第1章の練習問題の解答例

1
固体力学 第 1 章
固体力学レポート 解答
1.1
次の記号，文字の意味を述べ， SI 単位を示せ．
(1)
P
荷重 : 材料に作用する力
[N, kN]
(2)
A0
変形前の断面積
(3)
σ
垂直応力 : 垂直荷重に対する単位面積当りに作用する荷重
[N/m2 , MPa]
(4)
E
縦弾性係数 : 応力 – ひずみ関係の比例定数
[N/m2 , MPa]
(5)
τ
せん断応力 : せん断荷重に対する単位面積当りに作用する荷重
[N/m2 , MPa]
(6)
e, ε
(7)
[mm2 , m2 ]
直ひずみ : 単位長さ当りの伸び量
無次元
ν
ポアソン比 : 荷重方向と荷重に直角方向のひずみの比
無次元
(8)
γ
せん断ひずみ : せん断荷重に対する単位長さ当りのずれ量
無次元
(9)
∆
(10)
d
1.2
荷重方向の伸び
[mm, m]
円の直径 (Diameter)
[mm, m]
直径 d = 20mm の軟鋼丸棒に P = 100kN の荷重が作用するときに生じる応力 σ を計算せよ．
【解】
σ=
1.3
P
4P
4 × 100 × 103 [N]
= 318[N/mm2 ] = 318MPa
=
=
2
A0
πd
π × 202 [mm2 ]
外径 Do = 350mm，内径 Di = 300mm の短い鋳鉄製円筒に P = 300kN の物体を載せるときに
生じる応力 σ を求めよ．
【解】
σ=
1.4
4 × 300 × 103 [N]
P
4P
=
= 11.8[N/mm2 ] = 11.8MPa
=
A0
π(Do2 − Di2 )
π × (3502 − 3002 )[mm2 ]
直径 d1 = 30mm，直径 d2 = 40mm の段付き丸棒に引張り荷重 P = 100kN の荷重が作用する
とき，おのおのの部分に生じる応力 σ1 , σ2 を計算せよ．
【解】
P
P
P
4P
4 × 100 × 103 [N]
= 141[N/mm2 ] = 141MPa
=
=
A0
πd21
π × 302 [mm2 ]
P
4P
4 × 100 × 103 [N]
= 79.6[N/mm2 ] = 79.6MPa
σ2 =
=
=
A0
πd22
π × 402 [mm2 ]
σ1 =
1.5
長さ 0 = 100mm の棒に荷重が作用して ∆ = .mm 伸びた．ひずみ ε を計算せよ．また，
長さ 0 = 500mm の棒に同じ大きさの荷重が作用するときの伸びはいくらか．
【解】
ε=
∆
0.5[mm]
= 5 × 10−3
=
0
100[mm]
∆ = ε × 0 = 5 × 10−3 × 500[mm] = 2.5[mm]
2
固体力学 第 1 章
1.6
長さ 0 = 5m の銅線に ε = 0.00125 のひずみが生じているとき，伸び ∆ はいくらか．
【解】
∆ = ε × 0 = 1250 × 10−6 × 5.0 × 103 [mm] = 6.25[mm]
1.7
下図のようなリベット継手において，リベットの径 d = 12mm としたとき， P = 2800N の引
張荷重が板に作用すれば，それぞれのリベットに生じるせん断応力 τ を計算せよ．
【解】
P
τ=
1.8
P
P
4 × 2800[N]
P
= 12.4[N/mm2 ] = 12.4MPa
=
=
2 [mm2 ]
πd2
A0
2
×
π
×
12
2× 4
下図のように，厚さ t = 3mm の鋼板を直径 d = 10mm のポンチで打ち抜くときに必要な荷重
P を計算せよ．ただし ，鋼板のせん断強さ τa = 70 MPa とする．
【解】
P
punch
せん断力を受ける面積A0 = 円周 × 鋼板厚
P
P
=
より，
A0
π×d×t
P = τ × π × d × t = 70[N/mm2 ]π × 10 × 3[mm2 ] = 6594[N] = 6.59[kN]
τ=
3
固体力学 第 1 章
1.9
下図に示す内径 Di = 250mm の円筒圧力容器はガス圧 p = 2MPa(ゲージ圧) を受けている．鏡
板を円胴に締め付けるのには直径 d = 12mm のボルトが何本必要か．ただし ，ボルトの材料の使用応力を
σw = 70 MPa とする．
【解】
内圧 p
鏡板に作用する力 : P = 内圧(p) × 鏡板断面積(
πDi2
π2502
) = 2[N/mm2 ] ×
