保険・年金論（第3回） リスクプーリング

統計基礎（第３回）
確率の基礎
早稲田大学大学院商学研究科
２０１６年４月２０日
大塚忠義
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講義資料
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Agenda
第３回 確率の基礎
• 確率とは
• 確率の用語
• 確率変数と確率関数
• 等確率の世界
• 条件付き確率
• 事象の独立
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確率とは(1)
確率( probability)とは、ある現象が起こる度
合い、ある事象が現れる割合
対象となる現象、事象は、結果があらかじ
め定まっていないもの
「起こる度合い」「現れる割合」は偶然性を含
まない一意に定まった数値であり、発生の
度合いを示す指標
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確率とは(2)
ある現象が起きる度合いを0から1までの数
値で表した尺度
結果が不確実・不確定な現象を確率を使っ
て解釈することができる
将来ある事象が（偶然に）発生する度合（可
能性）を偶然性を含まない数値で表現した
もの
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確率の用語(1)
離散型：加算型
数えることができる世界：
人数、表の数：コイン投げ、サイコロ、合格
率、死亡率（単純計算の場合）
賭けの勝ち負け（骰子賭博やポーカー）
直感的でわかりやすい
大量計算処理に向かない
事象が１万件を超すと扱いずらい
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確率の用語(2)
連続型：不加算型
数えることができない世界またはそれに近
似される大量のデータ：時間、距離、価格
・明日の株価
・来年の地価
・国民全体の死亡率と５０年後の人口
・今後１００年間の大地震の発生
・CMの効果
・選挙の予測
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確率の用語(3)
微分積分により数学的に処理することが可
能
⇒相当正確な近似をすることができる
大量処理が可能
⇒大量データ処理の場合に計算が容易
大量処理の場合すべて連続型に置き換え
る
⇒大規模統計で活用する確率論は連続型
と観念すべき
⇒統計的推論は連続型をベースに行う
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確率の用語(4)
• 試行：結果が偶然に支配される実験
• 根本事象：試行の結果
• 標本空間（Ω）：すべての根本事象を集
めた集合
• 事象：標本空間の任意の部分集合
• 全事象：標本空間も事象の１つ
• 空事象：事象が一つも含まれない集合
サイコロを投げる例で考える
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確率の公理
•
•
•
•
•
任意の事象（E)が起こる確率：P(E)＝p
任意の事象（E)が起こる確率は0以上1以
下：０≦P(E) ≦1
全事象が起きる確率は１である
：P(Ω）＝１
共通の根本事象を含まない２つの事象Aと
Bについてどちらかが起こる確率はP(A∪
B) ＝P(A)+P(B)：加法定理
２つの事象AとBについてどちらかが起こる
確率はP(A∪ B) ＝P(A)+P(B)－ P(A∩ B)
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確率の用語(5)
コイン投げで考える
(1)試行：コインを１回投げる
根本事象：表または裏
標本空間：表、裏：２
(2)試行：コインを3回投げる
根本事象：表表表、表表裏、表裏表、裏表
表、表裏裏、裏表裏、裏裏表、裏裏裏
標本空間：上記の数：２×２×２
事象：例えば表が２回でる
(3)試行：コインを１0回投げる場合の標本
空間の数は？
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確率変数(1)
・コインを１回投げ、根本事象：表または裏
では、コインを１億回投げる時に対応でき
ない
・日本人１億２千万人、年間１００万人死
亡する
・表＝１、裏＝0または死亡＝１、生存＝0
とする
・コインを１００回投げ、表が60回出る
・日本人の年間死亡者数
・明日の日経平均株価
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確率変数(2)
・表＝１、裏＝0または死亡＝１、生存＝0
というように根本事象を数値で表す
・試行：コインを１００回投げる：
根本事象：1,1,1,1,1,1,1,1,0,0・・・(100個）
２の１００乗
事象：表がX回出る
