さくら教育研究所 - blank

２
２
２
６
３
1 . 数 と式
列
３
平面幾何
さくらの個別指導
H25.03.16
さくら教育研究所
１
５
数
オ 数学 A
3法
皓札
'提
1(,メ域 船 ダ
済
ど
F子
ヤ摺
航跳縦
罪松
1 2 ) 相 異 な る正 数 α, う, ご に対 して ,
4 + う4 + ご4 )
夕= ( α十う十ご) ( α
?=(α
2+う2+ご2)(α
3+み3+ご3)
とお くとき,タ ー?を メ(α
,ご),メ(ご
,α)を 用いて表せ。
,う),メ(う
を くらべ よ。
また, この結果か ら, 夕 と?と の大Jヽ
(九
大―理系)
修) タ ー? は か な り複雑 な式 に な る。
4 + う4 + ご
4)
ー
タ ? = ( α十う十ご) ( α
3+ぅ3+ご3)
_(α2+う2+ご2)(α
(1)メ(″
,メ)の 式を因
数分解する以外に,方 法
が見当た りそ うもない。展開す ると
4ノ
4 _ ″3 ジ
2 _ ″2 ノ
3
, ノ) = ″ 十″ダ
メ( ″
を展開す るので あろ うが, そ の とき, ( 1 ) の メ( ″, ノ)
となるか ら, 2 つ ず つ項 を組 み合わせて, 因 数分解
の式 を利用 して,
してみ る。
4ジ
4)_(″3)2+メ 3)と
(″ 十″夕
組 み合 わせて も,
ダ
4ノ_が 2)十
4_″2ノ
3)と
(″
(″ジ
組 み合 わせて も,
ダ
因数分解 は簡単 にで きる。
3+ぅ3)
4+ぅ4)_(α2+ぅ2)(α
(α+う)(α
の式 が 出 て くるよ うに展開 を工 夫す る。
さらに,残 りの項 については,(1)の メ(″
,ノ)の
る
と
しながら
変形す 。
展開式 比較
マーク
2 + ノ2 ) ( 2 3 +3ノ
4 + ノ4 ) _ ( ″
)
( 1 ) メ( ″
, メ) = ( ″十ノ) ( ″
(″十ノ)を くく り出 して も因
や
の関連 で
数分解 で きるが, (2)と
展開す る。
← このよ うに項 が 4っ の場合 の
因数分解 は,適 当な 2っ ず つの
4 + ″ 4 ジ十 5 _ ″ 5 _ ″ 2 ノ3 _ ″ 3 ジ2 _ ジ 5
ノ
ジ
= ″ 4 ダ+ ″ 4 _ ″ 3 ノ2 _ ″ 2 ノ3
ノ
= ″ 3 ダ( ″_ ダ ) 一 ″ 3 ( ″_ プ )
ダ
= ″ ( ″一 ) ( ″2 _ ノ 2 )
ノ
ダ
=″ 5+″
=″
ポイント
組合 せ を考 える。
―
ダ( ″ プ) 2 ( ″十 ジ)
″, ノ が異 な る正 数 で あ るか ら,
″ジ>0,(″
一
ノ)2>0,
″十ダ>0
, ノ) > 0
メ( ″
よ っ て,
…… (答)
4 + う4 + ご4 ) _ ( α2 + ぅ2 + ご2 ) ( が
十う3 + が )
( 2 ) ターq = ( α 十み十ご) ( α
4 + ご 4 + ぅ4 + c 4 )
= ( α十う) ( 冴十う4 ) 十( α十う) ご
(α
3+あ3)_(α 2+み2)ご
3_ご2(α3+ぅ3+ご3)
_(α 2+う2)(α
← (2)の
展開においては,(1}の
P十ジ4)
,ジ)=(″十ノ)●
メ(″
3 + ジ3 )
_ ( ″2 + ジ2 ) ( ″
の式 の形 と,さ らに,そ の展 開
=(α 十う)(α4+う4)_(α 2+う2)(が十う3)
2
十 (α十う)ご4+(α 4+う4)。_(α 2+ぅ2)が_(α 3+み3)ご
式
メ ブ十″メ ー″り 2_″ 争 3
4+α4ご
4び
2)
_α2が_αを2)十(う
_ぅ2が_ぅ3ご
=メ(α
ご
o4+あ
,あ)十(α
ここで,(1)に
おける メ(″
,メ)の 展開式
2_″2ジ
3
+″ノ4_″3ノ
, ノ)=″4ノ
メ(″
と比 べ て ,
3_αセ2=メ(c,α)
_α2ご
″4+α4ご
3_ぅ3σ
2=メ(ぅ
_ぅ2ご
ヵ4+ぅ4ご
,C)
よつて,
,う)十メ(c,α)+メ (う
,σ)
ター?=メ (α
α,う,ご が相異なる正の数の とき,(1に よって,
,み)>0,メ (ご
,α)>0,メ (う
,σ)>0
メ(α
ゆ え に,
22
ー
タ ?>0
よ つて,
夕>?
