直接数値計算による乱流予混合火炎中の乱流

日本燃焼学会誌
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第 44巻 1
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醤原著論文 / ORIGINALPAPERf
直接数値計算による乱流予混合火炎中の乱流エネルギーと
乱流スカラー流束の輸送特性の解析とモデリング
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童
市
・ 長谷川
慎之助 1*
達 也 l ・BORGHI，Rolanct2 ・姫野
龍太郎 3
NISHIKI，
Shinnosuke1
，
* HASEGAWA，
Tatsuya1
，
BORGHI，
Roland2
，andHIMENO，Ryutaro3
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名古屋工業大学大学院工学研究科都市循環システム工学専攻 〒466-8555名古屋市昭和区御器所町
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理化学研究所情報基盤研究部情報環境室 〒3
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2月7日受付;2002年 l月 1
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巴，mixedcombustion，
DNS，
M
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n
g
化は十分に できて いなかった. その後，速度，濃度，温度，
緒言
反応の複雑に絡み合った乱流燃焼場を把握で きる 直接数値
K
a
r
l
o
v
i
t
z らによ って火炎が乱れを増幅する作用 (Flame
計算 (DNS) を利用した研究(例えば Rut1andandTrouve[4])
GeneratedTurbulence)が最初に提案されたのは 1953年であ
が進められたが，現在に至っても，乱流予混合燃焼の理論
る[
1].また， 1980年には Mossが乱流予混合火炎中の非勾
的な説明やモデリングは十分に完成されたと言える状況に
i
f
f
u
s
i
o
n
) を実験で観察した [
2
]
. さら
配拡散 (Non-gradientd
は至っていない.特に，燃焼場でのスカラー流束の輸送方
に
， 1981年には LibbyandBrayによって火炎が乱れを増幅
程式の中の圧力変動の関連する項と散逸項については，十
3
]
. 同時に，逆勾配拡
する作用の理論的な考察がなされた [
分な理解がされておらず
モデルも完成されていない
散 (Counter-Gradientd
i
f
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u
s
i
o
n
)についての理論的な説明 [
3
]や
本研究では，近年のスーパーコンビューターの飛躍的な
2
]
)がなされた. しかしながら当
実験による観察(例えば [
発達の恩恵を受け，火炎前後の密度比(燃焼による熱膨張)
時は，この重要な振舞いについての物理的な説明やモデル
h=7
.
5
3および CaseL
:
が異なる 2つのケース， CaseH:向伊'
p，
/
P
h=2.
50，についての直接数値計算を行い，流入する一
様等方性乱流中に十分に発達した定在する乱流予混合火炎
キ
COl1官s
p
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.
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.
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p
データベースを構築する ことができた.このデータベース
(
4
7
)
48
日本燃焼学会誌
に基づき， 乱流予混合火炎が乱流エネルギーや乱流スカ ラ
第4
4巻 1
2
7号 (
2
0
0
2年)
-反応速度
ー流東に対して与える影響，すなわち火炎が乱れを増幅す
手
)
る作用や逆勾配拡散の発生メカニズムについて，それぞれ
(
8
)
pYTsexp(
の輸送方程式の解析によって調べた.また，輸送方程式の
ここで， μ，λおよび D はそれぞれ粘性係数，熱伝導率お
中の燃焼に関連する重要な項のモデ、ル化を行った.
よび拡散係数である.ま た
， Qは発熱量 [
=
C
p
(
T
a
T
o
)
]，R は
気体定数，Bは反応の頻度因子，戸は温度依存性の次数，。
2
. 数値計算法および計算条件
は活性化エネルギーの特性温度である .
2
.
1
. 基礎式
本研究では，圧縮性，粘性および発熱反応を考慮し た三
2
.
2
. 数値計算法
座標系を F
i
g
.
1に示す.計算領域は 8mm X 4mm X 4
次元の流れ場を以下の仮定を用いて直接数値シミュレーシ
mmの直方体である.長さが 8mmの方向を流れ方向とし，
ヨンした.
(1)反応は一段不可逆反応とし，化学反応は A
r
r
h
e
n
i
u
sの式
一様等方'性乱流の速度場を持った未燃焼ガスを計算領域に
流入させ，燃焼後，流出する計算を行った.格子点数は 6
に従う.
(
2
)体積粘性率
S
o
r
e
t効果，
D
u
f
o
u
r効果，圧力勾配拡散，
次精度中心差分法を用いる x方向は 5
1
2点，フーリエ級数
2
8点とした.時間
スペクトル選点法を用いる y，z方向は 1
体積力，ふく射熱損失は無視する.
。
(3)定圧比熱 Cp および比熱比 yは一定とする.
積分は 3段階ルンゲ・クッタ法を用いた.境界条件は x方向
(
4
)気体は理想、気体の状態方程式に従うものとする.
には未燃気体が流入し，既燃気体が流出する境界条件として
6
]
NSCBC(
N
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d
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yc
o
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o
n
s
)
[
5，
これらの仮定 よ り基礎方程式は次のように書ける.
を用い ，y，
z方向には周期境界条件を用いた.
.連続の式
咽
、‘，，EA
a
t
aX
j
シミュレーションを行った.計賀時聞は 32PEを占有した
a
p
aT
aX
j
aλj
a(pU)，a
(
p
u
j
U)，
j
j
U (
i=1
，
2，
3
)
一一一+一一一一+一一 =ー斗
aX
j
型ベクトル並列型計算機 F
u
j
i
t
s
uVPP700を用いて直接数値
場合で，実時間約 1msの計算を行うのに約 50時間であ
-運動量保存の式
a
t
本研究では理化学研究所情報環境室に設置されている大
(
a
p，a(pu)_(
)
ー 〒 ー -
る.
