦の位置が上
部に移動し，右上隅の 2次循環が消失するなどの変化が認められる。
uic
k法の結果は全般的に 3
6
'分 割 の 場 合 と 近 く ， 流 出 口 付 近 の .iggli
n
gも生じな
一方
， Q
いことが分かる。
3に R e=1
0
0， 3
6
'分割の計算結果を示す。
図 3ー 1
.
'
中心差分と Quick法の計算結果は非常に近い。
但し，中心差分ではこの分割でも流出口付近に wig
g1i
n
gが生じているのに対し， Q
ui
ck法
の解は非常になだらかである。
I
l
ybrid法の計算結果もなだらかであるが，主流左右の渦の強さが1:j1心差分， Quickr~ に比
べて大きく ，流出口付近の流線の広がりが大きい。
こ の 分 割 に お け る セ ル レ イ /)レズ数は応大 2
Sであり， m
Eれ が 方 向 転 換 す る 領 域 で は X，
。
中心差分
yの両方向共，風上差分に移行することから，数値一粘
aの 影 響 が 顕 著 に 現 れ た も の と 舵 定
される。
ui
cki
去
(
1
)
(b)の ジ オ メ ト リ ー に 関 す る 計 算 結 果
2
0
'分害J
I (吹出し 2分割) ， 1
Sx3
0分割(吹出し 3分割) ， 3
0
'分割(吹出し 3分 i
剥) ，
4
0
'分割(吹出し 4分 割 〉 の 差 分 メ ッ シ ュ を 用 い ， Re=lOOの み を 検 討 し た 。 差 分 近 似 法
は中心差分と Quick法を比較することとし，
1
也は (a)の場合に準じた。
図 3-1
4
1こ 2
0
'分害)
1の場合の結果を示す。
に到達しており，大略細かい分割の場合と一致した傾向と
中心差分の解は主流が対向日E
なるものの，流出口付近に wiggli
n
gの生じること，右上コーナーの 2次循環が不自然であ
り，この影響を受けて主流が天 ~1 函を剥縦した後に，斜め下方に向かうこと等が異なる。
Quick7:去による結果はそもそも主流が対向墜に到達しないため細分割の湯合と全く解の様
相は一致しない。
uic
k法は
こ れ は ， 貝 塚 ， 岩 本 (1980 が渦セル場での数値実験で明らかにしたように， Q
2次 塁 の ド レ ー ン 傾 向 が あ る た め 運 動 エ ネ ル ギ ー が 減 衰 し た 結 果 と
1
m定される。
図 3-I
Sに 1Sx3
0分割の場合の結果を示す。
図 3-13 (
a
)のジオメトリー
Hybri
di
去
R e=100， 36x36分 割 の 計 算 結 果
n
g
中 心 差 分 の 解 は 主 流 部 分 の 構 造 が 細 分 割 の 結 果 と 全 般 的 に 対 応 し て い る も の の wiggli
は大きい。
次出し口直下の 2次 循 環 が
また，右下隅部分の 2次循環部分が不自然であるとともに， I
0
'分割の解に比べ天井面の剥離位置が吹山し口に近すぎる。
再現されず，また 4
一方， Q
uic
k法の計算結果は飛躍的に精度が向上し，
結果と遜色がない。
-7
8-
-7
9-
この分害)
1の段階でほぼ細分割の計J):
o
ui
ck
;
去
中心差分
図 3- 1
4
(
b
)のジオメトリー，
R e= 1
0
0， 20x2
0分 割 の 計 算 結 果
O
u
i
c
k法
中心差分
図 3- 1
5
(
b
)のジオメトリー，
Re=100， 15x30分 割 の 計 算 結 果
-8
0
O
u
i
c
k法
中心差分
図 3- 1
6
(
b
)のジオメトリー，
R e= 1
0
0， 30X3
0分 割 の 計 算 結 果
O
u
i
c
k法
中心差分
図 3ー 1
7
(
b
)の ジ オ メ ト リ ー ， Re=100， 40x40分 割 の E
十算結果
-8
1-