・
・
…・
(答)
の形 を フル に活用す る。
1 . 数 と式
たを 1 つ の整数 とす る。正 の整数 物, ″ についての関係式
側
(物
"
一 ″ + “= ( 物 十 ″
)加
)れ
一
( B l 物 十 ″= た ( 物 ″)
について,次 の問 いに答 えよ。
(1)た=0,た =1,た =2の それぞれ の場合 について,関 係式 lAl,lBlを
同時 にみたす正 の整数
″,″ が存在す るか どうか を調べ,存 在す る場合 にはそれを求めよ。
修)た <0の 場合 には,関 係式 lAl,lBlを
同時 にみたす正 の整数 物,″ は存在す るか。理由 を
つ けて答え よ。
(神
戸大―理系)
(1)た =0, 1,2を (B)の
たの ところに代入 してみ
よう。
た=0と
してみ る と,夕 十″=0
がえ られ る。
(2)た <0の
ときは,
一
lAlより, 物 ″<0で
なけれ ばな らない こ とがわ
か る。
これ は,物 ,″ が正 の整数 とい う条件 に矛盾す る。
た=1の とき も, す なお に代入す るだ けで矛盾す
るこ とがわか る。
た=2の ときは,lBlからす ぐ 物=3″ がえられる
が, これをlAに代入 して, ″についての指数方程式
物十″ は正 の整数,物 一″<0の
とき,lAlの 式 が成
り立 ち うるか ど うか を調 べ てみ る。
そ の とき,″ 十角 は正 の整数,物 一″<0
″
0<(物 十″)犯 <1
に気 が つ くか ど うかが ポイ ン ト!
よ り,
"=(物 十″
一″
)が
)" ・
(Bl 物 +″ =た (物 一 ″)
(1)
lAl(物
にお い て, たは整数,物 ,″ は正 の整数 で あ る。
( i ) =た0 の とき :
(Blから 物十″=0と
な り, これ は 物,″ が ともに正 の整数 だか ら,お こ
りえない。
(工
)た =1の とき :
(Blから 物 十″=″ 一″
よつて,″ =0
これ も %が 正 の整数 だか ら
お こ りえない。
側 た=2の とき :
(Blから 物 +″ =2(物 一″)
これ をlAlに
代入 して,
よって,(2″)2=4″
zは 正 の整数 で あ るか ら,
したが って,
(2)(Blに お いて,た <0と
したが って,
よって,物 =3″
=(4″)2■
(2″
)4“
ゆえに,″ 2=″
%=1
物 =3
す る と,物 十%>0よ
(答)″
り 物 一″<0
=(4″)2″ょ り
(2″
)4″
=(4″)2″
て(2″
)2)2″
ょって,
(2″
)2=4″
←
″,″ は正 の整数 だか ら,
初 +″ ≧2
これ と,解 一″<0よ り
0<(″ +″)れ ″<1
=3,″ =1
0<(物 十″)" れ
<1
よつて, い) より
0<(物 一%)"+れ<1
……・
①
+れは
ところが,物 +″ は正 の整数 であ るか ら,(物 一%)れ
整数 であ り, この
不等式①は不合理である。
よって,た<0の
ゃ
ときは,側 ,(Blを同時 にみたす正 の整数 ″,″ は
・
・
…・
存在 しない
(答)
３
２
総 数学 A
定数 α, う, c , 夕 , ? , D に
対 して , 次 の 等式
2 + 夕″+ ? ) 2 + D
3 + α″2 + ぅ″+ ご
(″
)2=(22_1)(″
が す べ て の ″ に つ い て成 り立 つ とき, D の 値 を求 め よ。
与 え られ た等式 の両辺 を
展開すれ ば,
″6+2α ″5+(α 2+2う ),4+(2c+2α う)″3
+ ( う2 + 2 αご) ″2 + 2 うご″+ ご2
= ″ 0 + 2 夕 ″5 + ( 夕 2 + 2 ? - 1 ) ″ 4 + ( 2 夕
?-2夕 ),3
2
_
2
?