(
2
)
-エネルギー保存の式
a
{
(
句 +p
)
u
}_a
(
u
九) aqj
j
一
aX
aX
a
x
)
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(
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)
Inflow
u=u'+Uc
.化学種保存の式
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.
F
i
g
.1
.S
(
4
)
また，各変数は次の通りである.
2
.
3
. 予混合気体の物性
-せん断応カ
流入する予混合気体の圧力は po=
0
.
1MPa，初期温度は
/
K
g
.
K，比
0
'J
00K，また，定圧比熱は Cp=1
.2
5X 1
T
o=3
ベ長官-私設)
(
5
)
T
/
T
o
)
O
.
7，Le=(}JpDC
;
μ
=
μ
(
)(
)
=1
.0，Pr
=
(
μC
λ
.
)
=
0
.
7
5
.また，密
J
j
p
-全エネルギー
pRT
熱比は y=l.
4で一定値とした.初期温度での粘性係数は
a
.
sとし，温度依存性は次のように与えた
μ
)=1
.7
7X 1
0ヌ P
度比が異なるケースでも，次式で定義した進行度変数 c，
，P
，.
.
2 ...
2¥
;
_
;
(
U"+
v
"
+w"
)
e
= pQY+一一 +
，
y-1 2
(2
、 /
(
6
)
T-~
c=一
一
一2=I-Y
(
9
)
T“-~)
-熱流束
Y
a
T ~~a
qf=一λで一 -pDQて一
aXj
と反応速度 W の関係が一致するように CaseLの場合の反
(
7
)
応速度の定義式(式 8
)を次のように修正した.
aX
j
h
(
4
8
)
一 山
錦慎之助ほか，直接数値計算による乱流予混合火炎中の乱流エネルギーと乱流スカ ラー流束の輸送特性の解析とモデリ ング
49
ここで ，Tと Oは CaseL の場合の断熱火炎温度と初期温度
ここで ， k
o= 6，初期乱れ強さは u
'
o= 3
.
8
7mls とし た.次
ο
，
)で無次元化された値で ，T
2
2
6
0は CaseH の断
の差 (T
u- T
に，計算領域は一辺が 4mmの立方体，格子点数は各辺で
熱火炎温度である.この修正によ り CaseH と Cas巴 L で
2
5
6点とし，空間微分にフーリエ級数スペクトル選点法，
c-W の関係を一致させた.
時間積分に 5段階ルンゲ・クッタ法を用いて，計算開始時
燃焼前後の密度比が異なる 2つのケースの火炎の特性の
違いは Table 1にまとめた.なお
層流火炎厚さは以下の
式で定義した.
の乱流特性時間の約 2倍まで計算した.得られた一様等方
性乱流の特性値を Table2 に示す.なお，積分スケール，
テイラー・マイクロスケール
)
l
(
T-T
"
e，=ー
ー
ー
一
一
ー
-
-積分スケール
MaxldT1d
x
l
L
コルモゴロフ・ スケールは
7
]
.
次式から算出した [
1
マ
2.
4
. 初期条件
初期の火炎は F
i
g
.1に示すように平面火炎とし ，計算領
3
π
r
k
1
E
(
k
)
d
k
(
13
)
417E(k)dk
-テイラー・マイクロスケール
域内の初期の温度分布，質量分率，膨張速度および圧力分
布は，予め計算した一次元層流予混合火炎の計算データを
(
14)
使用した.
計算領域内の初期速度分布は，予め計算した一様等方性
-コルモゴロフ・ スケール
4
)
{
}
乱流の速度場に平均流入速度 Uc と膨張速度を加え て与え
お
た.一様等方性乱流の速度場は以下のように計算した.初
7
]を与え，一様性，等
めに，次式のエネルギースペクトル [
方性および非圧縮性を満たすように初期乱流場を生成し
(
15
)
E
また
， εはエネルギ一散逸率で，次式から算出した.
た[
8
]
.
μ
)=1叫
2
5
1
t
c
x
p
l
2
(
利
E= 吋~k2E(k)ぷ
(
16
)
(
12)
上式で，波数 kの積分は 64まで、で、打切った.その理由は，
高波数領域でのエイリアシング・エラーの影響を排除する
ためと ，k= 6
5より高波数側でエイリアシング・エラーの
T
a
b
l
e1 C
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r
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c
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c
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ff
l
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m
巴s
CaseH
CaseL
7
.
5
3
2
.
5
0
(
k
)が十分に小さい値だ
ない領域のエネルギースペクトル E
からである.
この得られた一様等方性乱流場 (
4m m X 4m m x 4mm)
P
u
/
P
b
Ta
2260K
750K
u
{
0.6000m
/
s
0.
4162m
/
s
配置し，平均流入速度
0
.
1
5
8m m
領域内の速度分布とした.また，流入境界での速度分布は，
邑I
0
.
2
1
7m m
を乱流予混合燃焼の計算領域 (
F
i
g
.1
)の x方向に連続して
ι と膨張速度を加えて初期の計算
得られた一様等方性乱流場に平均流入速度 U，を加え，テ
9
]
.
イラーの仮説を用いて位相 をシ フトさせながら与えた [
計質問始時の平均流入速度以はそれぞれのケー スの層流
燃焼速度比とした.
T
a
b
l
e2
. C
h
a
r
a
c
t
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CaseL
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5
ReZ
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5
6
.
7
5
6
.
7
3
. 計算結果および考察
3
.
1. 火炎の形状
計算開始後，時間経過とともにしわ状火炎が発達 し，火
炎の伝播速度が増加するのに対応して，未燃予混合気の平
均流入速度を計算の途中で増加させた. Cas巴 H の場合は，
計算開始後， 4
.