全事象: ０≦X ≦100の101個の数値
・確率変数：事象を数値で表したもの
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確率関数(1)
・確率の表現
P(X=x i )  pi
・コインを１００回投げ表が50回出る
P(X=50)  q
・全事象: ０≦X ≦100
100
 P(X=x )  1
i
i 0
P(X) は確率の公理を満たさなくてはな
らない
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確率関数(2)
・関数の表現
y  f ( x)
xが定まれば、計算式によりyが一意に定
まる
・確率関数
P(X=x)  f ( x)
・確率のモデル化：ある事象の確率変数が
定まるとその事象が発生する確率を求め
ることができる
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等確率の世界(1)
等確率：すべての根本事象が同じ確率で起
こると仮定
根本事象の数×根本事象の起こる確率＝1
𝟏
根本事象の起こる確率＝
根本事象の数
このクラスからランダムに1人を選ぶ
あなたが選ばれる確率は？
等確率の前提で最も重要なのは根本事象
の数を数えること
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等確率の世界(2)
P（E）＝事象Eの起こる確率＝
事象Eに含まれる根本事象の数
根本事象の数
P(E)についても確率の公理を満たす
例題）サイコロを２回投げて出た目の数の和
が10になる確率を求めよ。なお、骰子の目
の出方は等確率とする
事象Eの数：４６、５５、６４の３つ
根本事象の数：６×６＝36
確率：1/12＝3÷36
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等確率の世界(3)
等確率：すべての根本事象が同じ確率で起
こると仮定
骰子の目、コイン投げ
このクラスからランダムに1人を選ぶ
先験的確率：根本事象が起こる確率をあら
かじめ仮定すること
本当に等確率？
経験的確率：試行実験のなかで個々の事象
が起きた割合を確率とする：死亡率etc…
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骰子の罠
骰子は最初の乱数
発生装置
正確な立方体であ
ることが条件
距骨：牛の後ろ足の踝。
骰子のもととなる古代エ
ジプトの遺跡で副葬品と
して見られる
実社会には、正確
な骰子やコインは
まれ
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経験調査
試行実験のなかで個々の事象が起きた結
果をもとに率を定める
統計的推論、仮説検定：統計学の発達
商学、経済学の世界での成果
死亡率、事故の発生率の調査
⇒近代保険業の誕生
散布度、平均からの乖離の調査・分析
⇒ポートフォリオ理論、オプション価格理論
⇒金融工学の誕生
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条件付き確率(1)
P（B/A)：条件付き確率：事象Aが起きたという
条件のもとで事象Bが起きる確率
例1）コインを2回投げる。1回目表という条件
下で2回目が表となる確率は？（等確率を仮
定）
1回目表という条件下でのすべての事象は
表表、表裏の2つ、このうち2回目が表となる
事象は１つ。従って確率は1/2
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条件付き確率(2)
例2）壺のなかに赤玉3個、黒玉2個が入って
いる。1回目に取り出した球が赤の場合次に
黒が出る確率
赤を取り出した後壺の中には赤玉2黒玉2な
ので、1回目に赤を取るという条件下でのす
べての事象は赤赤、赤赤、赤黒、赤黒の4つ、
このうち2回目が黒となる事象は2つ。従って
確率は1/2
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条件付き確率(3)
𝐴∩𝐵に含まれる根本事象の数
P（B/A)＝
Aに含まれる根本事象の数
P(𝐴∩𝐵)
＝
P(𝐴)
P(𝐴 ∩ 𝐵 ）＝
P(𝐴 ）＝
𝐴∩𝐵に含まれる根本事象の数
すべての根本事象の数
𝐴に含まれる根本事象の数
すべての根本事象の数
P(𝐴 ∩ 𝐵 ）＝ P（B/A) P(𝐴 ）：乗法定理
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事象の独立(1)
P（B/A)＝ P(𝐵 ）
P（A/B)＝ P(𝐴 ）
P(𝐴 ∩ 𝐵 ）＝P（A) P(𝐵 ）
のいずれかが成り立つこと
事象Aは事象Bに影響しない。事象Bは事象A
の起こる確率に影響しない
例１：独立、例2：従属
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事象の独立(2)
