塾技 55 折り返し

塾技 55
問題 1
折り返し
（難易度 A）
問題 2
A
1 辺が 30cm の正三角形
（難易度 B）
1 辺の長さが 10cm の正方
ABC があります。図のよ
A
D
F
形の紙がある。この正方形
D
うに，正三角形 ABC を
E
辺 AB 上の点 D と辺 AC
上の点 E を結ぶ線分で折 B
G
し，辺 BC 上に点 P をとる。
C
F
H
の頂点を A，B，C，D と E
頂点 A が点 P に重なるよ B 4cm P
C
り曲げたところ，頂点 A が辺 BC 上の点 F と重
うに折ったときにできる折り目を EF，点 D が移
なりました。BF = 6cm，DB = 16cm のとき，EF
った点を G，辺 PG と辺 CD の交点を H とする。
の長さを求めなさい。
BP = 4cm のとき，次の問いに答えなさい。
（立命館高）
（1）EP の長さを求めなさい。
（2）図の
部分（四角形 EPGF）の面積を
求めなさい。
（島根県）
解 1
解 2
「塾技 55（1）」より，△DBF∽△FCE★とわ
（1）EP = AE = xcm とすると，EB = (10－x) cm と
かる。ここで，EF = AE = xcm とすると，
EC = (30－x) cm となり，
(10  x ) 2  42  x 2
A
DB：FC = BF：CE
xcm
16：24 = 6：(30－x)
D
16(30－x) = 144
16cm
480－16x = 144
60˚
B
6cm F
－16x =－336
x = 21 (cm)
なる。△EBP に三平方の定理を用いて，
答
xcm
E
60˚
C
24cm
21cm
★の証明
△DBF と△FCE において，
仮定より，∠DBF =∠FCE = 60˚ …①
△DBF の∠F の外角について，
∠B +∠BDF =∠DFC
100  20 x  x 2  16  x 2
20 x  116
29 cm
x  29 (cm)
答
5
5
（2）
「塾技 55（3）」より，△EBP∽△PCH となり，
EB：PC = EP：PH
29
10 
: (10  4)  29 : PH
5
5
21 PH  174
5
5
PH  174  58 (cm)
21
7
よって，GH = GP－PH = AD－PH
 10  58  12 (cm)
7
7
同様に，
「塾技 55（3）」より，△EBP∽△FGH


=∠DFE +∠CFE
となるので，
=∠A +∠CFE
EB：FG = BP：GH
21 : FG  4 : 12
5
7
36
4FG 
FG  9 (cm)
5
5
以上より，台形 EPGF の面積は，
ここで，∠B =∠A = 60˚より，
∠BDF =∠CFE …②
①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいので，
△DBF∽△FCE
) 答 38cm
 95  295  10  12  38(cm
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高校入試 数学研究所
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