6
5msに平均流入速度を 0
.
6mlsから1.0mls
へ
， 9
.
3
0mst
こ1.0mlsから1.1
4
6mlsへ変化させた.一方，
CaseL の場合は，計算開始後，
1
2.
4ms に平均流入速度を
0.
41
62mlsから 0
.
7
1
6
2mlsへ
， 2
0
.
7ms に 0
.
7
1
6
2mlsから
0
.
7
8
6
2mlsへ変化させた.これにより，発達したしわ状火
炎を計算領域内に長時間留まらせることができた.データ
(
4
9
)
50
日本燃焼学会誌
第4
4巻 1
2
7号 (
2
0
0
2年)
ベース の解析は，火炎が十分に発達し で ある領域に定在し
域内に定在した十分に発達したしわ状火炎とな って いる様
ている時間帯で行った.それぞれ， CaseH は 9.30msから
子が分かる.
2
0
.
7ms まで (サンプリング、間隔:0.0517ms)，また CaseL
は2
0
.
7msから 3
0
.
9msまで(サ ンプ リング間隔:0.1034ms)
3
.
2
. 乱流エネルギー
である.
a
r
tに
流れ方向に沿った乱れの変化の様子を次の 4つの P
火炎形状の時間経過の様子を Fig.2 に示す. ある一定領
区分して調べた.各時刻における y-z断面での進行度変数
cの平均値が 0
.
0
1から 0
.
9
9の聞を火炎領域と定義し，火炎
領域の手前の未燃焼部分を P
a
r
t1
，火炎領域内の未燃焼部
c
く0
.
0
1のすべての格子点)を P
a
r
t2，既燃焼部分 (
c
>
0
.
9
9
分(
のすべての格子点)を P
a
r
t3，および火炎領域の下流側の既
燃焼部分を Part4 とした.それぞれの P
a
r
tで各方向速度成
t=9.
30ms
分の乱れ強さをファープル平均により算出し，時間平均し
t=20.7ms
た結果を Fig.3に示す. CaseH では，すべての速度成分の
乱れが火炎領域の既燃焼部分 (
P
a
r
t3
)で増加し，特に流れ
方向の乱れ u"が増加している.一方， CaseL では，各速
度とも流れ方向に沿って乱れは減少しているが，火炎領域
の既燃焼部分 (
P
a
r
t3
)で流れ方向成分の乱れ u"が他の方向
t=
，1
3
.
1ms
成分の乱れよりも大きくなっている.流入してくる乱流は
t=24.1ms
自由乱流で x方向に進むにつれて乱れは減衰していくが，
P
a
r
t3
)でわずかに流れ方向の乱れ
火炎領域の既燃焼部分 (
が他の方向成分に比べて大きくなっている.このことから，
重一
t=1
8.
4ms
火炎前後の密度比が小さいケースでも火炎によって乱れが
生成されていることが分かる.
火炎が生成する乱れの発生メカ ニズムをファ ープル平均
t=27.5ms
が施された乱流エネルギーの輸送方程式を用いて解析し
た.輸送方程式は運動量保存式から導出して，次のように
表 される.
d
k
ご
d
k
d
ふ 1dp唱<ú;ú~
戸 dXk 戸 2dXk
dUイ'ú~
一 一 一 一 -
ABMka
x
k
向マ:了」寸「)」「1「ー
t=20.7ms
CaseH(1470K)
t=30.9ms
CaseL(567K )
u
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"
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一一一一日一ー一日一
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(
5
0
)
錦慎之助ほか，直接数値計算による乱流予混合火炎中の乱流エネルギーと乱流スカ ラー流束の輸送特性の解析と モデ リング
51
ここ で，(1)は平均速度勾配による生成項， (
II)は乱流拡散
が大きくなっている ことと一致している.一方， CaseL で
項
， (
I
I
I)は平均圧力勾配による生成項， (
IV)は圧力作用項，
)
は，圧力作用項(lV)の方が平均圧力勾配による生成項(IlI
(V)は粘性による拡散および散逸項で ある .
より乱流エネルギ ーの増加に対する寄与が大きくなってい
各項の時間平均した分布を Fig.4に示す. CaseH では，
るこ とが分かる.また ， d
k/d
xが常に負であることから乱
火炎領域において平均圧力勾配による生成項 (
I
I
I
)が乱流エ
流エネルギーは減少し続けることを示している. しかし，
ネルギーの増加に最も寄与し圧力作用項 (
I
V
)も増加に貢
流入してくる乱流は自由乱流で，火炎がなければ x 方向に
献している.また，粘性による拡散および散逸項 (V) と平
進むにつれて次第に減衰していくが，火炎領域では対流項
均速度勾配による生成項 (
1
) は乱流エネルギーを減少させ
(
0
1
)の値が小さく (
0に近付く)なり，減衰の割合が小さく
ていることが分かる.火炎を通過する際の乱流エネルギー
なっていることを示している.このことは火炎の影響を受
の増減を見積もるためには対流項 (01)を平均速度品で割
けて乱れが生成されていることを指し示している.
.
iIdxを x方向に積分する. CaseH の場合は燃焼前
った d
輸送方程式の各項のうち，圧力作用項(IV)は圧力拡散項
後の密度比が 7.53 なので燃焼後の x方向の平均速度は約
(
I
V
I
) と圧力膨張項 (
I
V
2
)に変形す ること ができ る. また同
7
.
5
3倍に増加する.火炎領域内では次第に平均速度が増加
様に，粘性による拡散および散逸項 (V) は散逸の項 (Vl，
)
していくため説 Id
Xの積分値は正の値となり，火炎を通過
燃焼に起因する項 (
V
2
)と (
V
3
)，およびその他の微小項の
することによって乱流エネルギーが増加することを示す.
