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日本統計学会誌 第 44 巻, 第 1 号, 2014 年 9 月 137 頁 ∼ 157 頁 特 集 マルコフスイッチングモデルの マクロ経済・ファイナンスへの応用 沖本 竜義∗ Markov-Switching Models with Applications in Macroeconomics and Finance Tatsuyoshi Okimoto∗ 経済やファイナンスデータの中には，景気循環や政策の変更などに応じて，挙動が大きく変化 しているようなデータが少なくない．本稿では，そのようなデータを分析するための強力なツー ルのひとつであるマルコフスイッチングモデルを概観する．具体的には，モデルを簡単に紹介し た後，マルコフスイッチングモデルの重要な要素であるマルコフ連鎖について述べ，具体例を用 いて解釈の仕方を説明する．続いて，マルコフスイッチングモデルの統計的推測問題について触 れ，最後に，マクロ経済やファイナンスへの応用例を紹介する． Many economic and financial data seem to change their behavior depending on the business cycle and/or policy regime. In this paper, we review the Markov switching (MS) model as one of the most powerful tools to analyze such economic and financial data with switching regimes. More specifically, following the brief introduction of the MS model, we discuss the Markov chain which is an important component of the model and explain how to interpret the MS model using a simple example. Lastly, we argue the statistical inference associated with the MS model and provide some applications to macroeconomics and finance. キーワード: MS モデル，レジームスイッチングモデル はじめに 1. 経済やファイナンスデータの中には，景気循環や政策の変更などに応じて，挙動が大き く変化しているようなデータが少なくない．例えば，アベノミクス以降，円安が進み，株 価が大きく上昇しているのは記憶に新しいことであろう．また，リーマンショックやユー ロ危機などの金融危機が投資家の行動に影響を与え，金融市場の動向を大きく変えた可能 性もある．つまり，多くの経済時系列データにおいて，同一の関係が常に成立する可能性 ∗ オーストラリア国立大学クロフォード公共政策大学院：Crawford Building 132, Lennox Crossing, ANU, Canberra, 0200 Australia (E-mail: [email protected]). 138 日本統計学会誌 第44巻 第1号 2014 は少なく，経済変数間の関係は状況に応じて少なからず変化し，いくつかの状態が存在し ていることが予想されるのである．このような状態はレジーム (regime) と呼ばれ，状態が 変化するようなモデルは総称してレジームスイッチングモデル (regime switching model) と呼ばれる． レジームスイッチングモデルを考える上で，一番大きな問題は状態をどのように扱うか であり，大別して 2 つの方法がある．まず，1 つめは状態が観測可能な変数によって決ま るモデルであり，その代表的なモデルが閾値モデル (threshold model) や平滑推移モデル (smooth transition model) である．もう 1 つの方法は，状態が観察不可能な変数によって 決まるモデルであり，その代表的なモデルがマルコフスイッチング (MS) モデル (Markov switching model) である．経済やファイナンスデータは，景気や投資家の心理など，観測で きない変数に影響を受けるものも多く，MS モデルは，そのような観測できない変数の状態 によって特性が異なるデータを分析するのに便利なモデルである．特に，Hamilton (1989) が MS モデルによって景気循環 (business cycle) をうまく捉えることができることを示し て以来，MS モデルは経済やファイナンスの分野で非常に頻繁に用いられることとなった． 本稿では，MS モデルについて簡単に説明し，その応用例を紹介する．MS モデルの詳細 に関しては，例えば，Kim and Nelson (1999a) を参照されたい．また，状態を観測可能な 変数を用いてモデル化する閾値モデルと平滑推移モデルに関しては，それぞれ Tong (1990) と Franses and van Dijk (2000) を参照されたい． 本稿の構成は以下の通りである．まず，第 2 節で MS モデルを概観する．次に，第 3 節 で MS モデルの重要な構成要素であるマルコフ連鎖について述べ，第 4 節で具体例を用い て，モデルのパラメータや結果の解釈の仕方について説明する．第 5 節では，MS モデル の統計的推測の問題について議論し，第 6 節では，MS モデルの応用例を紹介する．最後 に，第 7 節でまとめと今後の展望について述べる． 2. マルコフスイッチングモデル MS モデルは閾値モデルのように状態が離散的に変化するモデルであるが，観測できる 変数によって状態が決まる閾値モデルに対して，MS モデルは状態を観測できない変数と してモデル化する．言い換えれば，MS モデルは観測データ yt の従う過程が，観測できな い変数の状態に応じて変化するようなモデルとなる．経済やファイナンスデータは景気や 投資家の心理など，観測できない変数に影響を受けるものも多く，MS モデルは魅力的な モデルとなっている． それでは，MS モデルを推定することによって，どのようなことが明らかにできるのだ ろうか？上で述べたように，経済やファイナンスのデータには，状態変化をしている可能 性が多いにもかかわらず，どのような状態が存在し，状態変化がどのようなタイミングで マルコフスイッチングモデル 139 生じているのかを特定できることは少ない．このような時に，MS モデルを推定すること によって，マクロ経済市場や金融市場にどのような状態が存在するのか，各状態がどのよ うな確率で推移するのか，過去のある時点において各状態であった確率はどの程度であっ たのか，というような問いに，データ主体で答えることができるのである． 以下では，AR(1) モデルの例を中心に，MS モデルについてに説明していく．しかしな がら，概念的には MS モデルは回帰モデル，VAR モデル，誤差修正モデル，GARCH モデ ルなど，経済・ファイナンスデータの実証分析に用いられる多くのモデルに適用が可能で あることに注意されたい1) ． MS モデルでは観測できない状態が存在することを仮定し，それを st で表す．