CFA 協会ブログ

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2013 年 2 月 18 日
No.124
S&P500 は平均回
は平均回帰か？ R/S 分析がその答えを提供している
Is the S&P 500 Mean Reverting? Rescaled Range Analysis Provides the Answer
ジェイソン・フォス（
）
、CFA
フォス（Jason Voss）
、
以前の投稿では、S&P500 指数を例に用いて、時系列
います。ハースト指数を三等分して、0.00 から 0.33 を
の動きがランダムか、持続的か、または平均回帰かを
平均回帰、0.34 から 0.67 をランダム、0.68 から 1.00
評価する手法として、R/S 分析という高度な定量分析
を持続的と分類した場合、S&P500 指数の時系列はラ
の有用性を紹介しました。R/S 分析は、アフリカの降
ンダム性を示すと言えます。
雨量とそのナイル川の洪水への影響という、一見する
とランダムな事象の中に隠されたトレンドを特定す
るために開発された手法ですが、これを投資へ適用す
ると多くの興味深い発見があります。
インデックス投資は、時系列でみれば長期にわたり価
値のある戦略と考えられるでしょう。その理由は、時
系列では予見不能であっても、平均するとインデック
スは 1 日当たり 0.03%の平均リターンを生み出すから
以前の投稿では、詳しい説明を省略したまま、1950 年
です（別の投稿でカバーしています）。したがって、
1 月 3 日から 2012 年 11 月 15 日までの期間において、
R/S 分析はアクティブかパッシブかという長年にわた
S&P500 指数はハースト指数でいう H0.49 であると述
る疑問を解決したようです。
べました。これの意味することころは何でしょうか。
より詳細な R/S 分析によってさらに興味深い発見があ
るでしょうか。他にどのような評価方法を使えば、更
なる発見につなげることができるのでしょうか。
しかし、データには注目すべき情報が他にもあります。
下のチャートは、バリュー投資に勝利戦略としての冠
を戴かせられない理由を示しています。
まず初めに、基本について復習をしましょう。H は 0.0
から 1.0 までの値をとります。
指数が 0.5 近辺の場合、
ランダムに生成された時系列であることを示します。
S&P500 指数の R/S 分析
（1950 年 1 月 3 日－2012
年 11 月 15 日)
日－
別の言い方をすると、この種の時系列においては、一
時点でのデータは別の時点での結果には影響をあた
えません。持続的な時系列はハースト指数が 0.51 と
1.0 の間であり、後続のデータは前のデータと同じ符
号をとる傾向にあります。H が 0.0 から 0.49 の場合、
平均回帰となります。言い換えれば、後続のデータは
前のデータと逆向きの符号となる傾向にあります。
S&P500 指数の 0.49 というハースト指数はランダムを
示す中心値 0.5 に近く、平均回帰にわずかだけ寄って
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回帰直線の決定係数は 0.98 と非常に高いものの、実際
平坦さ／乱雑さの尺度はフラクタル次元であり、D=2
のデータは「小刻みな動き」を示しています。ご承知
ハースト指数で算出されます。
のとおり、R/S 分析およびハースト指数はデータの自
己相似性、あるいは自己相関を計る手法です。R/S 分
析が行われる場合、データは更に小さなレンジに分解
されます。そして、これらの小さなレンジを検証して、
全時系列に見られる関係性がより小さな時系列にお
いても存在するかどうかをみます。因みに、これが、
この種の分析がカオス理論の研究者に好まれている
S&P500 指数では全時系列のフラクタル次元は
2-0.49=1.51 です。別の言い方をすれば、S&P500 の日
次リターンの時系列線はかなり平坦です。しかし、短
い時系列においては上述したように、フラクタル次元
は 2-0.61 の 1.39 と 2-0.46 の 1.54 の間でばらつきがあ
ります。
所以であり、かれらも自然科学の分野のデータにおけ
いずれにしろ、これらは全て定性的なメッセージを伝
る事象の自己相似性や拡張性に注目しています。
えるための定量的な手法です。S&P500 は不安定な時
グラフから分かるように、全ての時系列に平均回帰性
が当てはまるという訳ではないのです。では、どうい
うことなのでしょうか。S&P500 指数の過去データの
中で前半は、ハースト指数が 061 とランダム性と持続
性の中間にあり、S&P500 指数の日次リターンには持
続性が見られます。一方、後半においてハースト指数
系列なのです。危険は買主が負うのです。
執筆者
ジェイソン・フォス（Jason Voss, CFA）
CFA 協会のコンテンツ・ディレクターとして、債券、
行動ファイナンス、コーポレート・ファイナンス、ク
オンツを担当
は 0.46 と実際にランダム性が強まっています。これは
（翻訳者：髙野 幸子）
S&P500 指数の長い歴史のなかで、2 つの異なる投資環
境が存在したことを示唆します。数十年前のトレーダ
ーたちが経験したそれまでの結果を、より最近のベテ
英文オリジナル記事はこちら：
ランたちの結果と比較すれば、面白いかもしれません。
http://blogs.cfainstitute.org/investor/2013/02/06/japan-
ここでは、対数正規ベースのデータで観察しています
が、これらの時系列はどのくらいの長さでしょうか。
なんとそのタイムフレームは、
下は 7,911 取引日
（31.39
年）
、上は検証した全 15,821 取引日になります。言い
換えれば、超長期においては後続期間が前の期間と同
じ上昇を示すと、グロース投資家が得をするというこ
the-canary-in-the-coal-mine/
注) 当記事は CFA 協会（CFA Institute）のブログ記事
を日本 CFA 協会が翻訳したものです。日本語版およ
び英語版で内容に相違が生じている場合には、英語版
の内容が優先します。
とです。
最後に、ユークリッド幾何学では、直線、つまり時系
列にばらつきが存在しない場合、位相幾何学上は 1 次
元を有する一方、平面は 2 次元の面を、そして立体は
3 次元の面を有すると解されています。しかしながら
金融市場のデータは直線上に収まらず、実際は乱雑で
あればあるほど 2 次元の面に近づくのです。データの
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