和 A に変形する ことができ る.
これは Fig.3の各成分の自乗の和が燃焼前より燃焼後の方
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日本燃焼学会誌
52
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1
5，dXi
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一
一
(
I
V
)
J
(
I
V
I
)
第一に，平均圧力勾配による生成項 (
I
I
I
)のモ 、
デルイじは以
(
18
)
、』一一一一一一ー、~ーーーー~ 、--、~
第4
4巻 1
27号 (
2
0
0
2年)
下のよ うに行った.まず，密度 p は進行度変数 cを用いて
(
I
V
2
)
次式のように仮定した.
，，
1
c l-c
一一一一=一一+一一一-
l 22iL=-L222fhf
1
5"
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X
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X
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一
一
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へ，.-----'
(
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1
)
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(
V
)
(
V
l
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L
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X
d
X
) 21d(μdU~ /
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一
-U
一一ー-
戸i
3戸
d
X
k
d
X
k
.
吋
なお，上式は p
(
c
)= p，
，
/
(
1HpC) [
1
0
] を式変形して得られる.
(
19
)
千 l
(
V
2
)
p=ρ，
，
!
P
hーlである. そして ， U'I の平均は確率密
ここで， r
度関数 P(c) および式 21 の関係を用いる ことで次のように
~ーーーーーー一一一一~、』一一一一一一一一ーーーー-v-
(
V
3
)
書ける.
上の二つの式の各項の時間平均した分布を Fig.5 に示
，
，
生
んc
F =lh(c)k=lp(c)u
す. CaseH と Cas巴 L はグラフの縦軸のスケールが 2桁違
っているものの，良く似た分布を示している.火炎領域で
~
は圧力作用項(lV)に関する項のうち，圧力膨張項 (IV2)は
p
(
c
)
l
>
(
c
{
子守斗M
常に正の値を持ち乱流エネルギーを増加させる効果を示
c
c"を代入して，
c= +
ここで，
す.また，圧力拡散項 (IVl)の値は流れに沿って正から負
)
=
去(cpU"+pu"ア)++(戸勺戸73Fア
に 変 化 す る が ， 全 体 と し て 以 /d
t を減少させる効果があ
り，乱流エネルギーを減少させる効果を持っていることが
1
'
/
，
1
'
分かる.一方，粘性による拡散および散逸項 (V) に関する
￨U
=
1一一一一一 ρ
項では，散逸の項 (Vl)が支配的であることが分かる.し
，
L
ρ
/
(
2
2
)
C
Pll)
かし，燃焼に起因する項 (V2)+(V3)も負の値を示しており，
無視することはできない影響を持っている.また，その他
の微小項の和 A は CaseH では正負に変動する値を持つが
この結果，平均圧力勾配による生成項 (
I
I
I
)は次のようにモ
火炎領域内のトータルの効果は無視で、き， CaseL でもその
デル化できる.
効果は無視できる程度に小さい.
u
;
'd
p
u
;
e
"d
戸
，
[
i r1 1 l
一 一 一 ー-，一一一
一 一
I
I
I
)， 圧 力 膨 張 項
次に，平均圧力勾配による生成項 (
についてのモデ、ル化
(
V
3
)
，燃焼に起因する項
(
V
2
)+
(
IV2)
について説明する.なお
モデル定数 C は次の式で定義
(
2
3
)
l
X
戸d
i
¥p
"
P
I
I
) 1
5 dX
モデルと DNSのデータを比較したグラフを Fig.6に示す.
モデル定数は CaseH，
L共に lで，モデルと DNSデータは
した.
非常に良く一致した分布を示す.
:
c
=
O明
rX，
jJ=0附 ~.DNS
_-~:~Mod 巴 ldx
_
.
.-_
λ
. = CI"'~
d.
-JxJニ 0
:
(
=
0
.
0
0
5
.
0
0
5
1
'
第二に， 圧力膨張項(IV2)のモデル化は次のように行っ
(
2
0
)
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5
2
)
錦慎之助ほか，直接数値計算による乱流予混合火炎中の乱流エネルギーと乱流スカ ラー流束の輸送特性の解析と モデ リング
た.まず ，p
'は火炎面前後の圧力差とモデル化した.
p
'"
'I
O
p
l
L=P，
h Ou=P
U
U
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(P
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IIp
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)
〆
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p
もる と p'=1
2
さらに，式 27および次の関係を用いる ことで，
戸le
L
u
L
"
'p
"
(
2
4
)
ここで，乱流運動による圧力変動を乱流エネルギーでト見積
53
(
2
9
)
最終的に次のモデルが得ら れ る.
となる. これと式 24を比較すると，
(V2)+(V3)=-cauil
CaseH では火炎面前後の圧力差でモデル化した圧力変動は
(
30)
乱流運動から見積もった圧力変動の約 5倍以上であるのに
合は乱流運動による圧力変動を無視することができない こ
モデルと DNSのデータを比較したグラフを Fig 6に示す.
モデ、
ル定数は CaseH ではCauu =0
.
2
9，CaseL では C以 lu =
とはないが， Cas巴 L の場合は流入してくる乱流の乱れ強 さ
0
.
2
5である.両ケ ース ともモデルと DNSデー タは良く似
が火炎面に到達する までに多少減衰していることを考慮し
た分布を示す.
対して， CaseLでは両者はほぼ、同じ値となる. Cas巴 H の場
目
でも無視することのできない効果があると考えられる.し
かしながら，火炎付近や火炎の下流側では乱流運動が火炎
流スカラー流束
3
.
3
. 舌L
から影響を受けており，それを見積もることは困難である
現在の乱流予混合燃焼のモデル方程式では，乱流スカ ラ
ため，本研究では乱流運動に伴う圧力変動は考慮しないで
ー流東の評価はあいまいな部分があ り， 多 くは次に示すよ
モデル化を行った.
