高等学校における弧度法の導入について -グラフ電卓を用いて-

岡山大学算数 ･数学教育学会誌
『パ ピルス』第 5号 (
1
9
9
8
年 )9
5
頁∼9
9
頁
高等学校における弧度法の導入について
-グラフ電卓を用いて曽布川拓也
岡山大学教育学部
高等学校 3年次で角の大きさの単位として弧度法が導入 され る 弧度法
6
0分 法
は三角関数の微積分には必要不可欠な ものであるたけでなく,3
による角度 と比べて図形的に意味があるとい う点でも重要な概念である
が,その導入は天下 り式であり.必然性に欠けたものにな りやす く,そ
の結果概念を捕 らえよ うとせず単なる暗記を しよ うとする生徒が多くな
るのではないだろうか.
本論文ではグラフ電卓を用いて ｢
必然的な形でJ弧度法を導入する方法
についての捷案 を行 う
現行の高等学校の数学科の教科書を見る口
だ/
/.
1 研究の動機 と背景
弧度法の必要性に 1点だけ言及 している,それ:
三
これまで高等学校 における弧度法による角の大
s
l
次のことである.
きさは,単に 1
8
0
0- ,
r
(
t
adM l
)とい う公式に
よってのみ扱われてきたよ うに思われ る 美声
剰こ
l∂
:_..丁
; =:
(
1
)
L
は弧度は角の大きさを直接測るものではなく,円
弧の長 さを測ってそれに対応す る中心角の大きさ
これは角の大きさ Oを弧度法で表 したときにの
6
0分法に
を表す とい うものであり,図形的には 3
み成 り立つ等式である そ してこれを用いると.
よる角度 とは全 く異なるものである.つま り本来
正弦関数の導関数が次のように して求められ る
の定義は
l
l
m
孟 (s
mx)
半径 と同 じ長 さの円弧に対す る中心角
s
m(
l
l
+h)- slllユ:
九一 O
h
2c
o
s(
l
l
+ 告)
s
l
n窒
1
1
1
1
1
7
t
-0
A
r
a
di
a
nラジアン)とい う
の大きさを 1(
ところが高等学校でよく扱 う角の大きさを弧度で
表せば
-
o
･ 芸. 芸, 芸, 芸一
･
=
,
･
L
i
ln.c
o
s
(
弓
,翠
e osxo
l
i
p.憲
COS7
:
とい うよ うに,弧度で表す とかえって複雑に見え
るよ うなものばか りである.生徒たちが.これ ら
ここでは三角関数の加法定理から導かれる ｢
和一
をなぜ
嶺変換公式｣が用い られる この額の公式は.あ
まり意味もないままに数学 口で竿ぶが,覚えよう
0
,3
0
03
0
04
5
06
0
09
0
0･
とすると大変に大きな負担になるやっかいなt
,
の
であ り,さらに言えば 3年次の段階で生徒がこれ
を覚えていて使いこなせ ることはほとんど期待で
と表さないのだろ う,新 しいものを用いるメリッ
トはない. と思 うのは自然である.
-
9 5
-
きない.従って授業でこの ように公式を導いて見
本論文では.グラフ罷卓を用いて弧度法の必要
せて も.忘れて しまった公式を使った計算を見る
性について感 じさせる授業のための 1つの題材 を
だけで,生徒にとっては全 く時間の浪費にしか過
提供す る.
ぎず.結局授業では取 り上げずに ｢
公式はこうで
ある,覚えろ_と進めることが多いのではないだ
2 三角関数の導関数 と弧度法
ろうか.これは昨今 よく見受ける ｢
音味も分か ら
ず丸暗記するJとい う悪い勉強法を助長すること
にな り.ひいては数字とい う教科の存在青紫まで
言 うなれ憤 瓜度法が用い られるのは (1)を用い
たいか らである一しか し実際には極限の概 念はそ
危 うくす るものである.またよくこの (
1
)を使 う
ためだけに存在する演習問題 を見かけるが,無駄
れ自体が錐解で.結局高等学校の数字のq
J
では答
えを出す方法をただ暗記するだけの無音味なもの
なことこの上なく.出題者の数学的なセンスのな
になっている.ここでは権限の概念を近似的に扱
さを披露 しているようなものであるとす ら感 じら
いなが ら三角関数の導関数 を導入 し,その途中段
れ る.