一般的に， M 個の状態が存在するとすると，st は 1, 2, . . . , M のいずれかの値をとることになる．そ して，st の値に応じて，yt が従うモデルが変化すると仮定する．例えば，2 状態 MSAR(1) モデルは y =φ +φ y t 01 11 t−1 + σ1 εt , st = 1 y =φ +φ y t 02 12 t−1 + σ2 εt , st = 2 (2.1) という形で表わされる．ここで，εt ∼ iid N (0, 1) が仮定されることが多いが，正規分布と は異なる分布を用いることもできるし，εt の分布を状態に依存させることもできる2) ．(2.1) からわかるように，MSAR(1) モデルでは，観測できない状態変数 st の値に応じて，yt は パラメータの異なる AR(1) モデルに従うことになる．この形より，M 状態への拡張はほ ぼ明らかであろう．また，(2.1) のモデルは yt = φ0 (st ) + φ1 (st )yt−1 + σ(st )εt (2.2) と表現されることもある． もちろん，モデルのすべてのパラメータが状態変化する必要はない．目的に応じて，変 更するパラメータを限定することによって，ある特性の状態変化を分析をすることも可能 である．例えば，(2.2) において，φ0 だけが状態に依存すると仮定すると，状態に応じて， 過程の期待値が変化するモデルとなり，φ0 と φ1 が状態変化すると仮定すると，状態に応じ て，過程の期待値だけではなく，自己相関構造も変化するモデルとなる．ボラティリティ の状態変化にだけ，興味があるとすれば，σ だけが状態に依存すると仮定すればよいとい うことになる． また，上で述べたように，MS モデルは広範囲なモデルに対して応用が可能であるうえ に，構造変化やモデルの非線形性，ボラティリティクラスタリング，分布の厚い裾や非対 1) 2) GARCH モデルは，状態が無限の過去に依存するため，GARCH モデルに MS モデルを応用するには，少し 工夫が必要となる．この点に関しては，Gray (1996) ならびに Haas et al. (2004) を参照されたい． この点に関しては，例えば，Perez-Quiros and Timmermann (2001) や Okimoto (2008) を参照されたい． 140 日本統計学会誌 第44巻 第1号 2014 称性など，経済・ファイナンスデータの重要な特徴を柔軟にモデル化することが可能であ る3) ．その結果，MS モデルは経済・ファイナンスデータの分析において，非常に魅力的な モデルとなっており，多くの分野で応用されることとなっている． MS モデルを完全に特定するためには，状態 st の従う確率過程を定める必要がある． Hamilton (1989) は st の確率過程として，マルコフ連鎖 (Markov chain) を用いることを提 案している．マルコフ連鎖は代表的な離散確率過程であり，以下で見るように今期の状態 確率が前期の状態だけに依存して決まる非常に単純なモデルである．しかしながら，状態 をうまく定義することによって，今期の状態確率が前期の状態だけでなくより遠い過去の 状態にも依存するようにできる．また，目的に応じて推移確率に様々な制約を課すことも できる．その結果，MS モデルは扱いやすさと柔軟性を兼ね揃えた便利なモデルとなって いる．次節では，マルコフ連鎖について簡単に説明する． マルコフ連鎖 3. M 状態マルコフ連鎖では，st は 1, 2, . . . , M のうちの 1 つの値をとり，st = j となる 確率は st−1 の値だけに依存すると仮定される．この性質はしばしばマルコフ性 (Markov property) と呼ばれ，具体的には， P (st = j|st−1 = i, st−2 = k, . . .) = P (st = j|st−1 = i) = pij (3.1) が成立すると仮定される．このとき，pij は状態 i から状態 j への推移確率 (transition probability) と呼ばれ，推移確率を M × M 行列 P にまとめたもの p11 p21 . . . pM 1 p22 . . . pM 2 p12 P= .. .. .. .. . . . . p1M p2M ... (3.2) pM M は推移確率行列 (transition probability matrix) と呼ばれる．ここで，P の (j, i) 成分が推 移確率 pij になっていることに注意されたい．例えば，(2,1) 成分は状態 1 から状態 2 に移 動する確率である．このとき，πt を ( )0 πt = P (st = 1), P (st = 2), . . . , P (st = M ) という M × 1 ベクトルとすると，πt は πt+1 = Pπt 3) MS モデルのモーメントに関しては，例えば，Timmermann (2000) を参照されたい． (3.3) マルコフスイッチングモデル 141 を満たす．つまり，今期の状態確率に推移確率行列をかけると，来期の状態確率が得られ るのである．また，状態 i の平均持続期間は，1/(1 − pii ) で与えられることが知られてお り，pii が高いほど状態 i の平均持続期間は長くなる． ここで推移確率は確率であるので， pi1 + pi2 + · · · + piM = 1 (3.4) が成立することにも注意しよう．したがって，例えば，2 状態マルコフ連鎖の推移確率行 列は P= p11 1 − p22 1 − p11 p22 (3.5) という形になり，p11 と p22 という 2 つのパラメータで表されることになる．また，(3.4) より， P0 1 = 1 が成立する．ここで，1 は 1 を並べた n × 1 ベクトルである．つまり，1 は P0 の固有値で ある．任意の行列とその転置行列は同一の固有値をもつので，任意のマルコフ連鎖におけ る推移確率行列は 1 を必ず固有値にもつことがわかる． 次に，ξt を時点 t における状態を表す M × 1 ベクトルとしよう．つまり，ξt は，st = i の場合に，M × M 単位行列 IM の第 i 列に等しくなるベクトルである．st = i のとき ξt+1 の第 j 成分は pij の確率で 1，1 − pij の確率で 0 をとる確率変数となり，その期待値は pij に等しくなる．したがって，st = i を所与としたときの ξt+1 の条件付き期待値は E(ξt+1 |st = i) = ( pi1 pi2 ··· 0 piM ) = Pξt (3.6) と書くことができる．また，st = i という条件は，ξt の値を所与とすることと同じことで あり，さらにマルコフ性 (3.1) より，(3.6) は E(ξt+1 |ξt , ξt−1 , . . .) = Pξt と書き直すことができる．ゆえに，マルコフ連鎖に従う状態ベクトル ξt は ξt+1 = Pξt + vt+1 (3.7) という VAR(1) モデルに従い，推移確率行列はその係数行列になることがわかる．ここで， vt+1 ≡ ξt+1 − E(ξt+1 |ξt , ξt−1 , . . .) 142 日本統計学会誌 第44巻 第1号 2014 はマルチンゲール差分系列になることに注意しよう．つまり，vt の期待値は 0 であり，過 去の状態からは予測不可能である．