一般化可能性理論におけるベイズ的分析例

一般化可能性理論におけるベイズ的分析例
一般化可能性係数の事後分布
○岡本安晴 1
（1 日本女子大学人間社会学部）
キーワード：一般化可能性係数、ベイズ的分析、確信区間
Bayesian Analysis in Generalizability Theory
Yasuharu OKAMOTO1
1
( Japan Women’s University)
Key Words: generalizability coefficient, Bayesian analysis, credible interval
目 的
一般化可能性係数（generalizability coefficient） の
事後分布を MCMC サンプリングにより推定する。 が、分散分
析の方法を適用して推定された分散に基づいて点推定値とし
て算出された場合、その点推定値にはサンプリングによるラ
ンダムな変動が含まれる。このランダムな変動量がわかると、
D study におけるテストのデザインの決定がより安全に行え
る。 の推定をベイズ的に行うと、推定値のランダムな変動
量は事後分布として得ることができる。One-facet デザイン
と two-facet デザインの場合について、Furr ら（2008）で説
明されているデータに対してベイズ的分析を行い、 の 95％
確信区間（credible interval: CI）を求めたものを報告する。
モデルー1：One-facet デザイン
測定対象者（target）tの項目iにおける得点
,
,
,
,
,
95％確信区間の中央値
95％確信区間の下限
図１
項目数 と
の 95％確信区間
が次式
で表されるものとする。 は全体の平均値、 は測定対象者t
の特性値、 は項目iの特性値、 は残差を表し、
~ 0,
、 ~ 0,
、 ~ 0,
とする。 、 、 、 は次の事前分布
~
, 、 ~
,
~
,
、 ~
,
に従うものとする。 は十分に大きい値とし、 ∼ の値は、
分散分析の古典的方法によって得られる分散の推定値に基づ
いて設定する。このとき、事後分布は
, , , , , |
∝ 95％確信区間の上限
,
と表す。基本的にはモデルー１と同様の仮定をおく。 は十
分に広い範囲で一様分布に従うとし、 、
・・・、
、 は平
・・・、 、 の正規分布、分散 、
・・・、
均０、分散 、
、 は逆ガンマ分布に従うものとする。逆ガンマ分布のパ
ラメータ値は分散分析の古典的方法によって得られた分散の
推定値に対応して設定する。事後分布
, , , ,
,
,
, ,⋯,
, |
の Metropolis-within-Gibbs におけるサンプル値から を
⁄
ｔ
⁄
⁄
によって求める。Furr ら（2008）の Table 12.5 のデータに
対して項目数
5のときの観察者数 の関数として の
95％確信区間を求めると図２のようになる。
|
,
で与えられる。
Metropolis-within-Gibbs による MCMC の第 s ステップにお
けるパラメータのサンプル値、
、
、
、
、
、
、を順番に求め、これらの値から第 s ステップにおけ
る
95％確信区間の上限
のサンプル値を次式
⁄
により算出する。ここで、 は項目数である。
Furr ら（2008）の Table 12.1 のデータに対して の 95％
確信区間を求めたものを図１に示す。 の区間推定により、D
study におけるテストデザインの検討をサンプルによる不確
実性を考慮して行うことができる。
モデルー２：Two-facet デザイン
測定対象者 の項目 における観察者 による評定値を
95％確信区間の中央値
95％確信区間の下限
図２
項目数
5のときの観察者数
と
の
95％確信区間
引用文献
Furr, R. M. & Bacharach, V. R (2008). Psychometrics: An
introduction. Sage Publications, Inc.