コインを2回投げる。1回目表という条件下で2回
目が表となる確率は1/2
コイン2回、100回投げ：無理なく独立の前提が見
込める
日本人１億２千万人、年間１００万人死亡する
表＝１、裏＝0または死亡＝１、生存＝0とする
・コインを１００回投げ、表が60回出る
・日本人の年間死亡者数
・明日の日経平均株価
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事象の独立(3)
統計処理を行ううえで、独立性の前提は極
めて重要！！
多くの統計手法、確率モデルは事象の独立
を前提としている
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博打の落とし穴
丁半の目は半々、確率1/2
骰子の目は1/6 骰子の目は直前の結果
に影響されない独立事象
でたら目の語源
博打での勝ち運に乗って儲ける
負けが込んでる。そろそろ逆目がでるころ
どちらが真実？
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独立性への疑問(1)
死亡率、事故の発生率：各個人の死亡、個
々の事故の発生は独立と仮定して保険制
度が成立
⇒パンデミック、大災害はその前提を崩し、
保険会社を破綻させる
パンデミック：16～19世紀のペストの大流行
はヨーロッパの人口を１/３に。。
スペイン風邪は全世界で1千万人を超える
死者
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独立性への疑問(2)
大型旅客機は同時に墜落しない：Sep.11で
は４機同時に墜落
株価モデル、オプション価格モデル
行動は過去の価格に影響される
⇉モデルエラーの発生
経済は理論通りの動きをしない
行動ファイナンスの発達
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独立性への疑問(3)
ほとんどの統計学の本は、コイン投げサイ
コロ投げから理論が展開される
多くのモデルで独立性は暗黙の前提
現実社会に独立な事象は、ほとんど存在し
ない：特に経済事象は。。
従属事象を独立としてモデルに入れたら正
しい結果は得られない！
ゴミを入れた結果はゴミ
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ベルヌーイ試行(1)
結果が2種類しかない試行
コイン投げ、死亡、事故、成功・失敗
実世界にベルヌーイ試行は非常に多い
根本事象：成功＝1、失敗＝0
P(成功）＝P（X=1)＝p
P(失敗）＝P（X=0)＝1-ｐ＝q
p+q=1
x 1 x
P( X  x )  p q
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ベルヌーイ試行(2)
実世界の多くの現象をベルヌーイ試行に当
てはめることにより、単純化する
骰子投げ：根本事象は１～６までの６つ
１，２を成功、３～６を失敗とする
死亡率：死亡：１、生存：０
人口100万人の都市で年間1000人が死亡
死亡の発生は独立と仮定。100万回のベル
ヌーイ試行を足し合わせる
死亡率p:0.001=1000/100万？：こんな単純
ではないが。。。
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ベルヌーイ試行(3)
ブラウン運動：空間上の微小粒子（原子レベ
ル）の移動
2次元空間上、微小時間における右への移
動：１、左への移動：-１
⇒微小時間を積み重ねることで粒子の移動
法則を説明（移動事象は独立と仮定）
破産確率、信用モデル、オプションの価格モ
デルもブラウン運動を応用しているものがあ
る
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二項公式
p  q 1
( p  q )  p  2 pq  q  1
2
2
2
( p  q )  p  3 p q  3 pq  q  1
3
3
2
2
3
( p  q )  f ( p, q, n)  1
n
二項公式は確率の公理を満たす
関数はパスカルの三角形を使い、組合せと
p,qをもとに展開できる
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二項分布
x n x
P( X  x )  n Cx p q
確率事象ｎ回の試行でｘ回成功する
根本事象の数：２のｎ乗
成功、失敗の確率：ｐ、ｑ
N回の事象は独立であるという全体が必要
確率関数X=ｘの確率は、n,x,p,qで表現できる
⇒確率を数式で表現することにより、パラ
メーター（母数という、この場合p)が定まると
確率が求まる
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Question?
お疲れ様でした
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