コイン投げ100回 （レポート課題付き）

コイン投げ100回
（レポート課題付き）
私達の身の回りで起こる現象には、
不確実（ランダム）な要素が含まれて
いるのが普通です。
しかし、身の回りの現象を、何度も繰
り返し経験することはできません。
そこで、確率実験を通して、ランダム
について学んでゆきます。
1
ランダム(random) とは？
結果を確実に言い当てることのできない現象
にはランダムな要素が存在する。
 ランダムにも、程度の差があり、

1.
2.
3.
コインやサイコロのように、確率がほぼ分かっ
ているランダム（ペットボトルのフタを投げる
ときには、）。
確率分布の形状しか分らないランダム。
確率分布の形状さえ、はっきりしないランダム。
2
最も単純なコインの場合を考え
よう。
確率を考えるのは、試行（確率実験、あ
るいは、確率現象の観察）の前であり、
ありとあらゆる想定ができる。
 割合（統計数値）はデータから計算され
る。
 試行の結果に対して、確率が割り当てら
れ、データから得られる割合（統計数
値）と比較される。

3
コインを１回だけ投げるとき、
起こり得
る事象
確率
表
0.5
裏
0.5
状態
表の確率
確率
裏の確率
表
0.5
0.5
0.5
裏
スタート
0.5
4
コインを2回投げるとき、
起こり得
る事象
状態
表の確率
確率
裏の確率
確率
表
1/2
1/ 2
スタート
1/ 2
裏
1/2
5
コインを2回投げるとき、
起こり得
る事象
表表
確率
表の確率
確率
裏の確率
表表
1/4
表
1/4
1/ 2
1/2
1/ 2
表裏
状態
1/4
表裏
1/4
1/ 2
スタート
裏表
1/4
裏表
1/ 2
1/ 2
裏裏
1/4
1/4
裏
1/2
1/ 2
裏裏
1/4
6
コインを2回投げるとき、
起こり得
る事象
表表
確率
表の確率
確率
裏の確率
表表
1/4
表
1/4
1/ 2
1/2
1/ 2
表裏
状態
1/4
表裏
1/4
1/ 2
スタート
裏表
1/4
裏表
1/ 2
裏裏
1/4
1/ 2
1/4
裏
1/2
1/ 2
裏裏
1/4
7
状態
表の確率
確率
裏の確率
コインを３回投げるとき、
起こり得
る事象
確率
表表
1/4
表
1/ 2
1/2
1/ 2
表裏
1/4
1/ 2
スタート
裏表
1/ 2
1/ 2
1/4
裏
1/2
1/ 2
裏裏
1/4
8
コインを３回投げるとき、
表表表
起こり得
る事象
確率
表表表
1/8
表表裏
1/8
表裏表
1/8
表裏裏
1/8
裏表表
1/8
裏表裏
1/8
裏裏表
1/8
裏裏裏
1/8
表表
1/4
表
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/2
表表裏
1/8
表裏表
1/ 2
表裏
1/4
1/ 2
スタート
裏表
1/ 2
1/8
1/ 2
1/4
1/ 2
1/8
1/ 2
表裏裏
1/8
1/ 2
裏裏表
1/8
1/ 2
裏
1/2
裏表裏
1/8
裏裏表
1/ 2
裏裏
1/4
1/ 2
1/ 2
1/8
裏裏裏
1/8
9
コインを３回投げるとき、
表表表
起こり得
る事象
確率
表表表
1/8
表表裏
1/8
表裏表
1/8
表裏裏
1/8
裏表表
1/8
裏表裏
1/8
裏裏表
1/8
裏裏裏
1/8
表表
1/4
表
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/2
表表裏
1/8
表裏表
1/ 2
表裏
1/4
1/ 2
スタート
裏表
1/ 2
1/8
1/ 2
1/4
1/ 2
1/8
1/ 2
表裏裏
1/8
1/ 2
裏裏表
1/8
1/ 2
裏
1/2
裏表裏
1/8
裏裏表
1/ 2
裏裏
1/4
1/ 2
1/ 2
1/8
裏裏裏
1/8
10
確率はランダム（不確実）な現象を理
解するのに必要な考え方．




「確実に起こらないこと」や「確実に起こること」は、
わかりやすい。
しかし、起こったり、起こらなかったりするややこし
い現象を、ランダム（不確実）な現象と呼ぶことにし
よう。
確率の考え方は“カードゲームやサイコロ、コイン
などの賭け”から生まれた。
確率についての考え方を理解するには、ランダム
な現象を繰り返し観察することである。
11
ジェロラモ・カルダーノ
（Gerolamo Cardano 1501-1576）



