A( C)B(A + ∙ + = ∙ +

【復習】 論理式の双対性
論理回路Ⅰ (第3回)
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
鹿間 信介
摂南大学 工学部 電気電子工学科

A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
ブール代数と論理式
3.2 ブール代数（続き）
3.3 真理値表から論理式を求める
論理式では、ある論理式の＋、・、０、１、を同時に
入れ替えても等価な論理式が得られる。
3.3.1 主加法標準形

演習
論理回路Ⅰ
摂大・鹿間
【復習】 ブール代数の公理と双対性
重要
#4 分配則
#1 可換則
A・B = B・A
A+B = B+A
A・(B+C) = A・B+A・C
A+B・C = (A+B)・(A+C)
#2 結合則
#5 相補則 -- A は補元
A・(B・C) = (A・B)・C
A+(B+C) = (A+B)+C
A A  0
#3 吸収則
論理関数の定理（1）－公理より証明される命題
A・A = A
A+A = A
双対性： 演算記号入替えてもOK
摂大・鹿間
重要
論理関数の定理（2）
双対
（1.2の証明）
A+A=A+（A・(A+B)） -- 吸収則 （第1式）
= A・（A+C）
-- A・BをCとした
=A+A・D
-- A+BをDとした
=A
-- 吸収則 （第1式）
=A
-- 吸収則 （第2式）
＜証明完＞
0，1を含む式では、0 ⇔ 1のこと
藤井： 「ディジタル電子回路」, 2.2節
--（1.1）
--（1.2）
A・A= A・（A+A・B） -- 吸収則 （第２式）
“・” AND ⇔ ”+” OR
論理回路Ⅰ
重要
#1 べき等則
（1.1の証明）
A A 1
A・(A+B) = A
A+(A・B) = A
摂大・鹿間
論理回路Ⅰ
＜証明完＞
藤井： 「ディジタル電子回路」, 2.2節
論理回路Ⅰ
論理関数の定理（3）
摂大・鹿間
重要
#3
#２
A・1 = A
A+0 = A
--（2.1）
--（2.2）
A・0 = 0
A+1 = 1
双対
--（3.1）
--（3.2）
双対
（2.1の証明）
（1.2の証明）
（3.1の証明）
（3.2の証明）
A 1  A  ( A  A) -- 相補則 （第２式）
A  0  A  ( A  A) -- 相補則 （第1式）
A  0  A  ( A  A) -- 相補則 （第1式）
A  1  A  ( A  A) -- 相補則 （第2式）
 ( A  A)  A -- 結合則 （第1式）
 ( A  A)  A -- 結合則 （第2式）
A
-- 吸収則 （第1式）
A
＜証明完＞
-- 吸収則 （第2式）
＜証明完＞
 A A
0
-- べき等則 （第１式）
 A A
-- べき等則 （第2式）
-- 相補則 （第1式）
1
-- 相補則 （第2式）
＜証明完＞
論理回路Ⅰ
藤井： 「ディジタル電子回路」, 2.2節
摂大・鹿間
論理回路Ⅰ
藤井： 「ディジタル電子回路」, 2.2節
＜証明完＞
摂大・鹿間
1
重要
論理関数の定理（4）
#4 二重否定
( A)  A
#5
A の補元 A はただ一つ存在する
（4の証明）
--（4）
( A)  ( A)  0
 (( A )  A )  (( A )  A )
-- 分配則
 A1  ( A  A 2 )
 (( A )  A ) 1
-- 相補則
 A1  A  A1  A 2
-- 分配則
 (( A)  A)  ( A  A)
-- 相補則
 0  A 1  A2
-- 相補則
 A  ( A)  A
A0
-- 分配則
 A  A 2  A1  A 2
-- 相補則
-- 相補則
 A 2  ( A  A1 )
-- 分配則
A
-- 定理2
 A2  1
-- 相補則
摂大・鹿間
重要
論理関数の定理（6）
#6 ド・モルガンの定理 -- ORとANDの入替え用！
A  B  A  B --（6.1）
A  B  A  B --（6.2）
 A2
∴ Aの補元はただ１つである
双対
論理回路Ⅰ
 (( A  A )  B )  ( A  ( B  B ))
 (1  B )  ( A  1)
 1 1
1
A+B の補元は A  B であり、
定理５より補元はただ一つだけ
なので、 A B がA+B の補元
であることが示せればよい。
( A  B)  ( A  B )  A  ( A  B)  B  ( A  B)
-- 相補則
-- 定理2
＜証明完＞
摂大・鹿間
藤井： 「ディジタル電子回路」, 2.2節
例題3-3 双対の等式を求めよ
(a) A( B  C )  AB  AC
(b) A  0  A
ＯＲ ⇒ ＡＮＤ
0⇒1
ＡＮＤ ⇒ ＯＲ
ＯＲ ⇒ ＡＮＤ
( A  B )  A  B  (( A  B )  A )  (( A  B )  B )
（6.1）の証明
-- 定理2
A1  A1  1
-- 相補則
藤井： 「ディジタル電子回路」, 2.2節
--（5）
（証明） Aが、異なる２つの補元 A1 , A2 を持ったとすると、
-- 定理2
 ( A)  A  A
＜証明完＞
論理回路Ⅰ
重要
論理関数の定理（5）
A  BC  ( A  B)( A  C )
A 1  A
 ( A  A )  B  A ( B  B )
 0 B  A0
0
＜証明完＞
藤井： 「ディジタル電子回路」, 2.2節
論理回路Ⅰ
摂大・鹿間
例題3-4 ド・モルガンの定理をベン図で証明せよ
A
B
・
A
B
＝
論理回路Ⅰ
B
+
A
！ OR⇔AND変換にはド・モルガンの定理
Y  A B
B
ハッチングﾞの
全体領域（OR)
A  B  A B
A
例題3-5 次の論理式をAND演算に変換せよ
ハッチングの
共通領域（AND)
A B  A  B
A
B
＝
A
摂大・鹿間
論理回路Ⅰ
 A B
--- 二重否定
 A B
--- ド・モルガンの定理
B
摂大・鹿間
論理回路Ⅰ
摂大・鹿間
2
算術演算と論理演算の違い（まとめ）
例題3-5’ 次の論理式をOR演算に変換せよ
！ OR⇔AND変換にはド・モルガンの定理
演算子
Y  A B
２進数算術演算
 A B
 A B
摂大・鹿間