階において弧度法を導入す ることにす る
弧度法そのものの存在意義は,前述の定義か ら
もわかるとお り,扇形の扱いである 例えば小学
2.
1 差分南関数
校段階の範囲でも,
弧の長 さ
扇形,
I
,醐
- 直径 ×芸
-
半臥
空 欄
単軌
関数 y=j(
I)の導関数 J′
(
I)の定義は
率
/(
.
r+h)-I(
I)
J
'
(
2
:
)
-l
l
L
n
o
円周率 ×ミ宗
である.高等学校数字 Ⅲでは.この定義の中の
を学ぶが,これが
｢
瞬間の変化｣とい うことに主眼をおき.あくま
弧の長 さ = 半径 ×中心角の弧度
扇形の面稚
= 半径 ×半径 ×中心角の弧度 T2
でも ｢
極限Jにこだわろうとい う教科杏が多いよ
うに見受ける.しか し実際にはその前に r
変化の
= 半径 ×弧の長 さ T2
割合 ｣であることがもっとも重要である.言い方
を替えれば,導関数 (
微分係数)が ｢
接線の｣傾
となる.特に扇形の面紗 よ三角形の面積 と r
同 じ｣
きであるとい うことも重要であるが.接線の ｢
傾
と見なせ ることがわかる.
きである｣ことの方がまず考えられるべきであり,
二のこと 1つをとっても.弧度の図形的な扱い
｢
瞬間の｣とい うところをそれほど強調する必要
は興味深いものなのであるが､小学校段階では円
はないのではなかろうか,
周率 を 3.
1
4 とす るとその扱いがかえって難 しく
一方,計舞機を用いて極限を求めることは,本
な り.中学校段階でも,現在の学習内容ではわざ
わ ざ二0
)ようなものを持ち出 してくる必然性はな
質的にはできない.実晩 計算機は離散的に しか
数を扱 うことができないため.数列の値の変動が
い.また高等学校段階でも幾何学的なものがまだ
ある限界以下になったらそれを収束 したと見なす
のである. I
まだ軽視されていて.弧度綾のメリッ ト 必然性
を もた らす内容はほとんどない.
このよ うなことか ら生徒にとって弧度の必要性
この 2つの点か ら,導関数 (
微分係数)の意味
を考えるときには.これを計算機で扱い.しかも
を感 じる何 らかの授業を現在のカ リキュラムの枠
内で展開す ることが必要であるとい う観点に達
導関数その ものの代わ りに十分小さい h に対す
l
その他が其の極限値の近似値にI
Lりうるか とい うのは大
きなr
L
n憶である.
'
した
-
96
-
2,
3 360分法 と導関数
る差分商関数
△
I
l
j
'
(
x)
I(
L
7
;
+h)-j'
(
I)
次に. 図 1と同 じ関数のグラフを同 じグラフ
屯卓を用いて再度描いてみる.
を考 えるのが妥当である.(この考え方について
はr
5
1を参照)
2.
2 三角関数の斗関数
三角関数の導関数は前節のように差分商関数と
して導入す ることにする.このとき,差分商関数
を式のまま考えたのでは何も分か らないので,そ
のグラフを描いてみることにする.
図 2･y-△ hS
l
nXのグラフ3 (
h- 0.
1
)
残念なが ら 図 2は ミスプ リン トで.
