数学（PDF：195KB）

数
学
以下のⅠ∼Ⅳの文中の空欄にあてはまるものをそれぞれの選択肢から選べ。解答は解答
用紙の所定欄にその番号をマークせよ。ただし，同じ番号が２度以上使われることもある。
また，分数は既約分数として表示し，適当なものがない場合には⑮をマークせよ。
Ⅰ
0 <θ <
π
１
で ，sinθ− cosθ＝
のとき，つぎの式の値を求めよ。
2
2
1
（１） (sinθ− cosθ)2 ＝
（２） sinθcosθ＝
2
3
4
5
（３） (sinθ＋ cosθ)2 ＝
6
7
（４） 2 (sin3θ− cos3θ) ＝
（５） tanθ＋
１
＝
tanθ
8
9
10
選択肢
① 1
⑧ 8
② 2
⑨ 9
③ 3
⑩ 10
④ 4
⑪ 11
⑤ 5
⑫ 12
－数学 1－
⑥ ６
⑬ 13
⑦ ７
⑭ 14
Ⅱ 円の中心が直線 ＝ ＋ 5 上にあって，原点と点 (1，2 ) を通る円の方程式を求めたい。
まず，円の中心を ( −
2＋ 2＋
11
，− ) とするとき，求める円の方程式は，
12
＋
＋
＝ 0 ( ， ， は定数 )・・・①
と表すことができる。
円の中心の座標が直線
＝ ＋ 5 上にあるから，−
＝−
＋ 5 ・・・②
また，原点を通ることから， ＝ 0・・・③
点 (1，2 ) を通るから，
13
＋
14
＋
＋
15 ＝ 0 ・・・④
以上の②∼④の３つの連立方程式を解いて，
＝
16
2
， ＝−
17
2
， ＝0
である。
これらを①式に代入して，以下の式を得る。
2＋ 2＋
18
−
19
＝0
選択肢
① − 4
⑧ 3
② − 3
⑨ 4
③ − 2
⑩ 5
④ − 1
⑪ 6
⑤ 0
⑫ 7
－数学 2－
⑥ 1
⑬ 8
⑦ 2
⑭ 9
Ⅲ
1000 以下の自然数のうち，「 2 または 5 または 7 で割りきれる数」の個数を求めたい。
2 の倍数全体の集合を
，5 の倍数全体の集合を ，7 の倍数全体の集合を
とする。
このとき，
( )＝
20 ， ( ) ＝ 21 ， ( ) ＝ 22
このとき， ∩ ， ∩ ， ∩ ， ∩
∩
はそれぞれ，
23 の倍数全体の集合，
24 の倍数全体の集合， 25 の倍数全体の集合， 26 の倍数全体の集合になるので
27 ， ( ∩ ) ＝ 28 ， ( ∩ ) ＝ 29 ， ( ∩
( ∩ )＝
∩ )＝
30
したがって，
( ∪
∪ )＝ ( )
32
＝
31
( )
( ∩ )
31
32
( )
32
( ∩ )
( ∩ )
31
( ∩
∩ )
33
となる。
20 ， 21 ， 22 の選択肢
① 111 ② 125 ③ 142 ④ 166 ⑤ 200 ⑥ 250 ⑦ 333 ⑧ 500
23 ， 24 ， 25 ， 26 の選択肢
① 7 ② 9 ③ 10 ④ 12 ⑤ 14 ⑥ 35 ⑦ 49 ⑧ 70
27 ， 28 ， 29 ， 30 の選択肢
① 14
⑥ 111
② 28
⑦ 141
③ 71
⑧ 200
④ 83
⑨ 333
③ 657
④ 1055
31 ， 32 の選択肢
① ＋
② −
33 の選択肢
① 343
② 629
－数学 3－
⑤ 100
⑩ 500
Ⅳ
（１）
1 から 10 の番号の付いた 10 袋の袋がある。各々の袋には赤い玉と白い玉が 1 個ずつ入って
おり，どの玉にも袋の番号が付いている。
1 番から 3 番までの袋から順番に 1 個ずつ玉を取り出していくとき，取り出し方は全部で
34 通りある。このとき，赤い玉がちょうど 2 個である取り出し方は 35 通りある。
1 番から 5 番までの袋から順番に 1 個ずつ玉を取り出していくとき，取り出し方は全部で
36 通りある。このとき，赤い玉がちょうど 3 個である取り出し方は 37 通りある。
1 番から 10 番までの袋から順番に玉を 1 個ずつ取り出していくとき，赤い玉がちょうど
3 個である取り出し方は
38 通りある。このとき，その 3 個の赤い玉の中に 1 番の袋の赤い
39 通りある。逆に，その 3 個の赤い玉の中に 1 番の袋の赤い
玉が含まれる取り出し方は
玉が含まれない取り出し方は
40 通りある。
（２）
1 から 4 の番号の付いた 4 袋の袋がある。各々の袋には赤い玉と白い玉と青い玉が 1 個ずつ
入っており，どの玉にも袋の番号が付いている。
1 番から 4 番までの袋から順番に 1 個ずつ玉を取り出していくとき，取り出し方は全部で
41 通りある。取り出した 4 個の玉の中の赤い玉がちょうど 2 個であるとき，この 2 個の
4 袋からの取り出し方は
42 通りある。その各々について，赤い玉を取り出さなかった残り
2 袋から白い玉が 1 個取り出される取り出し方が
43 通りあるので，赤い玉がちょうど 2 個，
白い玉と青い玉がともにちょうど 1 個である取り出し方は全部で
44 通りになる。
同じようにして，1 番から 4 番までの袋から順番に１個ずつ玉を取り出していくとき，赤い
玉が含まれない取り出し方は
45 通りある。
34 ∼ 40 の選択肢
① 2
⑦ 10
⑬ 84
② 3
⑧ 15
⑭ 120
③ 5
⑨ 27
④ 6
⑩ 32
⑤ 8
⑪ 36
⑥ 9
⑫ 60
③ 4
⑨ 27
④ 6
⑩ 32
⑤ 8
⑪ 36
⑥ 9
⑫ 64
41 ∼ 45 の選択肢
① 2
⑦ 12
⑬ 81
② 3
⑧ 16
⑭ 120
－数学 4－