線形代数学 II - b 10. 部分空間の基底と座標

座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
線形代数学 II - b
10. 部分空間の基底と座標
土屋和由
基礎・教養教育センター
2016 年 12 月 01 日
土屋和由
線形代数学 II - b 10. 部分空間の基底と座標
座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標とは？
線形代数学 II では，n 次元空間に対する幾何学的性質を調べる手
段として行列・行列式の理論を援用する．
幾何学的問題を「計算」に帰着させる中心的概念は座標である．
土屋和由
線形代数学 II - b 10. 部分空間の基底と座標
座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標とは？
線形代数学 II では，n 次元空間に対する幾何学的性質を調べる手
段として行列・行列式の理論を援用する．
幾何学的問題を「計算」に帰着させる中心的概念は座標である．
そもそも「座標」とは何か？
より効率的に幾何学的対象を調査するために，
「座標」の概念を一
般化出来ないか？
土屋和由
線形代数学 II - b 10. 部分空間の基底と座標
座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標とは？
線形代数学 II では，n 次元空間に対する幾何学的性質を調べる手
段として行列・行列式の理論を援用する．
幾何学的問題を「計算」に帰着させる中心的概念は座標である．
そもそも「座標」とは何か？
より効率的に幾何学的対象を調査するために，
「座標」の概念を一
般化出来ないか？
本日の目標
座標の概念を一般化し，その計算法及び意義を理解する．
土屋和由
線形代数学 II - b 10. 部分空間の基底と座標
座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の捉え方
座標の捉え方
( )
a1
a=
a2
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の捉え方
座標の捉え方
( )
a1
= a 1 e1 + a 2 e2 .
a=
a2
土屋和由
線形代数学 II - b 10. 部分空間の基底と座標
座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の捉え方
座標の捉え方
( )
a1
= a1 e1 + a2 e2 . ← 座標は標準基底 e1 , e2 の係数を並べたもの．
a=
a2
土屋和由
線形代数学 II - b 10. 部分空間の基底と座標
座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の捉え方
座標の捉え方
( )
a1
= a1 e1 + a2 e2 . ← 座標は標準基底 e1 , e2 の係数を並べたもの．
a=
a2
⇒ 「標準基底」を一般化出来ないか？
土屋和由
線形代数学 II - b 10. 部分空間の基底と座標
座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の捉え方
座標の捉え方
( )
a1
= a1 e1 + a2 e2 . ← 座標は標準基底 e1 , e2 の係数を並べたもの．
a=
a2
⇒ 「標準基底」を一般化出来ないか？
座標の一般化の可能性
V を Rn の部分空間，a1 , . . . , ar を V の基底とする．
今，x ∈ V に対して，
x = c1 a1 + · · · + cr ar
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の捉え方
座標の捉え方
( )
a1
= a1 e1 + a2 e2 . ← 座標は標準基底 e1 , e2 の係数を並べたもの．
a=
a2
⇒ 「標準基底」を一般化出来ないか？
座標の一般化の可能性
V を Rn の部分空間，a1 , . . . , ar を V の基底とする．
今，x ∈ V に対して，
x = c1 a1 + · · · + cr ar = d1 a1 + · · · + dr ar
とする．
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の捉え方
座標の捉え方
( )
a1
= a1 e1 + a2 e2 . ← 座標は標準基底 e1 , e2 の係数を並べたもの．
a=
a2
⇒ 「標準基底」を一般化出来ないか？
座標の一般化の可能性
V を Rn の部分空間，a1 , . . . , ar を V の基底とする．
今，x ∈ V に対して，
x = c1 a1 + · · · + cr ar = d1 a1 + · · · + dr ar
とする．このとき，
(c1 − d1 )a1 + · · · + (cr − dr )ar = 0
である．
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の捉え方
座標の捉え方
( )
a1
= a1 e1 + a2 e2 . ← 座標は標準基底 e1 , e2 の係数を並べたもの．
a=
a2
⇒ 「標準基底」を一般化出来ないか？
座標の一般化の可能性
V を Rn の部分空間，a1 , . . . , ar を V の基底とする．
今，x ∈ V に対して，
x = c1 a1 + · · · + cr ar = d1 a1 + · · · + dr ar
とする．このとき，
(c1 − d1 )a1 + · · · + (cr − dr )ar = 0
である．a1 , . . . , ar は一次独立であるから
c1 − d1 = · · · = cr − dr = 0.
したがって，c1 = d1 , . . . , cr = dr .
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の一般化
Definition (部分空間の基底に関する座標)
V を Rn の部分空間，a1 , . . . , ar を V の基底とする．
x∈V
x = c1 a1 + · · · + cr ar のとき，
 に対して，