言い換えれば，Pξt は今期の状態を所与としたときの， 来期の状態の MSE を最小とする予測となるのである． マルコフ連鎖においては，推移確率に制約を課すことによって，状態の推移をコント ロールすることもできる．例えば，(3.5) において，p22 = 1 とすると，状態 2 は吸収状態 (absorbing state) と呼ばれる状態となる．つまり，一度状態 2 に移動すると，それ以降は 状態 2 にとどまるのである．このようなマルコフ連鎖を用いた MS モデルは恒久的な構造 変化を分析するのに便利である．また，推移確率に制約をもたない MS モデルと比較する ことによって，推移的な変化と恒久的な変化のどちらが適当であるかを検証することもで きるであろう．さらに，これを複数状態に拡張すれば，複数の構造変化をもつ時系列データ の分析に用いることもできる．これらの応用例については，例えば，Chib (1998), Pesaran et al. (2006), Inoue and Okimoto (2008) などを参照されたい． 2 状態マルコフ連鎖において，吸収状態が存在しないとき，マルコフ連鎖は既約である といわれる．一般的に，任意の状態から任意の状態へ移ることができるマルコフ連鎖は既 約なマルコフ連鎖といわれる．既約なマルコフ連鎖において，推移確率行列 P の固有値の ひとつが 1 で，それ以外の固有値の絶対値が 1 より小さいとき，既約なマルコフ連鎖はエ ルゴード的といわれる．エルゴード的マルコフ連鎖においては， π∗ = Pπ∗ を満たす定常確率 (stationary probability) が一意に存在することが知られている．した がって，定常確率は推移確率行列 P の固有値 1 に対する各成分の合計が 1 となるように基 準化された固有ベクトルと解釈することができる．また， lim Pm = (π∗ , π∗ , . . . , π∗ ) m→∞ が成立することも示すことができ，これは初期状態にかかわらず，十分時間が経過した将 来を考えると，各状態にいる確率は定常確率に等しくなることを示している．また，定常 確率はマルコフ連鎖の VAR(1) 表現 (3.7) の条件なし期待値にもなっており，各状態が実 現する平均的な確率ということもできる． 2 状態エルゴード的マルコフ連鎖の状態 1 の定常確率は π1∗ = 1 − p22 = 1 − π2∗ 2 − p11 − p22 (3.8) で与えられることが知られている．(3.8) より，p11 が高いほど状態 1 の定常確率は高くな り，p22 が低いほど状態 1 の定常確率は高くなることがわかる．一般的に， M 状態マルコ マルコフスイッチングモデル フ連鎖の定常確率は，A を A= IM − P 10 143 という (M + 1) × M 行列として，(A0 A)−1 A0 という行列の第 M + 1 列で与えられること が知られている． マルコフ連鎖はマルコフ性 (3.1) を仮定するため，st がマルコフ連鎖に従うというのは， 一見するとかなり制約的なモデルのように思えるが，それは必ずしも正しくない．例えば， 今期の状態確率が前期と 2 期前の状態の両方に依存する 2 状態モデルを考えよう．この場 合，新しい状態 s∗t を 1 2 s∗t = 3 4 st = 1, st−1 = 1 st = 2, st−1 = 1 (3.9) st = 1, st−1 = 2 st = 2, st−1 = 2 と定義することによって，この 2 状態モデルは，s∗t がマルコフ連鎖に従うような 4 状態モ デルで書き直すことができる4) ．同様にすると，今期の状態確率が 3 期以上の過去の値に 依存するような場合でも，その依存が有限次の過去である限り，理論的には必ず状態が有 限個のマルコフ連鎖で書き直すことができる．したがって，st がマルコフ連鎖に従うとい うのは，それほど強い制約ではないのである． また，推移確率を時変的にすることもできる．例えば，Diebold et al. (1994) や Filardo (1994) は推移確率を経済変数のロジスティック関数でモデル化し，推移確率が経済変数の 値によって変化する MS モデルを考えている．具体的には，t − 1 期までに観測可能で推移 確率に影響を及ぼす可能性がある変数からなるベクトルを zt−1 として，推移確率を pij,t (zt−1 ) = exp(z0t−1 β) 1 + exp(z0t−1 β) とモデル化することを提案している．そのほかでは，Durland and McCurdy (1994) は，t 期の推移確率が各状態の t 期までの持続期間に依存するようにモデルを拡張している． 以上，見てきたように，マルコフ連鎖は今期の状態確率が前期の状態だけに依存して決 まる非常に単純なモデルであるが，状態をうまく定義することによって，今期の状態確率 が前期の状態だけでなくより遠い過去の状態にも依存するようにできる．また，目的に応 じて推移確率に様々な制約を課したり，時変的にすることもできる．その結果，MS モデ ルは扱いやすさと柔軟性を兼ね揃えた便利なモデルとなっているのである． 4) ただし，この場合，例えば，状態 1 から状態 3 に移動することはなくなるので，推移確率に制約を課す必要 があることに注意されたい． 144 4. 日本統計学会誌 第44巻 第1号 2014 MS モデルの具体例 本節では，MS モデルの具体例を用いて，パラメータや結果の解釈の仕方について簡単 に述べる．そのために，例えば，日次の株式収益率に，次のような 2 状態 MS モデル y =µ +σ ε , s =1 t 1 1 t t (4.1) y =µ +σ ε , s =2 t 2 2 t t を当てはめた状況を考えよう．ただし，εt ∼ iid N (0, 1) とする． また，st は推移確率行 列が (3.5) で表されるマルコフ連鎖に従うとしよう．このとき，モデルのパラメータは， θ = (µ1 , µ2 , σ1 , σ2 , p11 , p22 ) となり，実際のデータを用いて，これらのパラメータを推定す ることになる．パラメータの推定法に関しては，次節で述べることとして，ここでは，パ ラメータを推定したところ，(µ̂1 , µ̂2 , σ̂1 , σ̂2 , p̂11 , p̂22 ) = (−2, 1, 2, 1, 0.8, 0.9) という結果が得 られたとしよう．すなわち，日次の株式収益率が y = −2 + 2ε , s = 1 t t t y =1+ε , st = 2 t t という MS モデルに従い，st は推移確率行列が 0.8 0.1 P= 0.2 0.9 (4.2) (4.3) に等しいマルコフ連鎖に従うという結果が得られたということである．以下では，この推 定結果からどのようなことが示唆されるかを考える． まず，MS モデルの解釈において，重要なことは，状態の解釈である．具体的には，各状 態がどのような性質を持ち，その結果，各状態がどのような状態を表しているのかを判断 することである．(4.2) より，状態 1 のモデルの期待値と標準偏差は，それぞれ −2 と 2 で あることがわかる．つまり，期待収益率は低く，ボラティリティも比較的大きな値となっ ている．したがって，状態 1 は，株式市場のパフォーマンスも悪く，リスクも大きいので， 株式市場の中でも下落相場であるベア市場を表していると解釈することができる．逆に， 状態 2 のモデルの期待値と標準偏差は，それぞれ 1 と 1 であり，期待収益率は高く，ボラ ティリティは小さなものとなっている．