)
2
2
_
2
夕
一
+(?2_夕
?″ ?2+D
与 え られ た等式 の両辺 に ″=1,″ =-1を
(1+α十み+ご)2=D,(_1+α
これが ″のす べ ての値 に対 して成 り立 つの で,係
数 を比 較 して,α,う,ご,夕 ,α,Dを 求 めて もよい
が,た いへ ん な計算 を しなけれ ばな らな い。
そ こで,係 数比較法 で な く,数 値代入法 を用 い る
こ とを考 えた い。
簡単 な ″=1,″ =-1を
代入 してみ る とよい。
← 恒等式 にお いて,両 辺 の係数
を比較す る方法 を,係 数 比較法
といい,左 の ように,″ に適当
な値 を代入す る方法 を数値代入
法 とい う。
代入 して
―う十ご
)2=D
2 式 を辺 々ひ くと, 因 数分解 によ り,
+1)=0
( α十ご
)(う
=
一
=
1
ご
α または う
よって,
( 1 ) う= - 1 と
僚京 ェ大)
D = ( α 十ご) 2
す ると
よって, 等 式 は
3 + α 2 _ ″+ ご
2_1)(″
2 + 夕″+ ? ) 2
(″ ″
) 2 _ ( α十ご
)2=(α
3 + α″2 _ αt tα+ 2 c )
左辺 を因数分 解 して, ( ″ 2 _ 1 ) ( ″+ α) ( ″
よって, 等 式 は , 2 _ 1 で 割れ て,
3 + α 2 _ ″+ α + 2 び
2 + 夕″+ ? ) 2
①
. . ..…
( ″十α) ( ″ ″
)=(α
左辺 が 2次 式 の平方 で あ るためには,″ 3+α″2_″ +α+2cは ,+α を因数
に もたなけれ ばな らない。
よって,
2α+2ご=0
ご=一 α
ゆえに,
ゃ
この とき, ① は,
2 _ 1 ) = ( ″ 2 + 夕″十
( ″十α) 2 ( ″
?)2
とな って,″ 2 _ 1 は
って ,
1 次 式 の 平 方 に な らず , 与 式 は恒 等式 に な りえ な い。 よ
みキ ー1
(出
) ご = 一 α とす ると,
″3+″ ″2_..… ..
・
…)
=(″ +″ )(・・
にお い て , α = 一 ″ とお く。
因数定理 (数学 B)を 知 って い
れば,使 って よい。
(▲③p。285J
D=(う +1)2
よって, 等 式 は,
3 + α″2 + み″一α
2 _ 1 ) ( ″2+夕″+?)2
(α
) 2 _ ( ぅ+ 1 ) 2 = ( ″
左 辺 を 因数 分 解 して ,
″2 _ ″+ 1 + α( ″- 1 ) 十み〕( ″- 1 ) 【
″2 + ″+ 1 + α ( ″+ 1 ) 十う〕
( ″+ 1 ) 〔
よって,等 式 は,
2+(α-1)″十う一α+1}〔″2+(α+1)″十う+α+1〕=(″2+夕″十
t″
?)2
左辺 の 2つ の困数 で ある 2次 式 は異 なるか ら, ともに完全平方式 で な くて
はならない。 よって,
-1)}2
=t″
+老
<“
一
-士
-1)2_4(う
α
+1)}
<(″
(α_1)2=4(う 一α+1),(α +1)2=4(う +α+1)
辺 々 ひ い て , - 4 α = 4 ( - 2 α)
ゆ え に, α = 0
よって , 1 = 4 ( う+ 1 )
← ″ + ( ″- 1 ) ″+ う一″+ l
より
１
１
６
一・
〓
４
一
〓
う
十
〓
Ｄ
…… (答)
なお,数 学 B学 習者 は 2次 式
が完全平方式 になる条件 は,判
別式 D〓 0で ある,を 使 って も
よい。
(▲③p.281)
Ｚ
i数
と
式
メ
0,1の いずれ とも異なる2整 数 α,う (α
キう)を 考え,
一う)+1
メ(2)=″(″-1)(″一α)(″
とお く。夕(″
),あ(2)が整数係数の多項式で,メ (2)=夕(″
)ん(″
)で あ ると仮定す る。 この と
き,
(1)夕(0)=ん(0)を 示 せ。