c1
.
c =  ..  を x の基底 a1 , . . . , ar に関する座標と呼ぶ．
cr
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の一般化
Definition (部分空間の基底に関する座標)
V を Rn の部分空間，a1 , . . . , ar を V の基底とする．
x∈V
x = c1 a1 + · · · + cr ar のとき，
 に対して，

c1
.
c =  ..  を x の基底 a1 , . . . , ar に関する座標と呼ぶ．
cr
( )
( )
2
1
例 a1 =
, a2 =
とおくと，
1
3
2
a1 , a2 は (
R の基底である．
)
−4
今，x =
とすると，
3
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の一般化
Definition (部分空間の基底に関する座標)
V を Rn の部分空間，a1 , . . . , ar を V の基底とする．
x∈V
x = c1 a1 + · · · + cr ar のとき，
 に対して，

c1
.
c =  ..  を x の基底 a1 , . . . , ar に関する座標と呼ぶ．
cr
( )
( )
2
1
例 a1 =
, a2 =
とおくと，
1
3
2
a1 , a2 は (
R の基底である．
)
−4
今，x =
とすると，
3
x = (−3)a1 + 2a2
より，x の a1 , a2 に関する座標は
( )
−3
.
2
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の一般化
Definition (部分空間の基底に関する座標)
V を Rn の部分空間，a1 , . . . , ar を V の基底とする．
x∈V
x = c1 a1 + · · · + cr ar のとき，
 に対して，

c1
.
c =  ..  を x の基底 a1 , . . . , ar に関する座標と呼ぶ．
cr
( )
( )
2
1
例 a1 =
, a2 =
とおくと，
1
3
2
a1 , a2 は (
R の基底である．
)
−4
今，x =
とすると，
3
x = (−3)a1 + 2a2
より，x の a1 , a2 に関する座標は
( )
−3
.
2
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の例
例  
 
 
 
3
1
−1
0
x = 8 ∈ R3 の a1 = 1 , a2 =  0  , a3 = 2 ∈ R3
3
1
2
1
 
c1
に関する座標を c = c2  とすると，
c3
 

3
1
8 = c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 = 1
3
1
 
−1 0
c1
0 2  c2 
2 1
c3
より，座標 c は非同次連立一次方程式 (a1 a2 a3 )c
 = xの解．
2
よって，x の基底 a1 , a2 , a3 に関する座標は c = −1 である．
3
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の概念を一般化する意義
問
座標の概念を一般化する意義は？
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の概念を一般化する意義
問
座標の概念を一般化する意義は？
線形写像と行列
線形写像 f : Rn → Rm に対して，
A = (f (e1 ) . . . f (en )) とおくと，f (x) = Ax, x ∈ Rn .
←「標準基底に関する座標」に対する線形写像 f の行列表現
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の概念を一般化する意義
問
座標の概念を一般化する意義は？
線形写像と行列
線形写像 f : Rn → Rm に対して，
A = (f (e1 ) . . . f (en )) とおくと，f (x) = Ax, x ∈ Rn .
←「標準基底に関する座標」に対する線形写像 f の行列表現
線形写像を行列表現することにより，線形写像の幾何学的性質を
行列・行列式に対する計算によって把握出来る．
一般の座標に対しても同様の表現は出来ないか？
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
線形写像に対する表現行列
線形写像に対する表現行列
f : Rn → Rm を線形写像とする．
u1 , . . . , un を Rn の基底，v1 , . . . , vm を Rm の基底とする．
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
線形写像に対する表現行列
線形写像に対する表現行列
f : Rn → Rm を線形写像とする．
u1 , . . . , un を Rn の基底，v1 , . . . , vm を Rm の基底とする．
任意の x ∈ Rn に対して，
 
c1
 .. 
c =  .  ∈ Rn を x の u1 , . . . , un に関する座標
cn
 
d1
 .. 
d =  .  ∈ Rm を f (x) の v1 , . . . , vm に関する座標
dm
とするとき，
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
線形写像に対する表現行列
線形写像に対する表現行列
f : Rn → Rm を線形写像とする．
u1 , . . . , un を Rn の基底，v1 , . . . , vm を Rm の基底とする．
任意の x ∈ Rn に対して，
 
c1
 .. 
c =  .  ∈ Rn を x の u1 , . . . , un に関する座標
cn
 
d1
 .. 
d =  .  ∈ Rm を f (x) の v1 , . . . , vm に関する座標
dm
とするとき，d = Ac を満たす (m, n) 行列 A を
f の基底 u1 , . . . , un 及び v1 , . . . , vm に関する表現行列と呼ぶ．
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
線形写像に対する表現行列
線形写像に対する表現行列
f : Rn → Rm を線形写像とする．
u1 , . . . , un を Rn の基底，v1 , . . . , vm を Rm の基底とする．
任意の x ∈ Rn に対して，
 