したがって，状態 2 は，株式市場のパフォーマン スは良好で，リスクも小さいので，株式市場の中でも上昇相場であるブル市場を表してい ると解釈することができる．このように，MS モデルの各状態は推定結果に基づいて，分析 者自身が解釈を与えるのが普通である．言い換えれば，分析者が事前に各状態を特定する 必要はなく，データからどのような状態が存在するのかを明らかにできるのが特徴である． また，状態に対して，何かしらの事前情報がある場合は，その情報を各状態のパラメータ の条件として課すことによって，ある程度，状態を特定した形でモデルを推定することも 145 マルコフスイッチングモデル できる．例えば，株式市場のベア市場とブル市場の分類に興味があるような場合は，(4.1) のモデルに µ1 < 0, µ2 > 0 というような制約を課したうえで，分析をすることもできる． 次に，st が従うマルコフ連鎖の推移確率行列 (4.3) より，状態の推移に関して示唆され ることを見てみよう．まず，p11 = 0.8 であるので，今日がベア市場であったとすると，確 率 0.8 で明日もベア市場となり，確率 0.2 でブル市場に変化することが示唆される．同様 に，p22 = 0.9 であるので，今日がブル市場であったとすると，確率 0.9 で明日もブル市場 となり，確率 0.1 でベア市場に変化することがわかる．また，ベア市場の平均持続期間は 1/(1 − 0.8) = 5 日であり，ブル市場の平均持続期間は 1/(1 − 0.9) = 10 日となる．つまり， ベア市場は平均的に 1 週間続き，ブル市場は 2 週間続くことが示唆されるのである．さら に，(3.8) より，ベア市場の定常確率が， π1∗ = 1 1 − 0.9 = 2 − 0.8 − 0.9 3 となることもわかる．これより，まず，今から遠い将来，例えば，1 か月後の株式市場は， 今の状態がどちらの状態であれ，確率 1/3 でベア市場になり，確率 2/3 でブル市場になる ことが示唆される．また，1 年に 246 営業日あるとすると，市場は平均的に年間のうち 82 日間ベア市場にあり，164 日間ブル市場にあることも示唆される．最後に，今日がベア市 場である確率が 0.5 であったとすると，(3.3) より， πt+1 = 0.8 0.1 0.2 0.9 0.5 0.5 = 0.45 0.55 となるので，明日は確率 0.45 でベア市場になり，確率 0.55 でブル市場になることがわかる． MS モデルの場合，状態は観測不能であるため，実際の状態や状態確率はわからないの で，上のような計算はあまり意味がないように感じるかもしれないが，そういうわけでは ない．なぜならば，推定結果と観測値から，状態確率は推測することができるからである． 例えば，yt = −3 という観測値が観測されたとしよう．状態 i における yt の確率密度 fi は， 平均 µi , 標準偏差 σi の正規分布の密度となるので，yt = −3 という観測値が，状態 1 で実 現していたとすると，その確率密度は ( ) (−3 − µ1 )2 1 exp − = 0.176 f1 (−3) = √ 2σ12 2πσ12 となる．それに対して，状態 2 で実現していたとすると，その確率密度は， ( ) 1 (−3 − µ2 )2 √ f2 (−3) = exp − = 0.000 2σ22 2πσ22 となる．これより，yt = −3 という観測値は，状態 1 から発生している確率が極めて高く， 146 日本統計学会誌 第44巻 第1号 2014 P (st = 1|yt = −3) ≈ 1 となることがわかる．同様に，yt = 0 とすると， ( ) 1 (0 − µ1 )2 f1 (0) = √ exp − = 0.121 2σ12 2πσ12 ) ( 1 (0 − µ2 )2 f2 (0) = √ = 0.242 exp − 2σ22 2πσ22 となり，yt = 0 という観測値が状態 2 から生じている可能性が 2 倍程度高いことがわかる． したがって，P (st = 1|yt = 0) ≈ 1/3 と推測できるのである．実際には，yt だけではなく， ほかの観測値を用いることもでき，どの情報を用いるかによって，いくつかの状態確率が 存在する．この点については，次節で詳しく述べる． MS モデルの統計的推測 5. 本節では，MS モデルの統計的推測について述べる．MS モデルの推定は，最尤法で行わ れるのが一般的である5) ．最尤法では，θ を推定するパラメータからなるベクトル，Ωt−1 を時点 t − 1 終了時の情報集合，fYt |Ωt−1 (yt |Ωt−1 ; θ) を Ωt−1 を所与としたときの yt の条件 付密度，T を標本サイズとして， L(θ) = T ∑ log fYt |Ωt−1 (yt |Ωt−1 ; θ) (5.1) t=1 で与えられる対数尤度を最大とするような θ の値を最尤推定量とする．(5.1) より，条件付 密度 fYt |Ωt−1 が求まれば，(5.1) を求めることができるが，MS モデルの場合，状態が観測で きないので，これは厄介な問題となる．以下では，2 状態 MS モデルを例にして，fYt |Ωt−1 の計算法を説明する． 2 状態 MS モデルの場合，状態が 2 つ存在し，データがどちらの状態から生成されたものか 確定することができないので，データは 2 つの条件付分布の混合分布 (mixture distribution) から生成されたと考えられる．したがって，fYt |Ωt−1 は fYt |Ωt−1 (yt |Ωt−1 ) = P (st = 1|Ωt−1 )f (yt |Ωt−1 , st = 1) +P (st = 2|Ωt−1 )f (yt |Ωt−1 , st = 2) (5.2) という形で書けることになる．状態を所与とすると，条件付分布は 1 つに定まるので， f (yt |Ωt−1 , st = i), (i = 1, 2) の計算は容易である．また，2 状態モデルの場合，P (st = 2|Ωt−1 ) は P (st = 2|Ωt−1 ) = 1 − P (st = 1|Ωt−1 ) 5) ここで扱っている最尤法は，尤度の計算に必要となる初期値を所与として扱うため，条件付最尤法と呼ばれ ることがある．また，MSAR モデルを最尤法で推定したときの最尤推定量の性質に関しては，例えば，Douc et al. (2004) を参照されたい． マルコフスイッチングモデル 147 から求められるので，問題は条件付確率 P (st = 1|Ωt−1 ) をどのように求めるかということ に帰着される． まず，t = 1 のときを考える．仮に，s0 に関して，何かしらの情報がある場合は，その情 報を用いて，P (s1 = 1|Ω0 ) を定めればよい．例えば，s0 = 1 という情報があったとすると， P (s1 = 1|Ω0 ) = p11 となる．もし，s0 に関して，何の情報もない場合は，P (s1 = 1|Ω0 ) を その条件なし期待値，つまり定常確率 (3.8) とすればよい．一般的に，P (st = 1|Ωt−1 ) が 求められたとすると，yt の条件付密度の値を用いて，P (st = 1|Ωt ) を P (st = 1|Ωt ) = P (st = 1|Ωt−1 )f (yt |Ωt−1 , st = 1) fYt |Ωt−1 (yt |Ωt−1 ) (5.3) と更新することができる．