(2)ダ(″),あ (″)の どち らも定 数 で ない な らば,ダ (″)=ん (″)で あ ることを示 せ。
C)修 )の場合 が起 こ るよ うな α,う の例 を 1組 求 め よ。
僚 大 ―理痢
(1)ダ (I)=。 (I)角 (I)は
恒等式だから,″=0の と
きも成 り立つ。すなわち
こ とか ら,
(0)
メ(0)=夕(0)ん
一み)+1よ り
また,メ (″
)=″(″-1)(″一α)(″
メ( 0 ) = 1
よ って,
ここで,ダ (0),ん(0)は 夕(″),ん (″)が 整数係数
の多項式 で あ るこ とか ら, ともに整数 で あ る。 この
ダ(0)=ん(0)=1
次以外 にはあ りえない。
(0)=1
β( 0 ) あ
一α) ( α
一う) + 1 , メ ( 2 ) = β( ″
) = ″( ″- 1 ) ( ″
メ( ″
) ん( α
)
(1)
(0)ん
メ( 0 ) = 1 , メ( 0 ) = ダ
(0)=1
で
か
(
0
)
,
あ
(
0
)
は
整数
ある
ら
。
,
←
いずれ にして も
夕(0)=あ (0)
1 2 ) メ( ″
) が 4 次 式だか ら, p ( ″) を 3 次 式, あ( ″
) を 1 次 式 とす ると,
1
あ( ″
または ん( α
)=″
) = ″+ 1 ( な ぜなら れ( 0 ) = 1 ま たは - 1 )
)は ,-1で 割 り切れないから,
メ(″
また,あ(″
)=″+1と す ると,
ん(″)キ ″-1
メ(-1)=(-1)(-2)(-1-α
恒等式 の性質
(▲③pe lの
p ( 0 ) = ん( 0 ) = 1 または 夕( 0 ) = ん( 0 ) = - 1
よ って,
または 夕(0)=ん(0)=-1
修) メ ( ″
) が 4 次 式だか ら, 定 数 で ない 2 つ の関
数 夕( ″
) , あ( ″
) は , 1 次 と3 次 , ま たは, 2 次 と2
メ( - 1 ) = 0
)(-1-う)+1=0
……①
2(α
+ 1 ) ( +う1 ) = - 1
や ″,″ が整数 で,″ ″=1な ら
ば,″=″=1ま たは ″ =″=-1
の どちらか。
や o(2)れ(″
)〓メ(2)は 4次 式
であ るか ら,7(″ ),あ(″)の ど
ちらも定数 で ない ならば,7(″)
と あ(″)は 3次 式 と 1次 式 の組
合 せ と, 2次 式 と 2次 式 の組合
せ しかない。
α+1,う +1は ともに整数だか ら,① の式 は不合理。
よって,あ(″
)は 1次 式 とはな りえない。
夕し),あし)を ともに2次 式 として,
2+ご
″±1)し2+冴″±1)(複 号同順)と お くと,
メし)=律
-1)(″
一α) ( ″
一う) + 1 = ( ″2 + ご
″( ″
″±1 ) ( " 2 + ″
α±1 )
両辺の係数を比較 して
ご十冴= 一 α一 う- 1 , c 冴 ±2 = α 十う十αう, 土 ( ご
十冴) = 一 αう
α, み を消去す る と,
ご冴+ 2 ( ご+ 冴 ) + 2 = - 1
6 冴- 2 = - 1
または,
+ 2 ) υ+ 2 ) = 1
② の とき : ( ご
ょって, ご= 冴= - 1 ま たは ご= 冴= - 3
=
1
冴
よって, c = 冴 = 1 ま たは ご= 冴= - 1
③ の とき : ご
いずれ にして も
( 3 ) ご= 冴= 1 と す ると,
よ って ,(ご +2)(″ +2)=1
の変形 は, 整 数 問題で よく使わ
れ る。
α十う= - 3 , α み= 2
α= - 2 , う = - 1
ご冴+2ご +2冴 E-3
(ご+2)(冴 +2)-4=-3
p(″ )=あ (″)
これ をみ たす α, う の 1 組 は,
や ②は,
…… (答)
労
数学 A
″の3次 式 メ(″
)と 2次 式 夕(″
)が 次の4条 件をみたす とき,メ (″