著名な占星術師、宮廷貴族おかかえの医者、
パヴァーノ大学の医学科長を務めるなどした。
確率をよく理解し、ギャンブルをして儲けて
いた。
「標本空間」（すべての起こり得る可能性を
数え上げたもの）という考え方を考案した。
「たまたま」日常に潜む「偶然」を科学する、ダ
イヤモンド社 レナード・ムロディナウ著よ
り。
12
回答
クルマを
隠すドア
1
1
1
3
1
1
3
3
B
3
A
3
C
1
スタート
3
B
1
1
3
1
C
3
1
1
3
3
3
C
B
1
C
A
B
C
A
2
C
2
A
1
B
1
A
1
1
3
B
1
1
1
C
2
1
C
1
1
B
2
A
A
1
開かれるドア
A
2
1
2
B
モンティ・
ホール問題
を例に、標
本空間とそ
の確率を考
えてみよ
う：
回答
クルマを
隠すドア
1
1
1
3
1
1
3
3
B
3
A
3
C
1
スタート
3
B
1
1
3
1
C
3
1
1
3
3
3
C
B
1
C
A
B
C
A
2
C
2
A
1
B
1
A
1
1
3
B
1
1
1
C
2
1
C
1
1
B
2
A
A
1
開かれるドア
A
2
1
2
B
モンティ・
ホール問題
を例に、標
本空間とそ
の確率を考
えてみよ
う：
サイコロ投げの効用

コイン（サイコロ）投げ（実際にやってみると，
意外な発見がある）．
1.
2.


フランスの博物学者ビュフォン(1707-88)は4040回投げ
て2048回表が出た．
イギリスの数学者カール・ピアソン(1857-1936)は
24000回投げ12012回表だった．
天気予報の降雨確率にどう対応するかのヒ
ントが与えられるかもしれない。
人生の運にも対応できるかもしれない。
15
捏造ランダムと実験ランダムとの差は
どこにあるのか（レポート課題１）
 コインを投げずに、100回のコイン投げ
データを捏造してみよう。
 表ならH(head)、裏ならT(tail)と書き込
む。
 私たちの考えるランダムな系列を作っ
てみよう。
16
コイン投げの際のランダム性



完全なランダムとは：表の出る確率と裏がでる確率
がそれぞれ 0.5 であり，以前の表裏の出方が次に
全く影響を与えない．
中途半端なランダムとは：コインの回転数不足のう
えに，漫然と同じ投げ方をしていると，直前の結果
が次に影響を与える可能性が否めない．コインを
机のうえで回転させると，コインの形状が影響を及
ぼす．
完全なランダムにするには，通常人が文句を言わ
ないようにすればよいが、これは難しい。
17
捏造ランダムと実験ランダムとの差は
どこにあるのか（レポート課題１）




次に，十分回転を付けることを心がけ，実際に100
回投げ、同様に記録して行こう。
両者を，様々な方向から，比較してみよう．
実際のランダムは、捏造されたランダムと、どこが
違うのか．
はたして、捏造を見破ることはできるのだろうか？
18
自分のデータを比較して、法則
を見つけよう。
たとえば、“表の出た数が、50に近い方が
捏造データである”、のような法則を見つ
けてみよう。
 ほかにも、“10回毎の合計が散らばってい
る方が捏造である”、“連の長さの最大が
大きい方が捏造である”、といった法則が
考えられる。
 自分でも何か考案してみよう。

19
表の出た回数を比較する-1
去年までのデータでは
表の数の比較（119人データ）
45
40
35
捏造データ
30
25
20
15
実験データ
10
5
0
30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64
20
表の出た回数を比較する-2
去年までのデータでは
20回中表の数（119人データ）
250
200
150
捏造
実験
100
50
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21
連の長さに注目しよう
コイン投げで，表が出たらH、裏が出たらTと
記録するとしよう．
 すると、結果は THHTTTHHHHT・・・のよう
に表される．
 表の出た回数と裏の出た回数ではなく，同じ
面がどの程度連続するかに注目してみよう．
 THHTTTHHHHT ・・・・では，長さ１の連(T)
に続き，長さ２(HH)の連，長さ３(TTT)の連，
長さ４の連(HHHH)が続いている．