ここで，fYt |Ωt−1 (yt |Ωt−1 ) は (5.2) より求められる yt の条件付 密度である．この確率は，フィルター化確率 (filtered probability) と呼ばれ，時点 t まで の情報に基づいた時点 t における各状態の確率を表す．(5.2) と (5.3) より，状態 1 のフィ ルター化確率は，yt の条件付密度のうち，状態 1 が寄与する割合を求めたものと解釈でき ることがわかるであろう．フィルター化確率が求まれば，それに推移確率をかけることに よって，t 期までの情報に基づいた t + 1 期の条件付確率が P (st+1 = 1|Ωt ) = = P (st = 1|Ωt )P (st+1 = 1|st = 1) + P (st = 2|Ωt )P (st+1 = 1|st = 2) P (st = 1|Ωt )p11 + (1 − P (st = 1|Ωt ))(1 − p22 ) (5.4) と求められる．したがって，(5.3) と (5.4) を用いれば，P (st = 1|Ωt−1 ) から P (st+1 = 1|Ωt ) を求めることができるので，この手順を t = 1 から t = T − 1 まで繰り返すことによって， 条件付確率 P (st = 1|Ωt−1 ) の値を全時点について求めることができるのである． 以上の結果を用いれば，(5.1) と (5.2) から対数尤度を計算することは難しくはない．し かしながら，MS モデルはパラメータの数が大きくなる傾向があるため，パラメータに関し て対数尤度を最大化することが困難な場合がある．そのため，Hamilton (1990) では，EM アルゴリズムを用いて最尤推定値を求める方法が紹介されており，EM アルゴリズムを用 いることによって，初期値に対して頑健的に最尤推定値が求められることが確認されてい る．EM アルゴリズムは，Dempster et al. (1977) が提案した不完全な状態で観測された データについて最尤推定値を求める手法であり，EM アルゴリズムに関する詳細は，例え ば小西他 (2008) を参照されたい． MS モデルの最大の利点の 1 つは，観測できない状態に関しても推測を行うことができ ることである．もう少し正確にいうと，最尤法から求められたパラメータを用いて，全観 測値を所与としたときの状態確率を各時点で評価することができる．この確率は平滑化確 率 (smoothed probability) と呼ばれ，時点 t における状態 i の平滑化確率は P (st = i|ΩT ) で定義される．例えば，観測できない状態が景気の状態と仮定できるような場合，標本の 148 日本統計学会誌 第44巻 第1号 2014 各時点において景気がどのような状態にあったかを確率的に評価できることは非常に有用 であろう．また，状態変化のタイミングを知ることができれば，どのような要因が状態変 化を引き起こしている可能性が高いかの見当をつけることもできる．したがって，観測で きない状態の各時点での状態確率を，全観測値に基づいて評価できるということは MS モ デルの大きな長所であり，平滑化確率は MS モデルを用いた分析の中で，重要な役割を果 たすことが多い．以下では，再び 2 状態モデルを用いて，平滑化確率の計算法を説明する． 尤度を求めるときは，(5.3) と (5.4) を用いて，t = 1 から P (st = 1|Ωt−1 ) の値を逐次的 に求めていったが，平滑化確率は t = T から後向きに逐次的に求めていくことになる．ま ず，t = T の場合を考えると，P (sT = 1|ΩT ) は時点 T におけるフィルター化確率にほか ならない．一般的に，t の場合を考えると， P (st = 1|ΩT ) = P (st = 1, st+1 = 1|ΩT ) + P (st = 1, st+1 = 2|ΩT ) であり，マルコフ性 (3.1) と条件付確率の定義などを用いると， P (st = 1, st+1 = i|ΩT ) = P (st+1 = i|ΩT ) × P (st = 1|st+1 = i, ΩT ) = P (st+1 = i|ΩT ) × P (st = 1|st+1 = i, Ωt ) P (st+1 = i|ΩT ) × P (st = 1, st+1 = i|Ωt ) = P (st+1 = i|Ωt ) P (st+1 = i|ΩT ) × P (st = 1|Ωt ) × P (st+1 = i|st = 1) = P (st+1 = i|Ωt ) であることがわかる．したがって，フィルター化確率とともに，P (st+1 = 1|ΩT ) が求まっ たとすると，P (st = 1|ΩT ) は P (st = 1|ΩT ) = P (st+1 = 1|ΩT ) × P (st = 1|Ωt ) × p11 P (st+1 = 1|Ωt ) (1 − P (st+1 = 1|ΩT )) × P (st = 1|Ωt ) × (1 − p11 ) + P (st+1 = 2|Ωt ) (5.5) として求められる．ゆえに，(5.5) を t = T − 1 から t = 1 まで後向きに逐次的に用いてい けば，各時点における平滑化確率を求めることができるのである． MS モデルを利用するうえで大きな問題のひとつは状態数の選択である．MS モデルの 状態数の検定は，パラメータの識別性の問題が存在するため，非常に難しい問題である． 例えば，帰無仮説を 1 状態モデルとし，対立仮説を 2 状態モデルとすると，帰無仮説の下 では，推移確率が識別できないことになる．その結果，通常の尤度比検定の結果を用いる ことができず，検定は困難となる．識別の問題を解決するために，Hansen (1992) は，尤 度比を識別できないパラメータに関して最小化する方法を提案している．また，Cho and White (2007) は，疑似尤度比検定を提案し，その漸近分布を導出しているが，いずれの検 149 マルコフスイッチングモデル 定も計算負荷が大きくあまり実用的ではない．それに対して，Kasahara et al. (2014) は， 罰則付き尤度を用いたより実用的な尤度比検定を提案している． 一方，Smith et al. (2006) が MS 回帰モデルの変数と状態数の選択に用いることができ るマルコフスイッチング規準 (MSC) (Markov switching criterion) という情報量規準を提 案している．具体的には，xt を説明変数からなる K × 1 ベクトルとし， yt = x0t β(st ) + σ(st )εt , εt ∼ iid N (0, 1) という M 状態 MS 回帰モデルを考えたとすると，MSC は MSC = −2 log(f (Y, θ̂)) + M ∑ T̂i (T̂i + λi K) i=1 δi T̂i − λi K − 2 , で与えられる．ここで，log(f (Y, θ̂)) は最尤推定量 θ̂ で評価した最大対数尤度であり，T̂i = ∑T t=1 P (st = i|ΩT ) である．また，δi と λi はデータ生成過程に依存する値である．δi と λi の値をデータから評価することは難しいものの，Smith et al. (2006) は δi = 1 とし， λi = M とすれば，MSC が機能することをシミュレーションによって確認している．