車両の関数の定義

第３回講義「離散構造１」
[1] 前々回の課題の解説
[2] 関数（１）
・定義域と値域
・関数のグラフ
・関数の合成
関数（１）
私たちは sin x, cos x, ex などの実数関数（実関数）を知って
いる。より一般に，関数はものごとの対応を表現する方法の
一種であり，「もの」に対して対応する「もの」を一意に求め
る操作である。これは集合と並ぶ基本概念である。
例えば，車の「排気量」と「定価」の間や，学生の「身長」と
「体重」の間にも大まかな対応がある。しかし，それらの対
応は一意ではない。一方，「車」から「排気量」への対応や，
「学生」と「学籍番号」の対応は一意である。このような一意
の対応を関数(function)もしくは写像(mapping)という。
関数は定義域(domain)と値域(codomain)と呼ばれる2つの
集合の間に定義される。関数 f の定義域が集合Aであり値
域が集合Bであるとき，f はAの要素にBのある要素を一意
に対応させる。このような f はAからBへの関数と呼ばれる。
【定義3.1（関数）】 集合Aから集合Bへの関数 f はAの各要
素にBのある要素を一意に対応させ
f:A⟶B
と表される。関数 f によってa ∈ A が b ∈ B に対応するとき
f:a⟼b
と表す。
関数 f により a ∈ A が b ∈ B に対応することは b
f(a) とも
表される。 f(a) を f による要素aの像(image)と呼ぶ。関数 f
の定義域と値域はそれぞれ dom(f) と codom(f)と表される。
また，f の定義域 dom(f)の任意の部分集合A’ に対して
f(A’)
{b : ある a ∈ A’ に対し b
f(a)}
を f によるA’の像(image)と呼ぶ。
f による dom(f)の像 f(dom(f)) は関数 f の像(image)と呼ば
れ，Im(f) とも表される。すなわち，
Im(f)
である。
{b : ある a ∈ dom(f) に対し b
f(a)}
dom(f)
codom(f)
f




a


b f(a)



Im(f)
関数 f の定義域dom(f), 値域codom(f), 像Im(f) の関係
一般に，Im(f) ⊆ codom(f) であることに注意すること。
ex. 自然数nを自然数2n 1に対応させる自然数NからNへ
の関数を f : N ⟶ Nとする。このとき f : n ⟼2n 1 と表すこ
とができる。また，f(n)
f(0)
f(A’)
1, f(1)
3, f(2)
2n 1 と表すこともできる。
5 であり，A’
{0, 1, 2} とすると
{1, 3, 5} である。f の像 Im(f) は奇数Oである。
ex. 実数上の加算 はR RからRへの2変数関数
: R R ⟶ Rであり
: (x, y) ⟼ x y
と表すことができる。最初の は関数を表す記号として，2
番目の は加算を表す演算子として用いられている。
関数 f の定義域と値域がともに集合Aであるとき，f はA上
の関数と呼ばれる。
Q1. 指数関数f(x)
ex は実数R上の関数である。
f の像 Im(f) はどうなっているか。
Q2. f(x)
x は実数R上の関数であるか否か。
否の場合，定義域 dom(f) はどのように定めたらよいか。
また，そのとき f の像 Im(f) はどうなるか。
関数の同一性：
2つの関数 f と g があったとき，f と g が等しいと言われる
のはどのようなときであろうか。
【定義3.2（関数の同一性）】 任意の関数 f と g は定義域と
値域がそれぞれ等しく，かつ任意の要素の f による像と g
による像が等しいとき，等しい(equal)と呼ばれ f
g と表す。
Q3. 次の2つの自然数N上の関数 f と g は等しいか否か。
f(i)
i(i 2) (mod 2),
g(i)
i2 (mod 2)
ただし，自然数 i と正の自然数 n に対し，i (mod n)は i を n
で割った余りを表す。
関数のグラフ：
定義域Aから値域Bへの関数 f は，f のグラフ(graph)と呼ば
れる，Aの要素とBの要素の対からなる集合 graph(f) で表
現できる。
【定義3.3（関数のグラフ）】 任意の関数 f : A ⟶ B に対し，
f のグラフ graph(f) を
graph(f)
とする。
{(a, b) : a ∈ A, b ∈ B, b
f(a)}
ex. A {1, 2}, B {2, 3} とし，AからBへの関数 f を f : i ⟼i 1
とする。このとき graph(f)
{(1, 2), (2, 3)} である。
Q4. 定義域 A {0, 1, 2, 3, 4} から値域Zへの関数 f を
f : i ⟼ i2 1 とする。
関数 f のグラフ graph(f) の外延的定義を示しなさい。
グラフによる関数の再現：
関数 f : A ⟶ B のグラフ graph(f) は，A B の部分集合であ
るが，次の2つの性質を持つ。