= 98175[N]
4
4
π122
πd2
=
= 113[mm2 ], ボルト本数：nとすると
4
4
P
98175
= 12.4 = 13[本]
n≥
=
σw A0
70 × 113
ボルト 1本の断面積 : A0 =
σw ≥
1.10
P
nA0
=⇒
軟鋼棒に引張荷重 P = 50kN が作用し ，材料の引張強さ σu =300MPa のとき，安全係数 n = 4
として許容応力 σa と安全な径 d を求めよ．
【解】
式(1.9)より，許容応力σa =
σu
300
=
= 75[MPa]
n
4
式(1.10)σmax ≤ σa より，
P
4×P
=
≤ σa = 75[N/mm2 ]
A0
πd2
4P
4 × 50 × 103 [N]
=
= 29.13[mm] = 29.2[mm]
d≥
75π
75π[N/mm2 ]
σmax =
1.11
外径 Do = 110mm の鋳鉄管が P = 120kN の圧縮荷重を受けている．この中空円筒に生じ る
応力を σ = 50MPa 以下になるように内径 Di を計算せよ．
【解】
式(1.10)σmax ≤ σa より，
P
4×P
≤ σa = 50[N/mm2 ]
=
A0
π(Do2 − Di2 )
4P
4 × 120 × 103 [N]
2
= 1102 −
= 95.1[mm]
Di ≤ Do −
50π
50π[N/mm2 ]
σmax =
1.12
長さ =5m，直径 d =2cm の鋼製丸棒が P = 24.5kN の引張荷重を受けて， ∆=2mm の伸
びを生じた．この棒に生じる応力 σ とこの材料のヤング係数 E を求めよ．
【解】
棒に生じる応力は式(1.1)より，σ =
棒に生じるひずみは式(1.2)より，
P
4 × 24.5 × 103 [N]
= 78.0 [N/mm2 ] [MPa]
=
A0
π202 [mm2 ]
4
固体力学 第 1 章
2 [mm]
∆
=
= 4.0 × 10−4
5000 [mm]
78.0
σ
E= =
= 19.5 × 104 [MPa]
ε
4.0 × 10−4
ε=
1.13
直径 d =2.5 cm, 長さ =1.05 m の丸棒が，引張荷重によって ∆=0.08 cm 伸び，同時に直径
が ∆d=0.0005 cm 細くなった．この材料のポアソン比 ν を求めよ．
【解】
0.8 [mm]
∆
=
= 7.62 × 10−4
1.05 × 103 [mm]
0.005 [mm]
∆d
=−
= −2.0 × 10−4
荷重直角方向のひずみ：ε =
d
25 [mm]
−2.0 × 10−4
ε
よってポアソン比νは，ν = | | = |
| = 0.262
ε
7.62 × 10−4
荷重方向のひずみ：ε =
1.14
断面積 A0 =400 mm2 の鋼製の棒に P = 50kN のせん断力が作用するとき，生じ るせん断応
力 τ ，せん断ひずみ γ を計算せよ．ただし ，横弾性係数 G = 8.0 × 104 MPa とする．
【解】
P
50 × 103 [N]
= 125 [N/mm2 ] [MPa]
=
A0
400 [mm2 ]
125 [MPa]
τ
=
= 1.56 × 10−3
せん断ひずみ：γ =
G
8.0 × 104 [MPa]
せん断応力：τ =
1.15
下図に示すように，鋳鉄製のフランジを 6 本の軟鋼製のボルトで固定し ，荷重 P =60 kN を吊
るす．鋳鉄の引張強さ σ1 = 440MPa, 軟鋼の引張強さを σ2 = 245MPa とし，安全係数を両者に対して等
しく n = 4 とするとき，棒の直径 d，ボルトの谷の径 a を計算せよ．
【解】
a
d Flange
P
P
4P
=
A0
πd2
σ1
440
鋳鉄の許容応力 σa =
=
= 110 [MPa][N/mm2 ]
n
4
4P
4 × 60 × 103 [N]
= 26.35 = 26.4 [mm]
=
σw ≤ σa より， d ≥
πσa
π × 110 [N/mm2 ]
鋳鉄棒に作用する応力 σw =
πd2b
4
245
σ1
=
= 61.3 [MPa][N/mm2 ]
軟鋼の許容応力 σb =
n
4
4P
4 × 60 × 103 [N]
= 14.41 = 14.5 [mm]
=
σw ≤ σa より， db ≥
6 × πσb
6 × π × 61.3 [N/mm2 ]
ボルト 1本の断面積 Ab =