'
よない 画面
設定も 本質的には図 2と同 じである.何が違 う
■
ヽ
＼
＼J
ノ
′
のか.それは角の大きさを表す単位が違 うからで
ノ′
ある,
､､_∫
図 1では角の大きさが弧度法で,図 2では 360
分法で表されている.これはどうして起こるので
あろ うか.
次のよ うな記号を用いることにす る.
1
.
s
l
叶 )は常に弧度法で表 した角の大きさに対
して定義 されるものとす る.
図 1 y-△hSl
l
lエのグラフ2
(
I(
.
T)-S
l
l
l
l
･
,h-01
)
2･新 しく関数 r
a
d(
･
)を r
a
d(
I)- 芸
める.
前もって三角関数のグラフを学んでおけば,これ
を見て y-
cosxのグラフと比較す ることは自然
と定
この表 し方によれば,図 2の 360分法で表 した
正弦関数 f(
x)は
")-C
-x とい うこと
であ り,そこか ら 孟 (
s
i
t
が推測できる
f(
I)-s
i
n(
l
a
d(
l
l
)
)
このような導入に続 く授業展開はいろいろなや
と表すべきである.さらに関数 r
a
d()の定義式
を代入すると,
り方が考えられ る,ここでいきな り公式を掲げる
のも 1つの方法である.またこの推測を証明で確
かめてみようとい うのも 1つの方法である.ここ
f(
1
.
)-S
i
.
(
芸 )
からは生徒の興味 ･関心によって変えるべきであ
である. この関数の導関数を計算す ると
7
1
･
r
i
F
a
d(
I)
)完 岳 s
l
n(
l
a
d(
I)
)
f/
(
1
.
)- i
i
6s
l
n(
るが.少な くとも全 くの天下 り式よりははるかに
良い (この進め方については L
5
7を参照)
･
2Te
xasl
us
t
L
umeut杜 Tt
83使 用.zooM-Zn l
g.目
3Te
xa
sI
t
l
S
t
L
･
ul
ueu
t杜 TT
1
83.WI
NDOW -37
0≦ユ_
<
37
0.横軸 の 目盛 りは 90.縦 他は 1
盛 りは横軸 が 昔丁縦他 が 1
ー
9
7
-
とい うことになる.図 2はこの関数の近似関数の
3.
3 第 3段階 :弧度法の導入
グラフを表 していたのであって,何 も表示されて
いないのではなく.この表示ではグラフが横軸の
なぜわか りやすい形になったかを考える (
弧度
ごく近 くを通るため横軸 との粍 れ具合がわからな
かったのである.
の導入) それは単なる機械的操作であるが,そ
の操作が どうい う意味を持つのかを考える.
3 弧度法の導入への応用
これ まで弧度法は天下 り式に導入 されてきた
しか し前節 までの考察をもとに自然な導入が可能
となる.そのために次のよ うな道筋を提案する.
授業は数学 口と数字Ⅲにまたがった内容 となって
いる
8
3MODE設定画面
図 3 TI
この画面を見ると.ほとんどのところが一番左端
3.
1 第 1段階 :三角関数のグラフ
現行の数学 Ⅲで行われているように 360分怯の
(
de
f
aul
t
)に設定 されているが, 1つだけそ うで
ないところがある.これを変えると,差分商関数
みで三角関数のグラフ等を扱 う.このときにブラ
のグラフが図 1のように描ける.
●
フ電卓を使 った授業は有意義である.その方法は
r
r
a
dlan｣r
de
g
r
e
e｣を変えるとよくわかる状況
になったとい うことを踏まえ,これ らの語を英和
色々と模索 されているよ うである (
例えば l
2
1
)
･
グラフ電卓を用いるとき.角の大きさの単位を
36
0分法 (
de
gr
e
e
)に設定 しておくことが必要であ
au]
tが l
t
a
di
anのようで
るが.多 くの機種では def
ある この辺 りには多少問題があるかもしれない.
3.