c1
 .. 
c =  .  ∈ Rn を x の u1 , . . . , un に関する座標
cn
 
d1
 .. 
d =  .  ∈ Rm を f (x) の v1 , . . . , vm に関する座標
dm
とするとき，d = Ac を満たす (m, n) 行列 A を
f の基底 u1 , . . . , un 及び v1 , . . . , vm に関する表現行列と呼ぶ．
A = (f (e1 ) . . . f (en )) は標準基底 e1 , . . . , en ∈ Rn 及び標準基底
e1 , . . . , em ∈ Rm に関する表現行列．
基底の選び方によって，表現行列は異なる．
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の概念を一般化する意義：解答
(( )) (
)
x
−3x + y
f :R →R :f
=
.
y
−4x + 2y
(( )) ( )
(( )) ( )
1
−3
0
1
f (e1 ) = f
=
, f (e2 ) = f
=
0
−4
1
2
(
)
−3 1
より，f の e1 , e2 に関する表現行列は A =
.
−4 2
( )
( )
(
1
1
−2
f の a1 =
, a2 =
に関する表現行列は B =
1
4
0
n
例
1
2
m
土屋和由
)
0
.
1
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の概念を一般化する意義：解答
(( )) (
)
x
−3x + y
f :R →R :f
=
.
y
−4x + 2y
(( )) ( )
(( )) ( )
1
−3
0
1
f (e1 ) = f
=
, f (e2 ) = f
=
0
−4
1
2
(
)
−3 1
より，f の e1 , e2 に関する表現行列は A =
.
−4 2
( )
( )
(
1
1
−2
f の a1 =
, a2 =
に関する表現行列は B =
1
4
0
n
例
1
2
m
)
0
.
1
行列 B は行列 A と比較して簡単な形をしている！
土屋和由
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座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の概念を一般化する意義：解答
(( )) (
)
x
−3x + y
f :R →R :f
=
.
y
−4x + 2y
(( )) ( )
(( )) ( )
1
−3
0
1
f (e1 ) = f
=
, f (e2 ) = f
=
0
−4
1
2
(
)
−3 1
より，f の e1 , e2 に関する表現行列は A =
.
−4 2
( )
( )
(
1
1
−2
f の a1 =
, a2 =
に関する表現行列は B =
1
4
0
n
例
1
2
m
)
0
.
1
行列 B は行列 A と比較して簡単な形をしている！
座標の概念を一般化する意義
線形写像 f : Rn → Rm に対して，基底を「上手に」選ぶことによって，f の表
現行列として，より簡単な形のものが与えられる．
土屋和由
線形代数学 II - b 10. 部分空間の基底と座標
座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の概念を一般化する意義：解答
(( )) (
)
x
−3x + y
f :R →R :f
=
.
y
−4x + 2y
(( )) ( )
(( )) ( )
1
−3
0
1
f (e1 ) = f
=
, f (e2 ) = f
=
0
−4
1
2
(
)
−3 1
より，f の e1 , e2 に関する表現行列は A =
.
−4 2
( )
( )
(
1
1
−2
f の a1 =
, a2 =
に関する表現行列は B =
1
4
0
n
例
1
2
m
)
0
.
1
行列 B は行列 A と比較して簡単な形をしている！
座標の概念を一般化する意義
線形写像 f : Rn → Rm に対して，基底を「上手に」選ぶことによって，f の表
現行列として，より簡単な形のものが与えられる．
⇒ 基底の選び方は？
土屋和由
線形代数学 II - b 10. 部分空間の基底と座標
座標の一般化
座標の概念を一般化する意義
座標の概念を一般化する意義：解答
(( )) (
)
x
−3x + y
f :R →R :f
=
.
y
−4x + 2y
(( )) ( )
(( )) ( )
1
−3
0
1
f (e1 ) = f
=
, f (e2 ) = f
=
0
−4
1
2
(
)
−3 1
より，f の e1 , e2 に関する表現行列は A =
.
−4 2
( )
( )
(
1
1
−2
f の a1 =
, a2 =
に関する表現行列は B =
1
4
0
n
例
1
2
m
)
0
.
1
行列 B は行列 A と比較して簡単な形をしている！
座標の概念を一般化する意義
線形写像 f : Rn → Rm に対して，基底を「上手に」選ぶことによって，f の表
現行列として，より簡単な形のものが与えられる．
⇒ 基底の選び方は？ ← 対角化
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