任意の a ∈ A に対し，(a, b) ∈ graph(f)となる b ∈ B が存
在する。

任意の a ∈ A と任意の (a, b1), (a, b2) ∈ graph(f)に対し，
b1
b2 が成立する。
そこで，関数 g: A⟶B を，g(a) b，ただし，(a, b) ∈ graph(f)
となるように定める。このとき，f g となり，graph(f)から f
が再現できることがわかる。
関数による集合の表現：
集合に対し，要素がその集合に含まれるか否かを表現す
る特性関数と呼ばれる関数X(a)を定義する。すなわち，集
合Aは A {a : XA(a) 1}となり，関数XA(a)で表現できる。
【定義3.4（特性関数）】 任意の集合Aの特性関数XA(a)を
XA(a) 1 (a ∈ A の場合)
0 (a ∉ A, a ∈ U の場合)
とする。
Q5. 普遍集合をU {0, 1, 2, 3}とし，A {1, 2} とする。
このとき，集合Aの特性関数XA(a)を求めなさい。
関数の合成：
集合に対する操作で新たな集合が生成できたように，関
数に対する操作で新たな関数を生成することができる。こ
こでは，関数の合成(composition)を定義する。
【定義3.5（関数の合成）】 任意の関数 f : A ⟶ B と任意の
関数 g : B ⟶ C に対し，a ∈ A を g(f(a)) ∈ C に対応させる関
数を f と g の合成関数とする。g ∘ f : A ⟶ C であり，
g ∘ f : a ⟼ g(f(a))である。
Q6. 次の自然数N上の関数 f と g で g ∘ f と f ∘ g を求めよ。
f : n ⟼ 2n 1,
g : n ⟼ 2n
dom(f)
codom(f)
= dom(g)
codom(g)
dom(g ∘ f)
codom(g ∘ f)












f









g
関数 f と関数 g の合成関数 g ∘ f


g ∘ f
関数 f と関数 g に対して， g ∘ f と f ∘ gは一般には異なる。
さらに， g ∘ fが関数であっても f ∘ g は関数と定義されない
かもしれない。すなわち，関数の合成では交換律が成り立
たない。しかし，関数の合成は結合律を満たす操作である。
【定理3.1（合成関数の結合律）】
任意の関数 f, g, hに対し，合成関数 g ∘ f および h ∘ g が
定義されるとき
h ∘ (g ∘ f)
(h ∘ g) ∘ f
である。したがって()をはずして表されることが多く，
h ∘ g ∘ f : a ⟼ h(g(f(a))) である。
Q7. 次の自然数N上の関数 f, g, h が
f : n ⟼ 2n 1,
g : n ⟼ 3n,
h: n⟼ n 1
で与えられるとき，関数の合成 h ∘g ∘ f および f ∘g ∘ h を
求めよ。
第３回講義課題
【復習課題】
問題１．定義域が実数R，値域が整数Zであるような関数の定義を
3種類考えてみなさい。
問題２．第３回講義ノートにあるQ1~Q7のすべてに答えなさい。
第３回講義課題（続き）
【予習課題】
問題１．定理4.1（単射の保存）を証明せよ。
（教科書 p.61の3.14(a)で「1対1」を「単射」と読み替えること）
問題２．定理4.6（全射の保存）を証明せよ。
（教科書 p.61の3.14(b)で「上への」を「全射」と読み替えること）
問題３．A {a, b} から B {1, 2, 3} へのすべての関数からなる
集合 BA を求めなさい。