うな勾配拡散モデルを用いている.
また ， d
u
;
'
1d
X
; は火炎面前後の速度差と火炎厚さの比と
士ヲフー
，
一
してモデル化した.
子仕1
)
f
L
(
2
5
)
f
ここで，
(
3
1)
μ
rは乱流粘性係数， 0，は乱流シュ ミッ ト数であ
る.これは乱流スカラー流束に対する標準的なモデルで、あ
この結果，圧力膨張項 (
I
V
2
)は次のように モデル化で、きる.
ー
，
.
¥}
度と同じことを意味している.本研究の計算条件に勾配拡
散モデ、
ル(式 3
1)を当てはめると託/みは火炎領域では正
，，- ~L
-1I
u
i
l&
p
る.また，本研究では Lewis数を!と仮定しており，式 9
の関係が成り立つ.すなわち，進行度変数 c は生成物の濃
+
土 n'並f
Z
4土
。u
;f& 1
Y
E
』げすe
Fyax
，'戸 Y M Llph a
jeL ハ
c
'
"C1V2 1
μd
C
σc dX
一一一一
(
2
6
)
の値を 示 し，乱流スカラー流東は負の値となる. しかしな
がら， DNSデータから算出した乱流スカラー流東の分布は
)
F
i
g.7に示すように正の値となり，本研究において勾配と
ここで， L:は単位体積当たりの火炎の表面積である.また，
は逆の拡散，すなわち逆勾配拡散が発生していることが分
]
)を用いた.
F
l
a
m
e
s
u
r
f
a
c
ed
11
次の関係 (
e
n
s
i
t
ymodel[
かる.なお， Fig.7の値は時間平均した値である.乱流燃
ヱ
手ω '
"p
"
uL
(
2
7
)
焼の問題において逆勾配拡散の存在が理論的にも実験的に
で
も指摘されている [
2ム1
2
]
. BrayMo
s
s
-Libbymod
e
l
[
3，
1
2
]、
は火炎前後の速度差に着目して乱流スカ ラー流束を次のよ
ここで ， pω=
-wの関係がある.モデルと DNSのデータ
うにモデルイじした.
を比較したグラフを Fig.6に示す.モデル定数は CaseH で
戸ヤ =p
c
(
l
c
)
(丸一札)
はC
.
3
4である.両ケ ース と
.
3
5，CaseL では C
I
V
2= 0
I
V
2= 0
(
3
2
)
もモデルと DNSデータでは最大値に差があるものの，良
この BMLモデルでは乱流スカ ラー 流東の値は常に正とな
く似た分布を示す.
第三に，燃焼に起因する項 (V2)+(V3)のモデル化は以
下のように行った.まず， d
U
;
'
/d
X
;は式 25のように火炎面
り，逆勾配拡散のモデルである. DNSデータから買出した
値と比較するために， BMLモデルで見積もった値を Fig.7
前後の速度差と火炎厚さの比としてモデル化した.また，
に示す. この図より， BMLモデルは密度比の異なる両方
u" は フ ァ ー ブ ル 平 均 を 施 し た 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 平 方
のケースで DNSデータから算出した分布と良く似た分布
根， d
X
; は層流火炎厚さと仮定した. この結果，燃焼に起
V
2
)+(
V
3
)は次のようにモデル化できる.
因する項 (
を示すことが分かる.
れた乱流スカラー流東の輸送方程式を用いて解析した.輸
l-tl/2au(V2)+(V3)'
.
1一一一×む
"
一τ C
a
d
df
e
P
L e
L
戸ー 1/2 2
!
η
Cadu~kL/~U~I
l
= ーで
P
.!:..J!....
e
L
uL
ー
.
¥p
"
L~
2...
)
I lx
逆勾配拡散の発生のメカニズムをファープル平均が施さ
送方程式は運動量保存式と進行度変数 cの保存式から導出
して，次のように表され る.
(
2
8
)
(
5
3
)
日本燃焼学会誌
54
大き な役割を果たし，速度変動と平均反応速度の関係す る
dp
u
;
'
c
" d/
;
;
;
;
_¥ d /-一一;-;;¥
ーームー+一一 (pU~'c"Üi )
= 一一 (
p
u
;
u
d
x
，
"
d
t
」一
一
、
ー
- J L
L
(
0
)
'I
J
L
そ
っI
d
x
，
'
"
一一
一
一
一
一
一
項 (H) と圧力変動による生成項 (E) も発生の要因となって
J
L
いる.また，平均速度勾配による生成項 (C)，平均進行度
J
(<lリ山
てプヲァ d
:
Z
τヲ " 誠l
ヲ事
r山]""'
，-- .
"
-
変数の勾配による生成項 (B)，散逸項 (F)，(G)は逆勾配拡散
~" d
p
'
d
λ
一一…一一一一一一'一一--
d
X
j
d
X
j
d
xi
-
の発生を抑え る効果があることが分かる.一方， CaseL で
目
、ー一一一-v-一一一~、一一一ー--v-'~ーー--一一一」一一~-ー--'-'
(
B
)
(
C
)
..d(~dcì
は，圧力変動による生成項 (E)，平均圧力勾配による生成項
何
(
o
)
.
.
dτii
(0)，速度変動と平均反応速度の関係する項 (H)が逆勾配拡
一一?
?
一
IpDー I
+
c
"→ +
p
u
j
'
(
J
)
d
x
;¥
.-d
x
;J
d
x
; ~ーJ
十一一ーム」ー十一
(
F
)
(
(
，
)
第 44巻 1
2
7号 (
2
0
0
2年)
散の発生に同程度の効果を持っていることが分かる.