主加法標準形

通常の代数における多項式の整式に対応する表現形式

「最小項」の積和で表現
例： AB+A’B+AB’
最小項： すべての変数を含む論理積の項 （２変数の例： AB）
主乗法標準形 （双対な形）

通常の代数における変数（あるいはその否定）の和同士をかけたもの

「最大項」の和積で表現


例： （A+B）・（A’+B）・（A+B’）
最大項： すべての変数を含む論理和の項 （２変数の例： A+B）
摂大・鹿間
論理回路Ⅰ
重要
主加法標準形（2/2）
A
0
0
0
0
1
1
1
1
論理回路Ⅰ
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Y
0
0
0
1
1
0
1
1
０，1 （数値）
・ （論理積） ＋ （論理和） ０，1 （状態）
摂大・鹿間
主加法標準形（1/1）
3.3.1 主加法標準形

＋ （加算）
論理回路Ⅰ
3.3 真理値表から論理式を求める

・ （乗算）
値
--- ド・モルガンの定理
論理回路Ⅰ

和
--- 二重否定
２値論理演算

積

出力が1になる入力組合せを列挙

各組合せに対し1になるAND項を列挙

列挙したAND項をORで結合して完成

この論理式構成法を主加法標準形という
ABC
AB C
真理値表から論理式を導きたい場合、どうする？
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Y
0
0
0
1
1
0
1
1
摂大・鹿間
論理回路Ⅰ
例題3-6 真理値表から論理式を主加法標準形で求めよ
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Y
0
1
1
0
AB
AB
Y  A B  AB
( A  B)
Y  A BC  A B C  AB C  ABC
ABC
ABC
摂大・鹿間
論理回路Ⅰ
摂大・鹿間
3
例題3-7 多数決の真理値表より論理式を主加法標準形で求めよ
【付録】ブール代数の公理と定理 （まとめ）
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Y
0
0
0
1
0
1
1
1
A・B = B・A
A+B = B+A
#5 相補則 -- A は補元
#2 結合則
A・(B・C) = (A・B)・C
A+(B+C) = (A+B)+C
#3 吸収則
AB C
Y  A BC  A BC  AB C  ABC
ABC
#1 べき等則
A・A = A
A+A = A
#２
ABC
摂大・鹿間
論理回路Ⅰ
A・1=A
A+0=A
AA  0
A A 1
双対性：
双対性：演算記号入替えてもOK
演算記号入替えてもOK
“・”
“・”AND
AND ⇔
⇔ ”+”
”+”OR
OR
0，1を含む式では、0
0，1を含む式では、0⇔
⇔1のこと
1のこと
A・(A+B) = A
A+(A・B) = A
ABC
定理
論理回路Ⅰ
B
0
0
1
1
0
0
1
1
公理
A
0
0
0
0
1
1
1
1
重要
#4 分配則
A・(B+C) = A・B+A・C
A+B・C = (A+B)・(A+C)
#1 可換則
#3
A・0 = 0
A+1 = 1
#4 二重否定
( A)  A
#5 A の補元 A はただ一つ存在する
#6 ド・モルガンの定理 （OR⇔AND変換用）
A  B  A B
A B  A  B
摂大・鹿間
4