2 第 2段階 :三角関数の斗関数
辞典で引いて見る.するとここに ｢
r
adi
an｣の定
義がもた らされる,
r
a
dl
a
nの定義がわかったところで.前述のよ う
な図形的な意味を考える･ついで de
gl
･
e
eとr
a
dl
a1
1
の変換公式を導入す る.
3.
4 第 4段階 :串関数の公式の証明
正弦/余弦髄数の導関数を調べる.このときに
は 回 で示 したよ うに,導関数そのものではなく.
差分商関数のグラフを描 くことで.導関数を推定
しようとす る. しか し実際には図 2のような状況
になって しまい.失敗す る,
正弦関数の導関数の公式を証明する.このとき
には.(
1
)は.現在多くの教科書で取 り上げ られ
ている図形的な証明を (
場合によってはさらに直
感的に)行 う･
三角関数の導関数は高等学校の範囲では適用範
その上で.角の大きさの単位を弧度法に変えて
囲が狭い.実際.単に導関数の計算 をす ること.
み る す ると考えていた差分商関数のグラフは,
サイクロイ ドなどの曲線の媒介変数表示 そ して
ちょうど余弦関数のグラフになる.このことか ら
積分の計算程度がその用途である.三角関数と指
正弦関数の導関数は余弦関数であるとい う予測が
できる.
数 ･対数関数,整関数を組み合わせたような関数
ー9
8-
のグラフは,微分法を用いて描 く問題が意外に難
しい ものになって しま うよ うである 極論すれば,
参考文献
三角関数の導関数はそれ 白棒が 目的であるか.ち
r
l
)文部省検定済教科蕃
しくは積分法のための予備知識であるに過 ぎない.
』,啓林賂
訂数学 3年
中学校数学科用 r
新
平成 9年度用
L
2
日l
uニ公一 ｢
関数の グラフの移軌 岡山大字
榛陣授業 ･
算数 ･
数学教育芋会第 5回談話会 (
導関数の公式の
帰納的な導入
口頭発表)1
997
【
3
】曽布川拓也
｢
基本コース｣
曲線 の接線 の図形的なとらえ
方について (
り 一定義 とその背景 _岡山大
竿算数 ･数学教育等会誌 ｢
ハ ヒルス｣ 第 4
｢
一般コース｣
｢
科学コース｣
号IPP71
77ユ
99
7
導関数 の計算
｢
哲学コース｣
｢
科学 コース｣
回 曽布川拓也 ｢
曲線 の横線の図形的なとらえ
方について (
Ⅰ
り -応用 と展開 -｣ 岡山大学
｢
基本コース｣
算数 ･数字教育学会誌 rパ ピル スJ 第 4
%
,
pp79
831
99
7
r
5
1曽布川拓也 ｢
導関数の公式の導き方-グラフ
電卓を用いて-｣ 岡山大学算数 ･数学教育学
会誌 ｢
パ ピル ス｣夢 5号.1
99
8
図 4･微分法の学習の進 め方 (
l
5日
従 って.証明な しに三角関数の導関数の公式を導
入す るな らば,直ちに積分法を扱い,応用に進む
べきであろ う.そ うしないとただでさえ難 しいと
(
平成 10年 4月 20日受理)
され敬遠 され る数字Ⅲが,それを学ぶ生徒 にとっ
て意味のない.味気ないものになって しま う可能
性がある.
4 終わ りに
これ まで考え られてきた ｢
グラフ屯卓 (コンピ
ュー タ)を用いた授菓｣は,まず数学的な要求が
あ り.それ に合わせ てグラフ屯卓 (コン ピュータ
ノフ 卜)が開発 され るとい う順 で発展 してきた.
本束それが当然であるが,本論はその点か らいえ
ばむ しろ偶然の産物に過 ぎない.また.メデ ィア
の使 い方,数字的な題材 を呈示 したのみ であ り,
授業方法については全 く考察がな されていない.
この内容 を実践に移す取 り組みが待たれ る.
一
璽璽ll
■
9 9
-