)と す(″
)を 求めよ。
べ
ただし,メ (a)と す(2)の係数はす て実数 とす る。
(1)メ(″
),夕(″
)の 最高次の係数は 1で ある。
働 メ(2)は 夕(2)で割 り切れる。
2は (″
側 〔
)〕
メ )で 割 り切れる。
β(″
li9 メ(-1)=8,夕 (1)=0
(関西大―社会)
),ダ(″
)を 求めるの
メ(″
だから,〔i)に
注意 して
2+み
3+α
2+冴
″
″十ご
″+タ
, p(2)=″
メ(2)=″
とお いて,係 数 α,う,ご,あ 夕 を求 めると考 える
のは基本的 には正 しいが効率的ではない。求 めるべ
き未知数 の数 が多 いか らで ある。
-1)
夕( ″) = ( ″ 十α) ( ″
とかけるか ら, 。(″
)の 中には不定な係数は 1つ し
か含まれていない。 この式から出発 して考 えるとよ
1)に
い。〔
注意す ると,伍 )より
-1)
十α) ( ″
) = ( ″十う) ( ″
メ( 2 ) = ( ″十う) 0 ( α
与 えられた条件 を少 しずつ適用 しなが ら, す(I),
o(I)の 形を決 めてい くとい う方針で考 えたほ うが
とかけ,メ (″
)は 2つ の不定な係数を含むが,liOに
よりその係数の間の関係式がえられる。側 を使 うと
恒等式の性質から,係 数の間の関係式がい くつかえ
よい。たとえば働を使 うと因数定理 (数学 B)に よ り,
られる。それ らを解 いて α,み を求めればよい。
li9より 夕(″)は
,-1で
割 り切れ る。 さらに,p(″)は 2次 式 で,(I)よ り
,2の 係数 は 1で あ るか ら,
-1)
β( ″) = ( ″ + α ) ( ″
……①
←
とかける。
この とき, メ ( ″
)より
) は 3 次 式で, ( 1 ) より, 3 の 係数は 1 で あるから, (五
1
)
……
+ α) ( ″
) = ( ″十う
)0(″
) = ( ″十み) ( ″
②
メ( ″
とかける。 したがって, 働 より
メ(-1)=(う -1)(α-1)(-2)=8
( α- 1 ) ( み- 1 ) = - 4
よ って ,
2 は 4 次 式で, ″4 の 係数は 1 だか ら
さらに, 〔β( ″
)〕
, l i i i lりよ
2=(″
十ご
)
〔
)メ(″
夕(2)〕
_1)2=(″
+ご)(″十う)(″十α)(″-1)
①, ② よ り (″十α)2(″
2次 式 を 1次 式 で割 った とき
の商 は 1次 式。
……③
← o(″)の ,2の 係数 は 1
( ″+ α) ( ″- 1 ) = ( ″ 十ご
) ( ″十う)
ゆえ に, ″ = 1 と お くと, ( う+ 1 ) ( c + 1 ) = 0
したが って
=
α
=
1
σ ,み
または ご= - 1 , う = α
=
α
=
1
の
とき:
働 ご ,み
③ より
-1)(-2)=-4
(α
α= 3
ゃ
が 任意 の ″ に対 した成立 す るか
ら “-1=う 十ど, 一″=う0
よって, c = α = 3
この とき① よ り
辺 々加 え て
-1=う 十f+う0
う0+う 十ご+1=0
-1)=″ 2+2″-3
。( ″) = ( ″ + 3 ) ( ″
+ 3 ) = ″3 + ″2 _ 5 ″+ 3
② より
/ ( ″) = ( 2 - 1 ) 2 ( ″
- 1 , ぅ= α の とき:
1 / r )=ご
-1)2=_4
③ より
(α
αは実数だから, こ の等式を成立させる値は存在 しない。
よって, 働 , 働 より, 求 めるものは
) = ″3 + ″2 _ 5 ″+ 3 , す( ″
) = ″2 + 2 ″- 3
メ( ″
26
。2+(4_1)″ ―″
=メ +(う+f)″ +う。
(う+1)(σ+1)=0
よって , う = - 1 ま たは
f = - 1 と して もよい。
…… (答)