例え ば，考えられうる M 状態から，最適な MS モデルの状態数を決定したいのであれば，1 状 態モデルから M 状態モデルを推定し，それぞれの MSC を計算し，MSC が最小になるよ うな状態を選択すればよい．実際には，MSC は状態の数だけでなく変数の選択も同時に行 うことができるので，非常に便利な規準となっている． 最後に，MS モデルのベイズ推定について，簡単に述べておく．MSVAR のようなモデ ルでは6) ，パラメータの数が非常に大きくなるため，EM アルゴリズムを用いたとしても， 尤度を最大化することによって，最尤推定値を計算することは，非常に困難となる．この ような場合の解決法の 1 つは，ギブス・サンプラーなどの MCMC によるベイズ推定を用 いることである7) ．また，マクロ経済データを用いた VAR 分析では，標本数が少ない場合 も多く，Ni and Sun (2003) で指摘されているように，ベイズ推定は小標本の問題の解決に も用いられる場合もある． MS モデルのベイズ推定では，状態 st を発生させることが必要となるが，st 自体は，マル コフ連鎖に従う確率変数であるので，平滑化確率と推移確率行列を利用することによって， 発生させることが可能である．st が発生できれば，各状態に属するデータを集約して，その データを用いて，各状態のパラメータをベイズ推定すればよい．以下では，2 状態 MSVAR モデル yt 6) 7) = Φ1 (st )yt−1 + Φ2 (st )yt−2 + · · · + Φp (st )yt−p + εt , εt ∼ N (0, Σ(st )) (5.6) MSVAR モデルの詳細に関しては，Krolzig (1997) を参照されたい． MS モデルのベイズ推定に関する詳細は，例えば，Frühwirth-Schnatter (2006) を参照されたい． 150 日本統計学会誌 第44巻 第1号 2014 に対して，ギブス・サンプラーを用いる具体的な手順を紹介する8) ． まず，はじめに 2 状態 MSVAR モデルのパラメータを θ という列ベクトルに集め，それ を 4 個のブロックに分割する9) ． [ θ01 , θ02 , θ03 , θ04 ]0 θ = θ1 = [s1 , s2 , . . . , sT ]0 θ2 = [p11 , p22 ] θ3 = [vech(Σ(1))0 , vech(Σ(2))0 ] θ4 = [(β(1))0 , (β(2))0 ] 0 0 0 ただし， 0 β(i) = [vec(Φ1 (i))0 , vec(Φ2 (i))0 , . . . , vec(Φp (i))0 ] , i = 1, 2 である．ここで，p (θ|ΩT ) を求めたい事後分布とすると，ギブス・サンプラーのアルゴリ ズムでは， 1. 初期値 θ(0) を定め，j = 0 とする． ( ) (j) (j) (j) (j+1) 2. p θ1 θ2 , θ3 , θ4 , ΩT から θ1 を発生させる． ( ) (j+1) (j) (j) (j+1) 3. p θ2 θ1 , θ3 , θ4 , ΩT から θ2 を発生させる． ) ( (j+1) (j+1) (j) (j+1) を発生させる． , θ4 , ΩT から θ3 4. p θ3 θ1 , θ2 ) ( (j+1) (j+1) (j+1) (j+1) を発生させる． , ΩT から θ4 5. p θ4 θ1 , θ2 , θ3 (j+1) 6. θ [( = (j+1) θ1 )0 ( )0 ( )0 ( )0 ]0 (j+1) (j+1) (j+1) , θ2 , θ3 , θ4 とする． 7. j < N ならばステップ 2 に戻り，j = N ならばアルゴリズムを終了する． という手順で p(θ|ΩT ) に従う確率標本を発生させる．ただし，このとき N は繰り返しの 回数であり，また，確率標本の最初の N0 回は捨てる．つまり，θ(N0 +1) , θ(N0 +2) , . . . , θ(N ) を近似的に p (θ|ΩT ) に従う確率標本と考えるのである． 8) ここでの議論は，y1 , . . . , yp は，初期値として与えられたものとして，議論している．また，簡単化のため に，s0 = 1 も仮定している．仮に，y1 , . . . , yp や s0 を確率変数として扱う場合は，メトロポリス・ヘィス ティングス・アルゴリズムなどを用いる必要が出てくることに注意されたい． 9) 厳密に言えば，st は潜在変数であり，パラメータではないが，観測値から推定すべきものであるので，ここ ではパラメータとして扱っている． マルコフスイッチングモデル 151 ステップ 2 からステップ 5 までの各ステップの詳細は，例えば，次のようになる．ステッ (j) (j) (j) プ 2 では θ2 , θ3 , θ4 , ΩT の条件の下で，各時点における状態 st を発生させる10) ．その ためには，平滑化確率を基に，sT から後ろ向きに順に発生させていけばよい．まず，sT に 関しては，(0, 1) の一様乱数を発生させ，それが P (sT = 1|ΩT ) より小さければ sT = 1，大 きければ sT = 2 とすればよい．t = T − 1, T − 2, . . . , 1 において，st をサンプリングする には P (st+1 |st = 1) · P (st = 1|ΩT ) P (st = 1|st+1 , ΩT ) = ∑2 j=1 P (st+1 |st = j) · P (st = j|ΩT ) という条件付き確率を用いる．つまり，(0, 1) の一様乱数を発生させ，それが P (st = 1|st+1 , ΩT ) より小さければ st = 1，大きければ st = 2 とすればよいのである11) ． (j+1) ステップ 3 では θ1 (j) (j) , θ3 , θ4 , ΩT の条件の下で，各状態が持続する確率 p11 と p22 を (j+1) 発生させる．実際には，潜在変数の系列 θ1 (j+1) タやデータには依存しないので，θ1 を所与とすると，p11 と p22 は他のパラメー を所与とするときの p11 と p22 の事後分布を求めれ ばよい．そのために，p11 と p22 の事前分布として，例えば，独立な (0, 1) の一様分布を用 いると， (j+1) p11 θ1 ∼ Beta(n11 + 1, n12 + 1) (j+1) p22 θ1 ∼ Beta(n22 + 1, n21 + 1) となる．ここで，Beta(a, b) は形状パラメータ a と b をもつベータ分布を表す．この結果 (j+1) より，θ2 が容易にサンプリングできる． (j+1) ステップ 4 では θ1 (j+1) , θ2 (j) , θ4 , ΩT の条件の下で，Σ(1) と Σ(2) を発生させる．その ために，i = 1, 2 において Σ(i)−1 の事前分布として，例えば，ウィシャート拡散分布を仮 定すると， Σ(i)−1 ΩT ∼ W (T (i), Ŝ(i)) (j+1) となる．ここで，T (i) は θ1 において st = i と分類された標本数であり，Ŝ(i) は st = i と分類された標本のみを用いて，VAR を推定したときの標本分散共分散行列である．また， W (m, S) は自由度 m と尺度行列 S をもつウィシャート分布を表す．この結果より，Σ(i) は ( [ ]−1 ) か 次のようにサンプリングされる．