(
H
)
次に，平均圧力勾配による生成項 (0)，圧力変動によ る
(
3
3
)
生成項 (E)，散逸項 (F)+(G)，速度変動と平均反応速度の関
ここで，
(A) は乱流輸送項， (B) は平均進行度変数の勾配
による生成項， (C)は平均速度勾配による生成項， (0)は平
係する項 (H)についてのモデ、ル化について説明する.なお，
モデル定数 Cは式 20で定義した.
第一に，平均圧力勾配による生成項 (
0
)のモデ、ル化は以
均圧力勾配による生成項， (E) は圧力変動による生成項，
(
F
) は拡散による散逸項 ， (G) は粘性による散逸項，
(H) は
下のように行った.まず，密度 p を式 2
1のように仮定し，
i
m
i
t(
p
e
r
f
e
c
t
l
yw
r
i
n
k
l
e
df
l
a
m
e
) を仮定す ること
また， BMLl
速度変動と平均反応速度の関係する項である.
各項の時間平均した分布を Fig， 8 に示す. CaseH では，
平均圧力勾配によ る生成項 (0)が逆勾配拡散の発生に最も
によ ってど'の平均は確率密度関数 P(c) を用い ることで次
のように書け る.
0
.
0
5
(
国宮、必)自国包3
25-ZH戸
0
.
2
5
ι鎧 阜 且
苦 o泊
。
.
;
.
:
b
エ0.15
0
.
0
3
D
~
H
0
.
0
1
DNSdata
d
.
2
n
u
、
戸n
u
ロ
<u
ち
BMLmodel
∞
0
.
5
0
0
.
7
5
BMLmodel
0
.
0
0
1
.0
0
0
.
2
5
0
.
5
0
咽目且
0
.
2
5
∞
0
.
7
5
n
u
n
v
∞
DNSdata
O
.
O
.
O
.
ウAU
回
.
10
ヨ
セ 0
n
u
出
a
￡鎧皇L
0
.
0
4
Favr
巴a
veragedp
r
o
g
r
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s
sv
a
r
i
a
b
l
e
Favreaveragedp
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e
g
i
o
na
n
dcompmisonDNSd
a
t
at
oBMLm
o
d
e
l
F
i
g
.
7 E
1
0
0
1
5
0
0
(
H
)
'
E且
8555弓。占
H
H
h
u
A)
nu
nu
nu
(刊回出
uZ855zus唱。占
(刊∞山口、
￡盤阜且
500
。
目
500
(D)
L
￡盤阜
5
0
5
0
(
B
)
0
.
5
0
0
.
7
5
AU
2
5
0.
n
u
∞
O
.
l
EA
0
.
7
5
噛
0
.
5
0
nU
0
.
2
5
nu
1
0
0
0
0
.
0
0
ー
Favreaveragedp
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o
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e
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Favreav
巴r
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巴dp
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3
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F
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r
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r
o
mt
h
er
i
g
h
th
a
n
ds
i
d
e
(
5
4
)
錦慎之助ほか，直接数値計算による乱流予混合火炎中の乱流エネ ルギーと乱流ス カラー流束の輸送特性の解析とモデリ ング
き=
一
例
FziJ
C
M
P
(
c
)
d
czj
J
P
(巾"生L
d
c
-c
"
p
(
c
)
子LITz:;ト
'
"i
:
p
(
c
{
(
c
)
d
55
(
3
5
)
なお， BMLL
im
i
tの仮定が適合すれば、，乱流エネルギーの
輸送方程式の平均圧力勾配による生成項のモデル化の場合
ここ で
、
，
c=e+c"を代入して，
と同様にモデル定数 C
]
)の値は lになる.モデルと DNSの
=
土
(pc"+pC"2)士(pc"-♂ _PC"2)
データを比較したグラフを Fig.9に示す.モデル定数は
e
CaseH では Cn=0
.
7
9， CaseLでは Cn=0.
8
0である .両ケ
ースとも，モデル定数は lよりやや小さな値となったが，
士
一
土
)
=P
C
"
2
(
モデルと DNSデータは非常に良く似た分布を示した.
第二 に，圧力変動による生成項 (E) のモデル化は以下の
im
i
tの仮定 p
C
"
2 戸(ト e
)[3]を代入して，
ここで， BMLL
"，
壮士)
ように行った.一般的に密度一定の流れの場合，
この項は
ファ ーブル平均した u
l
l
c
"と逆の符号で打ち消す効果を持つ
中 (
I
e
(
3
4
)
項であり， Veynante らの DNSで勾配拡散のケースでも同
1
3
]
. しかしながら，本研究の
様の結果が示されている [
この結果，平均圧力勾配によ る生成 項 (D) は次のようにモ
DNSの結果では，
テ*ルイじで、きる .
同符号(正)で生成の効果を示し，既燃側の部分では異符号
EA
唱
2)85558宮占
500
。
-500
∞
0
.
2
5
0
.
5
0
1
.00
0
.
7
5
50
。
-50
-100
0
.
0
0
-1000
O
.
nU
(刊柏市何回、
)UE528吉広
抽出回、丘
(N
1000
n
u
1500
この項は火炎領域内の未燃側の部分では
Favreaveragedp
r
o
g
r
e
s
sv
a
r
i
a
b
l
e
2
5
0.
0
.
5
0
0
.
7
5
1
.
0
0
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l
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0
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+
(
G
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H
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占
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、
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0.
