1 論理記号による表現

数学１ー文章を記号で表す (2005/4/25)
担当：黒田
覚
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論理記号による表現
例 1 （前回の問題３を考える）女王様のジャムが盗まれました．容疑者は三月ウサギと頭のいか
れた帽子屋とヤマネです．それぞれを取り調べたところつぎのような証言をしました．
三月ウサギ 「私は絶対にジャムなど盗んでいません．
」
帽子屋 「私たち３人のうち１人がジャムを盗みました．でもそれは私ではありません」
ヤマネ 「ウサギと帽子屋のどちらか一方だけが本当のことを言っています」
さらに調べたところ，三月ウサギとヤマネの少なくとも一方は嘘だということがわかりました．
ジャムを盗んだのは誰でしょうか？
3 人の発言をそれぞれ記号で表してみよう．
手順１： 曖昧さがない文に直す．例えば箱１の文は「箱１」
「箱２」という言葉を使って言い直す．
箱２の文はこちら，あちらが何を指すかをはっきりさせる．
手順２： １つの単文につき１つの記号を当てはめてみる．
ここで単文のそれぞれのことを 命題 という．命題はそれが正しいか間違いであるかのどちらかに
必ず決めることができるものであり，文章を記号で表すときに最小の単位になるものである．す
ると文章は命題をある決まった単語でつないだものになる．この『決まった単語』とは次のもの
である．
定義 1 (論理結合子) 次の４つの記号を 論理結合子 という．括弧内はその意味を表す．
∧(かつ)
∨ (または)
¬(でない)
) (ならば)
手順３： 接続詞を適当な論理結合子で置き換える．
手順２で単文に当てはめた記号を 命題変数 という．また，この手順で得られた記号列を 命題論理式
という．
問題 1 以下の文を指示に従って命題論理式に直してください．
(1).
プレゼントはソックスならばソックスじゃないよ．(「プレゼントはソックスである」を命
題変数で表す)
(2).
ヨシミは女性であり，しかも数学が得意である．(「ヨシミは女性である」と『ヨシミは数
学が得意である」をそれぞれ別の命題変数で表す．)
(3). ヨシミは女性であるにもかかわらず数学が得意である．
(4). ヨシミは女のくせに数学が得意だ．((3), (4) の指示は (2) と同様)
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論理式に直すとどんないいことがあるのか？
以下の例を考えてみる
例 2 (1) ソクラテスは人間であり「ソクラテスが人間なら彼はいつか必ず死ぬ」であるから，
「ソ
クラテスはいつか必ず死ぬ」ということになる．
(2) 「その公理を帰納的に並べ上げることができるような算術体系にはその中ではそれ自身もそ
の否定も証明できないような命題が存在する」ということは正しく，ペアノ算術はその公理
を帰納的に並べ上げることができるから「ペアノ算術にはその中ではそれ自身もその否定も
証明できないような命題が存在する」と結論づけることができる．
(3) 「P ファンク系のクール極まる連中はすべて独創的なミクスチュア感覚を魅力としている」
と「アーシーな音楽的力量をもつミュージシャンはすべて独創的なミクスチュア感覚を魅力
としている」から「P ファンク系のクール極まる連中はすべてアーシーな音楽的力量をもつ
ミュージシャンである」ことがわかる．
これらの文章の中には同じあるいは非常に似通った論証の規則がある．よって例えばある論証の
規則が妥当であることがわかっていて，その規則に基づいた論証があるときそれは正しいという
ことは，その論証の中に出てくる言葉の意味をすべて理解できなくてもわかることである．
例 3 (4) 「セイイチはアイを尊敬している」と「アイはセイイチに尊敬されている」
(5) 「ヨシミはセイイチを憎んでいる」と「セイイチはヨシミに憎まれている」
(6) 「みんなは誰かを愛している」と「誰かはみんなに愛されている」
(3),(4),(5) はすべて同じ形の文の組み合わせであるが，(5) だけは何かが違っている．
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もっと論理式にしてみる
最初の「問題３」をもう一度考えよう．今度は問題の条件
三月ウサギとヤマネの少なくとも一方は嘘だということがわかりました
を記号で表してみる．このことは
(「三月ウサギ」かつ (「ヤマネ」でない)) または ((「三月ウサギ」でない) かつ「ヤマネ」)
と言い換えられるから，これを論理式で表す．
問題 2 前回の他の問題を同じようにして論理式で表してください．
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