まず，k = 1, . . . , T (i) において zk を N 0, Ŝ(i) (j) (j) (j) 10) 以下では，表記の簡略化のため θ2 , θ3 , θ4 11) 実際には，st を確率的に発生させた場合，1 つの状態に分類されるデータが少なくなってしまう場合がある． そのような場合，ステップ 4 や 5 において，妥当なサンプリングを行うことが困難となるので，その場合は， そのサンプルを捨て，再びサンプリングを行うことが必要となる． の条件は省略する．他のステップにおいても同様である． 152 日本統計学会誌 第44巻 第1号 2014 ( ) ら発生させる．このとき，定義より，W = z1 z01 + z2 z02 + · · · + zT (i) z0T (i) は W T (i), Ŝ(i) に従う．したがって，Σ(i) = W−1 とすればよい． (j+1) ステップ 5 では θ1 (j+1) , θ2 (j+1) , θ3 , ΩT の条件の下で，β(1) と β(2) を発生させる．そ のために，i = 1, 2 における β(i) の事前分布として，例えば，正規拡散分布を仮定すると， ( [ ]−1 ) β(i)ΩT ∼ N β̂(i), Σ(i) ⊗ X(i)0 X(i) となる．ただし，ここで β̂(i) は st = i と分類された標本のみを用いて，VAR を推定したと きの β の推定値であり，X(i) はその VAR 回帰に用いた説明変数行列である．また，Σ(i) はステップ 4 で生成されたものである．この結果より，β(i) を生成するのは容易である． MS モデルの応用例 6. 本節では，MS モデルをマクロ経済やファイナンスに応用した例をいくつか紹介する． 6.1 マクロ経済への応用事例 MS モデルのマクロ経済分析への応用例としては，まず景気循環分析が挙げられる．実際 に，MS モデルを経済・ファイナンスの分野に広めた Hamilton (1989) の応用例も景気循環 分析であった．Hamilton (1989) は米国の四半期実質 GNP 成長率に 2 状態 MSAR(4) モデ ルを当てはめた結果，状態 1 の成長率が 1.2%であるのに対し，状態 2 の成長率が −0.36%で あることや，状態 2 のフィルター化確率が 1 に近い値をとる時期が，NBER 公表の不況の 時期とほぼ一致しており，MS モデルにより，景気循環が的確に捉えられていることなどを 報告している．また，Evans and Wachtel (1993) は MS モデルを用いて，インフレーショ ンレジームを分析し，インフレーションのレジーム変化が，インフレーションの不確実性 の源泉となっている可能性を示している． MS モデルは米国の州別の景気循環にも応用されており，Owyang et al. (2005) は，景 気の状態に応じて，各州の経済成長率が異なることや，景気の山や谷のタイミングが州に よって異なることを報告している．また，Hamilton and Owyang (2012) は，MS モデルを 米国の州別雇用成長率のパネルデータに応用し，原油産業が中心の州と農業が中心の州で は独自の不況に陥る場合があること，一般的に，景気後退は全米に波及していくことなど が指摘されている． 米国では 1980 年代半ばくらいから，経済成長率，インフレーション，失業率など，多 くのマクロ経済時系列データの標準偏差が小さくなっていることが指摘されており，この 現象は “Great Moderation (大いなる安定)” と呼ばれている12) ．Kim and Nelson (1999b) は，ボラティリティ成分が構造変化を伴う MS モデルを用いて，実質 GDP 成長率に関し 12) Great Moderation に関しては，Bernanke (2004) とその参考文献を参照されたい． マルコフスイッチングモデル 153 て，この Great Moderation の現象を確認している．彼らの結果によると，実質 GDP 成長 率に関しては，1984 年の第 1 四半期あたりに，Great Moderation の現象が観測されたこと， Great Moderation の後，好況と不況の間の経済成長率の差が縮小していることなどが報告 されている．また，Kim et al. (2004) は，同様のモデルを用いて，この Great Moderation が，実質 GDP のトレンド成分ではなく，景気循環成分によ起因する部分が大きいことを 指摘するとともに，インフレーションに関しても Great Moderation が観測されたことを 報告している． MS モデルは，金融政策レジームの分析にも応用されており，Sims and Zha (2006) は米 国の金融政策を，Fujiwara (2006) と Inoue and Okimoto (2008) は日本の金融政策を分析 している．中でも，Inoue and Okimoto (2008) は，96 年前後の低金利政策を機に日本の金 融政策の効果にレジーム変化が起こり，96 年以前が主流のレジームにおいては，金利政策 が有効であったことや，96 年以降が主流のレジームにおいては，貨幣量政策が有効であっ たことを指摘している．また，Davig and Leeper (2007) と Doi et al. (2011) は，それぞ れ米国と日本の財政政策レジームを MS モデルで分析している．Davig and Leeper (2007) によると，米国の財政政策は持続可能なレジームと持続可能でないレジームが混在するの に対して，Doi et al. (2011) は日本の財政政策には持続可能なレジームが存在しない可能 性を指摘しており，日本の膨大な財政赤字に警鐘を鳴らしている． その他にも，MS モデルを経済分析に応用した論文は数多く存在し，例えば，中妻 (2005) は MS モデルを用いて，経済成長の収束仮説を検証し，所得階級の平均や標準偏差の変化 が国家間の所得分布の二極化に寄与している可能性などを指摘している．また，Farmer et al. (2011) や Liu et al. (2011) は合理的期待均衡モデルや DSGE モデルに MS モデルを取 り入れることを試みている．最後に，Guérin and Marcellino (2013) は，観測頻度の異な るデータを含むデータに MS モデルを応用するモデルを考案し，米国経済の分析を行って いる． 6.2 ファイナンスへの応用事例 ファイナンスの分野に MS モデルを応用したものも多く，例えば，Hamilton and Susmel (1994) は MS-ARCH (SWARCH) モデルを提案し，MS-ARCH モデルにより，株式市場の ボラティリティクラスタリングが GARCH モデルよりも的確に捉えられる可能性を示して いる．同様に，Gray (1996) は金利の条件付分布を分析するために，MS-GARCH モデルを 提案し，Haas et al. (2004) は，金融データのボラティリティの動学を記述するために，より 実用的な MS-GARCH モデルを提案している．また，Pelletier (2006) と Nakajima (2013) は，それぞれ相関が MS モデルに従う多変量 GARCH モデルと歪度に MS 構造を導入した 確率ボラティリティを考案し，為替レート収益率の分析に応用している． 