50
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223ι
号-1000
川晋何回
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必
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e
l1a
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o
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e
l2
(
5
5
)
56
日本燃焼学会誌第4
2
0
0
2年)
4巻 1
2
7号 (
(負)で打ち 消し の効果を示した. このため， この項は非燃
デル化は以下のように行った. この項のモデル化では，
焼場のモデルに火炎の影響を加 える とい う考え方でモデル
LMSE(
e
a
rMean S
q
u
a
r
eE
s
t
i
m
a
t
i
o
n
)の 仮 定 [
1
6
]お よ び
L
in
化を行った.非燃焼場のモデ、ルは次のように示 される [
1
4
]
.
r
l
n
'
-c"
z
dX
j
ユ
ー
正一一一一
，kr I
一一一両
-C 1 -?-ρu~'c" +C2pU~'C" ~
κ
BMLlimitの仮定を用いる こ とで次のように書け る[
1
7
]
.
BMLlimitの 仮 定 で は 恥 は 0
.
7
5と見積もら れ る.
(
3
6
)
d
X
k
τ7 一
一
;
:
- pu~'c"
一
ωzp
cω τ p
u
j
一
一
p
C
(
I
c
)
しか し，予混合燃焼にこのモデルを適応させ るのは非常に
仇
，
C
)
ム
竺
二
zCHP(
一
ーヱ
難しく [
1
4
]， Bradl
e
y らは第 2項のモデ、ル定数を O とした
(
I
c
)
[
1
5
]
. そこで，非燃焼場のモデルは B
r
a
d
l
e
y らと同様に第 l
(
4
0
)
項のみをモデルとして当てはめた.一方，火炎の影響は次
c
"は火炎前後の変動量
モデ、ルと DNSのデータを比較した グラフを Fig.9に示す.
として l とモデル化した.また ，p'は火炎面前後の圧力差
Xi は層流火炎厚さ e
L とそれぞれ
として式 24のように ， d
モデル定数は Cas巴 H では CH= 1
.
5
0，仇n=0
.
6
9，
CaseLでは
.
42，。川=0
.
8
0である. CaseH ではモデルと DNSデ
CH=1
モデ、ル化した. その結果，次の ような式を得た.
ータは良く似た分布を示したが， CaseL では，火炎領域の
のようにモデル化を行った.まず
既燃側付近で DNSの分布が正の値を保った ままで，モデ
1
L
i
pe
1
ム
L
エ
=
戸uLf~" ¥
f
/
"
~L
ルとは逆の符号を示した.。川の値を lにすればモデルの分
(
3
7
)
j
布は全領域で正の値を示すようになるが，理論値と グラフ
の形状を考慮 して CaseLでは，恥 =0
.
8
0と決めた.
また ここ で，火炎領域の既燃側で火炎の影響の項の効果を
)の因子を掛ける. これに
小 さ くするために式 37に(1- c
より既燃側で圧力変動による生成項 (E)が負の値を示すよ
4
. まとめ
X
うにした.この因子はど'とみ'/d
i が火炎領域の未燃側
本研究では，一様等方性乱流中を伝播する乱流予混合火
で強い相互関係を持つこと意味している.以上より，最終
炎の直接数値シミュレーションを，燃焼前後の密度比
的に以下のようなモデ、ルになった.
ィ
，， =
が， p
7
.日 と p
P
ρ
"=2.50の異なる 2つのケースに
"/
"/
ついて行った.このシミュレーションによって，十分に発
ゐ(
l-c
)(38)
4
2
;=
-cJ杯古 +-CE-aPULr手 11
VAj
.
.
.
_
一
一
土
一
一
ー
Mo
d
e
l
l
¥
f
/
"
)
達した定在する乱流予混合火炎のデータベースを構築し
Mode12
た.このデータベースに基づいて，乱流予混合火炎が乱流
モデルと DNSのデータを比較したグラフを F
i
g
.1
0に示
エネルギーや乱流スカラー流束に対して与える影響につい
す . モ デ ル 定 数 は CaseH では， C
.0，
.
6
7， C
E
a= 1
E
c= 0
Cas巴 L では C
E
c=068， C
E
a=070である.火炎の影響を
て，それぞれの輸送方程式の解析によって調べた.また，
目
目
輸送方程式のうち燃焼に関連する重要な項のモデル化を行
った.得られた結果を以下にまとめる.
加え た項のモデル定数 C
E
aにやや違いがあるものの，両ケ
ースともモデルと DNSデータは非常に良く似た分布 を示
1
. 火炎領域内では，乱流火炎によって乱流エネルギーが
増幅される.特に流れ方向の速度の乱れが増幅され，
した.
また，燃焼前後の密度比が大きい方が乱れの増幅は大
第三に，散逸項 (
F
)+(
G
)のモデ〉ル化は二つの項をまとめ
きくなる.
て以下のように行った.まず ， pD は一定と仮定した.ま
X
X
U
;
'
/d
"は 1
，d
i は層流火炎厚さ e
iは
cおよび c
L， d
た
G
)
式 25のようにモデル化した. この結果，散逸項(町 +(
は次のようにモデル化できる.
2
. ファーブル平均が施された乱流エネルギーの輸送方程
式の解析結果によると ，圧力に関係する項が火炎領域
内で乱流エネルギーを増加させている.密度比の高い
ケースで は平均圧力勾配による生成項が，低い ケース
U
:
' _ 1U
d
C
"d
L
(
P
"/p，， -I E L
(F)+(G)zp D - - 4 = p D - Z)~
.
.
.
X
d
X
id
i ' e
L
z
ム
C
F
G
p
u
L
Iムー 1
1
¥p
"
)
では圧力作用項が最も重要な役割を果たしてい る.ま
e
L
た，平均圧力勾配による生成項，圧力膨張項および燃
焼に起因する項についてモデ、ル化を行った.構築した
(
3
9
)
モデ、ルは密度比の違う場合に対しても DNSの結果を良
く表現している.