22
連の長さの度数分布表を作ろう
自分のデータを使う
捏造データ
連の長さ
度数
累積度数
1
30
2
10
3
6
4
4
5
1
6
1
7
0
8以上
0
合計(Σ)
52
30
40
46
50
51
52
52
52
相対度数
累積相対度
数
長さが３以下の
連の数
23
連の長さの度数分布表を作ろう
捏造データ
連の長さ
度数
累積度数
1
30
30
2
10
40
3
6
46
4
4
50
5
1
51
6
1
52
7
0
52
8以上
0
52
合計
52
相対度数
累積相対度
数
30  52  0.58
10  52  0.19
24
連の長さの度数分布表を作ろう
捏造データ
連の長さ
度数
累積度数
相対度数
1
30
30
0.58
2
10
40
0.19
3
6
46
0.12
4
4
50
0.08
5
1
51
0.02
6
1
52
0.02
7
0
52
0.00
8以上
0
52
0.00
合計
52
累積相対度数
30  52  0.58
40  52  0.77
46  52  0.88
25
連の長さの度数分布表を作ろう
捏造データ
連の長さ
度数
累積度数
相対度数
累積相対度
数
1
30
30
0.58
0.58
2
10
40
0.19
0.77
3
6
46
0.12
0.88
4
4
50
0.08
0.96
5
1
51
0.02
0.98
6
1
52
0.02
1.00
7
0
52
0.00
1.00
8以上
0
52
0.00
1.00
合計
52
26
グラフを作り，比較する
連の長さの相対度数
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
相対度数（捏造）
連の長さの累積相対度数
相対度数（実験）
1
0.20
0.10
0.00
0.8
累積相対度数
（捏造）
累積相対度数
（実験）
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
27
連の長さの理論値を考えよう
確率
連の長さ
確率
累積確率
1
2
3
4
5
6
7
8以上
合計
28
実際にコインを投げて観察しよう
連の長さ1
1
2
違う面
最初の
面
連の長さ2
1
2
1
2
違う面
連の長さ3以上
同じ面
1
2
同じ面
29
同様の作業を繰り返すと、
連の長さ1
連の長さ2
違う面
違う面
最初の面
同じ面
違う面
同じ面
違う面
同じ面
同じ面
連の長さ３
連の長さ４以上
30
連の長さの理論値を考えよう
理論値
連の長さ
相対度数
累積相対度数
1
0.5
0.5
2
0.25
0.75
3
0.125
0.875
4
0.0625
0.9375
5
0.03125
0.96875
6
0.015625
0.984375
7
0.0078125
0.9921875
8以上
0.0078125
1
合計
1
31
連の個数についても考えよう
違う面
違う面
最初の面
違う面
違う面
最初の面
最初の面
最初の面
最初の面
違う面
違う面
最初の面
違う面
最初の面
最初の面
32
連の総数を比較する
連の総数の分布
16
14
12
10
捏造データ
実験データ
8
6
4
2
0
35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91
33
連の最大長を比較する
最長の連の長さの分布
60
50
捏造データ
40
実験データ
30
20
10
0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
34
コイン投げによるランダムウォーク
コインを投げて，表(H)裏(T)を記録する．
 表ならば１ポイント儲け(＋１)，裏ならば１ポ
イント損をする(－１)と考える．
 この作業を繰り返すときの累積ポイントはど
のようになるのだろうか？
 エクセルでは，=IF( RAND()>0.5,1, -1)とす
ればランダムな ( 1, －1) を発生できる．

35
ランダムウォークの作成法
表なら１、裏なら－１
36
ランダムウォークの作成法
37
頭とコインのランダムによる

頭で考えて作成したランダムな系列から作られ
るランダムウォークと，コインを投げて作成した
ランダムな系列から作られるランダムウォーク
とを，グラフを描くことにより比較せよ．
酔歩(ランダムウォーク)の比較
20
捏造
実験
15
10
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-10
-15
-20
38
捏造・実験データの比較
39
ランダムウォークの実現例-1
ランダムウォーク
30
20
10
0
1
9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105113121129137145153161169177185193201209217225233241249
-10
-20
-30
40
ランダムウォークの実現例-2
ランダムウォーク
30
20
10
0
1
9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193 201 209 217 225 233 241 249
-10
-20
-30
41
ランダムウォークの実現例-3
ランダムウォーク
30
20
10
0
1
9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193 201 209 217 225 233 241 249
-10
-20
-30
42
ランダムウォークの実現例-4
ランダムウォーク
30
20
10
0
1
9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193 201 209 217 225 233 241 249
-10
-20
-30
43
いろいろ考えてみよう




ゲームなどで、連続して起こる現象（連勝、連敗）
は，何らかの流れがあるのか、それとも、全くのラ
ンダムなのか。
株価の変動も，なにか理由があってのことか、それ
ともランダムなのか。実際のところ分からない。
私たちが、身の回りの不確実な現象について考え
るとき、参考になるのではないか。
不確実な現象は、確率を伴う。数多く観察すると、
それぞれの事象の起こる割合は、それぞれの確率
に近付くが、近づき方はランダムなのである。
44
レポート提出期限と注意事項



期限：2011年５月12日（木）～21日（土）午後6時
提出先：第１学舎授業支援ステーション
配布プリントを完成し、レポート用紙（A4）に感想・比
較方法等を書いて（８００字程度）、合計６枚を提出す
ること。
45