154 日本統計学会誌 第44巻 第1号 2014 MS モデルは資産価格の評価や金利の期間構造の理解においても重要な役割を果たす可 能性がある．この点に関しては，例えば，Bansal and Zhou (2002) や Dai et al. (2007) を 参照されたい．また，Elliott et al. (2011) は，フィードバック効果を伴う MS モデルを用 いたオプション価格の評価やヘッジを議論している． MS モデルはデータの非対称構造をモデル化するのにも，非常に有力なモデルである．一 例としては，株式市場における非対称な依存構造が挙げられる．株式市場では株価が下が るときと上がるときとでは，下がるときのほうが株式市場間の依存関係が強くなる傾向が あることが知られている．例えば，Longin and Solnik (2001) は国際株式市場における超 過相関 (exceedance correlation) について13) ，負の部分の超過相関が正の部分の超過相関 を大きく上回り，非対称になることを指摘している．Ang and Chen (2002) は，米国株式 市場における非対称な超過相関が，MS モデルでは比較的うまく複製できるが，非対称な GARCH モデルやジャンプを伴うモデルでは，複製することが難しいことを指摘している． また，Ang and Bekaert (2002) は，2 状態 MS モデルで国際株式市場を分析し，Longin and Solnik (2001) の非対称な超過相関が MS モデルでかなり複製できることや，国際株式市場 には期待収益率が低く不安定で，市場間の依存関係が強いベア市場と，高く安定的な期待収 益率と比較的弱い依存関係で特徴づけられるブル市場が存在することを指摘している．さ らに，MS 構造が存在する下での国際分散投資の問題を考え，無リスク資産が存在する場合 には，ベア市場とブル市場の MS 構造を無視することによる損失が大きいことも指摘して いる．Okimoto (2008) は Ang and Bekaert (2002) のモデルをコピュラを用いた形に拡張 し，ベア市場とブル市場で異なるコピュラを許した結果，ベア市場の依存構造は株価が下 がるときにより強い依存関係をもつ非対称なコピュラで，ブル市場の依存構造は株価が上 がるときと下がるときで依存関係に差のない正規コピュラで特徴づけられることを指摘し ている．また，提案したモデルが，Ang and Bekaert (2002) のモデルと比較して，Longin and Solnik (2001) の超過相関をよりよく複製することや，ベア市場における非対称な依存 構造を無視することにより，バリューアットリスクが 10% 程度過小評価される可能性を指 摘している． それに続いて，Garcia and Tsafack (2011) は超過相関の概念を超過裾依存 (exceedance tail-dependence) に拡張し，非対称な超過裾依存は，2 つの状態にともに正規コピュラを 用いた MS モデルでは生成することができず，Okimoto (2008) のような，2 つの状態で裾 依存が異なるコピュラを用いることを推奨している．また，Guidolin and Timmermann (2006) が株式収益率と債券収益率の同時分布の分析に MS モデルを応用し，危機，低成長， 13) Longin and Solnik (2001) は，2 つの国の株式収益率がともにある正の閾値を上回る場合の相関と，ある負の 閾値を下回る場合の相関を考え，これを超過相関と呼んでいる． マルコフスイッチングモデル 155 高成長，回復状態の 4 状態が存在する可能性を指摘している． まとめと今後の展望 7. 本稿では，マルコフスイッチングモデルを簡単に紹介し，その特性や応用例を紹介した． 経済・ファイナンスデータの中には，景気循環や政策の変更などに応じて，挙動が大きく 変化しているようなデータが少なくなく，MS モデルは，そのような状態変化をしている 可能性があるデータの分析において強力なツールとなる．また，モデルの非線形性やボラ ティリティクラスタリング，分布の厚い裾や非対称性など，経済・ファイナンスデータに 見られる多くの重要な特徴のモデル化にも利用することができ，非常に魅力的なモデルと なっている．その結果，経済やファイナンスの分野では，幅広く応用されており，今後も 多くの分析に利用されていくことが期待される． 例えば，アベノミクスにより，デフレ脱却期待が高まり，円安・株高が進み，多くの変 数間の関係に変化が生じている可能性が高いことが予想される．今後，実証分析を行うに あたり，十分なデータが蓄積されれば，アベノミクスにより，どのような変数間の関係に， どのタイミングで，どのような形で変化が生じたのかを，MS モデルによって，明らかに していくことは，興味深いトピックになっていくであろう． その一方，MS モデルに関連する統計的推測の問題は，未解決な問題も多い．例えば， MSAR モデルの最尤法の性質に関しては，Douc et al. (2004) で議論されているが，より 複雑なモデルに関しては，未知な部分も多い．また，1 状態モデルを 2 状態 MS モデルに 対して検定する方法は，限定的なものが多く，実用的なものは少ない．さらに，MS モデ ルは，平滑推移モデルなどのその他のレジームスイッチングモデルと融合することも可能 であり，そのような複雑なモデルに関しては，ベイズ推定法に頼らざるを得なくなる可能 性が高い．そのようなより一般的な MS モデルに対するベイズ推定法の確立も重要な問題 である．このような問題の解決が進むことにより，MS モデルの応用範囲が広がるととも に，より正確な実証分析ができるようになることを期待したい． 謝辞 本稿は，2013 年度日本経済学会春季大会チュートリアルセッションの内容に加筆修正し たものである．執筆の機会を頂いた大阪大学の谷崎先生に深く感謝いたします．また，匿 名の査読者の方には，数多くの有益なコメントを頂きました．ここに記して感謝申し上げ ます．もちろん，本稿中にありうべき誤りはすべて筆者に帰するものです． 参 考 文 献 Ang, A. and Bekaert, G. (2002). International asset allocation with regime shifts, Rev. Financ. Stud., 15, 1137–1187. 156 日本統計学会誌 第44巻 第1号 2014 Ang, A. and Chen, J. (2002). Asymmetric correlations of equity portfolios, J. Financ. Econ., 63, 443–494. Bansal, R. and Zhou, H. (2002). Term structure of interest rates with regime shifts, J. Financ., 57, 1997–2043. Bernanke, B. (2004). The Great Moderation, Federal Reserve Board, Remarks at the meetings of the Eastern Economic Association, Washington, DC. 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