ここで ， pD= P
O
e
L
uLの近似および式 27 を用いた.モ デ
3
. 密度比の高いケースと低いケースの両方で 逆勾配拡散
ルと DNSのデー タを比較したグラフを Fig.9に示す.モ
が火炎領域内で支配的である.また， BMLモデルは
.
3
9
デル定数は CaseH では CHi=0.
48，CaseL では CFn=0
である.モデ、ル定数の値に多少の違いがあるものの，両ケ
ー スともモデルと DNSデータは非常に良く似た分布を示
DNSのデータと良く一致している.
4
. ファーブル平均が施された乱流スカラ ー流東の輸送方
程式の解析結果によると，圧力の関係する項と速度変
した
動と平均反応速度の関係する項が逆勾配拡散の発生の
最後に，速度変動と平均反応速度の関係す る項 (
H
)のモ
(
5
6
)
錦慎之助ほか，直接数値計算による乱流予混合火炎中の乱流エネルギーと乱流スカ ラー流束の輸送特性の解析とモデリ ング
57
6. Baum，M.，P
o
i
n
s
o
t，T.andThevenin，0
.，J.C
o
m
p
u
t
a
t
i
o
n
a
l
要因となっている.また，平均圧力勾配による生成項，
1
6
:2
4
7
2
6
1(
1
9
9
4
)
.
P
h
y
s
i
c
s1
圧力変動によ る生成項，散逸項および速度変動と平均
反応速度の関係する項についてのモデル化を行った.
.，H
.，
P
h
y
s
.F
l
u
i
d
s7
:1030-1048(
19
6
4
)
.
7
. K
r
a
i
c
h
n
a
n，R
構築したモデルは DNSの結果を良く表現した.ただし，
，A
.，Mansour，N
.，N
. and Reyno1ds，W.，c
.，
8
. B
1
a
i
s
d
e
l
l，G.
密 度 比 が 異 な る 場 合 の モ デ、
ル定数の値などに多少の違
N
u
m
e
r
i
c
a
l S
i
m
u
l
a
t
i
o
n o
f C
o
m
p
r
e
s
s
i
b
l
e Homogeneous
いがあり，モデ、ルの精度を向上させるためにさらに検
t
a
n
f
o
r
dU
n
i
v
e
r
s
i
t
y，76-79
T
u
r
b
u
l
e
n
c
e，Report No.TF-50，S
討を加える必要があ る と考え られる.
(
1
9
9
1)
. and Nada，Y
.，N
e
n
s
h
y
o
N
o
9
. T
a
n
a
h
a
s
h
i，M.，Miyauchi，T
u
t
u，6
:1
3
2
2(
1
9
9
8
)
.
Kagaku-To・Cりy
謝辞
1
0.Bray，K
.，N
.，C
.andLibby，P
.，A
.，P
h
y
s
.F
l
u
i
d
s1
9・ 1
6
8
7
-
本研究は平成 1
2年 度 お よ び 1
3年 度 科 学 研 究 費 補 助金
1
7
0
1(
19
7
6
)
.
(特別研究員奨励費 No.2054) により行われた こ とを ここに
o
i
n
s
o
t，
T
.，
よF
l
u
i
dMech.2
7
8
:ト3
1(
19
9
4
)
.
1
1
.Trouve，A.andP
記して謝意を表する.
1
2
.Bray，K
.，N
.，c
.，
I
nL
ibby，P
.，A.andWilliams，F
.
， A.，(
E
d
s
.
)
.
T
u
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b
u
l
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n
tR
e
a
c
t
i
n
g Flows， S
p
r
i
n
g
e
r -V
e
r
l
a
g， 11
5
1
8
3
(
1
9
8
0
)
目
References
1
3
.Veynante，0
.，Trouve，A
.，Bray，K
.
，N
.，C
.andMantel，T
.
，J
.
F
l
u
i
dMech.332 263-293(
19
9
7
)
1
. K
a
r
l
o
v
i
t
z，B
.，D
e
n
n
i
s
t
o
n，J
r
. 0.，W.，Knapschaefer，0.，H
目
.
， N.
，
c
.
，P
r
o
c
.R
.S
o
c
.L
o
n
d
.A451
:231-256(
19
9
5
)
.
1
4
.Bray，K
andWells，
F
.，
E
.，
P
r
o
c
.Comb.J
n
s
t
.4
:613-620(
1
9
5
3
)
.
，G
a
s
k
e
l
l，P.
，H
.andGu，X
.，よ，C
o
m
b
u
s
t
.Flame
1
5.B
r
a
d
l
e
y，0.
2
. Moss，
1
.，
B
.，Combust
.S
c
i
.Tech
.2
2
:1
1
9
1
2
9(
1
9
8
0
)
.
.，A
.andBray，K
.，N.，c
.
， AJMJ
o
u
r
n
a
l1
9
(
2
)
:2
0
5
3. Li
bby，P
9
6
:221-248(
19
9
4
)
.
1
6
.Borghi，R
. andDutoya，0
.，P
r
o
c
. Comb. J
n
s
t
.1
7
: 235-244
213(
1
9
8
1
)
4
. R
u
t
l
a
n
d，C
.，1
.andTrouve，A
.，C
o
m
b
u
s
t
. Flame94:41-57
(
1
9
7
8
)
.
.，P
rog
.EnergyCombusf.S
c
i
.1
4
:245-292(
19
8
8
)
1
7
.B
o
r
g
h
i，R
(
19
9
3
)
.
5
. P
o
i
n
s
o
t，T
.
， J
. andL
e
l
e，S
.，K
.，1
.C
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m
p
u
t
a
t
i
o
n
a
lP
h
y
s
i
c
s
1
0
1:104-129(
19
9
2
)
(
5
7
)